Устойчивость и колебания конструктивно-анизотропных и артифицированных оболочек вращения

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. С. Юдин

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ

КОНСТРУКТИВНО-АНИЗОТРОПНЫХ 
И АРТИФИЦИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК 

ВРАЩЕНИЯ

Ответственный редактор

доктор физико-математических наук, профессор,

А. В. Белоконь

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2011

УДК 624.074.4
ББК 30.121

Ю 16

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Южного федерального университета

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Устинов

доктор физико-математических наук, профессор А. А. Ляпин

Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта «Образование»

по «Программе развития федерального государственного 

образовательного учреждения высшего профессионального образования 

«Южный федеральный университет» на 2007-2010 гг.»

Юдин А.С.

Устойчивость и колебания конструктивно-анизотропных и артифици
рованных оболочек  вращения: монография  / А. С. Юдин. – Ростов н/Д: 
Изд-во ЮФУ, 2011. – 362 с.
ISBN 978-5-9275-0844-0

В монографии рассмотрены вопросы построения математических мо
делей для оболочек вращения с конструктивной анизотропией и артификацией – специальной коррекцией формы при пластической формовке. Рассмотрены как линейные задачи колебаний и устойчивости, так и нелинейные задачи больших деформаций и устойчивости. Развиваемые нелинейные модели и методы решения нацелены на приложения в области создания высокоточных мембранных устройств, применяемых для защиты конструкций от разрушения избыточным давлением.

Рекомендуется для научных работников, аспирантов и студентов стар
ших курсов физико-математических специальностей, а также научнотехнических работников, имеющих дело с тонкостенными конструкциями.

 ISBN 978-5-9275-0844-0
УДК 624.074.4
ББК 30.121

 Юдин А.С., 2011
 Южный федеральный университет, 2011
 Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2011

Ю 16 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................................. 7

Глава 1. Некоторые аспекты устойчивости
подкреплённых оболочек ................................................................... 15

1.1. Кинематика и уравнения равновесия ............................................. 22
1.2. Расчётные схемы и соотношения упругости ................................. 31
1.3. Эффект эксцентриситета рёбер ....................................................... 50
1.4. Объяснение эффекта эксцентриситета рёбер ................................. 54
1.5. Сравнительная эффективность подкреплённых оболочек ........... 59
1.6. Влияние краевых условий на устойчивость ................................... 63
1.7.  Влияние эксцентриситета линии приложения осевой

сжимающей нагрузки и моментности докритического
состояния на устойчивость .............................................................. 66

1.8. Дискретный учёт рёбер, сравнение со схемой

«размазывания» ……………………………………………………. 68

1.9.  О влиянии крутильной жесткости рёбер

на критические нагрузки .................................................................. 71

1.10. О различии в поведении подкреплённых оболочек,

нагруженных радиальным и гидростатическим
внешним давлением ........................................................................ 71

1.11. Сравнение теории и эксперимента. Области

применимости линейной теории .................................................... 72

1.12. Комбинированные нагрузки, начальные несовершенства .......... 78

Глава 2. Уравнения колебаний и устойчивости
подкреплённых оболочек ...........................................................81

2.1. Уравнения для конструктивно-анизотропных оболочек

в ортогональных криволинейных координатах ..............................81

2.2. Уравнения гармонических колебаний и устойчивости

осесимметрично напряженных конструктивно-анизотропных
оболочек вращения ........................................................................... 85

2.3. Уравнения осесимметричного

напряжённо-деформированного состояния ....................................87

2.4. Отделение окружной координаты, переход к безразмерным

величинам и построение канонической системы ОДУ ................. 88

Глава 3. Устойчивость и колебания подкреплённых
цилиндрических оболочек ................................................................. 93

3.1. Устойчивость и собственные колебания: сравнение

общей и прикладной теорий ............................................................ 93

3.1.1. Упрощённая теория, использующая

кинематические гипотезы .............................................................. 95

3.1.2. Устойчивость по уравнениям общей теории ............................ 102
3.1.3. Расчёты и сравнительный анализ ................................................106
3.2. Собственные колебания подкреплённых

цилиндрических оболочек ............................................................. 117

3.3. Вынужденные колебания подкреплённых

цилиндрических оболочек ............................................................. 124

3.3.1. Моделирование локальных нагрузок ......................................... 125
3.3.2. Решение в рядах ........................................................................... 128
3.3.3. Об учёте внутреннего трения ..................................................... 129
3.3.4. Формы колебаний для фиксированных частот ………..…...… 132
3.3.5. Амплитудно-частотные характеристики и

влияние внутренних потерь ........................................................ 135

3.4. Демпфирование колебаний локальными массами ...................... 139
3.4.1. Жёстко прикреплённая масса под нагрузкой ........................... 140
3.4.2. Передача нагрузки через виброизолированную массу ............ 142
3.4.3. Виброизолированная масса в качестве виброгасителя ............ 144
3.4.4. Двухкаскадная виброизоляция ................................................... 146
3.4.5. Передача нагрузки через виброизолированную

массу с виброгасителем .............................................................. 148

3.4.6. Сравнительная эффективность вариантов виброгашения.........150

Глава 4. Оболочки мембранных предохранительных
устройств ................................................................................................. 152

4.1.  Из истории предохранительных мембран .................................... 153

4.2.  Условия эксплуатации, требования к

проектированию и изготовлению мембран .................................. 154

4.3.  Классификация предохранительных мембран ............................. 159
4.4.  Эксперименты и технологии изготовления ................................. 161

Глава 5. Уравнения типа Э. Рейсснера больших
осесимметричных деформаций оболочек вращения ........... 171

5.1.  Геометрия поверхности вращения и пространственная

криволинейная система координат ............................................. 171

5.2.  Кинематика осесимметричной деформации .............................. 174
5.3.  Элементарная работа внешних и внутренних сил .................... 179
5.4.  Уравнения равновесия в усилиях и моментах ........................... 182
5.5.  О выборе соотношений упругости ............................................. 183
5.6. Уравнения относительно двух разрешающих

функций для «полулинейного» материала .................................. 189

Глава 6.  Уравнения осесимметричной деформации
конструктивно-анизотропных оболочек вращения ............. 192

6.1.  Исходные соотношения теории малых

относительных удлинений ............................................................ 192

6.2.  Соотношения упругости для конструктивно-анизотропных

оболочек ......................................................................................... 193

6.3.  Условия сопряжения при дискретном учёте шпангоутов ........ 203
6.4.  Уравнения для конструктивно-анизотропной сферической

оболочки ступенчато-переменной жёсткости, подкреплённой
дискретными шпангоутами .......................................................... 210

6.5.  Метод решения и алгоритм ......................................................... 215

Глава 7.  Устойчивость изотропных сферических 
куполов ………………………………………………………..…...…… 222

7.1.  Численные результаты для сферических

оболочек постоянной толщины ................................................... 222

7.1.1.  Границы применимости теории пологих оболочек ............... 222
7.1.2.  Напряжённо-деформированное состояние

осесимметричных форм потери устойчивости ........................ 235

7.1.3  Области линейно-упругой потери устойчивости

сферических куполов ................................................................. 237

7.2.  Устойчивость сферических куполов с двумя

областями разностенности .......................................................... 243

7.3. Сопоставление теории, эксперимента и практики

хлопающих предохранительных мембран .................................. 251

Глава 8.  Устойчивость и напряженно-деформированное
состояние подкреплённых сферических оболочек ................ 259

8.1.  Геометрические параметры ......................................................... 259
8.2.  Конструктивно-ортотропная схема ............................................ 262
8.3.  Дискретный учёт шпангоутов ..................................................... 265
8.4.  Оболочка ступенчато-переменной толщины ............................. 268
8.5.  Сравнение трёх схем учёта подкреплений ................................. 270
8.6.  Схема «размазывания» для широких рёбер ............................... 272

Глава 9.  Пластическое формоизменение
оболочек вращения ............................................................................. 275

9.1.  Аппроксимация свойств материала ............................................ 277
9.2.  Нелинейные физические соотношения ...................................... 280
9.3.  Разрешающие уравнения модели формоизменения

круглой пластины ......................................................................... 291

9.4.  Полуобратный метод в задаче формовки сферического 

купола ………………………………………………………….... 297

9.5.  Формовка сфероидальной оболочки ........................................... 303
9.6.  Сравнение теории и экспериментальных данных по

пластической формовке артифицированных мембран ............. 307

Глава 10.  Нелинейная устойчивость оболочек 
вращения ……………………………………………………….…….... 319

10.1.  Исходные уравнения для изотропных оболочек вращения ... 319
10.2.  Разрешающие уравнения линейно-упругой задачи ................ 322
10.3.  Уравнения для малых упругопластических деформаций ..... 326
10.4.  Устойчивость хлопающих мембран ......................................... 331

Литература .............................................................................................. 339

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные оболочечные конструкции имеют широкое 

применение в современной технике. Они способны выдерживать 
разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от
окружающей среды. Оболочечные элементы используются в 
конструкциях воздушных, надводных, подводных и наземных 
транспортных средств, резервуаров различного назначения, в 
строительстве и других отраслях промышленности.

Целесообразность применения оболочек во многом связана с

возможностью 
эффективного 
решения 
проблемы 
снижения 

материалоёмкости конструкций. Это наиболее важно в авиации, 
ракетостроении, космонавтике. Применение тонкостенных элементов позволяет создавать эффективные пространственные конструкции, сочетающие высокую прочность и жёсткость с возможностями максимального использования внутреннего объема.

Применение 
в 
качестве 
несущих 
конструкций 
гладких 

моногеометрических оболочек является скорее исключением, чем 
правилом. Обычно оболочки подкрепляются рёбрами жесткости. 
Тонкостенная 
конструкция 
может 
составляться 
также 
из 

элементов, различающихся жёсткостями, массами и геометрическим характеристиками. Стыковка элементов может осуществляться 
с изломами. Возможность и необходимость внесения таких 
неоднородностей на поверхности конструкции направлены на 
создание рациональных сооружений (лёгких, прочных, долговечных, маломатериалоёмких) и эффективных по целевому назначению (например, архитектурно выразительных).

Рациональность 
подкреплённых 
оболочек 
подтверждается 

решениями задач оптимизации для гладких оболочек на некоторых 
модельных примерах. Например, решение задачи оптимального 
сопряжения оболочек с изломом (например, конуса с цилиндром в 
осесимметричных задачах) при управлении толщиной оболочки, 
приводит к концентрации материала в окрестности излома, что 
фактически эквивалентно образованию ребра. В осесимметричной 
задаче о максимизации низшей собственной частоты осесимметричных колебаний для консольной цилиндрической оболочки 

при управлении толщиной также происходит концентрация 
материала в ряде узлов, а управление геометрией приводит к 
гофрировке оболочки. Поэтому актуальны математические модели 
и алгоритмы, позвляющие решать задачи статики, устойчивости и 
динамики для оболочек с неоднородностями типа рёбер, масс, 
изломов. Кроме того, неоднородности могут быть в конструкции 
стенки (слоистость, композиционность).

Существующие модели, учитывающие подкрепляющие или 

стыкующие 
рёбра, 
можно 
разделить 
на 
континуальные, 

дискретные и дискретно-континуальные. В континуальной модели 
(или схеме «размазывания») определяющие уравнения оболочек, 
подкреплённых сеткой рёбер, сводятся к  соотношениям упругости, 
аналогичным для анизотропных оболочек. Это возможно в 
случаях, когда подкрепление выполняется по интегральной схеме, 
причём ребра образуют ортогональную сетку, ориентированную по 
координатным линиям основной поверхности оболочки. В этом 
случае при построении уравнений колебаний и устойчивости 
оболочек применяется схема конструктивной анизотропии. В этом 
способе жёсткости рёбер условно размазываются в пределах шага 
их 
расстановки, 
т.е. 
подкреплённой 
оболочке 
ставится 
в 

соответствие гладкая анизотропная с эквивалентными приведёнными жёсткостями. В дискретной схеме ребро как бы отделяется 
от оболочки, и уравнения равновесия (движения, колебаний) 
оболочки рассматриваются с учётом реакций со стороны ребра. 
Эти уравнения включаются в общую замкнутую систему  
уравнений краевой задачи. В областях вне рёбер используются 
уравнения 
для 
гладких 
или 
конструктивно-анизотропных 

оболочек, а на дискретных рёбрах выполняются условия 
сопряжения. 
Дискретно-континуальная 
схема 
учета 
рёбер 

характерна 
для 
полуаналитических 
методов, 
развиваемых, 

например, в расчётах авиационных конструкций (фюзеляжей, 
крыльев), где используются функции разрывного типа (дельта –
Дирака, ступенчатые – Хэвисайда). В этом подходе характер 
описания решений единый, т.е. их функциональное представление 
однообразно в областях с дискретными рёбрами.

Теория расчёта подкреплённых (ребристых) и слоистых 

оболочек существенно базируется на теории гладких однослойных 

оболочек. 
По 
характеру 
связи 
компонент 
деформации 
с 

перемещениями 
различают 
линейную 
теорию 
для 
малых 

перемещений (существенно меньших толщины оболочки) и 
геометрически-нелинейную теорию, применяемую при относительно больших перемещениях (сравнимых с толщиной).

Линейная теория, сформированная в своей основе А. Лявом и 

Г. Кирхгофом, 
получила 
развитие 
в 
трудах 
В.З. Власова, 

А.Л. Гольденвейзера, А.И. Лурье, В.В. Новожилова, С.П. Тимошенко, К.Ф. Черныха и других ученых. Основы геометрическинелинейной теории и методов решения нелинейных задач 
заложены в трудах И.Г Бубнова и П.Ф. Папковича. Значительный 
вклад в этой области внесли Н.В. Валишвили, В.З. Власов, 
А.С. Вольмир, 
И.И. Ворович, 
Э.И. Григолюк, 
Л.М. Зубов, 

Х.М. Муштари, К.З. Галимов, В.В Новожилов, В.В. Погорелов, 
В.И. Феодосьев, К.Ф. Черных, Л.И. Шкутин, Л. Донелл (Donell L.), 
В.Т. Койтер (Koiter W.T.), Э. Рейсснер (Reissner E.) и другие.

При 
проектировании 
оболочки 
должны 
удовлетворять 

критериям прочности, устойчивости и виброзащищённости при 
малой массе. Наиболее полно отвечают этим требованиям 
конструктивно-анизотропные оболочки – подкреплённые рёбрами 
жёсткости, слоистые, композиционные. Существенный вклад в 
развитие теории и методов расчёта прочности, устойчивости и 
динамики слоистых и подкреплённых оболочек и пластин внесли 
А.Я. Александров, Н.А. Алфутов, С.А. Амбарцумян, И.Я. Амиро, 
В.А. Заруцкий, В.В. Болотин, Ю.В. Немировский, Ю.Н. Новичков, 
В.В. Васильев, 
С.Н. Кан, 
В.В. Кабанов, 
В.И. Королев, 

Л.М. Куршин, А.И. Маневич, И.Ф. Образцов, О.И. Теребушко, 
Ю.А. Устинов, Барух (Baruch M.), Й. Зингер (Singer J.), М. Стейн 
(Stein M.) и другие. Метод анализа чувствительности устойчивости 
оболочек 
к 
начальным 
несовершенствам, 
разработанный 

В.Т. Койтером, развивался Б. Будянским (Budiansky B.), Д.У. Хатчинсоном (Hutchinson J.W.) и другими.

В технике и расчётной практике широко применяются конст
рукции и математические модели оболочек вращения. Такие оболочки в общем случае могут иметь переменную геометрию и жёсткости в осевом направлении, быть подкреплёнными дискретными 
кольцевыми рёбрами, составляться из секций с общей осью сим

метрии. Для расчёта на прочность, устойчивость и собственные колебания таких оболочек разработаны эффективные численноаналитические методы и компьютерные алгоритмы расчета.

Алгоритмы методов включают использование тригонометриче
ских рядов Фурье для снятия окружной координаты, сведение 
краевых задач к задачам Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и их интегрирование с применением процедуры ортогонализации по С.К. Годунову в точках сетки продольной  координаты для обеспечения устойчивости счёта. Применение 
и развитие таких методов, реализации алгоритмов и программного 
обеспечения выполнялись в работах А.В. Кармишина, В.И. Мяченкова, И.В. Григорьева, в работах украинской школы Я.М. Григоренко, в Институте механики и прикладной математики им. Воровича И.И. Южного федерального университета.

Подкреплённым оболочкам присущи эффекты, связанные с 

влиянием величины и знака эксцентриситетов подкрепляющих 
рёбер. 
Влияние 
эффекта 
эксцентриситета 
на 
устойчивость 

особенно 
сильно 
проявляется 
на 
стрингерных 
(продольно 

подкреплённых) цилиндрических оболочках при осевом сжатии, но 
также заметно для внешнего давления и кручения. Соответствующие исследования проводились в ряде работ, обзор которых 
дан в главе 1. Здесь также представлены схемы конструктивной 
анизотропии для узких и широких рёбер, учитывающие их эксцентриситеты относительно основной поверхности, и схема дискретного учёта узких рёбер. Даны различные формы записи соотношений упругости и некоторые разрешающие системы уравнений, широко использовавшиеся в исследованиях устойчивости подкреплённых оболочек. Выбраны достаточно интересные выводы из результатов публикаций, которые полезны для проектирования.

В главе 2 представлены общие уравнения для исследования 

колебаний и устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек. 
Уравнения записаны в ортогональных криволинейных координатах. Рассматриваются тонкие оболочки на основе гипотез 
Кирхгофа-Лява. В качестве исходных взяты уравнения квадратичного приближения. Уравнения для гармонических колебаний и 
устойчивости конструктивно-анизотропных оболочек вращения в 
окрестности 
осесимметричного 
статического 
напряженно