Методы решений уравнений и неравенств с параметрами. Пособие для учителя

В.И. ГОРБАЧЕВ





                МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ




ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

Учебное пособие













Москва
ИНФРА-М
2019

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Г67

 ФЗ №  Издание не подлежит маркировке 
436-ФЗ в соответствии с п.1 ч. 2 ст. 1

Министерство образования Российской Федерации Брянский государственный педагогический университет имени академика И.Г. Петровского

     Рецензенты:
          С.В. Путилов — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры БГПУ;
          Н.М. Руденкова — заведующий кабинетом математики БИПКРО, заслуженный учитель Российской Федерации



        Горбачев В.И.
Г67 Методы решения уравнений и неравенств с параметрами. Пособие для учителя : учеб. пособие / В.И. Горбачев. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 115 с.

        ISBN 978-5-16-107752-8 (online)

           В пособии исследуются методы решения уравнений и неравенств с параметрами всех видов школьного курса математики: не выше n -ой степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических. Методы решения обоснованы примерами уравнений и неравенств с одним и двумя параметрами, необходимым перечнем упражнений.
           Пособие предназначено учителям математики всех типов общеобразовательных учреждений, студентам педагогических вузов, абитуриентам.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73





     ISBN 978-5-16-107752-8 (online)


© Горбачев В.И., 2019

Предисловие
   Уравнения и неравенства с параметрами стали обязательным элементом содержания конкурсных экзаменов во многие вузы России, итоговой аттестации учащихся по математике всех типов общеобразовательных учреждений не случайно С одной стороны, задачи с параметрами, как естественное обобщение уравнений и неравенств с переменной, позволяют установить более глубокую связь с изучаемыми классами функций, примеры школьных алгоритмов расширить до уровня алгоритмических схем. С другой стороны, данный класс задач, как один из наиболее сложных в логическом и техническом планах раздел элементарной математики, обеспечивает развитие исследовательских способностей учащихся, формирование их высокой математической культуры.
   В настоящее время изданы пособия В. К. Маркова [22], П. И. Горнштейна, В. Б. Полонского, М. С. Якира [11], В. В. Амелькина, В. Л. Рабцевича [1], Е. М. Родионова [28], С. А. Тынянкина [27], Г. А. Ястребинецкого [35], посвященные решению уравнений и неравенств с параметрами, используемых в качестве конкурсных в ведущих вузах. При всех различиях целей включения задач с параметрами, уровня их сложности, используемых аналитических и графических способов решения, в каждом из пособий имеется ряд общих черт, существенно ограничивающих их использование в практике работы учителей математики. Во-первых, решение уравнений и неравенств опирается на интуитивную систему понятий, весьма неполную и противоречивую, ограничивающую набор задач с параметрами, приводящую к поиску частных способов решения, вне общих закономерностей. Во-вторых, предполагается, что в ходе решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами у учащихся будет сформирован метод решений определенного класса, то есть понятийное обобщение - наиболее сложный этап мыслительной деятельности - отводится конкретному учащемуся. В-третьих, каждое уравнение или неравенство рассматривается обособленно, лишь в рамках сравнения с другими изолированными примерами, вне понятийной формы знания, формируя эмпирический тип мышления.
    В рамках обновления содержания школьного математического образования, связанного с дифференциацией общеобразовательных учреждений, гуманитарной

направленностью обучения математике формируется новая содержательно-методическая линия уравнений и неравенств с параметрами (А. Г. Мордкович), включающая отбор содержания задач с параметрами, обеспечивающего развитие конкретных способностей учащихся, разработку технологии обучения, направленной на формирование теоретического типа мышления. Указанная методическая система из сферы теоретических дискуссий перешла в сферу научно-методических разработок, практику работы каждого учителя математики:
    -  Уравнения и неравенства не выше первой и второй степеней составляют обширный класс задач «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школ России»;
    -  Проектом «стандарта среднего математического образования» предусмотрено изучение программного материала, дающего возможность усвоения учащимися основной школы решения уравнений с параметрами, сводящихся к линейным и квадратным, а в старшей школе - усвоить общую схему решения уравнений, неравенств, систем с параметрами.
    Предлагаемое пособие для учителя направлено на формирование общих методов решения всех видов уравнений и неравенств с параметрами, изучаемых в школьном курсе математики. В отличие от указанных выше пособий, в пособии на понятийной основе явным образом указываются учебные действия метода решения каждого класса задач. Общий характер метода подтверждается решением уравнений и неравенств кат е одним, так и с двумя параметрами. Предлагаемый спектр задач с параметрами достаточен для формирования у учащихся умственной формы методов решения всех видов уравнений и неравенств с параметрами.
    Реализуемая в пособии технология обучения позволяет не только подготовить учащихся к решению задач с параметрами на уровне государственных требований, но и обеспечить их самостоятельное решение конкурсных задач, . предлагаемых на вступительных экзаменах в ведущие вузы России.

Глава 1. Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами
     Начиная с шестидесятых годов в содержание вступительных экзаменов в вузы включаются уравнения и неравенства, содержащие параметры. Высоко оценивая развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами, профессор А. Г Мордкович выдвинул идею внедрения линии параметров в содержание школьного курса математики.
     Основанием для реализации этой идеи является разработка системы понятий и поиск методов решения уравнений и неравенств с параметрами данного вида (линейных, рациональных и т. д.)
     Для каждого вида уравнений и неравенств школьного курса математики установим общий метод решения свответствующих уравнений и неравенств с параметрами - единый как для одного, так и для двух параметров.
     Метод решения всякого уравнения с параметрами данного вида, в свою очередь, выведем из обобщенной схемы решения произвольных уравнений F(a,x) = 0 или F(a,b,x) = 0 с одним, соответственно, двумя параметрами. Разработка методов решения неравенств с параметрами проводятся аналогичным образом: через систему понятий формулируется обобщенная схема решения, которая в каждом виде неравенств конкретизируется в виде общего метода.

    1. 1. Основные понятия уравнений с параметрами

     В уравнении F(x, у) = 0 с двумя переменными х и у фиксированному значению х = а₀ соответствует частное уравнение F(a₀,y)= Ос переменной у. Если by,b₂,...,bₜ-все решения частного уравнения F(aₐ,y) = O, го (а₀,6₁),(а₀,Л₂),...,(а₀,Л₄.)- все решения уравнения F(x,y) = O с первой координатой, равной аа. Изменяя значения х = я и решая соответствующие частные уравнения /⁷(а|,>') = 0, получим другие решения исходного уравнения F(x,y) = 0.
     Поставим задачу: для каждого значения х = а, переменной х решить соответствующее частное уравнение F(a, ,y) = 0 с переменной у В такой постановке переменная х называется параметром, совокупность всех частных уравнений представлена в обшей форме F(a,y) = 0, где а - произвольное фиксированное значение переменной х.
     Ясно, что переход от уравнения F(x,y) = 0 с двумя переменными х и у к уравнению F(a,y) = 0 с параметром а и переменной у есть способ перечисления всех решений в зависимости от значений первых координат. Поиск всех решений уравнения F(x,y) = 0 в зависимости от фиксированных значений вторых координат у = Ь приводит к уравнению F(x,6) = 0 с параметром b и переменной х. Например, уравнение с двумя переменными
           •                  х-1 ух —1         1-х „
2(у²+2у) Щу + 2) 7 у
в зависимости от постановки задачи может рассматриваться с двух позиций.
     1 . Как линейное уравнение с параметром b и переменной х х-1 bx -1                               1-х Л
2(Ъ²+2Ъ) 14(Л + 2) 7Ь
го есть как совокупность частных уравнений вида

х —1   х-1 1-х              х-1 х+1    1-х „
        ~6-----^⁺~7~ ⁼ °    ПАяЬ=\, -^у + —------“=0    для i = —1 и т. д. >
     2  Как рациональное уравнение с параметром а и переменной у а-1 ау-1 1-а л -------------------------------------+------= О, 2(y²+2j) 140 + 2) 7у
то есть как совокупность частных уравнений вида у — 1                            2        v +1   2
      — —------- = 0 для а 1,-----------1------------- 0 для а = — 1 и т д
        14СУ + 2)             2(у +2у) 14O- + 2) 7у
    Аналогично, уравнение F(a,b,x) = O с тремя переменными а, b и х называется уравнением с параметрами а и Ъ и переменной х, если для каждой упорядоченной пары значений переменных а и Л необходимо решить соответствующее частное уравнение относительно переменной х. Так, уравнение с тремя переменными х,у и z y(yx-2)-x(4 + z)                                            _
---------------------= 1 удобнее всего рассматривать как линейное уравнение z-y-2 а(ах - 2) ~ х(4 + b)-_
———-------------= 1 с параметрами а и Ь и переменной х, то есть как совокупность
     Ь-а-2

частных уравнений первой степени для конкретных значений а и Ь.
     В уравнении F(a, х) = 0 с параметром а и переменной х частные уравнения F(aₗ,x) = O могут быть определены не для всех значений параметра. Например, в

уравнении ^(а-1)х+а =

1

частные уравнения не определены для а, €(-«,3];

_    .           - .                 {а|ае(-<ю,3]}    . ,   „
Этот факт в краткой форме имеет вид                 и {а | а с (3,-н»)} - область
не определено
допустимых значений параметра. В общем .случае, область допустимых значения параметра уравнения F(a, х) = 0 есть множество всех значений параметра, для

которых частные уравнения определены.
■Jx-a-ЗЬ
    Аналогично, в уравнении--------                             . а-Ь

л/9-л² -Ьг с параметрами а и b частные

уравнения не определены для значений параметров, принадлежащих множеству = {(а,Ь)\а = Ь} точек прямой Ь=а и множеству А₂ ~{(а,Ь)\а² +Ь² >9}. точек

плоскости ОаЬ вне круга

b

Ь-а

а

Тогда область допустимых значений параметров- {(а,Ь)\а² +Ь² <,9,Ь*а}.
    В уравнении F(a, х) = 0 с параметром с и переменной х возможны ограничения как на множество значений параметра, так и на множество значений переменной. Так, в уравнении ^/(а-1)х + о = ¹ ■ для допустимого значения параметра а, € (3,+ос)
                       Va-3

а<
область определения частного уравнения имеет вид < х х е-------                                                            а, -I

■. В связи с

этим имеет смысл говорить об области определения уравнения F(a, х) = 0 как о множестве всех упорядоченных пар (а,,х) где а — а₍ принадлежит области допустимых значений параметра, а х принадлежит области определения соответствующего частного уравнения F(aₜ,x) = 0. В приведенном выше уравнении
I                           р
область определения имеет вид ((а,х)а е (3,-ню),хе--,+ао И.
                                                 а-1     )\

     „                         >1х-а-ЗЬ п------i 71
     В иррациональном уравнении -------:=у9-а -о' область определения -
а-Ь

{(а,Ь,х)\а * Ъ,а² +Ь² < 9,х > а + ЗЬ}.
      Уравнение F(a,x) = 0 с параметром а и переменной х есть бесконечная совокупность частных уравнений F(aᵢ,x) = <3 для допустимых значений а = а параметра. Решение уравнения F(a, х) = 0 осуществляется в два этапа:
     1)  разбиение совокупности всех частных уравнений на непересекающиеся типы;
     2)  поиск общих решений частных уравнений каждого типа.
     В процессе разбиения частных уравнений выделяются:
     -  совокупность особых частных уравнений типа 0 - все ложные числовые

равенства;
      -       совокупность особых частных уравнений типа оо - все истинные числовые равенства;
     -  тип неособых частных уравнений, не имеющих решений;
      -       типы (один или несколько) частных уравнений с одинаковыми общими решениями.
      Пример 1. В линейном уравнении (в³ -4я)х = а + 2 с параметром а и переменной х значению а = 0 и а = 2 соответствуют особые частные уравнения типа 0, для а =-2 частное уравнение 0-х = 0 является особым типа а>. Значениям параметра из множества Ак = {а | а 6 (~»,-2) U (-2,0) U (0,2) U (2,-ню)} соответствует тип неособых частных уравнений с общими решением х =---i—- Итак, результатом
                                                      а(а - 2)
классификации частных уравнений является ответ, представленный в компактной форме

{а|а = 0;2} {а\а = -2} типа 0 ’ типа оо

                                                   а(я-2)
      Пример 2. В уравнении (а - 2b)(ab - 1)х = (а - 2Л)(2я + ЗЬ) с параметрами а и b и переменной х всем точкам прямой а = 2Ь соответствуют частные уравнения 0 ■ х = 0 типа оо, точкам гиперболы ab = 1, отличным от точек прямой а = 2Ь, соответствует ,                                (а² -2)(2а² +3)
тип особых частных уравнений 0-х = ----с отличной от нуля правой
                                        а частью. Для остальных точек плоскости

{(a,b)\a = 2b} {(a,b)\ab = \a *2Ь] {(a,b)\ab*l, a*2b} типа oo ’ типа 0                      f    2д + ЗЛ1
                                     <xx = — > [ ab-1 J

     Пример 3. В квадратном уравнении хг -2(а-1)х+д + 5 = 0 с параметром а и переменной х ни одно из частных уравнений не является особым типа 0 или типа ®. Дискриминант D = а² - За - 4 обращается в нуль для значений а = -1 и а = 4, причем D<0 для ае(-1,4) и £>>0 для ae(-oo,-l)U(4,+®). Тогда совокупность всех частных уравнений разбивается на три типа:
     —       тип J неособых частных уравнений, не имеющих решений в множестве всех действительных чисел и соответствующих значениям параметра из Л, ={а|ае(-1,4)};
     -      тип К неособых частных уравнений, имеющих двукратные корни вида f(a) = а -1 и соответствующих множеству Ак = {а | а = -1’4};
     -      тип L неособых частных уравнений, имеющих различные общие решения /,(в) = (а-1)-7а² -Зе-4 и /г(е) = (а-1)+з/о² -Зе-4 на множестве Aₗ = {а | а е (-®,-1) U (4,+®)}.
     Проведенная классификация дает ответ:
{а| Д€(-1,4)}      {q|g=—1;4}      __________{а | а е (—оо,—1) Ц (4,+со)}_
решений нет ’ {х|х = а +1 -дв. корень]' {х|х = а-1—/в²-За-4, х=д-1+л/о²-За - 4}
     В примерах 1-3 обратим внимание на следующие факты:
     1.      Разбиение частных уравнений на типы осуществляется выделением облагтей однотипности в множестве допустимых значений параметров В уравнениях с одним < параметром выделение областей проводится некоторыми точками - контрольными значениями параметра (а = О и а = ±2 - в примере 1, а = -1 и а =; 4 - в примере 3). В уравнениях с двумя параметрами области однотипности выделяются линиями контрольных значений параметров (а = 2Ь и ab = l - в примере 2). В любом случае контрольные значения находятся из уравнений с одним или двумя параметрами
     2.      Для типов неособых частных уравнений, находятся общие решения -определенные функции, зависящие от параметров. При этом тип частных уравнений характеризуется либо одним общим решением (примеры 1 и 2), либо - несколькими (пример 3).
    Определение. В уравнении F(a, х) = 0 с параметром а и переменной х функция х = f (а) называется общим решением на множестве А г значений параметра, если для любого aₜ &Af значение х = fia^ является решением частного уравнения F(aᵢ.x) = 0.
    В определении общего решения важен не только вщ. функции х = /(а), но и

множество Аг соответствующих значений параметра. Для уравнения F(a,A,x) = 0 с двумя параметрами в качестве общих решений выступают функции х = /(а, Ь) на множестве Af = {(aⱼ,bₜ)\F(aₗᵣbᵢ,f(aᵢ,bᵢ)) = O}.
     На конкретном примере рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений
     Пример 4. В рациональном уравнений
(х-|а-3|)(х-|а + 1|) ₌ ₀
х - 2+1 а -11
функция /х(а)=\а-3\ является общим решением для тех значений параметра, для которых | а - 3 | -2+ | а -10 . Поскольку
                                      2(1 -а), если as (-°о,1)
|a-3|-2+|a-i|=-0, если ае[1,3]
                                      2(а - 3), е с л и а £ (3,-ню),
то х = /₁(а) - общее решение уравнения на Afᵢ -{a|ae(-oo,l)U(3,-H»)}. Функция f,(a)=\a + \\ есть общее решение уравнения на множестве А^ = {а|| a + l| -2+|a-1|* 0} = {a\a e (-<x3,-l)U(l,-и»)}. Построим модель общих


решений в следующем виде.

х = f₂(a) х = Л(а)


                          -1 i              3
На модели выделяем все типы частных уравнений:

а

          {а I а = П {а|ае[-1,1)} {аг| де(1,3]} {o|o€(-co,-1)U(3,-hx>)} решений нет' {х|х=|а-3|}’ {х|х=|а + 1|}’ {х|х=|а-3|,х=|а + 1|}
     Итак, на простых примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений, область определения, общие решения, контрольные значения параметров, типы частных уравнений. Способы их нахождения будут устанавливаться в каждом виде уравнений отдельно.
     На базе введенных понятий определим общую схему решения всякого уравнения F(a, х) = О с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):
      -        устанавливаются область допустимых значений параметра, область определения;
          определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности;
      -        для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
      -        находятся общие решения x = /₁(a),...,/ₜ.(a) уравнения F(a,x) = 0 на соответствующих множествах А^,...,А^ значений параметра;
          составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде                                         х _ j


                                                                  X = /₂<“)
                                                                  X = /lW

а₂ а.

а,

а

-       на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми ‘общими решениями (области однотипности);                            *
     -       для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных уравнений.


    1.2.Оснавные понятия неравенств с параметрами


    В неравенстве F(x,y) < 0 с двумя переменными х и у фиксированному значению х = а₀ соответствует частное неравенство F(a₀,y)<0 с переменной у. Пусть y<=(bₓ,b₂) - решение частного неравенства F(a„,y) <0, тогда {(о₀, у) | ye. , Ьг )} -множество всех решений неравенства F(x,y) < 0, расположенных на прямой х = а₀, Множества решений других частных неравенств F(aₜ,y) < 0 определяют все решения исходного неравенства на прямых х = в₍.

     Поставим задачу: для каждого значения х = а,. переменной х решить соответствующее частное неравенство F(aₜ ,у)<0 с переменной у. В такой постановке переменная х называется параметром, совокупность всех частных неравенств представлена в общем виде F(a,y) <0, где а - произвольное фиксированное значение переменной х.

    Множество всех решений неравенства F(x,y) < 0 изобразим схематично точками заштрихованной области D. Тогда решение неравенства F(a,x) < 0 с параметром а

и переменной х как совокупности частных неравенств F(a, ,у) < 0 есть способ перечисления всех точек области D, следуя по вертикалям х = а,.
     Поиск всех решений неравенства F(x,y) < 0 как совокупности частных неравенств F(x,i,)<0 для значений у-Ьх приводит к неравенству F(x,b)<0 с параметром b и переменной х. В такой постановке перечисление точек области D осуществляется по горизонталям у = bf.
     Для каждого из неравенств F(a,x)<0 и F(a,b,x)<0 с одним и двумя параметрами имеются соответствующие уравнения F(a,x) = 0 и F(a,b,x) = 0. Соответствие между уравнениями и неравенствами с параметрами позволяет очевидным образом определить область допустимых значений и область определения неравенства с параметрами. Областью допустимых значений параметров а н b (областью определения) неравенства F(a,b,x)<0 называется область допустимых значений параметров (область определения) соответствующего уравнения F(a,b, х) = 0. Аналогичны определения и для неравенств с одним параметром
     По определению неравенство F(a,x)<0 с параметром а и переменной х есть бесконечная совокупность частных неравенств для допустимых значений параметра.
     Как и в случае уравнений проведем их классификацию:
     -       выделяются все истинные ’меловые неравенства - особые частные . неравенства типа ос;
     -       выделяются все ложные числовые неравенства - особые частные неравенства типа 0;
     -      выделяется тип неособых частных неравенств, не имеющих решений;