Математический взгляд на актуальные проблемы методики обучения математике в начальной школе

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Московский педагогический государственный университет»

А. Л. Чекин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД 
НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ 
МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Монография

МПГУ
Москва • 2018

УДК 51:373(072) 
ББК 74.262.21-243
 
Ч-371

Рецензенты:
В. А. Ситаров, доктор педагогических наук, профессор, 
заведующий кафедрой педагогики и психологии высшей школы 
АНО ВО «Московский гуманитарный университет»
А. С. Добротворский, кандидат физико-математических наук, 
профессор кафедры математики и информатики в начальной школе 
Института детства ФГБОУ ВО «Московский педагогический 
государственный университет»

 
 
Чекин, Александр Леонидович.  
Ч-371  
Математический взгляд на актуальные проблемы методики 
обучения математике в начальной школе : монография / А. Л. Чекин. – Москва : МПГУ, 2018. – 64 с. 
 
 
ISBN 978-5-4263-0699-8 

В настоящей монографии рассматриваются избранные актуальные вопросы методики обучения математике в начальной школе. При этом основное внимание уделяется тому, как на решение этих вопросов влияет математическая составляющая 
соответствующего методического подхода. Практическая реализация изложенных 
в монографии методических идей осуществлена в авторском УМК по математике 
для 1–4 классов проекта «Перспективная начальная школа».
Монография предназначена для преподавателей методики обучения математике 
педагогических вузов, методистов и учителей начальных классов, а также может быть 
полезна студентам и магистрантам, обучающимся по направлению «Педагогическое 
образование».
УДК 51:373(072) 
ББК 74.262.21-243 

ISBN 978-5-4263-0699-8 
© МПГУ, 2018
© Чекин А. Л., текст, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ГЛАВА 1. Методика обучения математике как интегративная наука

1.1. Интегративные составляющие методики 
обучения математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Возможность и целесообразность создания интегративного 
математико-методического курса для профессиональной подготовки 
будущих учителей начальных классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Соотношение математической и методической составляющих 
в современном учебнике математики для начальной школы . . . . . . . . . . 14

ГЛАВА 2. Избранные вопросы методики обучения математике 
в начальной школе: влияние математической составляющей

2.1. Особенности формирования понятий «число» и «цифра»
у младших школьников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Вычислительная составляющая процесса обучения математике 
в начальной школе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3. Алгоритмическая содержательная линия 
начального курса математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4. Величины «цена» и «стоимость» в начальном курсе математики . . . . . .27

2.5. Величины «скорость» и «расстояние» 
в начальном курсе математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6. Аналогия при обучении младших школьников 
решению задач с пропорциональными величинами . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7. Действия над величинами, изучаемыми в начальной школе . . . . . . . 39

2.8. Моделирование как средство обучения математике младших 
школьников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.9. Формирование математических понятий у младших школьников 
с опорой на остенсивные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.10. Понимание как основа образовательной стратегии обучения 
математике в начальной школе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Введение

Автор настоящей монографии начинал свою научную и педагогическую деятельность как математик. Итогом этой деятельности 
стала защита в 1987 году кандидатской диссертации по специальности 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел. 
Поворотным пунктом в нашей профессиональной деятельности 
стало полученное в 1990 году приглашение от выдающегося отечественного педагога Ш. А. Амонашвили к работе в его лаборатории 
гуманно-личностного подхода при Центре педагогических инноваций, которым в то время руководил Э. Д. Днепров. С этого времени проблемы обучения математике младших школьников для нас 
становятся приоритетными. Исследования и наработки в этой области в конечном итоге вылились в написание комплекта учебников по математике для начальной школы в рамках образовательного 
проекта «Перспективная начальная школа». Этот учебно-методический комплект стал официально использоваться в школьной практике начиная с 2002 года. За последующие годы автором было написано достаточно большое количество статей по актуальным проблемам 
методики обучения математике в начальной школе. Учитывая, 
что все эти статьи разбросаны во времени и по журналам, которые 
имеют разную степень доступности для учителей начальной школы, 
мы решили собрать эти материалы вместе, чтобы ими было удобно 
пользоваться. Так и появилась мысль написать настоящую монографию. При этом в названии мы специально хотели подчеркнуть тот 
факт, что на рассматриваемые методические проблемы предлагается взглянуть глазами математика. Это может быть не совсем привычно для многих специалистов в данной области, но совершенно точно 
имеет право на существование.

ГЛАВА 1. Методика обучения математике 
как интегративная наука

1.1. Интегративные составляющие методики 
обучения математике

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования «устанавливает требования к результатам 
обучающихся, освоивших основную образовательную программу начального общего образования: 
Личностным, включающим готовность и способность обучающихся к саморазвитию, сформированность мотивации к обучению 
и познанию, ценностно-смысловые установки обучающихся, отражающие их индивидуально-личностные позиции, социальные компетенции, личностные качества; сформированность основ гражданской 
идентичности. 
Метапредметным, включающим освоенные обучающимися универсальные учебные действия (познавательные, регулятивные и коммуникативные), обеспечивающие овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу умения учиться, и межпредметными 
понятиями.
Предметным, включающим освоенный обучающимися в ходе 
изучения учебного предмета опыт специфической для данной предметной области  деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению, а также систему основополагающих 
элементов научного знания, лежащих в основе современной научной 
картины мира» [1, с. 5].
При этом обучение математике в начальной школе традиционно 
должно выполнять три основные функции: развивающую, образовательную и воспитательную. Аналогичные функции должны быть 
реализованы и в процессе обучения математике в основной школе. 
Каждая из перечисленных функций является предметом изучения 
самостоятельной науки: проблемами развития личности занимается 
психология; образовательная функция – предмет изучения дидактики; вопросами воспитания ведает теория воспитания. При этом сама 
математика, об обучении которой и идет речь, является достаточно сложной системой знаний, объединяющей в себе самые разнообразные теории и направления. В процессе обучения математике все 

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ 
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

перечисленные системы знаний тесно взаимодействуют между собой, порождая новую систему знаний, которая может быть названа 
методикой обучения математике. Тем самым очевиден интегративный характер методики обучения математике. Понятно, что эта новая 
система знаний при своем построении будет активно использовать 
понятия, факты, законы интегрирующихся наук, но делать это она 
уже будет в несколько измененной (адаптированной для своих целей) 
форме. В то же время вполне правомерно утверждать, что указанные 
составляющие могут рассматриваться и как естественные структурные компоненты методики обучения математике.
Таким образом, мы приходим к определению методики обучения математике как науки о развитии, образовании и воспитании 
учащихся в процессе изучения математики. Учитывая, что методика обучения математике появилась на стыке математики, педагогики и психологии, мы с полным основанием можем рассматривать 
ее как пример междисциплинарной интеграции на самом высоком уровне – системном. А все перечисленные науки входят в эту 
новую систему на правах структурных компонентов, хотя и с определенными адаптационными изменениями, связанными с особенностями субъектов образовательной математической деятельности. 
Само определение методики обучения математике как интегративной науки требует интегративного подхода к предмету ее изучения. 
Определенную связующую и обобщающую роль для всех составляющих методики обучения математике выполняет философия как наука о всеобщих законах развития общества и человека во всех возможных проявлениях.
Методика обучения математике как наука призвана дать ответ на два важнейших вопроса образовательной деятельности: чему 
учить? как этому учить? Существует точка зрения, согласно которой 
методика обучения математике должна отвечать еще и на вопрос: 
для чего учить? С нашей точки зрения, ответ на этот последний вопрос должна давать не методика обучения математике как наука (хотя 
полностью дистанцироваться от этого вопроса она, конечно, не может), а та государственная структура, которая отвечает за разработку 
политики в области образования. Поэтому мы сосредоточимся на рассмотрении двух первых из перечисленных выше вопросов. Эти вопросы порождают ряд проблем, которые должны решаться методикой 
обучения математике с учетом взаимодействия трех основных функций обучения. К таким проблемам можно отнести следующие:

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

• постановка целей и задач процесса обучения математике соответствующей категории учащихся;
• определение содержания курса математики в соответствии с поставленными целями и задачами;
• разработка методов, средств и форм обучения, которые соответствовали бы выбранному содержанию и были направлены на решение поставленных целей;
• изучение процесса обучения математике с позиции деятельности учителя;
• изучение процесса обучения математике с позиции деятельности учащихся;
• оценка результатов обучения как продвижение в развитии учащихся.
Для обоснования интегративного характера методики обучения 
математике исследуем ее взаимоотношение с областями знаний, которые выступают в роли ее составляющих, что позволит установить 
характерные особенности самой методики обучения математике. 
Наиболее тесная связь методики наблюдается с дидактикой. Методику 
даже иногда называют частной дидактикой. Исследуем более подробно их взаимосвязь. Для этого обратимся еще раз к вопросу о том, какие функции практического характера должна выполнять методика. 
По мнению М. Р. Львова [38], с которым мы вполне согласны, методика, во-первых, определяет цели и задачи обучения своему предмету, вписывая его в целостную модель образования, определяет объем 
изучаемого материала в соответствии с социальным заказом общества, изучает степень доступности этого материала возрасту учащихся, распределение материала по классам, его структуру и дозировку 
по темам и урокам, устанавливает межпредметные связи, задает соотношение теоретического и практического материала и т. д. Не следует 
забывать и о том, что методика определяет критерии и нормы оценки знаний и умений учащихся. Практическим результатом всей этой 
работы является создание учебно-методических комплектов по данному предмету для данной возрастной категории учащихся. Такой 
комплект, как правило, включает в себя программу по предмету, учебники, учебные пособия, методические пособия для учителя, различную дополнительную литературу справочного характера и т. д.
Во-вторых, методика дает учителю рекомендации о том, как построить процесс обучения данному предмету, чтобы реализовать поставленные цели, а учащимся – как организовать свой познавательный 

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ 
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

труд. Методика разрабатывает и предлагает методы и приемы обучения в зависимости от специфики изучаемого материала.
В-третьих, методика занимается выяснением эффективности указанных методов и приемов, что позволяет дать рекомендации по их 
выбору, разработкой и сравнительным исследованием вариативных 
методик, их результативности, исследованием трудностей, встречающихся при обучении данному предмету, изучением ошибок, их 
диагностикой и прогнозированием, поиском путей устранения этих 
трудностей и ошибок; экспериментальной проверкой новых учебнометодических комплектов.
В силу того, что методика возникла из практики обучения, она изначально тяготела к той науке, преподаванием которой и занималась. 
В дальнейшем же методика вошла в систему педагогических наук, сохранив свой прикладной характер и развив свою собственную фундаментальную часть, которая занимается вопросами усвоения учебного 
материала учащимися, формированием специфических умений и навыков. Теснейшая связь методики и дидактики проявляется в наличии 
общей стратегической цели – осуществить обеспечение учебно-воспитательного процесса в школе. И дидактика и методика исследуют 
закономерности этого процесса, только дидактика определяет общую 
закономерность, которая не ограничена областью одного предмета, 
а методика, наоборот, сосредотачивает свое внимание на специфических закономерностях в процессе обучения данному предмету. Связь 
методики и дидактики проявляется и в том, что обе науки имеют 
общую систему основных понятий (обучение – обучение математике, умения учащихся – вычислительные и другие умения учащихся, 
урок – урок математики и т. п.), а любая методическая система опирается на основные дидактические принципы, которые адаптируются 
к этой системе. Так, дидактический принцип наглядности может быть 
на уроках математики трансформирован в принцип графической 
и схематической наглядности.
Не менее важное значение для методики имеет и ее интеграция 
с психологией. При этом мы имеем в виду не только то, что лежит 
на поверхности, а именно: вопросы развития в процессе обучения. 
Все эти вопросы напрямую связаны с психологическими исследованиями и достижениями в области психологии. Совсем не случайно, 
что видные отечественные психологи, занимающиеся исследованием соответствующих проблем, пришли к созданию собственных 
методических систем, разработанных на базе созданных ими пси

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

хологических теорий. В качестве примера можно привести систему 
Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова и систему Л. В. Занкова. Именно эти 
две системы были очень основательно разработаны и стали очень популярными в практике начального обучения в целом, и начального 
обучения математике в частности. Кратко эти системы можно охарактеризовать следующим образом.
В основе развивающего обучения школьников по системе 
Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова лежит теория формирования учебной 
деятельности и ее субъекта в процессе усвоения теоретических знаний посредством анализа, планирования и рефлексии [21, 86]. В соответствии с этим для формирования учебной деятельности у младших 
школьников необходимо, чтобы они систематически решали учебные задачи. При этом они находят общий способ подхода ко многим 
частным задачам, которые в последующем выполняются без особых 
усилий на основе этого общего подхода. Это означает, что обучение 
в данной системе строится по дедуктивному принципу: от общего 
к частному. Так, начальный курс математики в этой системе построен не на числовой, а на величинной основе: сначала с использованием буквенной символики изучаются величины и их свойства, а уже 
потом вводится число как результат измерения величины, а изученные свойства величин автоматически переносятся на числа. Усвоение 
теоретических знаний посредством соответствующих действий требует ориентации на существенные отношения изучаемых объектов, 
предполагающей анализ, планирование и рефлексию содержательного характера. Таким образом, при усвоении теоретических знаний возникают условия для развития названных мыслительных действий как важных компонентов теоретического мышления. Младший 
школьник в роли субъекта выполняет учебную деятельность сначала вместе с другими учащимися и с помощью учителя. Постепенно 
он переходит на самостоятельное выполнение различных видов учебной деятельности. Можно констатировать, что концепция развивающего обучения Д. Б. Эльконина – В. В. Давыдова нацелена, прежде всего, на развитие творчества как основы личности.
Несколько иную задачу поставил и решал в своих исследованиях 
Л. В. Занков [26]. Его исследовательская деятельность была направлена на построение такой системы начального обучения, при которой 
достигалось бы гораздо более высокое развитие младших школьников, чем при обучении по сложившейся традиционной системе. Эта 
система создавалась на основе экспериментальных исследований, 

А. Л. ЧЕКИН. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЗГЛЯД НА АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДИКИ 
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

проведение которых должно было демонстрировать эффективность использования особых программ и методов. Так, начальный 
курс математики в этой системе был построен на теоретико-множественной основе, что придавало ему высокий уровень теоретизации. 
Отличительными чертами системы Л. В. Занкова являются:
• высокий уровень трудности, на котором ведется обучение;
• быстрый темп прохождения учебного материала;
• значительное повышение удельного веса теоретических знаний;
• осознание школьниками процесса учения;
• направленность на высокое общее развитие всех школьников 
(это основная характеристика системы).
Все перечисленные выше положения в системе развивающего 
обучения Л. В. Занкова являются основными дидактическими принципами, суть которых кратко можно выразить следующим образом. 
Принцип обучения на высоком уровне трудности означает не столько то, что обучение превышает некоторую «среднюю норму» трудности, сколько то, что оно раскрывает духовные силы ребенка, дает им 
простор и направление, а усвоение определенных знаний становится 
и одновременно достоянием школьника, и средством, обеспечивающим переход на более высокую ступень развития. 
С первым принципом органично связан и второй принцип – обучение быстрым темпом. Согласно этому принципу, при изучении учебного материала нужно продвигаться вперед быстрым темпом, отказываясь от однообразного повторения пройденного. При этом очень 
важно, чтобы на каждом уроке учащиеся пополняли свой багаж знаний, а необходимое повторение нужно осуществлять с обязательным 
продвижением вперед. Действенным средством, позволяющим всем 
учащимся двигаться вперед быстрым темпом, является применение 
дифференцированной методики, суть которой состоит в том, что один 
и тот же вопрос может изучаться с разной степенью глубины постижения этого вопроса. 
Третий принцип данной системы говорит о ведущей роли теоретических знаний. Он не отрицает той значительной роли, которую играют образные представления младших школьников, но говорит о том, 
что абстрактный характер мышления для учащихся этого возраста 
не есть что-то недостижимое, а совсем наоборот, этот вид мышления 
можно и нужно развивать в первую очередь. 
Четвертый принцип системы говорит о необходимости осознания 
учащимися процесса учения. Для успешности обучения очень важно, 

ГЛАВА 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК ИНТЕГРАТИВНАЯ НАУКА

чтобы учащийся понимал, с какой целью предлагается для изучения 
тот или иной материал, как этот материал будет в дальнейшем работать, какое практическое применение ему можно найти. Другими словами, учащийся должен осознавать смысл того, что он делает на уроке.
Пятый принцип занимает особое положение в данной системе. 
Речь идет о целенаправленной и систематической работе по развитию всех учащихся, даже слабоуспевающих. Опыт Л. В. Занкова показал, что для слабоуспевающих учащихся специально организованная 
систематическая работа очень важна, но она совсем не должна состоять из большого количества однообразных тренировочных заданий. 
Нужны задания другого характера – творческие, интересные, но посильные. В этом случае положительная динамика в развитии слабоуспевающих учащихся очевидна. Что же касается других категорий 
учащихся, то и для них нужно организовывать работу либо группового, либо индивидуального характера.
Отличительной чертой системы Л. В. Занкова является богатство 
ее содержания. В этой системе общая картина мира преподносится 
учащимся на основе наук, литературы, искусства. В ней нет главных 
и второстепенных предметов. Содержанием обучения должна стать 
гармония красок, звуков, человеческих отношений. Методам этой 
системы свойственна многогранность, обращенность к пробуждению 
ума, чувства, положительных эмоций. Дидактическим стержнем урока является деятельность самих учащихся.
Однако не только описанные выше системы развивающего обучения являются убедительными примерами взаимодействия психологии и методики. Не менее важную роль в таком доказательстве играет 
и та психологическая база, на основе которой разрабатывается конкретная методическая система. Такой «психологический фундамент» 
призвана создавать соответствующая психологическая теория усвоения знаний, дающая возможность задействовать в процессе обучения 
определенные психические механизмы. Примером такой теории может служить теория поэтапного формирования умственных действий, 
созданная в середине прошлого века П. Я. Гальпериным [17]. В основе 
этой теории лежит учение об интериоризации, т. е. учение о процессе 
преобразования внешней предметной деятельности во внутреннюю 
психическую деятельность, о формировании внутренних умственных структур психики посредством усвоения внешней социальной 
действительности. Из этого следует, что учебно-воспитательный процесс можно рассматривать как процесс интериоризации. Проблема