Физика в ключевых задачах. Тепловые явления и молекулярная физика

А.Н. ПАРШАКОВ

ФИЗИКА В КЛЮЧЕВЫХ ЗАДАЧАХ
ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ  
И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

À.Í. Ïàðøàêîâ
Ôèçèêà â êëþ÷åâûõ çàäà÷àõ. Òåïëîâûå ÿâëåíèÿ è ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / À.Í. Ïàðøàêîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2018. – 224 ñ.

ISBN 978-5-91559-243-7

Ó÷åáíîå  ïîñîáèå èç ñåðèè «Ôèçèêà â êëþ÷åâûõ çàäà÷àõ» ïîñâÿùåíî ðàçáîðó îãðîìíîãî ðàçíîîáðàçèÿ ôèçè÷åñêèõ ñèòóàöèé
â ñàìîì òðóäíîì äëÿ èçó÷åíèÿ è ïîíèìàíèÿ ðàçäåëå îáùåé ôèçèêè, ïðîâåäåííîìó ñ íåîáûêíîâåííûì ìåòîäè÷åñêèì ìàñòåðñòâîì.
Âûáîð òåì, ðàñêðûòûõ ÷¸òêî è äîõîä÷èâî, îáóñëîâëåí îãðîìíûì ïåäàãîãè÷åñêèì îïûòîì àâòîðà.
Ïî íàñûùåííîñòè ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷àåìûìè «èç ïåðâûõ
ïðèíöèïîâ», êíèãà íå èìååò àíàëîãîâ â ìèðîâîé è îòå÷åñòâåííîé ó÷åáíîé ëèòåðàòóðå.
Ìíîãèå òåìû ðàñêðûòû ãîðàçäî ãëóáæå, ÷åì ýòî ñäåëàíî â òðàäèöèîííûõ ó÷åáíèêàõ, íàïðèìåð, ôëóêòóàöèè èëè ðåàëüíûå ãàçû
è ôàçîâûå ïðåâðàùåíèÿ.
Áàçîâîå ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ, åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ è òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé.

© 2017, À.Í. Ïàðøàêîâ
© 2018, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-243-7

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Основы молекулярно-кинетической теории . . .
9
1.1. Тепловое движение частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.1. Истечение газа из сосуда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2. Давление фотонного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.3. Сосуд с перегородками . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.4. Разделение изотопов урана . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.1.5. Изотермическая полость с отверстием . . . . . . . . . . .
16
1.1.6. Перетекание газа между сосудами . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.7. Теплоизолированная полость с двумя отверстиями . . .
19
1.1.8. Реактивная сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.1.9. Перемещение поршня в теплоизолированном цилиндре
21
1.2. Уравнение состояния газа и процессы . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.1. Всплывающие пузырьки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.2.2. Плавающий на воде стакан. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.3. Трубка с ртутью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.2.4. Дымовая труба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2.5. Адиабатическая атмосфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.6. Откачивающий насос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.2.7. Окружность на диаграмме (P, V ) . . . . . . . . . . . . . .
32
1.2.8. Треугольник на диаграмме (V, T ) . . . . . . . . . . . . . .
33
1.2.9. Максимальная температура газа . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.2.10. Смешивание газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3. Распределения Максвелла и Больцмана . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.1. Распределение Максвелла и давление газа . . . . . . . .
37
1.3.2. Опыт Штерна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3.3. Испарение вольфрамовой нити . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Оглавление

1.3.4. Вакуумный диод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.3.5. Испускание частиц точечным источником . . . . . . . . .
43
1.3.6. Заполнение сосуда воздухом . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.3.7. Падение температуры и давления при истечении газа .
46
1.3.8. Изотермическое истечение газа . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.9. Спектральное распределение света . . . . . . . . . . . . . .
50
1.3.10. Барометрическая формула . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.3.11. Рассеяние атмосферы Земли . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.3.12. Распределение Больцмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.3.13. Средняя потенциальная энергия молекул газа в поле
тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.3.14. Центрифуга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
1.4. Распределение Ферми–Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.4.1. Уровень Ферми в металлах при низких температурах .
64
1.4.2. Давление электронного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
1.4.3. Концентрация свободных электронов в металле . . . . .
70
1.4.4. Плотность тока термоэмиссии . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
1.4.5. Контакт двух металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
1.4.6. Уровень Ферми в чистых полупроводниках . . . . . . . .
76

Глава 2. Начала термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.1. Первое начало термодинамики. Теплоемкость . . . . . . . . . .
80
2.1.1. Постоянная адиабаты для смеси газов . . . . . . . . . . .
80
2.1.2. Перемещение поршня в теплоизолированном цилиндре
81
2.1.3. Газ, для которого тепло равно убыли внутренней энергии
83
2.1.4. Точка окончания ввода тепла . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.1.5. Газ с теплоемкостью, обратной температуре . . . . . . .
87
2.1.6. Колебания поршня в сосуде с газом . . . . . . . . . . . . .
88
2.1.7. Определение отношения теплоемкостей CP/CV
. . . . .
90
2.1.8. Падение поршня в цилиндре . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.1.9. Подземное нефтехранилище . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.1.10. Число ступеней сжатия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.1.11. Распад молекул на атомы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
2.1.12. Скачкообразное изменение давления . . . . . . . . . . . .
98
2.1.13. Понижение температуры воздуха в восходящих потоках
100
2.2. Второе начало термодинамики. Энтропия . . . . . . . . . . . . .
101
2.2.1. Изменение энтропии при расширении газа в пустоту .
102
2.2.2. Изменение энтропии при перемешивании газов . . . . .
103
2.2.3. Изменение энтропии при смешивании газов с разной
температурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.2.4. Изменение энтропии при измерении температуры тела
105
2.2.5. Изменение энтропии при обратимом процессе . . . . . .
106
2.2.6. Газ в цилиндре с поршнем и пружиной . . . . . . . . . .
106
2.2.7. Изменение энтропии после сжатия и расширения газа
108
2.2.8. Изменение энтропии системы лед плюс вода . . . . . . .
109
2.2.9. Цикл Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

Оглавление
5

2.2.10. Цикл Карно с изменяемой температурой изотермического
сжатия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
2.2.11. Разность теплоемкостей CP и CV . . . . . . . . . . . . . .
113
2.2.12. Максимальная работа тепловой машины . . . . . . . . .
115
2.2.13. Коэффициент полезного действия циклов . . . . . . . .
116
2.2.14. Обогрев с помощью идеальной тепловой машины . . .
120
2.2.15. Термопара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
2.2.16. Превращение воды в лед . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122
2.2.17. Кондиционер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
2.2.18. Динамическое отопление. Демон Максвелла . . . . . .
124
2.3. Флуктуации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
2.3.1. Чувствительность пружинных весов. . . . . . . . . . . . .
128
2.3.2. Колебания светового луча . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
2.3.3. Флуктуации объема газа в цилиндре с поршнем . . . .
130
2.3.4. Флуктуация объема капельки ртути. . . . . . . . . . . . .
131
2.3.5. Флуктуация потока газа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
2.3.6. Флуктуация энергии молекул . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
2.3.7. Флуктуация температуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
2.3.8. Тепловой шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
2.4. Скорость звука. Истечение газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
2.4.1. Скорость звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
2.4.2. Предел слышимости грома . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
2.4.3. Адиабатическое истечение газа . . . . . . . . . . . . . . . .
143
2.4.4. Давление у носа ракеты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147

Глава 3. Явления переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
3.1. Теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
3.1.1. Стационарное распределение температуры. . . . . . . . .
150
3.1.2. Провод с током. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
3.1.3. Батарея отопления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
3.1.4. Образование льда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
3.1.5. Плавление льда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
3.1.6. Нагрев воды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
3.1.7. Радиационное остывание шара . . . . . . . . . . . . . . . .
159
3.2. Вязкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.2.1. Вытекание жидкости из вращающейся трубки . . . . . .
160
3.2.2. Вязкость углекислого газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
3.2.3. Оценка размеров молекул и числа Авогадро . . . . . . .
162
3.2.4. Адиабатическое вытекание газа. . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.2.5. Затухающие крутильные колебания . . . . . . . . . . . . .
165
3.2.6. Выделение тепла при течении вязкой жидкости . . . . .
166
3.3. Диффузия. Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3.3.1. Политропический процесс с постоянным коэффициентом
диффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3.3.2. Распространение запаха духов . . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.3.3. Диффузия газов между сосудами . . . . . . . . . . . . . .
169

Оглавление

3.3.4. Время испарения капли воды . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
3.3.5. Падение капель тумана на Землю . . . . . . . . . . . . . .
172
3.3.6. Камера Вильсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
3.3.7. Заряженная капля жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
3.3.8. Осмотическое давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
3.4. Разреженные газы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
3.4.1. Сосуд Дьюара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
3.4.2. Термос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
3.4.3. Радиометрический эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
3.4.4. Угол поворота диска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
3.4.5. Откачка воздуха при низком давлении . . . . . . . . . . .
185

Глава 4. Реальные газы и фазовые превращения . . . . .
187
4.1. Уравнение Ван-дер-Ваальса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.1.1. Критические параметры газа Ван-дер-Ваальса . . . . . .
187
4.1.2. Внутренняя энергия и энтропия газа Ван-дер-Ваальса
188
4.1.3. Теплонепроницаемый сосуд с перегородкой . . . . . . . .
190
4.1.4. Уравнение политропы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
4.1.5. Разность теплоемкостей CP − CV . . . . . . . . . . . . . . .
192
4.1.6. Работа при изотермическом и адиабатическом процессах
193
4.1.7. Малые колебания поршня . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
4.1.8. Скорость звука вблизи критической точки . . . . . . . .
195
4.1.9. Коэффициент полезного действия . . . . . . . . . . . . . .
196
4.2. Фазовые превращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
4.2.1. Машина Карно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
4.2.2. Сублимация льда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
4.2.3. Точка росы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
4.2.4. Гейзер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
4.2.5. Разрезание льда проволокой . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
4.2.6. Разрыв тонкостенного шара . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
4.2.7. Температура кипения воды на Эвересте . . . . . . . . . .
206
4.2.8. Скорость истечения пара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
4.2.9. Изменение радиуса ядра Земли . . . . . . . . . . . . . . . .
208
4.3. Поверхностные явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209
4.3.1. Изменение температуры пленки при растяжении . . . .
209
4.3.2. Схлопывание мыльной пленки . . . . . . . . . . . . . . . .
211
4.3.3. Время исчезновения мыльного пузыря . . . . . . . . . . .
212
4.3.4. Соприкасающиеся пузыри. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
4.3.5. Капля на столе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
4.3.6. Высота подъема жидкости около вертикальной стенки
215
4.3.7. Подъем пластины над жидкостью . . . . . . . . . . . . . .
216
4.3.8. Притяжение между пластинами . . . . . . . . . . . . . . .
218
4.3.9. Запаянный капилляр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
4.3.10. Испарение капли воды при 100% влажности . . . . . .
220

Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224

ВВЕДЕНИЕ

По мнению нобелевского лауреата по физике Р. Фейнмана одним из самых главных и продуктивных утверждений, которые выработала наука, являются молекулярно-кинетические представления о строении вещества. Согласно этим представлениям,
любое тело — твердое, жидкое или газообразное — состоит из очень
большого количества частиц — атомов или молекул. Эти частицы
находятся в беспорядочном, хаотическом движении и взаимодействуют между собой. В этом утверждении содержится невероятно
большое количество информации об окружающем нас мире.
Казалось бы, что поведение таких систем (их еще называют
макросистемами) в принципе можно рассматривать на основе законов классической механики. Но это тупиковый путь, так как для
этого пришлось бы составить совершенно немыслимое число уравнений (даже если бы частицы подчинялись классическим законам
и имели бы точно известные начальные условия). В тоже время
именно гигантское число частиц привело к разработке двух радикально отличающихся методов изучения макросистем — молекулярной (статистической) физики и термодинамики.
Молекулярная (статистическая) физика ставит своей целью истолковать наблюдаемые на опыте свойства тел (давление, температура и т. п.) как суммарный результат действия молекул. При этом
наличие большого числа частиц приводит к новому типу закономерностей, имеющих статистический, вероятностный характер.
С другой стороны, многие соотношения между свойствами вещества можно понять, ни слова не говоря об атомах или молекулах,
т. е. не интересуясь микроскопической картиной строения вещества. В этом заключается термодинамический подход к изучению

Введение

макросистем. В основе термодинамики лежат несколько фундаментальных законов (начал термодинамики), установленных на основании обобщения большого числа экспериментальных фактов. В
силу этого выводы термодинамики имеют весьма общий характер.
Конечно, глубокое понимание термодинамики возможно лишь
после подробного изучения механизма, лежащего в основе того или
иного процесса. В этом смысле термодинамический и статистический методы изучения макросистем взаимно дополняют друг друга,
и их комбинированное применение позволяет более глубоко вникнуть в суть той или иной проблемы.

Г Л А В А
1

ОСНОВЫ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ

1.1.
ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ

1.1.1. Истечение газа из сосуда. Газ, заключенный
в сосуде объема V, вытекает в вакуум через небольшое отверстие
площади S. Найти закон изменения со временем концентрации газа n в сосуде. Средняя скорость движения молекул газа в сосуде
равна ⟨v⟩.
Изменение концентрации газа связано с тем, что часть молекул
вылетает из сосуда через отверстие. Если газ находится в равновесии, то его молекулы движутся совершенно беспорядочно, хаотически. Все направления движения равновероятны и ни одному из них не может быть отдано предпочтение. Часть молекул на
своем пути при движении к отверстию, испытывая столкновения
с другими молекулами, изменит направление своего движения и
не достигнет отверстия. Однако соударения не нарушают хаотического характера движения молекул и выбытие некоторого числа
молекул из группы, движущейся по направлению к отверстию, сопровождается одновременным переходом такого же числа молекул
из групп, не движущихся в направлении отверстия. Поэтому при
расчете числа молекул, покидающих сосуд, столкновения молекул
между собой можно не учитывать и считать, что все молекулы
движутся прямолинейно.
Выделим из N молекул, находящихся в сосуде, dNv молекул,
скорости которых заключены в интервале от v до v + dv. В силу
хаотичности движения разумно подсчитывать число молекул, летящих в каком-то направлении, через телесный угол dΩ, в пределах которого заключены направления движения молекул. В сфе

Глава 1. Основы молекулярно-кинетической теории

рической системе координат (рис. 1.1) бесконечно малый телесный
угол dΩ можно определить следующим образом:

dΩ = dS

r2 = rdθ · r sin θ · dϕ

r2
= sin θ dθ dϕ.

Тогда число молекул dNv,θ,ϕ, движущихся со скоростью v в пределах телесного угла dΩ, составит:

dNv,θ,ϕ = dNv
dΩ
4π .

В силу однородности пространственного распределения молекул внутри сосуда из всего числа молекул dNv,θ,ϕ, находящихся
в сосуде и движущихся под углом θ в направлении отверстия, за

Рис. 1.1
Рис. 1.2

время dt успеет долететь только часть молекул dN′
v,θ,ϕ. Нетрудно
понять, что это число будет равно

dN′
v,θ,ϕ = dNv,θ,ϕ
dV
V ,

где dV — объем косого цилиндра с основанием S и высотой v cos θ dt
(рис. 1.2). Таким образом, число молекул, попавших в отверстие за
время dt в направлении телесного угла dΩ можно записать в виде:

dN′
v,θ,ϕ = dNv
dΩ
4π
Sv cos θ dt

V
= dNvvS dt

4πV
cos θ sin θ dθ dϕ.

Чтобы получить полное число молекул, вылетевших через отверстие за время dt, нужно проинтегрировать последнее выражение по углу ϕ от нуля до 2π, по углу θ от нуля до π/2 и по всем
возможным скоростям движения молекул в сосуде:

dN′ = S dt

4πV

π/2
0
cos θ sin θ dθ

2π0
dϕ
v dNv.

1.1. Тепловое движение частиц
11

Интегралы по углам равны π. А интеграл по скоростям будет равен
произведению полного числа молекул в сосуде N на их среднюю
скорость ⟨v⟩ (именно так и вводится понятие средней скорости).
Таким образом, полное число молекул, вылетевших через отверстие за время dt, составит

dN′ = S dt

4V N⟨v⟩ = 1

4Sn⟨v⟩ dt,

где n — концентрация молекул в сосуде в данный момент времени. Поделив данное выражение на объем сосуда V, находим, что
уменьшение концентрации молекул газа в сосуде за время dt будет
равно:

dn = − 1

4
S⟨v⟩

V n dt

(знак минус появился потому, что dn < 0). После интегрирования
получаем

n(t) = n0 exp
»
−⟨v⟩S

4V t
–
,

где n0 — начальное значение концентрации молекул газа в сосуде.
1.1.2. Давление фотонного газа. Внутри нагретого до высокой температуры ящика объемом V с зеркальными стенками имеется огромное число фотонов, обладающих полной энергией U. Найти давление фотонного газа.
В качестве такого ящика можно взять очень горячую звезду. В
ней, правда, много атомов, но если ее температура очень высока, то
атомами можно пренебречь и считать, что все пространство внутри
звезды целиком заполнено фотонами.
Выделим на одной из стенок ящика небольшой элемент площадью ∆S и рассмотрим направление X, перпендикулярное этой
площадке. Каждый фотон, обладая импульсом ⃗p, при отражении от
стенки сообщает ей импульс 2px. Подсчитаем теперь число столкновений фотонов с элементом ∆S. Понятно, что за время dt ударятся о стенку только те фотоны, которые расположены от нее на
расстоянии не большем vx dt, где v — скорость фотонов (она для
всех одинакова и равна скорости света). Если полное число фотонов в ящике N, то за время dt число соударений с элементом ∆S
будет равно (N/V)vx dt ∆S. Если это число помножить на импульс,
сообщаемый стенке одним фотоном, то в силу второго закона Ньютона мы получим импульс силы давления на элемент ∆S:

F dt = 2N

V vxpx∆S dt.

Глава 1. Основы молекулярно-кинетической теории

Так как отношение силы к площади — это и есть давление, то
давление фотонного газа P будет равно

P = 2N

V vxpx.

Исправим теперь кое-какие неточности. Прежде всего, не все
фотоны движутся в одном направлении, так что мы имеем дело
с разными vx. Поэтому усредним полученное выражение по всем
фотонам:

P = N

V ⟨vxpx⟩ .

Двойка пропала, так как лишь половина фотонов движется на стенку. Кроме того, фотоны движутся в ящике в произвольных направлениях и «X-направление» для них ничем не отличается от любого
другого (Y или Z). В силу полной неразличимости направлений
можно записать

⟨vxpx⟩ = ⟨vypy⟩ = ⟨vzpz⟩.

Откуда сразу следует

⟨vxpx⟩ = 1

3⟨vxpx + vypy + vzpz⟩.

Так как правая часть последнего равенства представляет собой просто скалярное произведение ⟨⃗v⃗p⟩, то

⟨vxpx⟩ = 1

3⟨⃗v⃗p⟩.

И тогда выражение для давления фотонного газа можно представить в виде:

P = N

V
1
3⟨⃗v⃗p⟩.

Чему равно произведение ⃗v⃗p? Импульс и скорость направлены
одинаково, а скорость равна скорости света. Поэтому ⃗v⃗p — это
импульс фотона, умноженный на скорость света. А произведение
импульса фотона на скорость света — это энергия фотона E = pc.
Произведение средней энергии фотона на их полное число дает
полную энергию всех фотонов в ящике U. И окончательно для
давления фотонного газа получаем выражение

P = U

3V ,

1.1. Тепловое движение частиц
13

т. е. для фотонного газа произведение давления на объем равно 1/3
от полной энергии:

PV = 1

3U.

1.1.3. Сосуд с перегородками. Сосуд разделен перегородками
на N изолированных отсеков (рис. 1.3). Смесь одинаковых количеств водорода и гелия находится в первом отсеке, остальные отсеки пусты. На короткое время открывают отверстие между первым
и вторым отсеками, затем его закрывают и через некоторое время

Рис. 1.3

открывают отверстие между вторым и третьим отсеками и т. д.
Найти отношение концентраций водорода и гелия в последнем отсеке.
Конечно, если бы отверстия открывались на достаточно продолжительное
время,
то
отношение
концентраций газов в последнем отсеке было бы точно такое же,
как и в первом. Если же отверстия открывать на небольшое время,
то тем самым мы даем шанс более быстрым молекулам из первого отсека чаще пролетать через отверстие во второй отсек. Это
естественно приведет к повышению концентрации более быстрых
молекул в соседнем отсеке. Осталось только выяснить — молекулы
какого газа (гелия или водорода) двигаются более быстро? Это
достаточно трудная задача, хотя окончательный результат запоминается очень легко.
Итак, рассмотрим две сталкивающиеся молекулы, обладающие
разными массами и скоростями. Для простоты будем наблюдать
за столкновением из системы их центра масс. В этом случае, как
известно, из законов сохранения импульса и энергии следует, что
после столкновения в Ц-системе разные молекулы будут двигаться
с прежними по модулю скоростями, изменив только направление
движения.
В силу полной хаотичности движения молекул в газе центр масс
любой пары молекул будет двигаться в произвольно выбранном направлении с той же вероятностью, что и в любом другом. Рассмотрим теперь скалярное произведение относительной скорости
движения разных молекул ⃗v12 на скорость их центра масс ⃗vс. Так
как газы в сосуде находятся в равновесии, то все направления относительной скорости ⃗v12 равновероятны относительно направления
скорости центра масс ⃗vс. Это означает, что никакой корреляции
между направлением ⃗vс и ⃗v12 не существует. Если бы даже такая

Глава 1. Основы молекулярно-кинетической теории

корреляция существовала вначале, то столкновения ее разрушили
бы и она, в конце концов, исчезла бы полностью. Поэтому среднее
значение косинуса угла между векторами ⃗vс и ⃗v12 равно нулю. Это
значит, что среднее значение ⟨⃗v12⃗vс⟩ равно нулю. Вспомним теперь,

что ⃗v12 = ⃗v1 −⃗v2, а ⃗vс = m1⃗v1 + m2⃗v2

m1 + m2
. Тогда

⟨⃗v12⃗vс⟩=
fi(⃗v1 −⃗v2)(m1⃗v1 +m2⃗v2)

m1 + m2

fl
=

˙
m1v2
1 −m2v2
2
¸
+(m2 − m1)⟨⃗v1⃗v2⟩

m1 + m2
=0.

(1.1)
Чему же равно среднее значение проекции скорости одной молекулы на направление движения другой? Ясно, что вероятности
движения молекул как в одну сторону, так и в противоположную,
одинаковы, т. е. среднее значение скорости ⃗v2 в любом направлении равно нулю. Поэтому и в направлении ⃗v1 среднее значение
скорости ⃗v2 также равно нулю. Тогда из (1.1) следует, что среднее
значение m1v2
1 должно быть равно среднему значению m2v2
2. Таким
образом, мы доказали, что средние значения кинетической энергии
разных по массе молекул (атомов) смеси газов, находящейся в равновесии, одинаковы!
1

2m1v2
1
=
1

2m2v2
2
.

Это чрезвычайно важный результат. Отсюда в частности следует, что более тяжелые атомы (молекулы) движутся в среднем
медленнее более легких, причем отношение скоростей обратно квадратному корню из отношения масс

v1
v2 =

m2
m1 .
(1.2)

Вернемся теперь к нашей исходной задаче. В силу соотношения
(1.2) молекулы водорода в среднем движутся в
√

2 раз быстрее, чем
атомы гелия
vH
vHe =
µHe
µH =
√

2.
(1.3)

Ранее в задаче 1.1.1 было показано, что число пролетающих через небольшое отверстие атомов пропорционально произведению
концентрации атомов на их среднюю скорость. Отсюда следует с
учетом соотношения (1.3), что при открывании на короткое время
отверстия между первым и вторым отсеками концентрация водорода во втором отсеке будет в
√

2 раз выше, чем в исходном первом.
В третьем же отсеке отношение концентраций будет уже равно 2,
так как в него приходят атомы (молекулы) из второго отсека, в