Математика

И. А. Кочеткова
Ж. И. Тимошко
С. Л. Селезень

МАТЕМАТИКА

ПРАКТИКУМ

До пущено  М инист ер ст во м об р а зо в а ния Р еспубл ики Б ел а р усь 

в  кач ест в е уч еб но го  по со б ия дл я уч а щихся уч р еж д ений 

об р а зо в а ния,  р еа л изую щих о б р а зо в ат ель ны е пр о гр а ммы  

ср ед него  специа ль но го  о бр а зо в а ния 

Минск
РИПО
2018

УДК 51(076.5)
ББК 22.1я723

К55

А в т о р ы:  

преподаватели филиала «Молодечненский государственный политехнический 

колледж» УО РИПО И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко, С. Л. Селезень.

Р е ц е н з е н т ы:

цикловая комиссия математических и естественнонаучных дисциплин 

УО БГУИР филиал «Минский радиотехнический колледж» (Н. И. Романовская);

доцент кафедры «Высшая математика» УО «Белорусский государственный 
аграрный технический университет», кандидат физико-математических наук, 

доцент Л. А. Хвощинская.

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или лю
бой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Выпуск издания осуществлен при финансовой поддержке Министерства об
разования Республики Беларусь.

Кочеткова, И. А.

К55
Математика. Практикум : учеб. пособие / И. А. Кочеткова, Ж. И. Тимошко, 

С. Л. Селезень. – Минск : РИПО, 2018. – 503 с. : ил.

ISBN 978-985-503-773-7.

Учебное пособие включает практические занятия по темам в соответствии с типо
вой учебной программой по учебной дисциплине «Математика». Для каждого учебного занятия сформулированы цели, представлен краткий обзор теоретического материала, включены вопросы для самоподготовки, предложен разбор типовых примеров 
и даны задания для самостоятельного выполнения. 

Предназначено для учащихся учреждений среднего специального образования.

УДК 51(076.5)
ББК 22.1я723

ISBN 978-985-503-773-7
© Кочеткова И. А., Тимошко Ж. И., 
Селезень С. Л., 2018
© Оформление. Республиканский институт
профессионального образования, 2018

Предисловие

Данное учебное пособие составлено в соответствии с типовой 

учебной программой по учебной дисциплине «Математика» для 
учреждений образования, реализующих образовательные программы среднего специального образования.

Учебное пособие соответствует запросам современных мето
дических рекомендаций к преподаванию учебной дисциплины 
«Математика» и современным образовательным технологиям. 
В нем разработаны тематические практические задания. Кратко и 
доступно излагается теоретический материал, разобраны типовые 
примеры с пошаговыми указаниями к их решению. Все это дает 
возможность учащимся успешно справиться с заданиями для самостоятельного выполнения.

При создании данного пособия авторы ставили несколько це
лей: во-первых, индивидуализировать обучение на практических 
занятиях по математике, во-вторых, активизировать познавательную деятельность учащихся, выработать у них способность самостоятельно решать задания, соответствующие программе обучения.

Учебное пособие содержит задания по следующим темам: 

«Многочлены. Рациональные дроби», «Алгебраические уравнения 
и неравенства», «Степени и корни. Степенная функция», «Показательные и логарифмические выражения и функции», Тригонометрические выражения и функции. Тригонометрические уравнения»,
«Векторы на плоскости», «Пределы функции и последовательности», «Производная», «Введение в стереометрию. Прямые и плоскости в пространстве», «Многогранники. Объемы и площади поверхностей многогранников», «Тела вращения. Площади поверхностей и объемы тел вращения».

Предисловие

4

Учебное пособие состоит из 34 практических занятий, в кото
рые включены цели, теоретические сведения, вопросы для самоконтроля, примеры и указания, варианты индивидуальных заданий. 
Это позволит систематизировать знания. Наличие 12–15 вариантов 
в практических занятиях обеспечит преподавателю организацию 
индивидуальных и дифференцированных форм работы, а учащимся 
даст возможность отработать основные умения и навыки решения 
типовых математических задач.

Математика. Практикум

5

Практическое занятие № 1

«Многочлены. Рациональные дроби»

Цель: закрепить умения выполнять действия над многочлена
ми (сложение, вычитание, умножение, деление); научиться возводить двучлен в натуральную степень по формуле бинома Ньютона, 
используя треугольник Паскаля, находить корни многочлена и раскладывать его на множители, раскладывать рациональные дроби на 
сумму простейших дробей.

Теоретические сведения

1. Формулы сокращенного умножения для высших степе
ней. Бином Ньютона.

При выполнении преобразований алгебраических выражений 

используются формулы сокращенного умножения:



a
b
a
ab
b





2
2
2
2



a
b
c
a
b
c
ab
ac
bc









2
2
2
2
2
2
2

– квадрат

суммы;



a
b
a
ab
b





2
2
2
2
– квадрат разности;




a
b
a
b
a
b




2
2
– разность квадратов;



a
b
a
a b
ab
b






3
3
2
2
3
3
3
– куб суммы;



a
b
a
a b
ab
b






3
3
2
2
3
3
3
– куб разности;




a
b
a
b
a
ab
b





3
3
2
2
– сумма кубов;




a
b
a
b
a
ab
b





3
3
2
2
– разность кубов.

Практическое занятие № 1

6

Формулы разности квадратов и разности кубов обобщаются на 

любой натуральный показатель:



, 
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
a
b
ab
b
n
N











1
2
2
1
.

Формулы суммы кубов обобщаются на любой нечетный пока
затель:



, 
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
a
a
b
ab
b
n
N











2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
.

Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями 

формулы бинома Ньютона:





n
n
n
n
n n
a
b
a
na
b
a
b










1
2
2
1

1 2







.
n k
k
n
n n
n
k
a
b
b
k








 

1
1

1 2

(1.1)

Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются бино
минальными коэффициентами.

Биноминальные коэффициенты можно вычислять, используя 

схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки 
начинаются и заканчиваются единицей. Каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей 
строке, стоящих над искомым элементом.

Степень 
бинома

0
1
2
3
4
5

6
…

1

1
1

1
2
1

1
3
3
1

1
4
6
4
1

1
5
10
10
5
1

1
6
15
20
15
6
1

...

(1.2)

Математика. Практикум

7

Числа в строке с определенным номером n, где n  N, являются 

последовательными коэффициентами в формуле для данного n.

Разложение 


n
a
b

 выполняется по тем же правилам с уче
том чередования знаков: «+», «–», «+», «–», «+», … и т. д.

2. Многочлены. Действия над многочленами.
Выражение вида

 
n
n

n
n
P x
a x
a
x
a x
a







1

1
1
0 ,
(1.3)

где 
; 
;
; 
; 
,  
n
n
n
a
a
a
a
R a
 


1
1
0
0, называется многочленом n-й сте
пени от одной переменной x, записанным в стандартном виде.

Числа 
, 
,
, 
, 
n
n
a
a
a
a
 
1
1
0  называются коэффициентами данного 

многочлена, 
na
– старшим коэффициентом, a0 – свободным 

членом.

Если необходимо указать степень многочлена P(x), то пишут 

Pn(x).

Если 
n
a 1, то P(x) называется приведенным многочленом.

Каждое слагаемое многочлена (1.3) вида
, где
, ,
k

ka x
k
n
 0
на
зывается одночленом.

Для всякого многочлена Pn(x) и многочлена
 
n

n
n
Q
x
b x



n

nb
x
b x
b






1

1
1
0  определены следующие операции:

1) умножение многочленов на число c
R

:

 
n
n

n
n
n
cP
x
ca x
ca
x
ca x
ca







1

1
1
0 ;

2) сложение многочленов:

 
 






n

n
n
n
n
P
x
Q
x
a
b
x
a
b
x
a
b







1
1
0
0 ;

3) умножение многочленов производят по правилу: каждый 

член одного многочлена умножают на каждый член второго многочлена, полученные результаты складывают и приводят подобные;

4) деление многочленов (при условии, что степень делителя 

меньше или равна степени делимого) выполняется по правилу «деления углом».

Практическое занятие № 1

8

Результат деления записывается в виде

 
 
 
 
 

P x
R x
S x
Q x
Q x


или
 
   
 
P x
Q x S x
R x


,
(1.4)

где S(x) – частное (многочлен); R(x) – остаток (степень остатка 
меньше степени делителя).

Теорема 1 (Безу). Число х0 является корнем многочлена Р(х)

тогда и только тогда, когда Р(х) делится нацело на (х – х0).

Теорема 2. Число R0 является остатком от деления многочлена 

Р(х) на (х – х0) тогда и только тогда, когда R0 = Р(х0).

Теорема 3. Пусть Р(х) – приведенный многочлен с целыми ко
эффициентами. Если он имеет целые корни, то они содержатся 
среди целых делителей свободного члена.

Представление многочлена Р(х) в виде произведения двух или 

нескольких многочленов (если это возможно) называется разложением Р(х) на множители.

Основные методы разложения многочлена на множители:
1) вынесение общего множителя за скобки;
2) метод группировки;
3) использование формул сокращенного умножения;
4) использование формул разложения квадратного трехчлена 

на множители;

5) выделение полного квадрата и сведение к разности квадратов;
6) введение новой переменной;
7) поиск корней многочлена среди делителей свободного чле
на, использование теоремы Безу.

3. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.
Рациональной дробью называется выражение вида

 
 

n

m

P
x

Q
x ,
(1.5)

где 
 
nP
x , 
 
m
Q
x
– многочлены степени n и m соответственно,

 
m
Q
x  0.

Если для рациональной дроби (1.5) выполняется n  m, то 

дробь называется неправильной, если n < m – правильной.

Математика. Практикум

9

Пример:

1) 




x
x
x

x
x
x








4
3
2
2
2

1
3
5
– неправильная дробь;

2) 




x

x
x
x







3
8

1
3
5
– неправильная дробь;

3) x
x

x
x







2

4
2

5
6

5
1

– правильная дробь.

Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:

I. 
;
, 
A
A x
R
x
x



0

0

;

II. 




;
,  
,  ,  
k

A
k
k
N A x
R

x
x







0

0

2
;

III. 
;
, , , 
Ax
B
A B p q
R

x
px
q






2
 и у квадратного трехчлена D < 0;

IV. 




;
, 
,
, , , 
r

Ax
B
r
r
N A B p q
R

x
px
q








2
2
 и у квадратного 

трехчлена D < 0.

Алгоритм разложения дроби (1.5) на простейшие дроби:
1) если n
m

, необходимо выделить целую часть делением 

многочлена 
 
nP
x  на многочлен 
 :
m
Q
x

 
 
 
 
 

n

m
m

P
x
R x
M x
Q
x
Q
x


,

где М(х) – многочлен-частное (целая часть); 
 
 
m

R x

Q
x
– правильная 

дробь;

2) разложить Qm(x) на множители:

 

 



...
,

r
k
s

m
Q
x
x
a
x
b
x
px
q





2
(1.6)

где ,  , 
, 
, 
;
k s
r
N p
q




2
4
0

Практическое занятие № 1

10

3) если разложение знаменателя имеет вид (1.6), то дробь 
 
 
m

R x

Q
x  можно представить в виде суммы простейших дробей:

 
 







...
...
k

k

m

R x
A
A
A
B
B

Q
x
x
a
x
b
x
a
x
a
x
b















1
2
1
2

2
2






...
...
,
s
r
r

s
r

B
C x
D
C x
D

x
px
q
x
b
x
px
q















1
1

2
2

(1.7)

где А1, А2, ..., Аk; B1, B2, .., Bs; C1, ..., Cr; D1, Dr – неопределенные коэффициенты, которые необходимо найти;

4) для нахождения коэффициентов следует привести правую 

часть равенства (1.7) к общему знаменателю, который будет равен 
знаменателю исходной дроби, т. е. 
 ;
m
Q
x

5) приравнять числители дробей;
6) вычислить значения неопределенных коэффициентов А1, А2

и т. д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы:

а) неопределенных коэффициентов: многочлены в левой и пра
вой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;

б) частных значений: придать произвольные значения пере
менной х (удобнее использовать значения х = а, х = b и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов;

в) комбинирование методов а) и б);
7) подставить полученные числовые значения коэффициентов 

в равенство (1.7), что и будет искомым разложением.

Примеры 

Пример 1. Представить многочлен в стандартном виде, опре
делить его степень.

а) 


x
x
x



2
2
5
3 3
4 .

Решение.
Раскроем скобки и приведем подобные: