Метризация топологических пространств

Г.П. Климов,
В.Ф. Матвеев

Метризация
топологических пространств

УЧЕБНИК

Издательство Московского Университета
2015

УДК 519.1; 515.1
ББК 22.152; 22.17
К 49
Рецензент
профессор, доктор физико-математических наук Ушаков В.Г.
(факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова)

Климов Г.П.,
Матвеев В.Ф.
К 49 Метризация топологических пространств.
М.: Издательство Московского университета, 2015. – 224 с.
ISBN 978-5-19-011106-4

Предлагаемый учебник относится к областям: теория вероятностей и математическая статистика, случайные процессы, топология.
Учебник содержит достаточно полное многообразие изучаемых (используемых) пространств: топологические, линейные, мультинормированные, локально выпуклые, счетно – нормированные, F – пространства. Представлены
определяемые на пространствах классы функционалов и случайных процессов, изложены методы метризации и сходимости при дополнительных условиях: линейности и/или выпуклости и/или рандомизации.
Приложение содержит краткий и полный учебный (справочный) курс
«Топологические пространства» в доступной для начинающих форме. Дополнительно рассмотрены специальные вероятностные конструкции, востребованные новыми моделями.
Изложение сопровождается обстоятельной библиографией, ссылками на
первоисточники основополагающих работ, разобранными примерами, постановками задач и проблем.
Книга предназначена студентам и аспирантам, а научным сотрудникам
может служить в качестве справочника.

Ключевые слова: теория вероятностей, случайный элемент, вероятностные меры, безгранично делимые распределения, каплинг (слияние) случайных процессов; топология, топологические пространства (локально–выпуклые, метрические,
польское со слабой сходимостью), мультинормированность, метризация, метрики и
полуметрики (Леви–Прохорова), сходимость (слабая, широкая); сепарабельность,
цилиндрические подмножества, цилиндры, нечеткие множества, нечеткая логика.

УДК 519.1; 515.1
ББК 22.152; 22.17

c
⃝ Г.П.Климов, 2015
c
⃝ В.Ф.Матвеев, 2015
c
⃝ Издательство
ISBN 978-5-19-011106-4
Московского университета, 2015

Оглавление

От редакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix

1
Локально выпуклые пространства
1
1.1
Линейное топологическое пространство
. . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Мультинормированное пространство
. . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
Локально выпуклое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Cчётно – нормированное пространство . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
F – пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Теорема Хана – Банаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.7
Базис топологии сепарабельного МНП . . . . . . . . . . . . . .
4
1.8
Линейные непрерывные функционалы МНП . . . . . . . . . . .
6
1.9
Цилиндрические подмножества – цилиндры . . . . . . . . . . .
7
1.10 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.11 Пополнение ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

2
Распределения в сепарабельном ЛМП
11
2.1
Начальные предположения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Случайные элементы в ТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Случайные элементы в MП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.4
Счетнозначное борелевское отображение . . . . . . . . . . . . .
12
2.5
Критерий существования случайного элемента
. . . . . . . . .
13
2.6
Случайный элемент сепарабельного МНП . . . . . . . . . . . .
13
2.7
Распределение случайного элемента . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8
Распределение суммы случайных элементов . . . . . . . . . . .
15
2.9
Симметричный случайный элемент . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.10 Компактный функционал на ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.11 Квазинормированное пространство . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.12 (Сильно) сопряжённое пространство
. . . . . . . . . . . . . . .
18
2.13 Обозначения и используемые пространства
. . . . . . . . . . .
20
2.14 Задание топологии набором шаров
. . . . . . . . . . . . . . . .
21

iii

iv
Оглавление

2.15 Классы линейных функционалов
. . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.16 Непрерывность линейного функционала . . . . . . . . . . . . .
23

3
Слабая сходимость мер
25
3.1
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
О существовании конечной меры
. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3
Метрика Прохорова для польского пространства . . . . . . . .
26

4
Виды сходимости случайных элементов
29
4.1
Определения видов сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Сходимость по вероятности и по полуметрике . . . . . . . . . .
30
4.3
Согласованность видов сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.4
Сходимость почти наверное
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.5
Лемма Бореля – Кантели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.6
Сепарабельность ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.7
Сходимость случайных элементов в ММП . . . . . . . . . . . .
33
4.8
Класс непрерывных функций ММП . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.9
Полуметрики, порожденные подмножеством . . . . . . . . . . .
36
4.10 Структура пространства C1b(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.11 О критерии слабой предкомпактности мер . . . . . . . . . . . .
40
4.12 Слабая сходимость польского пространства
. . . . . . . . . . .
41
4.13 Слабая сходимость для ММП
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.14 ММП с направленным множеством полуметрик . . . . . . . . .
44
4.15 Счетно – компактное ММП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.16 Критерий слабой предкомпактности . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.17 Предкомпактность польского пространства
. . . . . . . . . . .
46
4.18 Теорема Прохорова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.19 О сходимости случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.20 Сходимость ряда независимых случайных элементов . . . . . .
50

5
Полуметрики Леви – Прохорова
53
5.1
Вероятностные меры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.2
Замкнутое семейство борелевских множеств . . . . . . . . . . .
54
5.3
Полуметрики, разделяющие множества . . . . . . . . . . . . . .
56
5.4
Обобщенные последовательности мер . . . . . . . . . . . . . . .
59
5.5
Сходимость в топологии Леви – Прохорова
. . . . . . . . . . .
60
5.6
Свойства вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.7
Мультипольское пространство (МПП) . . . . . . . . . . . . . .
62
5.8
Свойства метрики мультипольского пространства . . . . . . . .
63
5.9
Критерии сходимости случайных величин . . . . . . . . . . . .
66

Оглавление
v

5.10 Свойства сверток вероятностных мер . . . . . . . . . . . . . . .
67
5.11 Инвариантная по сдвигу полуметрика
. . . . . . . . . . . . . .
68
5.12 Последовательности случайных элементов . . . . . . . . . . . .
69
5.13 Сходимость рядов случайных элементов . . . . . . . . . . . . .
70
5.14 Критерий слабой сходимости случайных элементов . . . . . . .
73
5.15 О теории σ – топологических пространств . . . . . . . . . . . .
73
5.16 Об определении случайного элемента . . . . . . . . . . . . . . .
75
5.17 Случайный элемент топологического пространства . . . . . . .
79
5.18 Бэровский случайный элемент в ТП
. . . . . . . . . . . . . . .
82
5.19 Используемые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.20 Измеримые по Dudley отображения . . . . . . . . . . . . . . . .
87
5.21 Интеграл в ЛТП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

6
Безгранично делимые распределения
91
6.1
Метод анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.2
Используемые σ-алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.3
О конструкции продолжения меры
. . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.4
Почти наверное регулярная мера
. . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.5
О регулярности вероятностной меры
. . . . . . . . . . . . . . .
94
6.6
Линейный непрерывный функционал на произведении ЛТП
.
95
6.7
Линейный непрерывный функционал на ЛВП . . . . . . . . . .
96
6.8
Вид линейного непрерывного функционала в ЛВП . . . . . . .
97
6.9
Линейный непрерывный функционал на ММП
. . . . . . . . .
98
6.10 Условие регулярности вероятностной меры . . . . . . . . . . . .
98
6.11 Регулярность вероятностной борелевской меры . . . . . . . . . 103
6.12 Линейные непрерывные функционалы
. . . . . . . . . . . . . . 107
6.13 Случайный элемент и математическое ожидание . . . . . . . . 108
6.14 Характеристический функционал . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.15 Свертка вероятностных мер
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.16 Две базовые леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.17 Нормальное распределение на F(X) ЛТП X
. . . . . . . . . . 119
6.18 Ковариации банахова пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Приложения

A Топологические пространства
131
A.1 Топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.2 Топологическое пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.3 Упорядочение топологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.4 Подпространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

vi
Оглавление

A.5 Окрестность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.6 Задание топологии на замкнутых множествах . . . . . . . . . . 133
A.7 Задание топологии операцией замыкания
. . . . . . . . . . . . 133
A.8 Задание топологии в терминах сходимости . . . . . . . . . . . . 134
A.9 База топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.10 Аксиомы счетности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.11 Сепарабельность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.12 Полуметрическое пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.13 Аксиомы отделимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.14 Примеры топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . 147
A.15 Функциональная отделимость множеств . . . . . . . . . . . . . 149
A.16 Вполне регулярное пространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.17 Характеризация нормального пространства . . . . . . . . . . . 156
A.18 Совершенно нормальные пространства . . . . . . . . . . . . . . 157
A.19 Метризация топологических пространств . . . . . . . . . . . . . 159
A.20 Отображения топологических пространств . . . . . . . . . . . . 159
A.21 Тихоновское произведение пространств . . . . . . . . . . . . . . 161
A.22 Компактное пространство, компакты . . . . . . . . . . . . . . . 163
A.23 Компактификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B Широкая сходимость
175
B.1 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.1
Широкая сходимость
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.1.2
r – пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
B.1.3
Подпространства вполне решеточного пространства
. . 177
B.2 Расширение полуаддитивного отображения
. . . . . . . . . . . 177
B.2.1
Отображение подпространства Рисса . . . . . . . . . . . 177
B.2.2
Класс L+
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.2.3
Свойства класса L+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
B.2.4
Определение класса L и отображения p : L → W
. . . . 182
B.2.5
Теорема Беппо Леви
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
B.2.6
Теорема Лебега
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.7
Полнота пространства L
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.2.8
Широкая сходимость в L
. . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B.3 Продолжение линейного отображения
. . . . . . . . . . . . . . 186
B.4 Расширение полуаддитивного отображения
. . . . . . . . . . . 188
B.5 Квазинормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Оглавление
vii

C Нечеткие множества
192
C.1 Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.2 Связь с теорией вероятностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
C.3 Нечеткие множества, нечеткая логика
. . . . . . . . . . . . . . 193
C.4 Пример: нечеткое суммирование (нечеткий интеграл)
. . . . . 194

D Пересечение случайных последовательностей
196

E Каплинг слабо регенерирующих полей
201

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Список сокращений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

От редакции

Широкое применение методов теории вероятностей и математической статистики за последние несколько десятков лет в различных областях естествознания, экономики и техники не нашло ещё адекватного отражения в учебной
и методической литературе. В частности, это относится к изложению основ
теории вероятностей на пространствах сложной структуры: метрических, топологических, группах и т.п. В ведущих университетах страны читаются основные и специальные курсы, посвящённые указанным направлениям. Поэтому большое значение имеет опубликование книги по теории вероятностей
и математической статистике, материал которой учитывает требуемый уровень математической подготовки студента и его запросы прикладного характера.

Учебник содержит следующие разделы: локально-выпуклые пространства, случайные элементы в метрических и топологических пространствах,
распределение вероятностей случайных элементов, различные виды сходимости (наиболее полно излагаются свойства слабой сходимости в польском
пространстве), различные виды метрик и полуметрик (в частности, полуметрики Леви-Прохорова), сходимость рядов из случайных элементов. Отдельная глава посвящена теории безгранично делимых распределений в линейных топологических пространствах. В приложениях приведены основные
определения и результаты из теории топологических пространств.

Основные определения и теоремы иллюстрируются многочисленными примерами, во многих главах приведены задачи для самостоятельного решения.
Надо отметить, что книга содержит изложение оригинальных результатов (в
том числе полученных авторами), которые можно найти только в журнальной литературе.

Книга Г.П. Климова и В.Ф. Матвеева обеспечивает учебно-методическим
материалом отдельные разделы расширенных курсов по теории вероятностей и случайным процессам, специальные курсы по распределениям вероятностей в метрических и топологических пространствах. Она может быть
использована как справочник по основным определениям и теоремам теории
линейных топологических пространств. Она будет ценным пополнением имеющейся литературы по теории вероятностей и математической статистике.

Предисловие

Книга содержит дополнительный материал для курсов: теория вероятностей и математическая статистика, случайные процессы и каплинг (слияние)
случайных процессов. Подобные курсы читались авторами неоднократно в
МГУ, ГУ ВШЭ, РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, РЭА им. Г.В. Плеханова, в университетах и научных центрах Парижа, Брюсселя, Хельсинки,
США.

Предъявляется многообразие топологических пространств: линейные,
мультинормированные, локально выпуклые, счетно – нормированные, F –
пространства. Представлены классы функционалов и случайных процессов,
определяемые на пространствах. Рассмотрены методы задания базиса топологии мультинормированных пространств, свойства непрерывности, линейности функционалов, пополнения пространств, цилиндрические подмножества. Изложена метризация топологических пространств при дополнительных условиях: линейности, (и/или) выпуклости, (и/или) рандомизации.

Поясняющие примеры, задачи и нерешенные проблемы, а также сводки моделей, методов и используемых обозначений формируют учебный контекст.

Глава 1 вводная. Она является необходимым фундаментом дальнейшего
изложения.
В главе 2 изучены свойства распределений случайных элементов, их сумм,
классов линейных функционалов, специальных методов задания топологии.
Глава 3 посвящена слабой сходимости мер на польском топологическом
пространстве с метрикой Леви - Прохорова.
В главе 4 приводятся результаты разностороннего исследования свойств
предельного поведения совокупностей случайных величин для различных
вероятностных пространств и видов сходимостей.
В главе 5 подробно рассматриваются свойства вероятностных моделей с
полуметрикой Леви - Прохорова.
В главе 6 многопланово исследуются особенности безгранично делимых
распределений.
В приложении А кратко и достаточно полно рассмотрена теория Топологических пространств в доступной для начинающих форме.
Приложения B, C, D и E для построения вероятностных моделей вводят

x
Предисловие

новые специальные конструкции: широкая сходимость, нечёткие множества,
пересечения случайных последовательностей и каплинг (слияние) слабо регенерируемых полей.

Авторы выражают благодарность за внимательное прочтение рукописи
Ушакову Владимиру Георгиевичу и за кропотливую и эффективную работу над представлением книги редактору и корректору Громыко Владимиру
Ивановичу, обогатившего книгу мудростью TEX’a и LATEX’a. Особая признательность Матвеевой Алле Николаевне, ее помощь на всех этапах создания
книги — от написания до издания — невозможно переоценить.

Москва, прекрасный
август 2015 года.
Счастливые авторы.