Математика и реальность. Труды Московского семинара по философии математики

Mathem 1.indb   1
Mathem 1.indb   1
09.12.2014   16:27:21
09.12.2014   16:27:21

Moscow
University Press
2014

Edited by
Valentin A. Bazhanov, Anatoly N. Krichevets,
Vladislav A. Shaposhnikov

Lomonosov Moscow State University
Faculty of Philosophy

Moscow
Studies
MATHEMATICS
MATHEMATICS

Mathem 1.indb   2
Mathem 1.indb   2
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

Mathem 1.indb   3
Mathem 1.indb   3
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

ISBN 978-5-19-010959-7

М34
Математика и реальность. Труды Московского семинара по 
философии математики / Под ред. В.А. Бажанова, А.Н. Кричевца, В.А. Шапошникова. — М.: Издательство Московского университета, 2014. — 504 с.
ISBN 978-5-19-010959-7
Очередной тематический том трудов Московского семинара по философии математики подготовлен по итогам Третьей всероссийской конференции 
«Философия математики: актуальные проблемы», прошедшей 27–28 сентября 
2013 г. на философском факультете МГУ имени М.В. Ломоносова. Приоритетная тема конференции 2013 года — «Математика и реальность».
Для философов и историков математики и физики, а также для философов, логиков, математиков, психологов, преподавателей, ведущих аспирантский 
курс по истории и философии науки, аспирантов и студентов математических и 
естественно-научных специальностей.
Ключевые слова: философия математики, философия физики, онтология, 
реализм, платонизм, антиреализм, применимость математики, математизация, 
«непостижимая эффективность математики».
УДК 1:001; 001.8
ББК 87; 22.1; 22.3

Mathematics and Reality: Moscow Studies in the Philosophy of Mathematics / Edited by Valentin A. Bazhanov, Anatoly 
N. Krichevets, Vladislav A. Shaposhnikov. — Moscow: Moscow 
University Press, 2014. — 504 p.

Moscow Philosophy of Mathematics Seminar’s sixth Collection of papers grew 
out of the 3rd Conference “Philosophy of Mathematics: Actual Problems” which was 
held in Lomonosov Moscow State University (Faculty of Philosophy) on September 
27/28 2013. The 2013 meeting was focused on “Mathematics and Reality”.
This book may be of interest to philosophers and historians of mathematics and 
physics, as well as to logicians, mathematicians, psychologists, postgraduate and PhD 
students in all areas of mathematics and natural sciences.
Key words: philosophy of mathematics, philosophy of physics, ontology, realism, Platonism, antirealism, the applicability of mathematics, mathematization, 
“unreasonable effectiveness of mathematics”.

© МГУ имени М.В. Ломоносова, 2014
© Издательство Московского университета, 2014

УДК 1:001; 001.8
ББК 87; 22.1; 22.3
 
 
М34

Издание осуществлено при финансовой поддержке 
Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 13-06-06076.

Mathem 1.indb   4
Mathem 1.indb   4
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая читателю книга «Математика и реальность» — шестая в серии трудов Московского семинара по философии математики. Семинар работает с 1987 г., когда был организован на кафедре философии естественных факультетов МГУ имени 
М.В. Ломоносова Алексеем Георгиевичем Барабашевым. Все эти 
годы активно участвуют в работе семинара В.Я. Перминов, Г.Б. Гутнер, А.Н. Кричевец, В.А. Шапошников, в последние годы заметный 
вклад в его работу делают Е.В. Косилова, Л.И. Маневич, А.И. Липкин, А.В. Чусов и другие. 
Выпускаемые семинаром сборники — тематические. Написанию 
статей предшествуют обсуждения темы будущего сборника на семинарах и конференции. Нынешний сборник включает расширенные 
и переработанные доклады участников конференции по философии 
математики, прошедшей на философском факультете МГУ имени 
М.В. Ломоносова в сентябре 2013 г. Основная тема конференции и 
служит названием нашей книги.
Сборник не является монографией с согласованными и структурированными разделами, здесь высказываются иногда даже противоположные взгляды на обсуждаемые вопросы. Мы, редакторы сборника, все же видим его единство в том, что авторами выявлены главные 
проблемы по заявленной теме отношений математики и реальности и 
предъявлены разнообразные аргументы в пользу и против основных 
позиций, которые могут быть заняты по отношению к этим проблемам. Каковы же эти проблемы и эти позиции?
Первая позиция, которая разделяется практически всеми авторами: вопрос о применимости математики в естествознании чрезвычайно важен и интересен для современной философии математики (но 
и не только для нее). Вводная статья В.А. Шапошникова дает экспозицию современного состояния интересов сообщества философов 
математики, где вопрос применимости математики характеризуется 
как приобретающий все большую важность. Читатель и сам может за
Mathem 1.indb   5
Mathem 1.indb   5
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

метить, что наиболее часто цитируемая авторами статей сборника работа — это яркая статья Ю. Вигнера «Непостижимая эффективность 
математики в естественных науках». 
Вокруг эффективности и непостижимости и ведется одна из 
основных дискуссий в сборнике. Одни авторы решительно поддерживают позицию Вигнера (Вл.П. Визгин, дающий к тому же очень 
обстоятельную экспозицию проблемы, а также А.Н. Кричевец), другие ставят под вопрос непостижимость (А.А. Григорян, указывающий 
на важную роль «доводки» математических понятийных структур 
под влиянием запросов со стороны физики) и даже отчасти эффективность (А.И. Липкин, утверждающий, что Вигнер переоценивает 
роль математики, поскольку упускает из виду основной слой физических представлений — слой идеальных объектов). Для обоих авторов 
ошибка Вигнера связана с упущением важного опосредующего звена 
между математикой и физикой. Также на непростой и непрямолинейный характер взаимодействия математики и физики указывает 
Л.И. Маневич: принятые математические формализмы могут тормозить развитие физических идей и даже признание эмпирических 
фактов.
Вторая тема касается онтологического статуса математических 
объектов. Важнейшая оппозиция задана авторами двух помещенных 
рядом статей — В.Я. Перминовым и З.А. Сокулер. Первый утверждает, что первичные математические понятия, представляющие арифметику и евклидову геометрию, априорны, реальны и жестко заданы. 
Однако его версия «платонизма» далеко уходит от наивной трактовки существования математических объектов. Математика не исследует и открывает объекты, существующие где-то вне чувственно 
воспринимаемого мира, а задает условия возможности самой предметной человеческой деятельности. Что касается «вторичной», более 
сложной математики, то она имеет только «возможную эмпирическую значимость», т.е. может подтверждаться (или не подтверждаться) своими приложениями. 
«Антиреалистическую» позицию занимает З.А. Сокулер. Обсуждая (как мне кажется, с сочувствием) позицию Л. Витгенштейна, она 
указывает на то, что значение математических предложений (тем самым и входящих в них понятий) не является контекстно независимым. Оно определяется той практикой (языковой игрой), в которую 
предложение включено, а подобные практики могут изменяться и 
проясняться. Прояснение может осуществляться с помощью философских рассуждений (в чем Витгенштейн и видит свою задачу). 
Отмечу, что приводимые З.А. Сокулер аргументы Витгенштейна 
касаются «вторичной» (по Перминову) математики, а в чем именно 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Mathem 1.indb   6
Mathem 1.indb   6
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

заключается изменение базовых, относящихся к первичному слою 
понятий в процессе развития вторичной математики, в этих рассуждениях не раскрыто. Во-первых, это значит, что позиция В.Я. Перминова этими рассуждениями не затронута. Во-вторых, одно дело, 
если это изменение значений есть некое бессистемное следствие изменения общественных вкусов или, например, моды или иных подобных обстоятельств, которые еще можно считать хотя бы относительно произвольными конвенциями. Другое дело, если в самом развитии 
понятий действует некое переплетение необходимых тенденций и 
случайных обстоятельств (в этой перспективе, мне кажется, видит 
наш предмет в своей статье С.Н. Бычков). 
Безусловно, мы нуждаемся в третьем пути (между реалистами и 
антиреалистами). О третьем пути прямо пишет в своей статье В.А. Бажанов. Опираясь на работы М. Резника, он говорит об особом статусе математических объектов, существующих лишь как априорные 
возможности математических структур (детерминированные «механизмами репрезентации внешней реальности», с одной стороны, и 
особенностями телесной (в первую очередь мозговой) организации 
человека). Актуализация же этих структур происходит в историческом развитии культуры и в связи с ее состоянием и запросами. 
На первый взгляд, похожую точку зрения высказывает А.В. Чусов, заканчивающий статью словами: «Математика как практически 
реализуемая объективация познания есть моделирование возможных онтологий». Однако понятийный фон этого утверждения существенно иной. Ключевым для понимания концепции словом является «объективация»: это превращение идеальной структуры мысли в 
«относительно самостоятельный, активный фрагмент мира». Существование объектов-в-себе Чусов выводит за скобки. Рискну резюмировать его позицию так: объективации регионов (в смысле Гуссерля) 
«реальных объектов» человеческой практики могут предшествовать 
объективации их возможных структур, осуществляемые математикой. С.Н. Жаров высказывает сходную позицию: «Если говорить о 
математике как о системе возможных математических миров (и соответствующих им связей), то мы имеем поистине сверхсубъективный 
универсум, который не зависит ни от человека, ни от культуры», а 
«истоки математических форм находятся на уровне умопостигаемого 
бытия. Там же берут начало интуиции современной теоретической 
физики». Таким образом, С.Н. Жаров подчеркивает предзаданность 
возможных математических форм и их согласованность с формами 
физических теорий. 
Можно следующим образом суммировать результаты по указанным двум темам: 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Mathem 1.indb   7
Mathem 1.indb   7
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

(1) Можно считать, что вся совокупность возможных форм математического мышления заранее предопределена. На долю истории 
остаются в таком случае лишь акценты: актуализация тех или иных 
форм прежде других. Те же математические формы неустранимым 
образом участвуют и в физических теориях, которые согласуются с 
экспериментальными данными и позволяют создавать практические 
приложения. Нет смысла называть такую позицию «реализмом», поскольку способ бытия (а) математических форм, (б) физических теорий и референтов их переменных, (в) экспериментальных данных и 
(г) использующих достижения наук социально значимых технологий 
и их результатов — не обязательно должен быть унифицирован, а скорее, и не может быть унифицирован1. Таким образом «реальность» 
подразделяется на регионы, в которых существование должно пониматься по-разному, однако не вызывает сомнение их взаимодействие 
и согласованность. Я не вижу возможности оспорить тезис Вигнера о 
непостижимости этой согласованности, если не вводится некоторая 
объемлющая все роды/регионы сущего онтология, в которой роды/
регионы займут свое место в общей структуре, а их зависимости будут явно описаны и тем самым демистифицированы. Такой онтологии авторы статей не предъявляют, и для буквального «реализма» не 
остается места в нашем сборнике. 
Однако с этой изложенной выше позиции не может быть прояснен статус ошибок того рода, который описан в статье Л.И. Маневича. Также без ответа остается критика со стороны Витгенштейна (Сокулер), указывающая на непостоянство значений математических 
терминов. 
(2) Антиреалистическая позиция представлена в статье З.А. Сокулер — в непрямом виде, так сказать, не от первого лица (моя оценка 
отношения автора к излагаемому материалу как сочувствующего — 
не более чем мнение литературного критика). С этой точки зрения 
математика зависит от тех или иных внешних для нее форм существования, а придание ее объектам онтологического статуса является 
незаконным гипостазированием.
Вигнеровская непостижимая эффективность ставит перед такой 
позицией трудную задачу, поскольку математический символизм 
оказывается существенным средством описания физических явле
1 Здесь уместно упомянуть статью А.Ю. Цофнаса, который предлагает различать натуральную, динамическую и структурную онтологии. Он подчеркивает, 
что число не имеет отношения к онтологиям первых двух типов, поэтому математики всегда могут прийти к согласию относительно значимости доказательств 
и теорий в целом, даже если они занимают существенно различные позиции по 
отношению к проблеме онтологического (натурального и динамического) смысла 
математических понятий. 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Mathem 1.indb   8
Mathem 1.indb   8
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

ний, их предсказания и конструирования. Вещи здесь «дают сдачи», 
как писал по поводу социальной редукции науки Бруно Латур. Физические процессы не могут подчиняться конвенции. 
Отмечу еще статью В.Э. Тереховича, который, отталкиваясь от 
вариационных принципов, утверждает, что возможные состояния систем существуют в особом модусе: «Виртуальные движения, мыслимые нашим сознанием, это не плод нашего воображения, а отражение 
существующих возможностей». Не берусь сейчас точнее связать так 
понимаемую возможность с вопросом о возможных онтологиях в статьях Чусова и Жарова, однако мне кажется, что некоторые перспективы у сближения этих тем имеются.
Перейду теперь к другим важным темам. В статье Е.В. Косиловой 
развивается тема двойственности математики — с одной стороны, 
математика служит языком для «книги природы», т.е. обладает избыточной выразительностью по отношению к физическим гипотезам; с другой стороны, она сама является самостоятельным нечто, 
что может описываться метаязыком. На эту роль подходит логика. 
Двойственность математики как языка является также одной из тем 
статьи И.Д. Невважая. Он указывает, что этот язык, имеет взаимодополнительные функции: «функцию именования (и замещения 
вещи знаком) и функцию указания знака. Соответственно, знак либо 
вторичен по отношению к своему значению (в функции замещения), 
либо первичен (в функции указания как определении значения)». 
Общим для двух статей является то, что математика определяет самостоятельную сферу значений наряду с означиванием физического 
мира.
Замыкает раздел статья Г.Б. Гутнера. Автор утверждает, что достоверность постулатов естественнонаучной теории невозможно установить, рассматривая их как изолированные высказывания и ожидая 
от них очевидности. Достоверность обнаруживается в рамках целостной, системной деятельности обоснования и применения теории. Автор выделяет три уровня такой деятельности: уровень теоретических 
постулатов и теории как системы положений, уровень следствий и их 
экспериментальных подтверждений и уровень практических употреблений. Автор далее замечает, что для математических теорий ситуация несколько отличается: только первый уровень остается тем же, 
второй составляют протоматематические схемы предметной практики, третий — те же эмпирические схемы, но сложные и неочевидные.
Несколько статей посвящены применению математики вне и до 
того замечательного синтеза, который соединил математику и физику. Первая статья, написанная коллективом авторов (Г.Я. Красников, 
Е.С. Горнев, И.В. Матюшкин), посвящена техническому моделиро
ПРЕДИСЛОВИЕ

Mathem 1.indb   9
Mathem 1.indb   9
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23

ванию в областях высоких технологий. Авторы описывают стандартное разделение функций в профессиональном труде моделирования 
и подчеркивают, что характер произведенного продукта зависит от 
уровня взаимопонимания акторов. В настоящее время построение 
моделей осуществляется с помощью готовых программных средств — 
специальных пакетов, и это приводит к появлению еще одного участника — программиста. Его роль часто недооценивается, да и сам он 
вряд ли осознает, пишут авторы, что косвенно он, действуя из консоли или в интерфейсных окнах, творит математическую модель — 
через выбор нужных ему экземпляров фундаментальных уравнений 
и т.п. Мне кажется, что проблема коллективной деятельности, в 
особенности в ситуациях применения не до конца понимаемых программных средств, фактически во многом предопределяющих конечный результат, становится все более важной и даже тревожащей в настоящее время. 
А.Г. Барабашев пишет о применении математики в различных сферах государственного управления. Он указывает, что «спецификой 
абстрактных объектов научных направлений, изучающих сложные 
уникальные системы, выступает их двоякость (амбивалентность), в 
которую объект привносит условия нашего действия, себя и свои ценности, а само действие накладывает на внешние условия требования 
достичь цели и возможности вариативного исполнения». Объекты 
исследования наук об управлении являются субъектами собственных 
действий и этим существенно отличаются от объектов наук о природе. 
Воздействие на такие «объекты» включает аргументы, разъяснения, 
призывы и т.п. Выводы А.Г. Барабашева таковы: математика в этих 
областях «не язык, а один из аргументов в выборе лучшего действия, 
шире, в выработке субъективной оценки ситуации. Математические 
модели оценивают не истинность, а допустимость действия. Они помогают оправдать действие… Современная теоретическая математика, базовые разделы ее “ядра” для научных направлений, связанных с 
изучением сложных уникальных систем, не работают».
А.А. Крушинский в своей статье обращает наше внимание на то, 
что в китайской культуре «предметами математизации […] оказываются столь нетрадиционные для привычной нам математики феномены как, например, сюжеты, эмоции, образы, межсубъектные взаимодействия, социальные нормы, управленческие действия, и т.д.»… По 
его мнению, «китайский панматематизм предопределен ярко выраженной композициональностью китайской идеографии», т.е. тем обстоятельством, что китайское иероглифическое письмо строится на 
взаимодействии пространственно соединенных единиц. Резюмирую 
его мысль так: поскольку геометрическое сочленение имеющих зна
ПРЕДИСЛОВИЕ

Mathem 1.indb   10
Mathem 1.indb   10
09.12.2014   16:27:23
09.12.2014   16:27:23