Основы начального курса математики в примерах и задачах

С. Б. Пенчанский

оСновы начального 

курСа математики 

в Примерах и задачах

Допущено Министерством образования Республики Беларусь 

в качестве учебного пособия для учащихся учреждений 
образования, реализующих образовательные программы 
среднего специального образования по специальности 

«Начальное образование»

Минск
РИПО
2018

УДК 510.2:373.3(075.32)
ББК 22.1я723

П25

А в т о р:

директор Горецкого педагогического колледжа УО «Могилевский 

государственный университет имени А. А. Кулешова», 

кандидат физико-математических наук С. Б. Пенчанский.

Р е ц е н з е н т ы:

цикловая комиссия дисциплин профессионального компонента 

ГУО «Минский городской педагогический колледж» 

(кандидат педагогических наук, доцент Н. В. Костюкович);

доцент кафедры математики и методики преподавания математики 

УО «Белорусский государственный педагогический университет имени 
Максима Танка», кандидат педагогических наук, доцент Е. П. Кузнецова.

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее 

части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Выпуск издания осуществлен при финансовой поддержке Министерства образо
вания Республики Беларусь.

Пенчанский, С. Б.

П25
Основы начального курса математики в примерах и задачах : 

учеб. пособие / С. Б. Пенчанский. – Минск : РИПО, 2018. – 
239 с. : ил.

ISBN 978-985-503-830-7.

В учебном пособии систематизируются теоретические основы началь
ного курса математики. Прослеживается постоянно реализуемая связь с 
курсом математики начальной школы и методикой обучения начального 
курса математики. Освещаются вопросы, связанные с элементами математической логики, способствующие углублению представлений учащихся о 
логическом строении математики.

Предназначено для учащихся учреждений среднего специального об
разования по специальности «Начальное образование».

УДК 510.2:373.3(075.32)
ББК 22.1я723

ISBN 978-985-503-830-7 
 
© Пенчанский С. Б., 2018
 © Оформление. Республиканский институт

профессионального образования, 2018

ПредиСловие

В процессе изучения учебной дисциплины «Основы началь
ного курса математики» будущие учителя должны глубоко и 
прочно усвоить основные понятия начальной математики. Знание основ должно не только обеспечить подготовку к практической деятельности, но и стать базой дальнейшего образования.

Для достижения этих целей в процессе изучения учебной 

дисциплины учащиеся должны получить четкие представления о 
базовых понятиях и операциях теории множеств, на основе которых у младших школьников формируется понятие натурального 
числа и операций над натуральными числами. Развитию логического мышления обучающихся должны способствовать изучение 
темы «Элементы математической логики», а также практическое 
применение основных понятий этой темы при рассмотрении различных соответствий и отношений и при изучении элементарных алгебраических и геометрических понятий, прежде всего 
тех, которые встречаются в начальной школе.

Учебное пособие написано в соответствии с типовой учебной 

программой.

Непременным условием успешного усвоения программы дан
ной учебной дисциплины должна быть постоянно реализуемая 
связь с курсом математики начальной школы и методикой обучения математике. Это и легло в основу отбора теоретического 
материала при подготовке учебного пособия.

В связи с введением ряда новых учебных дисциплин в пе
дагогических колледжах за последние десятилетия объем времени на изучение основ начального курса математики значительно 
уменьшился. В то же время в I–IV классах учреждений общего 

Предисловие

среднего образования расширился круг изучаемого математического материала. Поэтому еще одним важным критерием отбора 
материала при подготовке данного учебного пособия была оптимизация его объема и уровня сложности для обеспечения реального понимания и усвоения всеми учащимися.

При этом, несмотря на краткость изложения, содержание 

предлагаемого теоретического материала является достаточным 
для выполнения большинства практических заданий учебных 
пособий по основам начального курса математики.

В учебном пособии приведены примеры и задачи, а также 

ответы к отдельным задачам и пунктам задач.

СПиСок 

Символов и оБозначений

{х1, …..., xn} – множество, состоящее из элементов х1, ..., xn

{х | Р(х)} – множество элементов, обладающих свойством

Р(х)

∈ – знак принадлежности
∉ – отрицание принадлежности
N – множество натуральных чисел
N0 – множество целых неотрицательных чисел

Z – множество целых чисел
Q – множество рациональных чисел

Q0+ – множество рациональных неотрицательных чисел

I – множество иррациональных чисел
R – множество действительных чисел

R0+ – множество действительных неотрицательных 

   чисел

⊂ – знак включения
∩ – знак пересечения множеств
∪ – знак объединения множеств
/ – знак разности множеств

А
В
или B´A – дополнение множества В до множества А

В или В´ – дополнение множества В до универсального мно
   жества

× – знак декартова произведения

(а1, ..., an) – кортеж

Список символов и обозначений

a R b – соответствие или отношение R между элементами

а и b

R–1 – обратное соответствие или отношение
R1 – противоположное соответствие или отношение

¬А или А – отрицание высказывания A

И – истина
Л – ложь
U – универсальное множество
∧ – конъюнкция
∨ – дизъюнкция
⇒ – импликация
⇔ – эквиваленция
∀ – квантор общности
∃ – квантор существования

– отношение делимости

⊕ – состоит из

Глава 1

множеСтва и оПерации над ними

1.1. математические понятия

В математике мы имеем дело с различными математически
ми понятиями, предложениями и доказательствами.

Термин «понятие» обычно применяют для обозначения 

мысленного образа некоторой системы объектов (отношений 
и т. д.). Математические понятия, в отличие от множества других 
понятий, отражают в нашем мышлении определенные формы и 
отношения действительности, абстрагируясь при этом от самих 
реальных объектов. Следовательно, математические объекты, 
например число, геометрическая фигура и т. д., в окружающем 
мире реально не существуют. Они создаются человеческим умом 
и существуют лишь в мышлении человека. Но при этом математическое понятие как форма мышления отображает общие и 
существенные признаки реально существующих объектов. Например, математическое понятие «шар» выделяет существенную 
особенность – форму предметов: мячей, пузырей и т. д. Натуральное число 3 выражает количественную характеристику некоторых множеств, содержащих три конфеты, три машины и т. д.

Каждое понятие характеризуется объемом и содержанием.
Совокупность общих свойств объектов, охватываемых поня
тием А, составляет содержание этого понятия, которое обозначается символом SA.

Совокупность объектов, обладающих этими общими свой
ствами, называют объемом понятия А, которое обозначают символом VA.

Глава 1. Множества и операции над ними

Например, содержание понятия «параллелограмм» состав
ляют следующие свойства: «быть выпуклым плоским четырехугольником», «иметь попарно параллельные противоположные 
стороны», «иметь равные противоположные стороны», «иметь 
диагонали, которые в точке взаимного пересечения делятся пополам» и т. п. Объемом понятия «параллелограмм» являются все 
паралелограммы, т. е. фигуры, обладающие этими признаками.

Содержание понятия раскрывается с помощью определения.
При изучении математики в начальной школе большую роль 

играют наглядные представления о математических понятиях, 
поэтому значение слов часто определяют путем показа предметов, которые этими словами обозначают. Такие определения называют остенсивными. Так, например, непосредственной демонстрацией нарисованных фигур или объектов окружающего мира 
вводят понятия отрезка, треугольника, угла, прямого угла и т. п.

В начальных классах некоторые понятия определяются опи
санием ситуации, в которых эти понятия встречаются. Так, например, показывая процесс сравнения и измерения площадей 
плоских фигур, вводят понятие площади фигуры, единицы площади. Аналогично, рассматривая два множества, содержащих 
разное число элементов, вводят понятия отношений больше и 
меньше, а рассматривая конкретные задачи, которые сводятся 
к разбиению множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества, – понятия частного и деления. Такие 
определения называют контекстуальными.

С накоплением достаточного количества понятий появляется 

возможность определения новых понятий через известные. Например, определение через ближайший род и видовое отличие 
заключается в названии ближайшего рода и указании видового 
отличия. Род в данном случае выступает как совокупность объектов, обладающих определенным свойством (или несколькими 
свойствами), а видовое отличие – как отличительное свойство 
некоторой части объектов, принадлежащих указанному роду.

Пример. Квадрат – это прямоугольник (название ближай
шего рода, т. е. совокупности объектов, обладающих свойством 
«быть плоским четырехугольником со всеми прямыми углами»), 
у которого все стороны равны (указание видового отличия).

Выбор ближайшего рода и видового отличия не является од
нозначным. Квадрат можно определить и как прямоугольник с 

1.1. Математические понятия

равными сторонами, и как ромб, имеющий прямой угол. В одном 
случае за ближайший род принят прямоугольник, во втором – 
ромб. В каждом случае имеется свое видовое отличие.

Так, если даны понятия А и В, VB целиком входит в VA, а 

VA ≠ VB, то понятие А называют родовым по отношению к В, а
В – видовым по отношению к А. В этом случае говорят, что понятие А шире понятия В, а В – частный случай А.

Например, понятие прямоугольника шире понятия квадрата, 

так как всякий квадрат является прямоугольником, а обратное 
утверждение неверно.

При изучении математики в учреждениях общего среднего 

образования широко применяют и генетические определения, в 
которых указано, как возникает, создается новое понятие. Таковы, например, определения: «конусом называют фигуру, образованную вращением прямоугольного треугольника вокруг одного 
из катетов», «объединение замкнутой многогранной поверхности 
и ее внутренней области называют многогранником» и т. п.

Существуют и другие различные способы определения по
нятий. К определению понятий предъявляется ряд требований, 
при выполнении которых определение называют корректным. 
Укажем некоторые из них.

В определении не должно содержаться «порочного круга». 

Определение (или несколько определений) содержит «порочный 
круг», если определяемое понятие А определяется через понятие 
В, а В, в свою очередь, – через А. Например: «Перпендикулярными называют прямые, пересекающиеся под прямым углом» и 
«Прямыми углами называют углы, образующиеся при пересечении перпендикулярных прямых».

Так, в начальной школе «порочный круг» может возникнуть 

при определении прямого угла, если прямыми углами назвать 
углы прямоугольника (наглядное представление о прямоугольнике формируется у учащихся раньше, чем по учебной программе вводится понятие прямого угла), а понятие «прямоугольник» 
вводить на основании понятия «прямой угол» (в начальных классах прямоугольником называют четырехугольник, у которого все 
углы прямые).

Обязательно должны существовать объекты, обладающие 

свойствами, указанными в определении.

Желательно, чтобы определение не было избыточным, т. е. не 

содержало излишних требований. Это условие иногда нарушают 

Глава 1. Множества и операции над ними

ради простоты изложения, облегчения наглядного представления 
определяемых объектов. Так, в начальной школе квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны (достаточно равенства двух соседних сторон).

В процессе определения многих понятий одно понятие (на
пример, «квадрат») определяют через другое, более широкое 
(«прямоугольник»), которое, в свою очередь, также может быть 
определено через еще более широкое понятие («параллелограмм», 
«четырехугольник», «многоугольник»). Продолжая этот процесс, 
можно прийти к понятиям наиболее широким и общим, для 
которых часто невозможно указать ближайший род. Такие понятия называют фундаментальными (основными, первичными, 
неопределяемыми). Таковы, например, понятия «множество», 
«прямая», «точка», «плоскость» (которые, впрочем, можно свести 
далее к единственному понятию «множество»).

Задачи и вопросы для контроля знаний

1. Верно ли, что объем понятия «прямоугольник» шире, чем 

объем понятия «квадрат»? Какая взаимосвязь существует между 
содержанием этих понятий?

2. Начертите три объекта, принадлежащие объему понятия: 

а) геометрическая фигура;  
 
в) квадрат; 

б) прямоугольник;  
 
 
г) ромб.

3. Каков объем понятий «цифра», «однозначное число»?
4. Назовите несколько свойств, общих для прямоугольника и 

квадрата, и выясните, какое утверждение верное: 

а) всякое свойство прямоугольника присуще квадрату; 
б) всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику.

5. Среди перечисленных выделите свойства, которыми об
ладает квадрат:

а) диагонали в точке пересечения делятся пополам;
б) диагонали делят углы пополам;
в) диагонали разбивают фигуру на четыре равносторонних 
треугольника

6. Какими свойствами из названных в задаче 5 обладают: 

а) прямоугольник; 
б) параллелограмм; 
в) ромб?