Математика в школе, 2018, № 7

                МАТЕМА1 в школе




НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

мк





                7/201





SfflTO-.ia&lT:'



В НОМЕРЕ:

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

3 Бу фее в С. В.
    Об оценивании работ ЕГЭ

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

10 «ЕГЭ-2018: общественная оценка» (77% россиян считают, что единый госэкзамен ведёт к ухудшению качества знаний) и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

14 Зеленский А.С., Панфилов И.И., Панфилова Е.А.
    О ЕГЭ-2018 вообще и о задаче с параметром в частности

ОЛИМПИАДЫ

22 Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Глухов И.В., Городецкий С.Е.,
    Дубинская В.Ю., Подлипский О.К., Терёшин Д.А.
    Заключительный этап олимпиады «Физтех-2018» по математике. Часть 2

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

29 Кузьмичев А.И., Сосновский Ю.В.
    Обыкновенные дроби в школьном курсе математики
35 Смирнов В.А., Смирнова И.М.
    Теорема о пропорциональных отрезках
43 Рыжик В.И.
    Четвёртая линия

КОНСУЛЬТАЦИЯ

57 Далингер В.А., Громов В.А.
    Об одной задаче Дьёрдя Пойа и его поучительной книге «Как решать задачу»

ВНЕ УРОКА

60 Нахман А.Д.
    Конечные суммы членов последовательностей

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ


66 Мельников Р.А., Саввина О.А.
    Жан-Батист Жозеф Фурье (к 250-летии со дня рождения)



СЕТЕМДТИКА

7+ Карпушина Н.М.
    Давайте играть в математику


ЗАДАЧНИК

78 Штейнгарц Я,А.
    Тест « Логарифмы»


           Журнал ргвьншдони EwoutH итктщиснмой койне ^итк 1 ВАК) МичисЕтрс'к» обрнывмнн и тук* Рокиьекь» ФклтрЕции              
                в перечив ведущих рецен 1ируемыа научных журндло» и шлянии, в которых должны быть опубликованы                   
                основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора и ка кд-адата наук.                  
                         Журнал тлрагистрирован а б>» двныыв Российского индвкса научного цитнрониик.                            
                                        Рвсттрострвняеио а печатном и алвнтрониьм »нд*.                                          
                    ['лянный ре.тлытр К.А. Бумнктпнтгч                                                                          
    ЗеТЫС'СТИТС'ЛЪ Г.тшиилт» редчтктчри С,Д. ТрШ!ЦКЛ!1                                                                          
                                РОДЙКПЯЮНКйЯ кплшепсл: Журнал яаритпстрЕфоваи Министерством РФ                                  
Аглхлнов. M.1L Бпшмйков. Il.t, Млловп,                 EIU Jt'.'EELM lie^LLni, ТЧ1ЛГ,р11ДЛ0Ш.‘Щ11|ЦСЧ                           
               □,][. Рыжик, ОА Слвопия, Г.И. Слрлицеп, ее средств ЫЖХХОЖЕйХ кимнунлкииий                                        
                         EjV. Содйив, Л Л. C<Lati:Eiuo С 1яил«тлмтпл а ре ГЕЕСтрш uni 11J1 Ха ФС7 7-И:{()44                     
     Ргддкгоры: С.В. Диор пне нити, Н.М. Карпу ш пи в, <тт 01 сентября :ё(?С)И г.                                               
               Б. Н. Кукушкин. Б. EL Борин, С.Н. Федин Фириат в4>10вЛ6                                                          
      Отпел jeizielh C.TI.Toiciipi u. Б.Н. KyuyuiHEiti Уг_т. и. л. 5.И. Ияд № 3249. Иякяя                                       
               Выпускающий редактор ]1.А. Mopi ytnauii Отпеч ятяно н АО чИПК «Чуял геенн»                                       
                           Корректор Ji.И. Сяможенковя 428019, г. Чебсиссиры, пр. И. Якшии'ии. 13                               
                      Компьютерная вёрстка Б.Н. Бармин © ООО |<Шмо.те.няп Пресея»                                               
                        ООО wLIIikt.xijIiuh Пр< стета» © кМИЖитинЕ! и шкл'ичг, 2018, Кв 7                                       
Клррегпс>нлен1ТЕПо нлпрянлтггы ГАГАМ, Мод кия. я/я 61! 1) оформлении 0СЛ&1ККИ яслояъоованз картина                              
                 Телефоны: 8(495) 619-52 87, 619 S3 80 Жьсех де Мея вЭшерцисЕсия ефери и yje.'i Еипречаилпя                     
                  K-mail: mnteinatikATjicchnolpreKs.ni с МшрИТПйСКШк нс.-ШЕИскелг' (репродукция МЫнПКай-                        
    III ГТерЕИТ hllpcrf!W 3VW.llllCOЛЫ LU япрсчяли .рф на с сзйта «Нввошохяый мярк httpcJAm-poeAlejafo)                         
   Рукописи, поступившие в редакцию, не воавращаются. Редакций не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.      
 Издание ограняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опублнковллкыт в журнале материалов   
к>к на бумажном носителе, так и л виде ксврохопнрйинил, сканирования, записи в память ЭШ. размещй-ии* ■ 'Интернете злпрещаетсл,  
                               Мнение редакции «еожет не совпадать с мнением авторов материалов.                                 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА






        ОБ ОЦЕНИВАНИИ РАБОТ ЕГЭ


      Автору в этом году впервые довелось быть экспертом профильного ЕГЭ по математике и у него возникло желание поделиться с читателем своими впечатлениями и соображениями о существующих критериях проверки работ и практике их применения.



  С формальной точки зрения система экспертной оценки работ ЕГЭ организована довольно разумно. Для того чтобы стать экспертом, нужно сначала пройти входной контроль — самому написать контрольную работу по второй части экзамена. Необходимо выполнить ряд заданий на курсах повышения квалификации, где по материалам экзаменов прошлых лет отрабатываются наиболее сложные и содержательные моменты, которые могут вызвать затруднение при проверке ученических работ. При этом ежегодное обучение проходят все, даже самые опытные старшие эксперты. Завершается обучение сдачей зачёта — всё очень серьёзно!
  Сама проверка экзаменационных работ проходит весьма чинно и строго. Каждую работу проверяют независимо два эксперта; при несовпадении результатов проверки организуются третья, а иногда и четвёртая проверки — их осуществляют старшие эксперты. Перед началом работы ведущие эксперты — председатель экспертной комиссии и его заместитель — собирают старших экспертов и разъясняют им нюансы проверки каждой отдельной задачи, устанавливают единые требования к их оцениванию. А затем старшие эксперты сообщают специфику проверки основным экспертам. По сути, система экспертной оценки работает как хорошо отлаженный механизм. Однако, с точки зрения внешнего наблюдателя, работа этого механизма не полностью соответствует задаче объективного оценивания знаний выпускников.
  Получается так, что на многие недочёты и даже ошибки при проверке решений задач ЕГЭ эксперт вынужден не обращать внимание, но, вместе с тем, обязан жёстко карать за мелкие огрехи и отсутствие пояснений, пропущенных в работе из-за их очевидности.
  Например, если абитуриент, решая тригонометрическое уравнение (задание № 13), свёл его к совокупности двух уравнений sin Зх = 0 и cos х = 1, но при записи ответа не заметил, что корни второго уравнения являются корнями первого, также вместо знака совокупности поставил знак системы и ни разу не указал, что п (параметр, с помощью которого записан ответ) принадлежит множеству целых чисел, то это не приведёт к снижению его оценки. Однако если он при отборе корней, скажем, из промежутка
  л                                   „                     „
 —; л , правильно показал на единичной окружности указанный промежуток, от-2
метил на ней корни и записал их, но при этом явным образом не продемонстрировал

® Любое распространение материалов журнала, в т.н. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Математика в школе 7/2018

соответствия хотя бы одного корня из найденного множества и корня, показанного на картинке, то он не получит балла за этот номер! Описанная ситуация весьма типична: судя по проверенным мною 170 работам пробного и реального экзаменов, добрая половина учащихся правильно отбирали корни, но не могли обосновать свой отбор «как следует».
  Не имея возможности иллюстрировать свои слова примерами из проверенных работ, буду использовать открытые «Методические материалы для председателей и членов предметных комиссий субъектов РФ по проверке выполнения заданий с развёрнутым ответом экзаменационных работ ЕГЭ по математике» (2015—2018 гг.) и дидактические материалы для обучения экспертов ЕГЭ. Так, в указанном официальном документе (2018 г.) приведён пример задания № 13 и его ученического решения:
       а) Решите уравнение

21og4(4sinx)-51og₄(4sinx) + 2 = 0.

       б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку


Ответ: а) — + 2пп, п е Z; — + 2тип, т & Z; б) .
6             6                  6

Ог&г;                    ; SS 

;0 .
2

TCUMV*. X

® Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции

Актуальная тема

5

  Далее идёт комментарий: «Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор корней с помощью тригонометрической окружности в этом решении нельзя считать обоснованным. Типичный пример выполнения задания на 1 балл. Оценка эксперта: 1 балл».
  Комментарий на комментарий составителей Методических рекомендаций: по соображениям здравомыслящего проверяющего, не ангажированного в клуб экспертов ЕГЭ, отбор корней в пункте б обоснован словесно, причём гораздо более подробно, чем требуется, и у проверяющего нет никаких оснований не дать балл за отбор корней. Можно только с удивлением констатировать, что сам феномен Единого государственного экзамена породил такую своеобразную местечковую методу проверки решений математических задач.
  Рассмотрим пример задания № 14. В Методических материалах для экспертов за 2015 г. разобран пример решения стереометрической задачи (С2):
       Ребро куба ABCDA₁B₁C₁Dₗ равно 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости ACDy.
  В ученическом решении есть слова: «Поскольку ABCD — квадрат, точки В zD симметричны относительно АС, то есть р(АО₁С; В) = p(AD₁C; D)».
  Комментарий составителей: «Симметрия точек BsiD относительно прямой АС не является обоснованием равенства расстояний от этих точек до плоскости ACDV В кубе эти расстояния действительно равны, поэтому решение следует отнести к недостаточно обоснованным. Оценка эксперта: 1 балл».
  На самом деле, точки, симметричные относительно какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, равноудалены от этой плоскости. Этот факт никак не связан с кубом, но является очевидным свойством таких симметричных точек. Его часто и без дополнительных пояснений используют хорошо подготовленные ученики, когда вместо расстояния от данной точки до плоскости ищут сначала расстояние до плоскости от какой-либо удобной точки, а затем устанавливают связь между этими расстояниями, например, используя соображения симметрии.
  При решении задания № 15 — неравенства — камнем преткновения для многих выпускников становится выписывание ОДЗ. В сообществе экспертов ЕГЭ действует устная договорённость: если ребёнок выписывает ОДЗ и при этом в системе указывает не все ограничения, задающие область допустимых значений неравенства, то работа сразу оценивается в ноль баллов, даже если в самом решении все преобразования были равносильны и был обоснованно получен верный ответ. Сложившуюся практику следует признать довольно странной. Сама ОДЗ является лишь необходимым условием, которое имеет право (но не обязан!) подмечать решающий Обязательное выписывание ОДЗ при решении уравнений или неравенств является довольно сомнительной традицией, и не вина ученика в том, что он к ней оказался приучен. Поэтому нет никакого смысла так акцентировать внимание на полноте её записи, тем более что правильно выписанная ОДЗ не всегда свидетельствует о понимании равносильности совершённых переходов.
  Ниже приведён пример решения неравенства, оцениваемого экспертами ЕГЭ в 0 баллов.

® Любое распространение материалов журнала, в т.н. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Математика в школе 7/2018

  Входя в когорту ЕГЭ-экспертов, я вынужден под ч и пяться общей установке, но про себя думаю, что оценивание такого решения в ноль баллов является излишне жёстким.
  Приведённых примеров, наверное, достаточно, чтобы осознать, что измерение знаний учащихся с помощью проверки работ ЕГЭ не лишено недостатков. Основная трудность заключается в том, что каждое задание оценивается очень малым числом первичных баллов, и фактически проверяющий поставлен перед бинарным выбором — зачесть или не зачесть данное решение. Поэтому вынужденно принимается резолюция игнорировать какие-то типичные недочёты в решении, а какие-то, наоборот, не прощать, возводя в ранг грубых ошибок. Ситуация вряд ли поправима, если не изменить критерии проверки и не увеличить количество первичных баллов за задание.
  Вот ещё пример из Методических материалов 2018 г. оценивания экономической задачи.

       В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
       — каждый январь долг увеличивается на г % по сравнению с концом ттредьтду-щего года;
       — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
       Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью по

® Любое распространение материалов журнала, в т.н. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Актуальная тема

7

гашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите г.
Ответ: 10.

  Комментарий составителей: «В решении без объяснений записаны уравнения. Переход от системы к уравнению относительно k не объяснён. Числовой ответ явно не получен: не извлечён корень из числа 14641. Таким образом, решение недостаточно обоснованное. Оценка эксперта: 2 балла».
  По-моему, первые два комментария являются откровенными придирками, за которые вообще нельзя снимать баллы. Не думаю, что неизвлечение корня из пятизначного числа должно караться лишением третьей части баллов за задачу. Во всяком случае, непонятно, почему в одних случаях за подобную «грязь» снимается целый балл, а в

других подобных ситуациях, как, например, при оставлении в ответе arcsm.l— при
⁴ решении тригонометрического уравнения, потери баллов не происходит.
  Вызывает вопрос и разумность критериев оценки двух последних задач. Рассмотрим оценивание задания № 19 (пункт в) из варианта КИМ ЕГЭ-2016.

       Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок...
       в) Нацдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания

  Рассмотрим ученическое решение из Методических материалов 2016 г. Сначала ученик вводит свои обозначения и в пункте а записывает и упрощает выражение для разности рейтингов:


® Любое распространение материалов журнала, в т.н. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Математика в школе 7/2018

(бб).
    tt, (, С , е. /. т ;. _ _
         1 оцепе* ptceru/miof.

    a, {, с, с/, e., /, m e[
               сежх^есл , &ГНЛ1. a. < 6 < C <■ с/'- e. < -S’ *_
a) fzvfeMMii 1ю                 ееггт&ес?

        Лт 4f-C r cSi e i                    ■r

      jieJMeuez ле ne&xi' ^ииетге^ие.

         6-rc tJ: e-r-f

  А затем применяет его в решении пункта в:

P/nAer». -f £

  Комментарий составителей: «Кристально ясный случай... Пример в в не обеспечивает «точность предыдущей оценки», так как никакой оценки нет, а есть только эвристическое наблюдение об оценке». Таким образом, за пункт в 0 баллов.
  Согласно критериям получается, действительно, ноль баллов. Конечно, здесь речь не может идти о полном балле. Но, без сомнения, ребёнок понял, как устроена данная конструкция, и построенный им пример заслуживает какого-то положительного оценивания. Может, всё-таки стоит пересмотреть критерии?
  Вот ещё один пример вопиющей несправедливости действующих критериев (задание № 19 ЕГЭ-2017). Приведём условие задачи (снова пункт в), её официальное решение и ученическое решение, а затем сравним их.


       На доске написано 30 натуральных чисел (числа могут повторяться), каждое из которых либо зелёного, либо красного цвета. Каждое зелёное число кратно 3, а каждое красное число кратно 7. При этом все зелёные числа различны и все красные различны (какое-то зелёное число может равняться какому-то красному числу)...
       в) Какое наименьшее количество красных чисел может быть на доске, если сумма написанных чисел равна 1067?
       Решение.
       в) Пусть на доске написано п красных чисел и 30 — п зелёных чисел. Тогда

        сумма красных чисел не меньше
7 + 14 + ... + 7л =


_ 9  _
1п +7п
2

       а сумма зелёных чисел не меньше
                о е            \ 3(31 - л)(30 - п) Зл²-183л+ 2790
                3 + 6 +... + 3(30 - п) =-------- =-------------.
2               2
       Таким образом,
                     1067 > 5л² - 88л + 1395; 5л² - 88л + 328 < О, откуда, учитывая, что л — целое, получаем л > 6.
       Приведём пример 6 красных чисел и 24 зелёных чисел, сумма которых равна 1067: 7, 14, 21, 28, 35, 56, 3, 6, ..., 66, 69, 78.
Ответ: в) 6.

® Любое распространение материалов журнала, в т.н. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Актуальная тема

9

кии <л еа^о

tt a.

tc. <**

InttA        ?•<■£*■ ♦ i(30 - Z )
5« .£<•£>>♦/*♦ -Л^ + $»<♦. *soo-Z)

(no (рол* ye. е-чммь      уоуншч]

kxu So - L lenttrn-r тисе* .
Sₜ % f ♦ И + ... tL (таи u-an

С (?*Л;А (з т i(3t-b)(}o-Li
J        1        “"’      r “

(ом г
    2
\4cL. т cic

?L*lL’t 2330 -ujt

■>, l₀kl
t?6

И* T4f«AiH«»
i⁴ Ъасйх.              £

TO

k/»V,

. «5; *« S= tot?.
ГХ—Отвхг'.б.

o

A = 6 :

  Видим, что ученическое решение практически полностью копирует решение официальное, данное экспертам в качестве образца. Ошибочным в ученическом решении является число 636 в неравенстве 0 > 10&² — 176Л + 636 — должно быть 656. На ответ эта ошибка (или описка?) никак не повлияла, и построенный пример у ученика тот же, что в официальном решении. Однако, по критериям снова выставляем за пункт в ноль баллов: с формальной позиции оценка неверна, и потому пример не может подтвердить её точность.
  Для усиления осознания необходимости пересмотра критериев проверки приведём ещё только один комментарий к задаче № 18 из Методических материалов 2016 г. (без текста задачи и её решения): «Деликатный случай. С одной стороны, есть явное и полное понимание ситу а пип С другой стороны, в самом начале допущена ошибка с включением прямой х = — 3 во множество решений. И только из-за этого в дальнейшем был произведен отбор, давший неверный ответ. Более 1 балла поставить нельзя. На 1 балл условие критерия «Задача верно сведена...» не выполнено, и условие «получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения» не выполнено. Всё-таки, ставить 0 баллов». Даже если не вдаваться в суть задачи и сделанной ошибки, в моём сознании плохо сочетаются «явное и полное понимание ситуации» и «0 баллов»...
  Бюрократизация системы приводит к вымыванию смыслов. Цель настоящей заметки — привлечь внимание разработчиков заданий и критериев ЕГЭ, экспертов и других специалистов к существующей проблеме оценивания решений экзаменационных работ. Не следует отделять содержание контрольно-измерительных материалов ЕГЭ от содержания школьной программы, а критерии оценивания экзаменационной проверки — от тра диционных критериев «обычной» проверки. Участие в проверке ЕГЭ не должно переводить учителя в «касту посвящённых».
С.В. Буфеев,
ГБОУ «Школа № 444» (Москва)

® Любое распространение материалов журнала, в т.н. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ






     15а®а°Е1ГЭ. Хрокмо^и
ЕГЭ-2018: ОБЩЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА______________________________________________
(77% россиян считают, что единый госэкзамен ведёт к ухудшению качества знаний)
     & начале июля ВЦИОМ опубликовал данные свежего опроса об отношении к ЕГЭ. Согласно этим данным, 77% а прошен ных считают, что учащихся натаскивают только на прохождение тестов. в связи с этим ухудшается качество знаний. Это на 13% больше, чем четыре года назад. В том, что ЕГЭ нс учитывает индивидуальные особенности школьников, уверены 77% респондентов, а ещё 71% думают, что после введения ЕГЭ проверка знаний стала формальной и поверхностной, Мнения по поводу подготовки к ЕГЭ е школе разделились: 42% тек, у ного есть дети школьного возраста, неудовлетворены подготовкой н ЕГЭ п школе, обратную точку зрения высказывают40% респондентов. Единый госэкзамен по-прежнему часто упоминается в СМИ. Поданным компании -Медиа лог ня-, за последние 3,5 года зафиксировано 654 694 сообщения на эту тему. Одной из наиболее обсуждаемых проблем остаётся утечка заданий ЕГЭ. Достаточно вспомнигь скандал, который разгорелся в июне 2013 года (см. № 6 за 2018 год).
Подробности: htt ps:/ /wei о m. ru/in dex. p h p? i d=2 36&uid- 9195,


    Портрет педагога
ЛАТАНИЕ КАДРОВЫХ ДЫР___________________________
(какие проблемы российской школы признаны наиболее острыми?)

     Мониторинг, проведённый недавно экспертами Общероссийского народного фронта (ОНФ) совместно с Фондом -Национальные ресурсы образования-, показал: сегодня в российских шкалах, особенно в сельских, не хватает учителей-предметнике в. один и тот же человек может преподавать совершенно разные предметы. Нередко педагоги уходят из школы прямо но время учебного года, не выдерживая высокой нагрузим (в юм числе негтеда готической) и

     низкой зарплаты. Многие признаются, что отговаривают молодых учителей идти работать ц школу. Так. о нехватке в их школе учителей математики сообщили 40% из более 3000 опрошенных педагогов. О дефиците учителей математики говорит и директор Института развития образования НИУ ВШЭ Ирина Абаинина, правда, её беспокоит другое: в сложившихся условиях заниматься цифровизацией школ будет просто некому. Также сохраняю юн проблемы повышения среднего возраста учителей, сокращения общей численности педагогов и ос।рой нехватки молодых кадров. Всё зтосказывается на качестве обучения. Ранее опрос

® J 1ю№ распространен л» материапов журнала. в. т.н. архивных номеров, возможно топью с письменного согласия редакции.