Модель развивающего обучения в курсе алгебры средней школы

   В.И. ГОРБАЧЕВ





МОДЕЛЬ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Монография











Москва ИНФРА-М 2019

ФЗ № 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1


     УДК [37.02+372.851](075.4)
     ББК 74.202.2:22.14
          Г67

    Рецензенты:
        Ткаченко А.С. — доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой психологии БГПУ;
        Шамоян Ф.А. — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа БГПУ


    Горбачев В.И.

Г67         Модель развивающего обучения в курсе алгебры средней шко        лы : монография / В.И. Горбачев. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 267 с.

    ISBN 978-5-16-107787-0 (online)


         В монографии даются теоретическое обоснование и технология обучения решению уравнений и неравенств с параметрами. На методологической основе теории развивающего обучения Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова разрабатывается система учебных действий общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами не выше n -й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с переменной под знаком модуля. В рамках теории поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной проектируется учебная деятельность по формированию общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами школьного типа.
         Предназначена для преподавателей и студентов математических факультетов педагогических вузов, учителей математики средних учебных заведений, аспирантов и научных работников.



УДК [37.02+372.851](075.4)
ББК 74.202.2:22.14








    ISBN 978-5-16-107787-0 (online)


© Горбачев В.И., 2019

л

Предисловие
       В течение последнего десятилетия в курс алгебры и начал анализа средней школы включены уравнения и неравенства с параметрами - через содержание основных и дополнительных разделов курса, факультативные занятия, перечень заданий выпускных экзаменов неполной и полной средней школы, требования стандарта среднего математического образования, рекомендуемый для изучения спектр задач с параметрами в учебной и методической литературе, систему заданий вступительных экзаменов во многие вузы России.
       Анализ включенных в школьный курс алгебры уравнений и неравенств с параметрами показывает, что в условиях недостаточной методической проработки способы их решения получены зачастую необоснованным переносом методов решения уравнений и неравенств с переменной. Главные недостатки используемых методов решения: изолированное рассмотрение каждого из отдельных примеров; интуитивная система понятий, на которую осуществляется опора в процессе исследования; усвоение метода решения через конкретные примеры - восхождением от конкретного к абстрактному. Указанные факторы характеризуют эмпирический тип мышления, формируемый многими содержательно-методическими линиями курса алгебры.
       Структура и содержание задач с параметрами, направленных на формирование исследовательских способностей, эвристических способов учебной деятельности, не соответствуют эмпирическому типу мышления. Именно опора на тип мышления, являющийся лишь первоначальной ступенью познания, является, на наш взгляд, основной причиной методической неразработанности уравнений и неравенств с параметрами.
       Разработка общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами осуществляется на методологической основе теории развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова:
       - основная цель учебной деятельности по решению задач данного класса -формирование теоретического типа мышления выделением существенных отношений определенной формальной целостности, приводящих к

          установлению подлинных закономерностей ее развития;

-  основной метод исследования - восхождение от генетически ' исходной содержательной абстракции к конкретному - системе взаимосвязанных структурных компонент, объясняющих многообразие явлений исследуемой целостности;
   -  основное направление развития учащихся - овладение ими общими методами исследования целостности в процессе решения учебных задач и связанной с ними система практических задач как их частных проявлений;
   -  основные способы учебной деятельности - анализ, посредством которого устанавливается исходная содержательная абстракция, рефлексия как основание деятельности субъекта, планирование, осуществляемое во внутренней форме, моделирование существенных отношений целостности.
   Реализация приведенных положений теории в классе задач с параметрами позволяет установить общие методы решения произвольных уравнений и неравенств, их конкретизацию в виде методов решения уравнений и неравенств данного вида.
   Исследование общих методов решения, составляющее основное содержание первой главы, определяет технологию учебной деятельности учащихся в логике восхождения от абстрактного к конкретному. Задача организации учебного процесса, при котором учащиеся самостоятельно находят методы решения, приводит к III типу учебной деятельности в'классификации П. Я. Гальперина.
   Составлению полной ориентировочной основы методов решения предшествуют поэтапное формирование основных понятий, выделение характерных признаков класса задач, обеспечение учащихся «законами сочетания основных единиц» -общими способами рассуждений при решении произвольных уравнений и неравенств с параметрами. Поэтапное формирование методов решения уравнений и неравенств данного вида, сочетающее переходы от материализованных действий к громкой и далее - внутренней речи, составление логической структуры метода и, наконец, полной ООД, осуществлено во второй главе.
   Разработанная технология обучения позволяет учителю не только добиваться результатов обучения, определенных нормативными документами, но и обеспечивать формирование у учащихся теоретического типа мышления, реализовывать развивающую функцию обучения.

Глава 1. Методология развивающего обучения в уравнениях и неравенствах с параметрами

     Анализ основных результатов многолетних исследований уравнений и неравенств с параметрами в справочной и методической литературе позволяет увидеть с одной стороны многообразие конкретных примеров исследовательского характера, различных способов их решения и с другой стороны - отсутствие строгой конструкции в содержании, методах классификации данного класса задач. Сложившееся положение объясняется не только математическими или методическими факторами. Основная причина содержательной и методической неразработанности класса уравнений и неравенств с параметрами методологическая, связанная с явным или неявным переносом эмпирического типа мышления, формируемого линией уравнений и неравенств школьного курса математики.
     В рамках формирования теоретического типа мышления поставим задачу разработки общих методов решения уравнений и неравенств с одним и двумя параметрами. В качестве методологической основы исследования при этом будет выступать теория развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова:
     -   метод восхождения от абстрактного к конкретному, реализуемый в классе задач с параметрами, позволяет разработать систему понятий, в терминах которой формулируются общие методы решения произвольных уравнений и неравенств с параметрами:
     -   теория учебных задач, от учебно-практических до учебно-теоретических, обеспечивает выделение системы учебных действий по исследованию уравнений и неравенств с параметрами данного вида: не выше n-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с переменной под знаком модуля;
         теория учебной деятельности в сочетании с выделенной системой учебных действий общих методов решения приведут впоследствии к разработке III типа учения (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина), дающего наибольший развивающий эффект.

1.1. Формирование теоретического мышления в содержательнометодической линии уравнений и неравенств с параметрами.

     Задачи с параметрами, как самостоятельный объект изучения, возникли из практики конкурсных экзаменов. Анализируя причины их возникновения. В.К.Марков выделяет функцию контроля готовности будущего научного работника к научным исследованиям: "Теоретическое изучение физических процессов часто приводит к более или менее сложным уравнениям и неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью решения таких задач является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров".¹
     Характеризуя задачи с параметрами как "миниатюрные исследовательские задачи", требующие обширных знаний из различных разделов школьной программы. В.К.Марков отмечает, что "решение таких задач требует от абитуриентов высокой логической культуры и высокой техники исследования''.²
     Г.В.Дорофеев обращает внимание на необходимость разработки методов обучения учащихся решению задач с параметрами и указывает, что "решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале".³
     С.А.Тынянкин также подчеркивает, что "задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики ... . В очень сильном смысле эти задачи есть индикатор общего владения абитуриентом техникой и логикой математики".⁴
     А.Г.Мордкович оценивает задачи с параметрами как один из труднейших разделов школьного курса математики, в котором, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем. чтобы не пропустить какие-либо тонкости.⁵



    ' Марков В.К. Метод координат и задачи с параметрами - М.. 1970. - С. 4.
    * Там же. • С. 5.
    ' Горнштейн П И. и др. Задачи с параметрами. - М.. 1998. - С. 5.
    ' Пятьсот четырнадцать задач с параметрами //Под рсд Тыняикина С. А.. Волгоград. 1991. • С. 5.
    ' Мордкович А.Г. Уравнения и неравенства с параметрами И Математика. 1994. -№ 34. - С. 2.

В справочных пособиях, посвященных уравнениям и неравенствам с параметрами, в большей степени подчеркивается их диагностическая и прогностическая ценность -"умение абитуриентов решать такие задачи ... безусловно, означает, что этот молодой человек экзамен по математике сдаст на высокий балл и в случае поступления в вуз сможет обучаться в нем без проблем".¹
      В исследованиях содержания и методов решения задач с параметрами авторы выделяют ряд требований'к математической подготовке учащихся:
      - обширность знаний из различных разделов школьной математики (свойств элементарных функций, способов преобразований уравнений и неравенств, анализ и построение различных графиков и т.д.), применяемых как в типовых, так и нестандартных условиях;
      - исследовательские умения, связанные с выделением областей однотипности и использованием различных методов решения уравнения или неравенства на выделенных областях;
      - развитая логическая культура, позволяющая в умственном плане проводить анализ задачи, осуществлять планирование учебных действий с использованием рефлексии, синтезировать результаты исследований в виде обобщенного способа деятельности;
      - высокая техника исследования, сочетающая мастерство исполнительских действий алгоритмического характера с определенными навыками эвристической и творческой деятельности.
      Перечень требований к учащимся, наиболее адекватно моделирующих способы умственной деятельности, используемые в современных математических теориях, не следует понимать формально. Суть в том. что в процессе целенаправленного обучения решению уравнений и неравенств с параметрами осуществляется формирование и исследовательских умений, и логической культуры, и продуктивных способов умственной деятельности.
      Другим, более важным, аспектом указанных требований является положение о том. что рассматриваемые в единстве комплексные математические знания и систематизирующие их исследовательские действия определяют и могут быть

   ¹ Пятьсот четырнадцать чадам с параметрлми7/Под рея Тыианкина С. А.. Волгоград 1991. - С. 5.

реализованы только в условиях типа мышления, который называется теоретическим (В.В.Давыдов), научным, отвлеченным (С.Л.Рубинштейн).
   Согласно В. В.Давыдову "дальнейшее совершенствование образования, приведение его в соответствие с научно-техническими достижениями века предполагает изменение типа мышления, проектируемого Системой обучения. Новой "моделью" должно стать диалектическое, теоретическое мышление".'
   Таким образом, уравнения и неравенства с параметрами через систему формируемых ими способов умственных действий оказываются связанными с теоретическим типом мышления. С позиций теории развивающего обучения В.В.Давыдова и Д.Б.Эльконина поставим задачу исследования соотношения теоретического типа мышления и общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами. В решении поставленной задачи выделим следующие ее аспекты:
   - изучение типов мышления, формируемых в различных разделах школьного курса математики и. в частности, в процессе реализации линии уравнений и неравенств с переменной;
   - исследование способов умственной деятельности, формируемых в справочной литературе по уравнениям и неравенствам с параметрами;
   - разработка общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами на методологической основе теории развивающего обучения.
   В педагогической психологии выделены два типа мышления - эмпирический и теоретический, при этом "особенности процесса обобщения в единстве с процессами абстрагирования и образования понятий характеризуют тип всей мыслительной деятельности человека" ¹ ²
   Внутренней основой как эмпирического, так и теоретического типов мышления являются процессы мысленного обобщения, обеспечивающие поиск и исследование общего и единичного. Обобщение - выделение таких свойств, которые принадлежат каждому отдельному предмету и одновременно являются общими для всех сравниваемых предметов. При этом обобщение может совершаться как по совокупности сходных, • формально одинаковых свойств объектов, так и по существенным, чувственно не воспринимаемым свойствам.

¹ Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. - М.. 1972. - С. 85.

• Там же. - С. 6 - 7.

Общие свойства некоторой группы объектов называются существенными, если они являются необходимыми и достаточными именно для данной группы. "Сущность вещи, - отмечает С. Л. Рубинштейн, - это не что иное, как заключенное в ней самой основание всех изменений, с ней происходящих при взаимодействии с другими вещами".¹
   Выделение некоторого свойства объекта данной совокупности в качестве общего означает его отчленение от многообразия других свойств. Так, в совокупности равносильных уравнений выделяется множество решений уравнения, при этом форма записи уравнений, вид функциональных зависимостей, входящих в них, перечень преобразований, который нужно совершить в процессе поиска решений мысленно отходят на второй план, затушевываются. Это позволяет "превратить общее качество в самостоятельный и особый предмет последующих действий. Знание общего, будучи результатом сравнения и фиксирования в знаке, всегда есть нечто абстрактное, отвлеченное. мысленное".² Согласно В.В.Давыдову "под абстрактным подразумевается повторяющееся, сходное отдельное свойство (или свойства) какой-либо совокупности предметов, мысленно отделенное от самих предметов и рассматриваемое самостоятельно. Образовать абстракцию - это значит найти такие общие свойства и мысленно отчленить их от других".³ Абстрагирование, следовательно, представляет собой "такой процесс отвлечения, где, во-первых, вырабатывается общее понятие; во-вторых, совпадает с принципом рассмотрения в чистом виде, поскольку оно оставляет в стороне все те отношения, которые ничего общего не имеют с данным объектом анализа на данном этапе восхождения, но. разумеется, не сводится к этому принципу" ⁴
. Пути и средства реализации обобщения и связанного с ним абстрагирования определяют различие эмпирического и теоретического типов мышления.
   Эмпирический тип мышления характеризуется обобщением и абстракцией лишь чувственно данных, наблюдаемых, внешних свойств единичных предметов. При этом внешние, непосредственно воспринимаемые общие признаки полностью идентичны содержанию эмпирических понятий. "Мышление на основе таких понятий состоит, с

' Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание. - М.. Им-вО АНСССР. 1957. -С. 112.
‘ Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении - М.. 1972. - С. II.
’ Там же. - С. 297.
J Минасян А.М. Диалектика как Логика. Учебник. 1991. - С. 349.

К)

одной стороны, в переходе от чувственно-конкретного и единичного к мысленноабстрактному и формально общему, с другой - в обратном переходе от абстрактного к чувственно-конкретному при выделении и опознании каких-либо единичных предметов как относящихся к данному классу."¹ * Особенностью эмпирической схемы обобщения и образования понятий является рассмотрение каждого отдельного объекта совокупности как самостоятельной реальности, без учета их взаимосвязи внутри целого. Следствием этого является невозможность выделения существенных свойств объектов, их взаимосвязи внутри целостной системы. В этой связи С.Л. Рубинштейн отмечает, что эмпирическое обобщение "не способно привести к открытию чего-либо сверх того, что дано непосредственно, чувственно ... . Общее, к которому приходят таким образом, остается в пределах эмпирических констатаций"?
   В теоретическом "отвлеченном" мышлении обобщение - это не выделение вообще каких-либо общих свойств. Теоретическое, научное обобщение "есть обобщение внутренних качеств объекта, т.е. таких, которые непосредственно не воспринимаются, а являются продуктом умозаключения, получаются опосредованным путем"³ ⁴ ⁵ ⁶ На этапе анализа выделяются существенные свойства, воспроизводящие систему внутренних связей целостной системы объектов. С.Л. Рубинштейн связывает анализ прежде всего с абстракцией существенного и подчеркивает, что "нечто является существенным не потому, что оно выступает как общее, а оно потому общее, что существенно". В обобщении открывается закономерная, необходимая связь единичных явлений внутри некоторого целого, закон его становления, поэтому "содержательное обобщение раскрывает сущность вещей как закономерность их развития, как то, что определяет их развитие"? Научное понятие, отображающее существенно общее, выступает как продукт абстракции, направленной "на раскрытие собственных, внутренних, существенных свойств явлений в закономерных зависимостях, в соответствии с которыми оно совершается".'’ Теоретическое обобщение, осуществляемое посредством анализа и абстракций существенных свойств объектов, служит основой для "генетического

¹ Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. - М.. 1972. - С. 67.

: Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание - М Изд-во АНСССР. 1957. - С. 150.

⁵ Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. - М.. 1972. - С. 30.

⁴ Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. - М.. I95X. • С. 40.

⁵ Давыдов В.В. Виды обобщения 8 обучении. - М.. 1972. - С. 317.

⁶ Рубинштейн С.Л. Бытие и сознание - М.. Изд-во АНСССР. 1957. - С. 140.