Прикладной функциональный анализ: задачи с решениями

Московский государственный университет
имени М. В. Ломоносова
Факультет вычислительной математики 
и кибернетики

ПРИКЛАДНОЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ 
АНАЛИЗ

Учебное пособие

Н. Б. Мельников, Л. А. Артемьева

Издательство Московского
университета
2015

Задачи 
с решениями

УДК 517.98, 519.6
ББК 22.16, 22.19
        М48

Р:

доктор физико-математических наук, профессор Ф. П. Васильев, 
доктор физико-математических наук, доцент Н. Ю. Капустин

ISBN 978-5-19-011104-0

Мельников Н. Б., Артемьева Л. А.
Прикладной функциональный анализ: задачи с решениями: 
Учебное пособие. – М.: Издательство Московского университета, 
2015. – 108 с. – (Бакалавриат. Учебные пособия).

ISBN 978-5-19-011104-0

В книге собраны примеры и задачи, позволяющие освоить методы 
функционального анализа без использования теории меры и интеграла 
Лебега. Учебное пособие ориентировано на студентов, специализирующихся в области прикладной математики. От читателя требуются знания 
основ математического анализа и линейной алгебры.

М48

УДК 517.98, 519.6
ББК 22.16, 22.19

© Н. Б. Мельников, Л. А. Артемьева, 2014
© Факультет вычислительной математики и кибернетики 
МГУ имени М.В. Ломоносова, 2015
© Издательство Московского университета, 2015 

Оглавление

Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Занятие 1. Открытые и замкнутые множества . . . . . . . . . .
7

Занятие 2. Полные метрические пространства . . . . . . . . . .
15

Занятие 3. Пополнение. Компактные множества.
. . . . . . . .
21

Занятие 4. Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . .
27

Занятие 5. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Занятие 6. Пространства со скалярным произведением . . . . .
42

Занятие 7. Ортонормированные системы
. . . . . . . . . . . . .
49

Занятие 8. Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

Занятие 9. Линейные функционалы . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Занятие 10. Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . .
70

Занятие 11. Сходимость операторов . . . . . . . . . . . . . . . .
77

Занятие 12. Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . .
82

Занятие 13. Спектр операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

Занятие 14. Компактные операторы . . . . . . . . . . . . . . . .
94

Экзаменационные варианты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

3

Предисловие к первому изданию

В отличие от математического анализа и линейной алгебры,
в которых рассматриваются конечномерные пространства, функциональный анализ имеет дело с пространствами произвольной
размерности и отображениями, действующими в таких пространствах. Основная цель нашего учебного пособия — проиллюстрировать характерные особенности функционального анализа, связанные с бесконечной размерностью.
Имеется большое число замечательных книг по функциональному анализу, в которых собраны сложные задачи, требующие
индивидуального подхода. Отличительной чертой данного учебного пособия являются обсуждение подходящих примеров, которые мотивируют новые понятия, и решение значительного числа
задач, для которых теория дает конкретный результат.
Материал этой книги охватывает наиболее важные темы линейного функционального анализа и некоторые его приложения
к теории оптимального управления, вариационного исчисления
и численным методам. В пособии не обсуждаются теория меры и интеграл Лебега, топологические пространства, обобщенные функции, соболевские пространства, теория неограниченных
операторов и другие темы, выходящие за рамки вводного полугодового курса.
Каждое занятие содержит необходимый теоретический материал: основные определения и теоремы, формулировки задач и их
решения. Доказательства некоторых теорем предложены в качестве задач. Мы не стремились к наиболее общим формулировкам.
В конце пособия приведен список учебников, которые содержат
более подробное изложение теории, включая доказательства теорем. В последнем параграфе приведены варианты экзаменационных задач с ответами и указаниями.
Книга ориентирована на студентов, специализирующихся в
области прикладной математики. Материал прошел десятилетнюю апробацию при обучении студентов 3-го курса факультета
вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

4

Мы благодарны А. В. Дмитруку за полезные обсуждения некоторых задач и А. И. Смирнову за помощь в оформлении оригиналмакета.
Предложения и замечания можно присылать по электронному адресу melnikov@cs.msu.su

Москва, октябрь 2014 г.
Н. Б. Мельников, Л. А. Артемьева

Предисловие ко второму изданию

В этом издании сделан ряд исправлений и дополнений. Формулировки теорем снабжены ссылками на литературу, где читатель может найти доказательства. Мы признательны нашим коллегам С. М. Асееву и А. В. Дмитруку и аспиранту Г. В. Парадеженко за указанные неточности и опечатки.

Москва, июль 2015 г.
Н. Б. Мельников, Л. А. Артемьева

5

Занятие 1.
Открытые и замкнутые множества

Определение 1.1. Метрическим пространством называется
пара (X, d) , где X — произвольное множество, а d : X ×X → R
— функция расстояния (метрика), удовлетворяющая следующим
условиям:
1) d(x, y) ⩾ 0 для всех x, y ∈ X (неотрицательность) и
d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
2) d(x, y) = d(y, x) для всех x, y ∈ X (симметричность);
3) d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y) для всех x, y, z ∈ X (неравенство треугольника).

Примеры:

1.1. Евклидово пространство Rn вещественных n -мерных
векторов x = (x1, . . . , xn) с метрикой

d(x, y) =

n
i=1
(yi − xi)2.

1.2. Эрмитово пространство Cn комплексных n -мерных векторов z = (z1, . . . , zn) с метрикой

d(z, w) =

n
i=1
|zi − wi|2.

1.3. Пространство ℓp ( p ⩾ 1 ) вещественных бесконечных последовательностей x = (x1, ..., xk, ...) , удовлетворяющих условию

∞
i=1
|xi|p < ∞,

с метрикой

dp(x, y) =
∞
i=1
|xi − yi|p
1/p
.

1.4. Пространство ℓ∞ вещественных ограниченных последовательностей x = (x1, ..., xk, ...) :

∀ x
∃ Cx = const :
|xk| ⩽ Cx
∀ k ∈ N,

7

с метрикой
d∞(x, y) =
sup
1⩽i<∞
|xi − yi|.

1.5. Пространство C[a, b] непрерывных функций на отрезке
[a, b] с метрикой

d(x, y) = max
a⩽t⩽b |x(t) − y(t)|.

Определение 1.2. Открытым шаром Br(x) с центром в точке x ∈ X радиуса r > 0 называется множество

Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r}.

Определение 1.3. Множество M ⊆ X называется открытым, если любая точка этого множества принадлежит ему вместе
с некоторым шаром:

∀ x ∈ M
∃ r > 0
Br(x) ⊂ M.

Определение 1.4. Множество M ⊆ X называется замкнутым, если его дополнение до всего пространства X \M открыто.

Пустое множество ∅ и все пространство X одновременно открыты и замкнуты.

Определение 1.5. Точка x ∈ X является предельной точкой множества
M ⊆ X , если в любом шаре Br(x) содержится
бесконечное число точек множества M .

Определение 1.6. Замыканием
¯
M множества M ⊆ X называется объединение точек из M и всех его предельных точек.

Определение 1.7. Подмножество M метрического пространства X называется всюду плотным в X , если

¯
M = X.

Это условие означает, что для любого x ∈ X и любого ε > 0
существует a ∈ M такой, что d(x, a) < ε .

Определение 1.8. Метрическое пространство (X, d) называется сепарабельным,
если в нем существует счетное всюду
плотное подмножество.

8

Задачи

1.1. Проверить аксиомы метрического пространства для примеров 1.3–1.5.

1.2. Пространство всех числовых последовательностей, не обязательно ограниченных, обозначаем через s . Доказать, что функция

d(x, y) =

∞
i=1

1
2i
|xi − yi|

1 + |xi − yi|
задает метрику в пространстве s .

1.3. Пусть числовая функция f(t) определена на полуоси
[0, ∞) и удовлетворяет следующим условиям:
а) f(0) = 0 ;
б) f(t) строго монотонно возрастает;
в) f(t) является вогнутой:

αf(t) + (1 − α)f(s) ⩽ f(αt + (1 − α)s),
α ∈ [0, 1].

Доказать, что функция d(x, y) = f(|x − y|) задает метрику на
прямой R .

1.4. Пусть (X1, d1) и (X2, d2) — метрические пространства.
Доказать, что следующие функции задают метрику на пространстве пар (прямом произведении) X1 × X2 :
а) d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2) ,
б)
˜d(x, y) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)} ,
где x = (x1, x2) ∈ X1 × X2 и y = (y1, y2) ∈ X1 × X2 .

1.5. Доказать, что множество ℓ+
2 = {x ∈ ℓ2, x = (x1, x2, . . . ) :
xn > 0} не имеет внутренних точек (и следовательно не является
открытым) в отличие от аналогичного множества в пространстве
Rn .

1.6. Доказать, что параллелепипед Π = {x ∈ ℓ2, x = (x1, x2, . . . ) :
|xn| < 1} является открытым множеством.

1.7. Указать необходимое и достаточное условие для последовательности чисел an ∈ R , при котором параллелепипед

Π = {x ∈ ℓ2, x = (x1, x2, . . . ) : |xn| < an}

9

является открытым множеством.

1.8. Пусть X — произвольное множество. Функция

d(x, y) =

0,
x = y,
1,
x ̸= y,

называется дискретной метрикой
на множестве X . Доказать,
что замыкание единичного шара B1(x) не совпадает с «замкнутым единичным шаром», то есть B1(x) ̸= {y ∈ X : d(x, y) ⩽ 1} .

1.9. Показать, что пространство ℓ2 сепарабельно.

1.10. Показать, что пространство C[a, b] сепарабельно.

1.11. Пусть (X, d) — метрическое пространство с дискретной метрикой (см. задачу 1.8). Доказать, что это пространство
сепарабельно тогда и только тогда, когда множество X счетно.

1.12. Показать, что пространство ℓ∞ не сепарабельно.

Решения и указания

1.1. Покажем, что ℓ∞ — метрическое пространство. Нетрудно видеть, что аксиомы 1) и 2) функции расстояния выполнены.
Проверим, что выполнено неравенство треугольника. Для произвольного i ∈ N имеем

|xi − yi| ⩽ |xi − zi| + |zi − yi|.

Тем более верно

|xi − yi| ⩽ sup
i
|xi − zi| + sup
i
|zi − yi|.

Переходя к точной верхней грани по i в левой части неравенства,
получаем

sup
i
|xi − yi| ⩽ sup
i
|xi − zi| + sup
i
|zi − yi|,

то есть
d(x, y) ⩽ d(x, z) + d(z, y).

Таким образом, выполнена аксиома 3).

10

1.2. Функция d(x, y) определена для любых последовательностей x и y . Действительно,

∞
i=1

1
2i
|xi − yi|

1 + |xi − yi| ⩽

∞
i=1

1
2i < ∞.

Справедливость аксиом 1) и 2) очевидна. Проверим выполнение
аксиомы 3). Для этого рассмотрим функцию

f(t) =
t

1 + t.

При t > 0 функция f(t) возрастает. Поэтому из |a+b| ⩽ |a|+|b|
следует
f(|a + b|) ⩽ f(|a| + |b|).

Записывая это неравенство в явном виде, получаем

|a + b|

1 + |a + b| ⩽
|a| + |b|

1 + |a| + |b| =

=
|a|

1 + |a| + |b| +
|b|

1 + |a| + |b| ⩽
|a|

1 + |a| +
|b|

1 + |b|.

Полагая a = xi − zi и b = zi − yi , имеем

|xi − yi|

1 + |xi − yi| ⩽
|xi − zi|

1 + |xi − zi| +
|zi − yi|

1 + |zi − yi|.

Умножая обе части неравенства на
1
2i и суммируя по всем i ,
получаем неравенство треугольника.

1.3. Вогнутая монотонная функция обладает свойством «насыщения»: приращение функции на отрезке длины |a| тем меньше, чем правее от нуля находится отрезок (рис. 1.1):

f(|a| + |b|) − f(|b|) ⩽ f(|a|) − f(0),

где a, b ∈ R произвольны. С учетом f(0) = 0 получаем

f(|a| + |b|) ⩽ f(|a|) + f(|b|).

Отсюда, используя неравенство |a + b| ⩽ |a| + |b| и монотонность
функции f(t) , находим

f(|a + b|) ⩽ f(|a| + |b|) ⩽ f(|a|) + f(|b|).

11