Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Специальные разделы математики

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 632778.03.01
Доступ онлайн
от 148 ₽
В корзину
Рассмотрены специальные разделы математики, которые используются при изучении ряда специализированных дисциплин по направлению «Управление в технических системах». Приведены основные понятия, определения, теоремы. Для закрепления теоретического материала в конце каждого раздела приведены примеры и упражнения. Предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов, а также слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в области систем управления.

Специальные разделы математики: Практикум для технических систем

Данный практикум, подготовленный В.А. Крамарем, В.А. Карапетьяном и В.В. Альчаковым, представляет собой учебное пособие для студентов, магистрантов и аспирантов машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов, а также слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в области систем управления. Цель пособия — углубить и расширить знания студентов по специальным разделам математики, являющимся теоретической основой для изучения дисциплин по направлению «Управление в технических системах». Практикум содержит основные понятия, определения, теоремы и примеры с упражнениями для закрепления материала.

Теория множеств в описании систем

Первый раздел посвящен теории множеств, рассматривающей совокупности элементов. Рассмотрены основные понятия, такие как элементы множеств, принадлежность и непринадлежность, конечные множества и их мощность. Описаны способы задания множеств (перечислением и заданием свойств), а также понятие универсального множества. Введены понятия подмножества, собственного подмножества и равенства множеств. Рассмотрены операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Даны свойства операций над множествами, включая коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, законы поглощения, склеивания и теоремы де-Моргана. Введены понятия прямого произведения множеств, проекции и сечения множеств. Рассмотрены отображения и функции множеств, включая соответствия, отображения, сюръективные и инъективные отображения, а также функции. Рассмотрены бинарные отношения, их способы задания (перечислением упорядоченных пар и описанием свойств), матричный и графовый способы записи бинарных отношений. Даны определения классов эквивалентности, отношений порядка и строгого порядка.

Методы линейной алгебры в теории систем

Второй раздел посвящен методам линейной алгебры. Рассмотрены линейные пространства, их свойства и операции. Описаны понятия линейной зависимости векторов, базиса и координатных векторов. Даны формулы перехода из базиса в другой базис. Введены понятия нормы вектора, скалярного произведения, нормированного вектора, ортогональности векторов. Рассмотрены проекция вектора, ортонормированный базис и алгоритм Грама-Шмидта. Рассмотрены линейные операторы в конечномерных пространствах, их свойства, матрица линейного оператора, пространство определения и значений, ядро оператора. Рассмотрено влияние замены базиса на матрицу линейного оператора, канонические формы оператора, характеристический многочлен квадратной матрицы, собственные векторы и собственные числа оператора. Рассмотрены квадратичные формы, их свойства, критерий Сильвестра, влияние замены базиса на свойства квадратичной формы, критерии положительной и неотрицательной определенности квадратичных форм.

Математические методы теории сигналов

Третий раздел посвящен математическим методам теории сигналов. Рассмотрены элементы теории сигналов, включая определение сигнала, линейные пространства сигналов, нормы непрерывных и дискретных сигналов, нормированный сигнал, скалярное произведение, ортогональность сигналов, линейные подпространства в пространстве сигналов, критерий линейной независимости сигналов, теорема об ортогональной проекции сигнала на подпространство. Рассмотрены обобщенный ряд Фурье, гармонический ряд Фурье, ряд Уолша, комплексный ряд Фурье, интеграл Фурье, преобразование Лапласа непрерывных сигналов, обратное преобразование Лапласа, преобразование Лапласа дискретных сигналов, z-преобразование, обратное z-преобразование, дискретное преобразование Лапласа.

Курсовая работа

Четвертый раздел посвящен курсовой работе, целью которой является приобретение практических навыков исследования систем по их математическим моделям. Работа состоит из четырех заданий, включающих исследование конечномерных подпространств сигналов, разложение непрерывного сигнала в обобщенный ряд Фурье, применение преобразования Лапласа и z-преобразования к исследованию решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений.

Текст подготовлен языковой моделью и может содержать неточности.

Крамарь, В. А. Специальные разделы математики: Практикум. — Москва : Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2019. — 123 с. - ISBN 978-5-9558-0504-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1019406 (дата обращения: 02.06.2025). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
СПЕЦИАЛЬНЫЕ

РАЗДЕЛЫ 

МАТЕМАТИКИ

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

201В.А. КрАмАрь, В.А. КАрАпетьян, В.В. АльчАКоВ

Севастопольский государственный университет

ПРАКТИКУМ

Крамарь В.А., Карапетьян В.А., Альчаков В.В.
Специальные разделы математики: Практикум. — М.: Вузов
ский учебник: ИНФРА-М, 2019. — 123 с.

ISBN 978-5-9558-0504-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012039-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104710-1 (ИНФРА-М, online)

Рассмотрены специальные разделы математики, которые используют
ся при изучении ряда специализированных дисциплин по направлению 
«Управление в технических системах». Приведены основные понятия, 
определения, теоремы. Для закрепления теоретического материала в конце каждого раздела приведены примеры и упражнения.

Предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов машино
строительных и приборостроительных специальностей вузов, а также слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в области систем управления.

К77

© Вузовский учебник, 2016

УДК 51-74(075.8)
ББК 22.1
 
К77

Подписано в печать 19.02.2019. Формат 60 90/16. Бумага офсетная 

Печать цифровая. Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 8,0 

ППТ20. Заказ № 00000

ТК 632778-1019406-240616

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ISBN 978-5-9558-0504-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-012039-3 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-104710-1 (ИНФРА-М, online)

УДК 51-74(075.8)
ББК 22.1

ООО «Издательский Дом «Вузовский учебник»
127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52

www.vuzbook.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Предисловие

Настоящее учебное пособие написано на основе курса «Специальные разделы математики», читаемого на протяжении ряда лет 
студентам, обучающимся по направлению «Управление в технических системах». Целью преподавания дисциплины «Специальные 
разделы математики» является необходимость углубить и расширить 
знания студентов по ряду областей высшей математики, которые 
являются теоретической основой специальных дисциплин, а также 
дать студентам полное представление об основных принципах работы с различными видами математических моделей, используемых в 
инженерной практике. Кроме того, студенты должны овладеть навыками решения практических задач. Учебное пособие составлено в 
соответствии с рабочей программой дисциплины «Специальные 
разделы математики» направления 27.03.01 «Управление в технических системах» и обеспечивает полную теоретическую и методическую поддержку соответствующих разделов математики.

Глава 1 
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 
В ОПИСАНИИ СИСТЕМ

1.1 
Краткие теоретические сведения

Множество есть совокупность элементов. Все элементы множества предполагаются различными. Элементы множеств — это отдельные объекты, из которых состоит множество.
Принадлежность элемента множеству обозначается как a
A
∈
, 
непринадлежность — как a
A
∉
.
Конечным называется множество, содержащее конечное число 
элементов. Количество элементов конечного множества называют 
мощностью множества A .
Множества можно задавать при помощи:
1. Перечисления:

{ , , , , }
A
a b c d e
=

Данный способ возможен лишь для конечных множеств;
2.Задания свойств:

{ условие принадлежности}.
A
a
=

Универсальное множество–U – это множество, в которое входят 
элементы всех множеств, рассматриваемых в исследуемой математической модели. 
Если любой элемент множества А входит во множество В, то множество А называется подмножеством множества В. Обозначение: 
A
B
⊆
.
Если существует элемент x
B
∈
, такой, что x
A
∉
, то множество А 
называется собственным подмножеством множества B . Обозначение: 
A
B
⊂
.
Два множества А и В равны (А=В), если А и В содержат строго 
одинаковые элементы.

Операции над множествами

Чтобы ввести операции над множествами, необходимо ввести 
такую систему подмножеств, чтобы:
• операции можно было производить над любыми подмножествами 
из этой системы;
• результатом операции было подмножество из этой системы.
Наиболее часто используется система P(U) — множество всех подмножеств универсального множества U. Если множество U — конечное, то 
( )
2U
P U
=
.

Объединением двух множеств А и В, обозначается A
B
∪
, называется множество, элементы которого принадлежат и множеству А, 
и множеству В или одновременно и А, и В.

{
или
или
,
}
A
B
x x
A
x
B
x
A x
B
=
∈
∈
∈
∈
∪
.

Свойства операции объединения:
1. A
A
A
=
∪
;
2. Если A
B
⊆
, то A
B
B
=
∪
.
 (Следствия 
,
A
A A
U
U
∅ =
=
∪
∪
).
Указанную операцию можно обобщить на любое число множеств:

1

n

i
i
B
A
=
= ∪
. 

Пересечением двух множеств А и В, обозначается A
B
∩
, называется множество, элементы которого принадлежат одновременно 
и множеству А, и множеству В.

{
и
}
A
B
x x
A
x
B
=
∈
∈
∩
.

Свойства операции пересечения:
1. A
A
A
=
∩
;
2. Если A
B
⊆
, то A
B
A
=
∩
.
 (Следствия: 
,
A
A
U
A
∅ = ∅
=
∩
∩
).
Указанную операцию можно обобщить на любое число множеств.

1

n

i
i
B
A
=
= ∩
.

Разностью между множествамиА и В, обозначается 
\
A
B , называется множество, элементы которого принадлежат множеству А, но 
не принадлежат множеству В

\
{
A
B
x x
A
=
∈
 и 
}
x
B
∉
.

Операция разности в общем случае не коммутативна, т.е. 
\
\
A
B
B
A
≠
.
Если определено универсальное множество, то дополнением множества А до универсального называется множество, элементы которого принадлежат универсальному множеству и не принадлежат 
множеству А.

{
и
}
A
x x
U
x
A
=
∈
∉
.

Свойства операции дополнения:
1. A
A
=
;
2. 
,
U
U
= ∅ ∅ =
.
Разбиение множества U — R(U) — это система множеств 
iA , удовлетворяющая следующим требованиям:
1. 
iA
∀
≠ ∅ ; 2. 
,
i
j
A
A
i
j
= ∅
≠
∩
; 3. 
i
i
A
U
=
∪
.

В разбиение может входить конечное и бесконечное количество 
множеств.
Операции над множествами обладают следующими свойствами:
• свойства коммутативности объединения и пересечения.

,
A
B
B
A
A
B
B
A
=
=
∪
∪
∩
∩
;

• свойства ассоциативности объединения и пересечения.

(
)
(
)
,
(
)
(
)
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
=
=
∪
∪
∪
∪
∩
∩
∩
∩
;

• свойства дистрибутивности объединения и пересечения.

(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
=
∩
∪
∩
∪
∩
,
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
=
∪
∩
∪
∩
∪
;

• законы поглощения

(
)
A
A
B
A
=
∩
∪
 ,
(
)
A
A
B
A
=
∪
∩
;

• законы склеивания

(
)
(
)
A
B
A
B
A
=
∩
∪
∩
,(
)
(
)
A
B
A
B
A
=
∪
∩
∪
;

• законы (теоремы) де-Моргана

A
B
A
B
=
∩
∪
, A
B
A
B
=
∪
∩
.

Прямое произведение множеств

Кортежем размерности n называется упорядоченный набор из 
n элементов

1
2
( ,
,...,
)
n
a
a a
a
=
,

в котором каждый из элементов 
ia  принадлежит заданному множеству 
iA . Здесь 
ia — координаты кортежа, а 
iA  — координатные множества.
Если зафиксировать конкретные значения n и 
,
1..
iA
i
n
=
, то получим множество кортежей.
Пусть в n- мерных кортежах 
1
2
( ,
,...,
)
n
a
a a
a
=
 координаты 
ia  принадлежат множествам 
iA . Тогда, множество всех кортежей А и называется прямым произведением множеств

1
2
....
n
A
A
A
A
=
×
×
⋅
.

Проекция и сечения множеств

Проекции кортежей. Пусть 
1
2
...
n
a
A
A
A
∈
×
×
. Тогда проекцией 
кортежа a на i-е координатное множество называется его i-я координата.

Пр i
i
a
a
=
, 

Пр
( ,
)
ij
i
j
a
a a
=
, где j>i.

Аналогично вводятся проекции на три и более координатных 
множеств.
Проекцией множества 
1
2
...
n
D
A
A
A
⊆
×
×
×
 на i-е координатное 
множество называется множество проекций Пр i a  всех кортежей 
a
D
∈
.
Аналогично определяются проекции множества Пр ij D  и на большее количество координатных множеств.
Сечением множества 
1
2
...
n
D
A
A
A
⊆
×
×
×
 по значению α  координаты 
ia D(
)
ia = α  называется множество всех кортежей a
D
∈
, у которых i-я координата равна 
.

(
)
{
иПр
}
i
i
D a
a a
D
a
= α =
∈
= α .

Отображения и функции множеств

Пусть заданы множества X, Y и S
X
Y
σ ⊆
×
. Между элементами 
множеств x
X
∈
 и y
Y
∈
 установлено соответствие σ , если ( , )
x y
Sσ
∈
. 
При этом тройка множеств 
(
, ,
)
X Y Sσ
σ =
называется соответствием.
Множество X называется множеством прообразов (аргументов). 
Множество Y называется множеством образов (значений). Множество Sσ  — графиком соответствия.
Часто используется другое обозначение соответствия:

: X
Y
σ
→
.

Матричный способ задания соответствия определяется матрицей, 
составляемой по следующему правилу:

1, (
,
)

0,(
,
)

i
j
ij
i
j

x x
S
M
m
x x
S

σ
σ
σ

∈
⎧⎪
=
= ⎨
∉
⎪⎩

Для всякого соответствия s существует обратное соответствие

1
1
( ,
,
)
Y X S
−
−
σ
σ
=
.

Здесь множество 
1
S
Y X
−
σ ⊆
⋅
, причем 
1
( , )
y x
S −
σ
∈
 тогда и только 
тогда, если ( , )
x y
Sσ
∈
.

1
{( , ) ( , )
}
S
y x
x y
S
−
σ
σ
=
∈
.

Обратное соответствие получается из исходного, если исходное 
соответствие рассматривается в обратном порядке. Проекция графика соответствия на первое координатное множество Пр X Sσ  называется областью определения, а проекция графика соответствия на 
второе координатное множество Пр Y Sσ  называется областью значения.
Частным случаем соответствия является отображение.

Отображением называется соответствие, у которого областью определения является область прообразов X=Пр X Sσ . Другими словами, отображение это всюду определенное соответствие.
Отображение Sσ называют сюрьективным, если для всякого элемента y
Y
∈
 существует хотя бы один элемент x
X
∈
, такой, что 

( , )
x y
Sσ
∈
.
Отображение Sσ  называют инъективным, если множество образов совпадает со множеством значений, т.е.

Y = Пр Y Sσ .

Чтобы обратное отображение было отображением, оно должно 
быть сюрьективным.
Функцией называется отображение f : X
Y
→
, если каждому элементу x
X
∈
 оно ставит в соответствие только один элемент y
Y
∈
 
(обладает свойством однозначности).

y = f(x).

Бинарные отношения

Пусть задано соответствие 
(
,
,
)
X X Sα
α =
. Элементы x, y множества Х связаны бинарным отношением a, если ( , )
x y
Sα
∈
.
Чаще вместо знака принадлежности ( , )
x y
Sα
∈
 применяют сокращенную запись x y
α . Множество кортежей называют графиком бинарного отношения.
Бинарные отношения могут быть заданы двумя способами:
1. Перечислением упорядоченных пар ( , )
x y
Sα
∈
;
2. Описанием свойств множества 
б
S .
Бинарные отношения используются в качестве признака, который лежит в основе разбиения множества на классы, т.е на представления множества через свои попарно непересекающиеся подмножества.

.
i
i
j
i
M
X ,
X
X
,i
j
=
= ∅
≠
∪
∩

Для конечных множеств могут быть использованы матричные 
и графовые способы записи бинарных отношений. 
Матричный способ состоит в следующем: все элементы множества нумеруются и составляется матрица Mα  размера x
x
×
 по правилу

,
1,
(
,
)

0, (
,
)

i
j
i j
i
j

x x
S
m
x x
S

α

α

∈
⎧⎪
= ⎨
∉
⎪⎩

.

Графовый способ. Все элементы множества обозначаются как 
вершины графа. Стрелка из
ix  в 
jx  означает, что (
,
)
i
j
x x
Sα
∈
.

Классами эквивалентности называют подмножество всех элементов, эквивалентных какому либо элементу множества.
Кроме отношения эквивалентности выделяют отношение порядка и строгого порядка.
Бинарным отношением порядка( )
≤ называют отношение, обладающее свойствами: рефлексивностью, антисимметричностью, транзитивностью.
Бинарное отношение является отношением строгого порядка( , )
< > , 
если для него справедливы свойства: антирефлексивности, антисимметричности, транзитивности.
Другие сведения, необходимые для решения задач этого раздела, 
можно получить, в частности, в [1], [2], [3], [4].

1.2 
Примеры

Пример 1. Пусть задано множество 

2
2
{( , ) (
5)
(
1)
1}
С
x y
x
y
=
−
+
−
≤
, 
2
С
R
⊆
.
Найти проекцию заданного множества С на 1-ое и 2-ое координатные множества и сечение множества С по координате 
0
y =
, по 
координате 
3
x =
 и по координате 
0
x =
.
Решение. Построим графическое представление заданного множества С.

x 
5 

1

y 

Рис. 1. Множество С

Из полученного рисунка видим, что заданные проекции имеют 
вид:

Пр 1С = Пр x С =[4,6];Пр 2С = Пр y С =[0,2],

и сечение множества С по заданным координатам — 

(
0)
{(5,0)}
C y =
=
;
(
5)
{(5, ) 0
2}
C x
y
y
=
=
≤
≤
;
(
0)
C x =
= ∅ .

Пример 2. Пусть задано множество 
{( , )
sin }
S
x y y
x
=
=
.
Найдем проекцию заданного множества на 1-е и 2-е координатные множества.

Пр 1S
R
=
; Пр 2
[ 1,1]
S = −
.

Найдем сечение множества S  по координате 
2
x
π
=
 и по коорди
нате y = 1:

(
)
{( ,1)}
2
2
S x
π
π
=
=
;

(
1)
{( ,1)
2
,
}
2
S y
x
x
k k
I
π
=
=
=
+ π
∈
.

Пример 3. Пусть заданы: множество прообразов X={x1,x2,x3}, 
множество образов Y={ 1, 2, 3, 4
y y
y
y
} и график соответствия

{( 1, 1),( 1, 2),( 1, 3),( 3, 3)}
S
x y
x y
x y
x
y
σ =
. Представить соответствие в виде 
графа и в виде матрицы.
Решение. Графическое представление соответствия имеет вид

 
x1                  x2                            x3 
 
 
 
 
 
 
 
y1                      y2                       y3                        y4 

Рис. 2. Графическое представление соответствия

Матричный способ задания соответствия определяется матрицей, 
составляемой по следующему правилу:

1 (
,
)

0 (
,
)

i
j
ij
i
j

x x
S
M
m
x x
S

σ
σ
σ

∈
⎧⎪
=
= ⎨
∉
⎪⎩

.

Таким образом, получаем матрицу вида

1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0

Mσ

⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

.

Доступ онлайн
от 148 ₽
В корзину