Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами

В.И. ГОРБАЧЕВ




ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ И ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ С ПАРАМЕТРАМИ

Учебное пособие







Москва ИНФРА-М 2019

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
Г67

 ФЗ №  Издание не подлежит маркировке  
436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Министерство общего и профессионального образования РФ Брянский государственный педагогический университет имени академика И.Г. Петровского

     Рецензенты:
          В.А. Ведерников — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры БГПУ;
          А.П. Тонких — кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой теории и методики преподавания дисциплин естественно-математического цикла БИПКРО


     Горбачев В.И.

Г67 Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами : учеб. пособие / В.И. Горбачев. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 263 с.

     ISBN 978-5-16-107747-4 (online)

           В пособии вводятся базовые понятия теории уравнений и неравенств с параметрами, в общем виде исследуются все возможные типы частных уравнений и неравенств. Разработаны общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами школьного типа (линейных, квадратных, не выше n-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических).
           Пособие предназначено учащимся математических классов, гимназий, лицеев, студентам математических специальностей педвузов, учителям математики образовательных учреждений.

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73



      ISBN 978-5-16-107747-4 (online)


© Горбачев В.И., 2019

Предисловие
    В практике конкурсных экзаменов задачи с параметрами возникли как естественное обобщение уравнений и неравенств с одной переменной:
    -     для конкретных значений параметров частные уравнения и неравенства - обычные уравнения и неравенства с переменной, изучаемые в школьном курсе;
    -     методы решения частных уравнений и неравенств определяют общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами.
    В вузах с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов умение решать задачи с параметрами рассматривается как признак высокой математической культуры, свидетельство развитых исследовательских способностей абитуриентов, залог успешного усвоения ими современных естественно-научных курсов.
    Предлагаемые на вступительных испытаниях уравнения и неравенства с параметрами, обеспечивая конкурсный отбор, интенсивно усложняются, становятся уникальными по постановке задачи, используемым методам решения. Учебные пособия, ориентированные на задачи такого уровня, в большей степени объясняют их решение, и в меньшей - обеспечивают формирование общих методов исследования. В процессе решения используются понятия, не имеющие четких математических определений, что лишь осложняет возможность самостоятельного овладения методами решения данного класса задач.
    Возникнув из практики вступительных испытаний, уравнения и неравенства. с параметрами в силу своей значимости в развитии учащихся становятся объектом пристального изучения учителей, ученых, исследующих содержание школьного образования. В пособиях для обучения математике в профильных классах, в материалах факультативных курсов задачи с параметрами рассматриваются уже как обязательные для усвоения.
    Большой фактический материал, накопленный за более чем тридцатилетнюю историю исследования уравнений и неравенств с параметрами, позволяет ставить задачи разработки общей теории, методов решения, включения линии параметров в содержание школьного курса математики.
    Цель настоящего пособия - разработка системы базовых понятий теории, классификация частных уравнений и неравенств по типам, поиск общих методов решения конкретных видов уравнений и неравенств с параметрами.
    Пособие состоит из четырех глав, разделенных на соответствующие пункты.
    В главе 1 рассматриваются основные понятия уравнений с параметрами - область определения, равносильность, общее решение, типы частных уравнений, контрольные и граничные значения параметров. Абстрактный характер понятий конкретизируется разнообразными примерами, графическими иллюстрациями. Глава 2 посвящена исследованию неравенств с параметрами. В приведенных определениях прослеживается четкая аналогия между базовыми понятиями уравнений и неравенств с параметрами. Введенные отношения однотипности на множествах частных уравнений, неравенств позволяют получить характеристики типов в зависимости от общих решений на определенных множествах значений параметров. Основная цель главы 3 - исследовать все возможные типы в уравнениях и неравенствах следующих видов: не выше n-ой степени, рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических. Классификация частных уравнений и неравенств осуществляется поиском граничных значений параметров, выделяющих области однотипности. Ввиду аналогии теоремы в уравнениях и неравенствах с двумя параметрами лишь формулируются.
    В главе 4 для каждого вида уравнений и неравенств формулируется общая схема

3

решения, вытекающая из теории равносильных преобразований, теорем о граничных значениях параметров. В качестве коэффициентов при переменной в уравнениях используются элементарные функции одного или двух параметров, чем достигается максимальная общность установленных методов решения. Приведенные схемы реализуются на разнообразных примерах, охватывающих весь спектр возможных уравнений и неравенств данного вида. Существенную роль в осознании процесса решения играет система наглядных средств - графики, схемы, таблицы. В каждом пункте рассматривается функционально-графический метод решения уравнений и неравенств данного вида, представленный также в виде общих схем.
    Многие из предложенных примеров представляют собой самостоятельную учебноисследовательскую задачу. Такая задача может быть легко преобразована в серию задач различной степени сложности - от частных уравнений для конкретных точек, до задачи с одинаковым условием, но на разных областях значений параметров. В каждом из пунктов приведено достаточное число примеров для организации самостоятельной учебной работы, проведения контрольных испытаний.
    В пособии предложено дедуктивное построение теории уравнений и неравенств с параметрами - вначале вводятся абстрактные понятия, в теоремах устанавливаются возможные типы частных уравнений и неравенств, и затем в конкретных примерах проводится исследование. Предложенный способ изложения формирует теоретический способ усвоения знаний, он апробирован на учебных занятиях со студентами, учителями, учащимися.
    На взгляд автора, изложенные в пособии понятия, методы, примеры окажут существенную помощь в формировании математической культуры учащихся, в частности, в успешном решении ими заданий вступительных испытаний и не обязательно с параметрами. В то же время на базе пособия могут создаваться конкурсные задачи с параметрами еще большей сложности как за счет комплексной постановки, так и использованием в уравнениях и неравенствах композиции элементарных функций. Новые ступени знаний расширяют их горизонт, но это - еще один аспект развития

Введение

    Параметр (от греческого слова parametron - отмеривающий) - величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.
    Исследование многих систем, процессов в жизни осуществляется с использованием параметров. Если для движущегося тела указан закон движения, то его положение в пространстве полностью определяется параметром времени. В изолированном сосуде данного объема давление газа характеризуется параметром температуры. В качестве параметра для оценки состояния спортсмена тренером используется частота сердечных сокращений. Состояние больного врач-терапевт определяет с помощью параметров температуры, давления. Для функции ху = к в качестве параметра выступает коэффициент к обратной пропорциональности. Общим для всех примеров является выделение некоторых характеристик систем, по изменениям которых оценивается состояние всей системы.
    В физике использование параметров - один из важных методов исследования физических явлений, процессов. В механических системах в качестве параметров выступает время, коэффициент трения, момент инерции, для тепловых процессов параметрами служат температура, теплоемкость, энтропия, из электрических параметров наиболее характерны сопротивление, индуктивность, емкость.
    В математике параметры вводятся для обозначения некоторой совокупности объектов. Так, уравнение (х. - а)² + (у - Ь)² = с² с параметрами а, Ь, с определяет совокупность всех окружностей, для с = 1 уравнение (х - а)² + (у- Ь)² =1 охватывает все

окружности радиуса 1; значениями а = 2, с = 1 определяются окружности радиуса 1 с центром на прямой а = 2 . В школьном курсе математики функции

у = ах + Ъ,

а
х -Ь’

у = ах² +Ьх +с, у = o', у = Iog„x

У =

определяют бесконечные совокупности частных функций для конкретных значений параметров а,Ь,с При этом общее исследование функций сводится к классификации частных функций с одинаковыми свойствами (область определения, область значений, монотонность и т. д. ). В записи любой из функций, например, у -ах + Ь, параметры а и b могут быть функциями некоторой переменной t вида а= f(f), b= h(t) Тогда у = f (t)x + /г(Г) - линейная функция с параметром t и переменной х, то есть совокупность частных линейных функций для конкретных значений t.
    Параметр, как характеристика системы, процесса, множества объектов, может быть переменной величиной или принимать постоянные значения. Так, параметры состояния (температура, давление, плотность) в условиях термодинамического равновесия не зависят от времени, в йеравновесном процессе они с течением времени изменяются Для некоторого вещества массой т с изменением его температуры от /, до t₂ количество

теплоты Q = cm(t₂ -t}) определяется параметром с - удельной теплоемкостью. При этом

с - постоянная величина для тел, состоящих из одного и того же вещества, для различных веществ значения с изменяются.
    Двойственная природа параметров физических процессов (постоянная величина-переменнная величина) проявляется в математике, но с определенной спецификой. Для функции у = значениям параметра а = 2, а=3, а= д/7 соответствуют частные ,                                                   ,             111
показательные функции, свойства которых одинаковы Значениям а~~^' а⁼у' а~^]= соответствуют частные функции другого типа, но также с одинаковыми свойствами. Это

5

позволяет рассматривать параметр а на каждом из множеств {о|а>1} и {<аг|« < 1} в отдельности как постоянную величину и при переходе значений параметра от одного множества к другому - как переменную величину. В обоих случаях реализуется главная особенность параметров - различение объектов множества.
    В учебном пособии Г. А. Ястребинецкого “Уравнения и неравенства, содержащие параметры” параметр рассматривается как переменная, которая при решении уравнений и неравенств считается постоянной величиной. В сборнике “514 задач с параметрами” под редакцией С. А. Тынянкина параметры - величины, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными, причем параметры могут принимать произвольные значения. Аналогичный взгляд на параметры изложен в книге П. И. Горнштейна, В. Б. Полонского, М. С. Якира ’’Задачи с параметрами”: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет общаться с параметром как с числом, а во-вторых - степень свободы ограничивается его неизвестностью.
    В каждом из описаний природы параметров, на наш взгляд, имеется неопределенность - на каких этапах решения параметр может рассматриваться в качестве константы и когда параметр играет роль переменной величины.
    В предлагаемом учебном пособии уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются как уравнения и неравенства с несколькими переменными, при этом в качестве параметра может быть выбрана любая из переменных. Если переменные а, Ь выбраны в качестве параметров, то уравнение F(a,/>,x) = 0 обозначает общую форму записи всевозможных частных уравнений вида F(aᵢ,bⱼ,x) = 0 с переменной х для конкретных значений а = af и b = bⱼ Аналогично, неравенство F(a,x) < 0 с параметром а и переменной х есть бесконечная совокупность частных неравенств F(aₗ,x)<0 для допустимых значений а = а, параметра. Частные уравнения и неравенства с одной переменной, в зависимости от общих решений, разбиваются на типы. Каждому типу соответствует определенное множество значений параметров, на котором параметры могут рассматриваться как постоянные величины. Действительно, на выделенном множестве методы решения, характер ответа остаются неизменными и с этих позиций частные уравнения и неравенства между собой не различаются. Однако совокупность всех частных уравнений (неравенств) как правило разбивается на несколько типов, их выделение осуществляется с помощью параметров, рассматриваемых как переменные величины. Таким образом, введение параметров представляет способ решения уравнений и неравенств с несколькими переменными как бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с одной переменной.
    Главная особенность задач с параметрами - ветвление решения в зависимости от значений параметров Другими словами, процесс решения осуществляется классификацией частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском общих решений каждого типа. В основу классификации положены теория равносильных преобразований уравнений и неравенств, теоремы о граничных значениях параметров Построение "картины" граничных значений параметров и выделяемых ими областей однотипности - составная часть выделения и исследования каждого типа частных уравнений и неравенств.
    Одновременное решение бесконечной совокупности частных уравнений или неравенств с учетом требования равносильности преобразований возможно лишь при выработке умений и развитии достаточного уровня логического мышления. С другой стороны - формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительный прогресс в развитии математической культуры учащихся.

6

    Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется следующими факторами.
    1.      Разнообразие типов частных уравнений, неравенств требует владения соответствующими методами решения, использования значительного числа теоретических фактов. Этим обеспечивается постоянная актуализация знаний многих разделов математики, глубина их усвоения.
    2.      В процессе решения задач с параметрами одновременно проводится исследование конкретных типов частных уравнений, неравенств и поиск общего способа решения Осознание каждого этапа в общей схеме решения вместе с предвосхищением итогового результата формируют исследовательские умения, востребованные во всех отраслях научных знаний.
    3.      Процесс решения уравнения (неравенства) с параметрами - процесс равносильных преобразований совокупности частных уравнений (неравенств) для значений параметров из некоторой области. Граничные значения параметров выделяют области, на которых проводимые преобразования являются равносильными. Зрительные образы областей, граничных значений являются обязательным элементом логических рассуждений в ходе исследования. Использование условных графических изображений в качестве ориентиров учебной деятельности обеспечивает формирование теоретического способа усвоения знаний.
    Потребность развития учащихся, все большее использование уравнений и неравенств с параметрами в практике итоговых и вступительных испытаний определяют необходимость внедрения задач. с параметрами в содержание школьного курса математики. Один из путей включения линии параметров, основанный на базовых понятиях теории, общих методах решения, может быть реализован в соответствии с изложением главы 4 либо параллельно с изучением уравнений и неравенств с переменной, либо в форме специального курса.

Глава 1. Основы теории уравнений с параметрами

1. Постановка задачи

    Рассмотрим уравнение
                          у²х + 2ух + 2у = у² + Зх + 1                   (1)
с двумя переменными х и у. Его решениями являются упорядоченные пары чисел (а₀,/>₀), при подстановке которых вместо переменных х и у уравнение обращается в верное числовое равенство. Поиск всех решений уравнения (1) сложен, сведем его к известной задаче - решению уравнений с одной переменной.
    Для уравнения (1) рассмотрим частные уравнения, полученные для конкретных значений переменной х. Так, значению х = 1 соответствует частное уравнение у² +2у+2у = у² +3 + 1,
имеющее единственное решение у = 1. Значит (1,1) - решение уравнения (1) и других решений с первой координатой 1 в исходном уравнении нет. Пусть х = 2, соответствующее уравнение
2_у² +4у + 2у = у² +6+1
имеет два решения у = -2 и у = 1. Следовательно, (2,1) и (2,-7) - все решения уравнения (1) с первой координатой, равной 2.
    Поставим задачу: для каждого значения переменной х решить соответствующее частное уравнение с переменной у. В такой постановке переменная х называется параметром, совокупность всех частных уравнений для конкретных значений х представлена в общей форме
                          ay² + 2ay + 2у = у² + За +1,                   (2)
где а - произвольное фиксированное значение переменной х. Тогда поставленная задача имеет вид: решить уравнение (2) с параметром а и переменной у .
    Ясно, что переход от решения уравнения (1) с двумя переменными к решению уравнения (2) с параметром а и переменной у представляет собой способ перечисления всех решений (a₀,Z>₀) уравнения (1) в зависимости от значений первых координат.
    Определение. Уравнение F(a,x) = 0 с двумя переменными а и х называется уравнением с параметром а и переменной х, если для каждого значения переменной а необходимо решить соответствующее частное уравнение с переменной х.
    В рамках поставленной задачи уравнение Л’(а,х) = 0 с параметром а и переменной х есть совокупность частных уравнений с переменной х для значений параметра из некоторого множества В уравнении (2) параметр а принимает любые действительные значения, поэтому уравнение (2) означает бесконечную совокупность частных уравнений, каждое из которых в отдельности решить невозможно.
    Все же нереальность решения уравнения с двумя переменными как уравнения с параметром и переменной является кажущейся. Существуют общие методы, позволяющие одновременно решать бесконечную совокупность частных уравнений для значений параметра из некоторого промежутка.
    Отметим, что в уравнении (1) в качестве параметра можно выделить и переменную^, то есть для каждого значения переменной^ решить соответствующее частное уравнение с переменной х. Тогда уравнение (1) превращается в уравнение
                          Ь²х + 2Ьх + 2Ь = Ъ² +3х+ 1                     (3)
с параметром b и переменной х.

8

    Поскольку для конкретных значений параметра а в уравнении (2) частные уравнения будут чаще всего квадратными, а в уравнении (3) - для значений параметра b частные уравнения - линейные, то решение уравнения (1) как уравнения (3) с параметром b и переменной х, в зависимости от значений вторых координат решений, представляется более простым.
    Рассмотрим уравнение

                                       , у - Z     Z
zx² -------х - — = О
у + 1   у

(4)

с тремя переменными x,y,z. Решением уравнения (4) называется упорядоченная тройка (а₀,й₀,с₀) действительных чисел, при подстановке которых вместо переменных x,y,z уравнение обращается в верное числовое равенство. Задачу поиска всех решений уравнения (4) сформулируем в трех формах.
    1.     Для каждой упорядоченной пары значений (a₀,Z>₀) переменных х и у решить соответствующее частное уравнение с переменной z . В такой постановке х = а и у - Ь являются параметрами, а уравнение (4) - уравнением

г Ь-Z Z
                              crz------а — = 0
й + 1 Ъ

(5)

с параметрами а и h и переменной z.
    2.    Для каждой упорядоченной пары значений (а₀,с₀) переменных х и z решить соответствующее частное уравнение с переменной у . При этом переменные х = а и z = с становятся параметрами, а уравнение (4) превращается в уравнение
                           , у-с с ас------~а- — = 0                         (6)
                                У + 1 У с параметрами а и с и переменной у
    3.    Для каждой упорядоченной пары значений (Ь₀,с₀) переменных у и z решить соответствующее частное уравнение с переменной х . Тогда (4) - уравнение
, b-с с
СХ-^Х~Г°                                  ⁽⁷⁾
с параметрами b и с и переменной х.
    Таким образом, решение уравнения (4) с тремя переменными можно осуществить как решение одного из уравнений (5)-(7) с двумя параметрами и одной переменной При этом решение уравнения (4) сводится к решению совокупности частных уравнений для всевозможных упорядоченных пар действительных значений параметров.
    Определение. Уравнение F(a,b,x) = 0 с тремя переменными а, b и х называется уравнением с параметрами а и b и переменной х, если для каждой упорядоченной пары значений переменных а и Ь необходимо решить соответствующее частное уравнение относительно переменной х.
    Рассмотрение уравнений (1) и (4) как уравнений с параметрами и одной переменной позволяет установить их принципиальную общность - это бесконечные совокупности частных уравнений с одной переменной для конкретных значений параметров В дальнейшем общая постановка задачи позволит отыскать и методы решения уравнений с параметрами - единые для уравнений с одним и несколькими параметрами.
    Пусть F(a,x) = 0- уравнение с параметром а и переменной х. Его условное название (линейное, не выше второй степени, рациональное, логарифмическое и т.д.) определяется видом функции переменной х, входящей в уравнение. При конкретных значениях параметра соответствующие частные уравнения - обычные уравнения с одной переменой.

9

для которых эти названия общеприняты. Так, уравнение (2) - уравнение не выше второй степени с параметром а и переменной у, (3) - линейное уравнение с параметром Ь и переменной х.
    Аналогично, общий вид уравнения с несколькими параметрами также легко усматривается из условных названий соответствующих частных уравнений. Например, для уравнения (4) с тремя переменными имеем:
    - (5) - линейное уравнение с параметрами а и b и переменной z;
    - (6) - рациональное уравнение с параметрами а и с и переменной у;
    - (7) - уравнение не выше второй степени с параметрами b и с и переменной х.
    В дальнейшем те переменные уравнений, которые постановкой задачи выбираются в качестве параметров, условимся обозначать символами а,Ь,с,...,т,п. Для обозначения переменных используем привычную запись - х, у, z.
2. Область определения
    Уравнение /•’(«,.т) = 0 с параметром а и переменной х есть совокупность частных уравнений f(a,,x) = 0 для значений параметра а = а₍ из некоторого множества А. Так, рациональное уравнение
х-2а 3-2а 1 + а (а-3)х+а-1
х-а-3⁺ а+3 а-2 ⁺ (а-2)х+а
с параметром а и переменной х охватывает как частные уравнения
х+4     1 5х+3
        + 7 = - +-, х-1-------------4 4х+2



х-       1 3.V+1
         + 1 = -— +- х—3--------------2 2х
для значений параметра а = -2, а = 3, а = 0, так и множество других частных уравнений. Однако в уравнении (1) частные уравнения, соответствующие значениям параметра а =-3 и а = 2, не определены. Таким образом, уравнению (I) соответствует бесконечная совокупность частных уравнений для всех значений

числовой прямой, кроме а = -3 и а = 2.
    Определение. Областью допустимых значений параметра а уравнения F(a.x) = 6 называется множество всех значений параметра, для которых соответствующие частные уравнения определены.
    Как правило, уравнения с параметром рассматриваются на области допустимых значений параметра без специальных оговорок. Так, уравнение (I) рассматривается на множестве А = {а| а -З.а * 2} = {а,|а,- e(-oo,-3)U(-3,2)U(2,+oo)|.
В иррациональном уравнении
yl(a-\)x+a = J--                             (2)
                                          у/а - 3
область допустимых значений параметра Л={а|а>3| {а, | а, е(3,+со)| составляет лишь часть числовой прямой значений параметра.

10