Метризация топологических пространств

Г.П. Климов,
В.Ф. Матвеев

Метризация
топологических пространств

УЧЕБНИК

Издательство Московского Университета
2015

УДК 519.1; 515.1
ББК 22.152; 22.17
К 49
Рецензент
профессор, доктор физико-математических наук Ушаков В.Г.
(факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова)

Климов Г.П.,
Матвеев В.Ф.
К 49 Метризация топологических пространств.
М.: Издательство Московского университета, 2015. – 224 с.
ISBN 978-5-19-011106-4

Предлагаемый учебник относится к областям: теория вероятностей и математическая статистика, случайные процессы, топология.
Учебник содержит достаточно полное многообразие изучаемых (используемых) пространств: топологические, линейные, мультинормированные, локально выпуклые, счетно – нормированные, F – пространства. Представлены
определяемые на пространствах классы функционалов и случайных процессов, изложены методы метризации и сходимости при дополнительных условиях: линейности и/или выпуклости и/или рандомизации.
Приложение содержит краткий и полный учебный (справочный) курс
«Топологические пространства» в доступной для начинающих форме. Дополнительно рассмотрены специальные вероятностные конструкции, востребованные новыми моделями.
Изложение сопровождается обстоятельной библиографией, ссылками на
первоисточники основополагающих работ, разобранными примерами, постановками задач и проблем.
Книга предназначена студентам и аспирантам, а научным сотрудникам
может служить в качестве справочника.

Ключевые слова: теория вероятностей, случайный элемент, вероятностные меры, безгранично делимые распределения, каплинг (слияние) случайных процессов; топология, топологические пространства (локально–выпуклые, метрические,
польское со слабой сходимостью), мультинормированность, метризация, метрики и
полуметрики (Леви–Прохорова), сходимость (слабая, широкая); сепарабельность,
цилиндрические подмножества, цилиндры, нечеткие множества, нечеткая логика.

УДК 519.1; 515.1
ББК 22.152; 22.17

c
⃝ Г.П.Климов, 2015
c
⃝ В.Ф.Матвеев, 2015
c
⃝ Издательство
ISBN 978-5-19-011106-4
Московского университета, 2015

Оглавление

От редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix

1
Локально выпуклые пространства
1
1.1
Линейное топологическое пространство
. . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Мультинормированное пространство
. . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Локально выпуклое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Cчётно – нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
F – пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Теорема Хана – Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.7
Базис топологии сепарабельного МНП . . . . . . . . . . . . . .
4
1.8
Линейные непрерывные функционалы МНП . . . . . . . . . . .
6
1.9
Цилиндрические подмножества – цилиндры . . . . . . . . . . .
7
1.10 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.11 Пополнение ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

2
Распределения в сепарабельном ЛМП
11
2.1
Начальные предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Случайные элементы в ТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Случайные элементы в MП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Счетнозначное борелевское отображение . . . . . . . . . . . . .
12
2.5
Критерий существования случайного элемента
. . . . . . . . .
13
2.6
Случайный элемент сепарабельного МНП . . . . . . . . . . . .
13
2.7
Распределение случайного элемента . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8
Распределение суммы случайных элементов . . . . . . . . . . .
15
2.9
Симметричный случайный элемент . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.10 Компактный функционал на ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.11 Квазинормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.12 (Сильно) сопряжённое пространство
. . . . . . . . . . . . . . .
18
2.13 Обозначения и используемые пространства
. . . . . . . . . . .
20
2.14 Задание топологии набором шаров
. . . . . . . . . . . . . . . .
21

iii

iv
Оглавление

2.15 Классы линейных функционалов
. . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.16 Непрерывность линейного функционала . . . . . . . . . . . . .
23

3
Слабая сходимость мер
25
3.1
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
О существовании конечной меры
. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3
Метрика Прохорова для польского пространства . . . . . . . .
26

4
Виды сходимости случайных элементов
29
4.1
Определения видов сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Сходимость по вероятности и по полуметрике . . . . . . . . . .
30
4.3
Согласованность видов сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.4
Сходимость почти наверное
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.5
Лемма Бореля – Кантели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.6
Сепарабельность ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.7
Сходимость случайных элементов в ММП . . . . . . . . . . . .
33
4.8
Класс непрерывных функций ММП . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.9
Полуметрики, порожденные подмножеством . . . . . . . . . . .
36
4.10 Структура пространства C1b(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.11 О критерии слабой предкомпактности мер . . . . . . . . . . . .
40
4.12 Слабая сходимость польского пространства
. . . . . . . . . . .
41
4.13 Слабая сходимость для ММП
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.14 ММП с направленным множеством полуметрик . . . . . . . . .
44
4.15 Счетно – компактное ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.16 Критерий слабой предкомпактности . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.17 Предкомпактность польского пространства
. . . . . . . . . . .
46
4.18 Теорема Прохорова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.19 О сходимости случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.20 Сходимость ряда независимых случайных элементов . . . . . .
50

5
Полуметрики Леви – Прохорова
53
5.1
Вероятностные меры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.2
Замкнутое семейство борелевских множеств . . . . . . . . . . .
54
5.3
Полуметрики, разделяющие множества . . . . . . . . . . . . . .
56
5.4
Обобщенные последовательности мер . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.5
Сходимость в топологии Леви – Прохорова
. . . . . . . . . . .
60
5.6
Свойства вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.7
Мультипольское пространство (МПП) . . . . . . . . . . . . . .
62
5.8
Свойства метрики мультипольского пространства . . . . . . . .
63
5.9
Критерии сходимости случайных величин . . . . . . . . . . . .
66

Оглавление
v

5.10 Свойства сверток вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.11 Инвариантная по сдвигу полуметрика
. . . . . . . . . . . . . .
68
5.12 Последовательности случайных элементов . . . . . . . . . . . .
69
5.13 Сходимость рядов случайных элементов . . . . . . . . . . . . .
70
5.14 Критерий слабой сходимости случайных элементов . . . . . . .
73
5.15 О теории σ – топологических пространств . . . . . . . . . . . .
73
5.16 Об определении случайного элемента . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.17 Случайный элемент топологического пространства . . . . . . .
79
5.18 Бэровский случайный элемент в ТП
. . . . . . . . . . . . . . .
82
5.19 Используемые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.20 Измеримые по Dudley отображения . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.21 Интеграл в ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

6
Безгранично делимые распределения
91
6.1
Метод анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.2
Используемые σ-алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.3
О конструкции продолжения меры
. . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.4
Почти наверное регулярная мера
. . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.5
О регулярности вероятностной меры
. . . . . . . . . . . . . . .
94
6.6
Линейный непрерывный функционал на произведении ЛТП
.
95
6.7
Линейный непрерывный функционал на ЛВП . . . . . . . . . .
96
6.8
Вид линейного непрерывного функционала в ЛВП . . . . . . .
97
6.9
Линейный непрерывный функционал на ММП
. . . . . . . . .
98
6.10 Условие регулярности вероятностной меры . . . . . . . . . . . .
98
6.11 Регулярность вероятностной борелевской меры . . . . . . . . . 103
6.12 Линейные непрерывные функционалы
. . . . . . . . . . . . . . 107
6.13 Случайный элемент и математическое ожидание . . . . . . . . 108
6.14 Характеристический функционал . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.15 Свертка вероятностных мер
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.16 Две базовые леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.17 Нормальное распределение на F(X) ЛТП X
. . . . . . . . . . 119
6.18 Ковариации банахова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Приложения

A Топологические пространства
131
A.1 Топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2 Топологическое пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.3 Упорядочение топологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.4 Подпространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

vi
Оглавление

A.5 Окрестность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.6 Задание топологии на замкнутых множествах . . . . . . . . . . 133
A.7 Задание топологии операцией замыкания
. . . . . . . . . . . . 133
A.8 Задание топологии в терминах сходимости . . . . . . . . . . . . 134
A.9 База топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.10 Аксиомы счетности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.11 Сепарабельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.12 Полуметрическое пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.13 Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.14 Примеры топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . 147
A.15 Функциональная отделимость множеств . . . . . . . . . . . . . 149
A.16 Вполне регулярное пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.17 Характеризация нормального пространства . . . . . . . . . . . 156
A.18 Совершенно нормальные пространства . . . . . . . . . . . . . . 157
A.19 Метризация топологических пространств . . . . . . . . . . . . . 159
A.20 Отображения топологических пространств . . . . . . . . . . . . 159
A.21 Тихоновское произведение пространств . . . . . . . . . . . . . . 161
A.22 Компактное пространство, компакты . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.23 Компактификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B Широкая сходимость
175
B.1 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.1
Широкая сходимость
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.2
r – пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.1.3
Подпространства вполне решеточного пространства
. . 177
B.2 Расширение полуаддитивного отображения
. . . . . . . . . . . 177
B.2.1
Отображение подпространства Рисса . . . . . . . . . . . 177
B.2.2
Класс L+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.2.3
Свойства класса L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2.4
Определение класса L и отображения p : L → W
. . . . 182
B.2.5
Теорема Беппо Леви
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.2.6
Теорема Лебега
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.7
Полнота пространства L
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.8
Широкая сходимость в L
. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.3 Продолжение линейного отображения
. . . . . . . . . . . . . . 186
B.4 Расширение полуаддитивного отображения
. . . . . . . . . . . 188
B.5 Квазинормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Оглавление
vii

C Нечеткие множества
192
C.1 Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.2 Связь с теорией вероятностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.3 Нечеткие множества, нечеткая логика
. . . . . . . . . . . . . . 193
C.4 Пример: нечеткое суммирование (нечеткий интеграл)
. . . . . 194

D Пересечение случайных последовательностей
196

E Каплинг слабо регенерирующих полей
201

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Список сокращений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

От редакции

Широкое применение методов теории вероятностей и математической статистики за последние несколько десятков лет в различных областях естествознания, экономики и техники не нашло ещё адекватного отражения в учебной
и методической литературе. В частности, это относится к изложению основ
теории вероятностей на пространствах сложной структуры: метрических, топологических, группах и т.п. В ведущих университетах страны читаются основные и специальные курсы, посвящённые указанным направлениям. Поэтому большое значение имеет опубликование книги по теории вероятностей
и математической статистике, материал которой учитывает требуемый уровень математической подготовки студента и его запросы прикладного характера.

Учебник содержит следующие разделы: локально-выпуклые пространства, случайные элементы в метрических и топологических пространствах,
распределение вероятностей случайных элементов, различные виды сходимости (наиболее полно излагаются свойства слабой сходимости в польском
пространстве), различные виды метрик и полуметрик (в частности, полуметрики Леви-Прохорова), сходимость рядов из случайных элементов. Отдельная глава посвящена теории безгранично делимых распределений в линейных топологических пространствах. В приложениях приведены основные
определения и результаты из теории топологических пространств.

Основные определения и теоремы иллюстрируются многочисленными примерами, во многих главах приведены задачи для самостоятельного решения.
Надо отметить, что книга содержит изложение оригинальных результатов (в
том числе полученных авторами), которые можно найти только в журнальной литературе.

Книга Г.П. Климова и В.Ф. Матвеева обеспечивает учебно-методическим
материалом отдельные разделы расширенных курсов по теории вероятностей и случайным процессам, специальные курсы по распределениям вероятностей в метрических и топологических пространствах. Она может быть
использована как справочник по основным определениям и теоремам теории
линейных топологических пространств. Она будет ценным пополнением имеющейся литературы по теории вероятностей и математической статистике.

Предисловие

Книга содержит дополнительный материал для курсов: теория вероятностей и математическая статистика, случайные процессы и каплинг (слияние)
случайных процессов. Подобные курсы читались авторами неоднократно в
МГУ, ГУ ВШЭ, РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, РЭА им. Г.В. Плеханова, в университетах и научных центрах Парижа, Брюсселя, Хельсинки,
США.

Предъявляется многообразие топологических пространств: линейные,
мультинормированные, локально выпуклые, счетно – нормированные, F –
пространства. Представлены классы функционалов и случайных процессов,
определяемые на пространствах. Рассмотрены методы задания базиса топологии мультинормированных пространств, свойства непрерывности, линейности функционалов, пополнения пространств, цилиндрические подмножества. Изложена метризация топологических пространств при дополнительных условиях: линейности, (и/или) выпуклости, (и/или) рандомизации.

Поясняющие примеры, задачи и нерешенные проблемы, а также сводки моделей, методов и используемых обозначений формируют учебный контекст.

Глава 1 вводная. Она является необходимым фундаментом дальнейшего
изложения.
В главе 2 изучены свойства распределений случайных элементов, их сумм,
классов линейных функционалов, специальных методов задания топологии.
Глава 3 посвящена слабой сходимости мер на польском топологическом
пространстве с метрикой Леви - Прохорова.
В главе 4 приводятся результаты разностороннего исследования свойств
предельного поведения совокупностей случайных величин для различных
вероятностных пространств и видов сходимостей.
В главе 5 подробно рассматриваются свойства вероятностных моделей с
полуметрикой Леви - Прохорова.
В главе 6 многопланово исследуются особенности безгранично делимых
распределений.
В приложении А кратко и достаточно полно рассмотрена теория Топологических пространств в доступной для начинающих форме.
Приложения B, C, D и E для построения вероятностных моделей вводят

x
Предисловие

новые специальные конструкции: широкая сходимость, нечёткие множества,
пересечения случайных последовательностей и каплинг (слияние) слабо регенерируемых полей.

Авторы выражают благодарность за внимательное прочтение рукописи
Ушакову Владимиру Георгиевичу и за кропотливую и эффективную работу над представлением книги редактору и корректору Громыко Владимиру
Ивановичу, обогатившего книгу мудростью TEX’a и LATEX’a. Особая признательность Матвеевой Алле Николаевне, ее помощь на всех этапах создания
книги — от написания до издания — невозможно переоценить.

Москва, прекрасный
август 2015 года.
Счастливые авторы.

Глава 1

Локально выпуклые пространства

1.1
Линейное топологическое пространство

Определение.
Линейным топологическим пространством (ЛТП) называется линейное пространство, снабжённое топологией, по отношению к которой операции сложения и умножения на число – непрерывны.

Если ЛТП X не является отделимым, то существует единственное нетривиальное подпространство Xo такое, что всякая окрестность x ∈ X содержит
x + Xo и линейное фактор – пространство X/Xo, снабжённое (естественной)
фактортопологией, которое является отделимым. Таким подпространством
Xo является пересечение всех окрестностей нуля.
( См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 56; 1988] ).

В этой связи, естественно предполагать [ что мы и сделаем ], что рассматриваемые ЛТП отделимы.

Так как для ЛТП выполняется аксиома регулярности [ точка и не содержащее её замкнутое множество разделяются непересекающимися окрестностями ], то, вместе с предположением об отделимости, ЛТП становится
регулярным топологическим пространством.
( См. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. [17, стр. 168; 1976] ).

1.2
Мультинормированное пространство

Мультинормированное пространство (МНП) есть ЛТП, топология которого
задаётся мультинормой D, т. е. семейством полунорм d ∈ D, разделяющих
точки пространства [ последнее означает: d(x) = o для d ∈ D влечёт x = o,
что равносильно отделимости ].

1

Глава 1
Локально выпуклые пространства

[ В данном случае Xo = {x ∈ X : d(x) = o для d ∈ D} ].
В качестве базы топологии принимается совокупность шаров. При этом
под шаром понимается пересечение конечного числа элементарных шаров, а
под элементарным шаром — множество вида:

Sd(α,r) = {x ∈ X : d(x − α) < r} :
d ∈ D, α ∈ X, r > o.
(∗)

Эта топология равносильна топологии, порождаемой сходимостью вида
xn → x, что означает
d(xn − x) → o : d ∈ D.

Отметим, что это слабейшая топология, относительно которой все полунормы d ∈ D непрерывны.
Введём ещё одно обозначение для шара, порождённого конечным множеством Q полунорм:

SQ(α, r) = {x ∈ X : Q(x − α) < r},
где

Q(x) =
d∈Q
d(x) = max
(d∈Q) d(x).

Набор таких шаров образует базу топологии, эквивалентной указанным
выше.

Частичный порядок в множестве E(D) полунорм x → Q(x), где Q ⊂ D и
Q < ∞, определяемый соотношением

Q1(x) ⩽ Q2(x) : ∀x,

является направлением, т. е. для любой пары полунорм Q1 и Q2 из E(D) есть
полунорма из E(D) их мажорирующая: Q1 ∨ Q2.

Поэтому, с самого начала, при определении МНП логично считать D направленным множеством и тогда под шаром можно понимать множество вида (∗). В этом случае, набор шаров образует базу топологии, эквивалентную
топологии сходимости
xn → x ⇋ d(xn − x) → o : d ∈ D.

1.3
Локально выпуклое пространство

Определение.
ЛТП называется
локально выпуклым
ЛТП
(сокращённо, ЛВП), если оно обладает базой топологии, состоящей из выпуклых
множеств.

1.4
Cчётно – нормированное пространство
3

Предложение.
Класс ЛВП исчерпывается МНП пространствами.
Более точно, МНП являются ЛВП.
Топология ЛВП может быть определена мультинормой, например, семейством всех непрерывных полунорм на ЛВП.
(См. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. [11, стр. 55, теорема 2; 1988] и Колмогоров А.Н., Фомин С.В. [17, стр. 133, замечание 2 (для полунорм); 1976]).

Комментарий.
В частности, ЛВП является вполне регулярным (= тихоновским).
ЛТП (и в частности ЛВП) со счётным базисом метризуемо [ так как метризуемо всякое регулярное пространство со счётным базисом ].

Вопрос. Является ли ЛВП (т. е. МНП) со счётным базисом или счётно –
нормируемым?

1.4
Cчётно – нормированное пространство

МНП (X, D) со счётным множеством D = (dn)N+ полунорм называется счётно – нормированным пространством ( СНП ). Оно метризуемо с помощью
метрики

d(x, y) =
n⩾1
2−n
dn(x − y)

1 + dn(x − y) :
x, y ∈ X,

причём, эта метрика инвариантна относительно сдвигов

d(x + z, y + z) = d(x, y) = d(o, y − x) : ∀ x, y, z ∈ X.

1.5
F – пространство

F – пространство — это линейное топологическое пространство, топология которого определяется инвариантной метрикой, причём, как метрическое пространство с такой метрикой, оно полно ( Другое определение, см. Дынкин
Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич А.А. [8, стр. 64; 1976] ). Относительно свойств
F – пространств и свойств непрерывности отображений одного F – пространства в другое F – пространство ( см. Дынкин Е.Б., Шабат Б.В., Юшкевич
А.А. [8, стр. 64 – 71; 1976] ).

Для F – пространства (X, d) положим |x| = d(o, x): x ∈ X. Тогда функция x → |x| обладает всеми свойствами нормы, кроме однородности, т. е. не
обязательно
|λx| = |λ||x| : λ ∈ R1
и
x ∈ X.

Глава 1
Локально выпуклые пространства

Набор {e1, e2, . . . } ⊂ X называется базисом, если каждый элемент x ∈ X
однозначно представляется в виде

x =
i⩾1
ciei, ci ∈ R1,
в смысле
lim
n→∞

x −

n
i=1
ciei

= o.

Ясно, что в этом случае F – пространство сепарабельно.

1.6
Теорема Хана – Банаха

( О продолжении линейного функционала )
Пусть X — линейное пространство, p — полунорма, Xo — подпространство
и fo — линейный функционал на Xo такой, что

∥fo(x)∥ ⩽ p(x) :
∀ x ∈ Xo.

Тогда существует линейный функционал f
на X, являющийся продолжением
fo
и
∥f(x)∥ ⩽ p(x) : ∀ x.

Следствие. ∀ a ∈ X существует линейный функционал f на X такой, что

f(a) = p(a), |f(x)∥ ⩽ p(x) :
∀ x.

Это следует из предыдущей теоремы применительно к

Xo = {λa : λ ∈ R1}, fo(λa) = λp(a).

Так как для x = λa
имеем
∥fo(x)∥ = ∥λ∥p(a) = p(x).

Комментарий.
Предыдущая теорема сформулирована так, чтобы она годилась для вещественного и комплексного случаев.
Утверждение примера верно и для комплексных ЛП и линейных функционалов.

1.7
Базис топологии сепарабельного МНП

Предложение.
Пусть МНП (X, D) сепарабельно и
A = {an}
всюду
плотное в X множество. Тогда

βo = SQ

an, 1

m

: an ∈ A, m ⩾ 1, Q ⊂ D и #Q < ∞

eсть базис топологии в X, эквивалентной исходной.

1.7
Базис топологии сепарабельного МНП
5

Доказательство.
Исходная топология определяется базисом (из шаров).

βo = SQ(a, r) : a ∈ X, r > o, Q ⊂ D и #Q < ∞.

Так как β ⊃ βo, то следует лишь показать, что:

a) βo
есть базис топологии, т. е.

a.1) βo
покрывает X;

a.2) если x ∈ {S1 ∩ S2}: S1, S2 ∈ βo,
то
∃ So ∈ βo, чтo
x ∈ So ⊂ {S1 ∩ S2}.

b) Всякий элемент из β есть объединение некоторых элементов из βo.

Достаточно проверить a.2) и b), так как из b) следует a.1).

Доказательство a.2).
Пусть x ∈ {S1 ∩ S2} = U: S1, S2 ∈ βo. Т. к. U является открытым множеством в некоторой топологии, то существует шар
SQ(a, r) ∈ β, такой, что x ∈ SQ(a, r) ⊂ U.
Но тогда

x ∈ SQ

x, 1

m

⊂ SQ(x, ε) :
1
m ⩽ ε = r − Q(x − a) > o, m ⩾ 1,

и открытое (непустое) множество SQ
x, 1

m
содержит некоторую точку
an ∈ A такую, что справедливо:

x ∈ SQ

an, 1

m

= S ⊂ {S1 ∩ S2} :
S ∈ βo,

и также, если
x ∈ S ∈ β,
то

x ∈ So = So(x) ⊂ S :
∃ So ∈ βo.
(7.1.2)

Доказательство b). Пусть x ∈ SQ(a, r). Тогда, с учетом (7.1.2) S =
x∈S
So(x).
□

Следствие.
База топологии в X

β1 = SQ(an, r) : an ∈ A, r > o, Q ⊂ D, #Q < ∞

эквивалентна исходной [ так как βo ⊂ β1 ⊂ β ].

Комментарий.
SQ(a, r) = a + SQ(o, r).