Математика в школе, 2018, № 6

МАТЕМАТИКА
в школе

6/2018

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издаётся с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

СЛОВО ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

3 
Бунимович Е.А.
Футбол на уроках математики

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

4 
«Они подставились? (как сливается «честность, объективность и независимость» ЕГЭ)» и 
другие новости (обзор интернет-ресурсов).

ОЛИМПИАДЫ

8 
Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Глухов И.В., Городецкий С.Е., Дубинская В.Ю., Подлипский О.К., 
Терёшин Д.А.
Заключительный этап олимпиады «Физтех-2018» по математике. Часть 1

КОНСУЛЬТАЦИЯ

16 
Лавренченко С.А., Магомедов А.М., Згонник Л.В.
Задачи с параметрами и биномиальные тождества

ВНЕ УРОКА

27 
Акулич И.Ф.
Ювелирная работа

У НАС В ГОСТЯХ

32 
Локуциевский В.О.,  Локуциевская Е.О.
Об экзамене по математике в Высшую Нормальную Школу в Пизе

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

42 
Кондратьева Г.В.
Об одной старинной дискуссии по вопросу обучения арифметике

МЕТОДИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ

49 
Дворянинов С.В.
Рекуррентные последовательности, или откуда берутся задачи (памяти Э.А. Ясинового)

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84×108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3229. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2018, № 4

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, 
В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Г.И. Саранцев, 
Е.А. Седова, А.Л. Семёнов

Редакторы:  С.В. Дворянинов, Н.М. Карпушина, 
Б.Н. Кукушкин, В.П. Норин, С.Н. Федин
Отдел задач  С.И. Токарев, Б.Н. Кукушкин
Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова
Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

58 
Полякова Т.С., Друзь А.Н.
Гений Лобачевского «Urbi et orbi»

ХРОНИКИ

69 
Кузнецова Т.И.
Всероссийский научно-методический семинар «Передовые идеи в преподавании 
математики в России и за рубежом» в 2017/2018 учебном году

БИБЛИОТЕКА

72 
Эвнин А.Ю.
Красивые задачи для будущих математиков

ЗАДАЧИ

78 
Кукушкин Б.Н.
Задачи простые, но…

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Умелое 
обсуждение и использование 
на уроках математики 
тем, затрагивающих 
интересы и увлечения 
школьников – верный 
путь к созданию особой атмосферы урока, когда к происходящему в классе с любопытством 
и охотой прислушиваются даже те, кто обычно 
на последних партах уныло дожидается звонка. Конечно, в этом году такой темой, таким 
всеобщим увлечением, таким праздником 
стал прошедший в России Чемпионат мира 
по футболу. Обращение к этому материалу на 
уроках математики заинтересует многих. 
Первое и очевидное, что приходит в голову, – это, конечно, статистика, таблицы, диаграммы, графики, связанные с голами, голевыми передачами, скоростью игроков, общим 
километражем, который  пробегает каждый за 
матч… Много ещё какой футбольной статистикой вместе с именами кумиров и их достижениями были переполнены СМИ и интернет 
на всех стадиях Чемпионата и потом, когда 
анализировались его итоги. 
Разумеется, есть здесь повод поговорить 
о вероятности. Как сообщило РИА Новости, 
группа учёных из университетов Германии 
и Бельгии попыталась перед чемпионатом 
мира 2018 года предсказать его исход. Чтобы 
рассчитать вероятность победы каждой из 32 
команд, они рассмотрели алгоритм, в котором 
каждое «дерево» было вариантом развития событий, «листьями» - сами события, а «ветками» – условия, которые к ним приводят.
Учёные проанализировали сто тысяч возможных вариантов развития событий на чемпионате. Были учтены такие факторы, как 
ВВП стран-участниц, их население, рейтинг 
национальных сборных, распределение стран 
по группам, средний возраст футболистов и 
другие. При этом использовались результаты 
предыдущих мировых первенств по футболу, 
начиная с 2002 года. 
По итогам исследования, фаворитом ЧМ2018 оказалась Испания, за ней следовали 

команды Германии и Бразилии. Перспективы российской сборной оценивались крайне 
низко – всего 0,1%. Как видим по итогам чемпионата,  этот алгоритм, хорошо работающий 
в других сферах, дал сбой, и результаты чемпионата оказались совсем другими! Может, 
именно в этой принципиальной непредсказуемости – один из главных секретов мировой 
популярности футбола? 
Есть возможность поговорить о футболе и 
на уроках геометрии. Например, внимательнее рассмотреть поверхность классического 
футбольного мяча, который состоит из слегка искривленных 12-ти правильных чёрных 
пятиугольников и 20-ти правильных белых 
шестиугольников. С точки зрения математики классический футбольный мяч – это усечённый икосаэдр. Такой покрой и раскраска, 
кстати, были впервые использованы для официального мяча на чемпионате мира в 1970 
году в Мексике. Потом раскраска менялась, 
но покрой оставался неизменным вплоть до 
чемпионата 2002 года. 
Можно склеить из бумаги модель такого 
мяча, а для дальнейшего исследования (см. 
книгу «Математическая составляющая», М., 
2015) предложить изготовить зеркальный 
трёхгранный угол, чтобы, вложив в него раскрашенный треугольник, увидеть модель 
классического футбольного мяча. Для тех, кто 
увлекается предметом всерьёз, это позволит 
добраться и до теории групп, порождённых 
отражениями. А дальше можно рассмотреть 
и эксперименты с официальным мячом после 
2002 года – и до 2014 года, когда на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера 
нового официального мяча, который более 
сферичен, чем классический. В нём тоже немало математики… Ну и, конечно, интересно 
изучить  официальный мяч нашего чемпионата 2018 года, прихотливо составленный из 
плоских многоугольников.   
Уверен, такая математика заинтересует не 
только всех мальчишек, но и – как показал 
чемпионат – многих девчонок! 
Евгений Бунимович

СЛОВО ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

ФУТБОЛ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

аба-. роники

ОНИ ПОДСТАВИЛИСЬ?
(как сливается «честность, объективность и независимость» ЕГЭ)
Прошедший 1 июня профильный ЕГЭ по математике не обошёлся без скандала. В ряде 
СМИ появилась информация, что ещё до экзамена задания из второй части профильного 
ЕГЭ по математике свободно распространялись в Интернете. По одной версии, произошла 
утечка, по другой – это была спланированная и грамотно проведённая операция. Попытки 
Рособрнадзора и ФИПИ отрицать очевидное выглядели нелепо: сотни выпускников подтвердили совпадение задач реального ЕГЭ с теми задачами, что опубликовал накануне 
экзамена петербургский педагог Дмитрий Гущин на своей странице ВКонтакте. Разве что 
цифры в задачах отличались. История повторилась на экзамене по химии. Г-н Кравцов 
счёл слова Гущина провокацией и пообещал подать на него в суд, «чтобы впредь никому 
не было так зазорно делать... непроверенные заявления». И подчеркнул: «Даже если это 
на самом деле произошло – зачем будоражить? Но этого не могло произойти, потому что 
наши технологии исключают эту возможность». Технологии, может, и исключают, но только 
не заинтересованные люди. Позже утечка заданий получила подтверждение в виде ответов 
на бланке № 2, которыми школьники поделились в социальных сетях. Несколько сложных 
задач полностью совпали с выложенными в Интернете накануне экзамена.

Рособрнадзор не опроверг тот факт, что отдельные «аналогичные» задачи были доступны 
в сети до экзамена. Однако во многих случаях это были почти все задания второй части, 
и они отличались от «слитых» непринципиальными деталями. «В опубликованных заданиях 
в концентрированном виде представлено содержание ключевых задач профильного ЕГЭ. 
Это не слив КИМов или ответов в буквальном смысле. В Интернет попали главные секреты 
предстоящего экзамена, и более эффективного способа дискредитации ЕГЭ на сегодня не 
существует. Задания из списка Гущина свободно распространялись в социальных сетях. Их 
решали дети, но не замечало надзорное ведомство», – прокомментировал ситуацию доктор 

собые точки
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

физико-математических наук, профессор из Петрозаводска Александр Иванов, обратившийся к депутатам Госдумы с просьбой расследовать предполагаемую утечку прототипов 
заданий ЕГЭ, определить виновных и устранить их от управления образованием. Эта история выявила системные проблемы в управлении образованием, требующие, по мнению 
Иванова, пересмотра законодательства. С ним согласен известный педагог, заместитель 
председателя Общественного совета при Минобрнауки Сергей Рукшин. Он отметил также, 
что распространение информации перекрывается сверху всеми возможными средствами, 
взят жёсткий курс на замалчивание скандала – в ущерб интересам школьников и интересам страны. Что делать в сложившейся ситуации? «Судя по развитию событий, – сказал Рукшин, – сейчас у общества, у тех, кто болеет за российское образование, появился 
уникальный шанс облечь многолетнюю критику реформ в конкретные действия против 
разваливающего среднюю и высшую школу ЕГЭ и разрушающих наше образование реформаторов».
Подробности: https://www.nakanune.ru/news/2018/06/13/22510461/, https://www.nakanune.
ru/articles/114055/.

ерспективы далкие и близкие

У ПОСЛЕДНЕЙ ЧЕРТЫ
(чего так боятся либеральные монополисты от образования?)
Затянувшееся назначение министра образования РФ и раздел самого министерства на 
две части свидетельствуют об очередной схватке сторонников всеобщего доступа к образованию с лоббистами жёсткого отсечения широких масс от полноценных знаний. Если 
победят вторые, Россия окончательно превратится в интеллектуальную колонию. О происходящем рассказал в недавнем интервью член Комиссии по развитию образования и 
науки Общественной палаты РФ, доктор политических наук Александр Щипков, чью статью 
на эту тему запретила и спешно удалила со своего сайта по идеологическим соображениям 
«Независимая газета». В статье была дана оценка доклада Кузьминова и Кудрина «Двенадцать решений для нового образования», где традиционно (это уже третий доклад за 
последние 20 лет) критикуется существующая в России система образования, которую так 
называемые реформаторы сами и создали. Данная разработка не отвечает потребностям 
развития российской экономики, науки и культуры, уверен Щипков.
Краеугольными камнями являются концепция «компетенции вместо знаний» (реанимация 
потерпевшей фиаско системы обучения столетней давности); «вариативность образования», «автономный» и «авторский» подходы (отказ от единых учебных программ по предметам и классам в пользу «примерной основной образовательной программы»), позволяющие 
в отсутствии единых критериев под видом «образовательной услуги» продать что угодно и 
кому угодно; «дифференцированный подход» (разные классы, разные программы, разные 
статусы и наличие образовательного «минимума» – вслед за ним начинается сфера платных 
«услуг»), при котором уже на уровне школы формируются основания для будущего социального расслоения. Ключевое понятие доклада – аморальный тезис «человеческий капитал», 
отмечает Щипков. «По сути школьников рассматривают как расходный материал, учебный 
процесс – как “отбраковку человеческого материала”». Каковы истинные цели идеологов, 
монополизировавших образование, и неизбежные последствия их «реформизма»? Построенной ими новой системе уже 20 лет, и она чудовищно неэффективна. Результат пред

Математика в школе  6 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

сказуем: «Как писал кто-то из публицистов, если дальше мы будем идти той же дорогой, 
Россия окажется первой страной в мире, которой придётся проводить борьбу с массовой 
неграмотностью повторно. Это, конечно, будет мировой позор». Выход один – менять всю 
систему.
Подробности: http://www.religare.ru/2_115518.html (статья А. Щипкова), 
https://primechaniya.ru/home/news/maj-2018/my-podoshli-k-poslednej-cherte/ (интервью).

 з жизни учных

ВЕЛИКИЙ «ПАЛАТОЧНЫЙ МАСТЕР»
(к юбилею одного из творцов науки средневекового Востока)
970 лет назад родился Омар Хайям, знаменитый персидский учёный, мыслитель и поэт. 
Имя Хайям буквально означает «палаточный 
мастер» и может указывать на то, что отец 
или дед ученого принадлежали к кругу ремесленников. Омар Хайям был всесторонне 
образован и прославился своей учёностью. 
Средне-вековые источники обычно называют его имамом или ходжой (наставником). 
Хайям начал рано осваивать математику 
и астрономию; изучал философию и теософию, историю и правоведение, литературу 
и теорию музыки. Он знал в совершенстве 
арабский язык и владел стихосложением, 
был искусен в астрологии и врачевании. Во 
всём мире Омара Хайяма знают как выдающегося философа и поэта, автора мудрых и 
афористичных четверостиший (рубаи). Одно 
из самых замечательных его достижений 
как астронома – создание календаря, превосходящего в точности даже действующий 
григорианский календарь. Первая научная 
работа Хайяма была посвящена числам (извлечению корня  n-й степени из положительного числа  N). Как алгебраист он изучал уравнения разного типа и описал геометрический метод решения кубических уравнений, что 
считается наивысшим достижением в этой науке в Средние века (алгебраические методы 
решения кубических уравнений были найдены в Европе лишь в середине XVI столетия). Как 
геометр Омар Хайям занимался проблемой V постулата Евклида и, по словам историков, 
сделал первые шаги к доказательству независимости V постулата от остальных аксиом Евклида и к открытию неевклидовых геометрий. Куда менее известно, что в наследии учёного 
есть трактаты по истории, физике и даже по географии.
Подробности: Розенфельд Б.А. Юшкевич А.П. Омар Хайям (М., Наука, 1965).

Омар Хайям (1048–1131)

собые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Медиатека

ВЕЛИКАЯ ТАЙНА МАТЕМАТИКИ
(имеет ли реальность математическую природу?)
Мы живём во времена удивительного прогресса. Инженеры способны отправить робота 
размером с автомобиль на Марс, физики рассматривают мельчайшие элементы материи, 
а мы общаемся без проводов через Всемирную сеть. В основе всех этих чудес лежит нечто 
глубокое и загадочно великое, называемое языком вселенной. Это математика. Но откуда 
она появилась и почему безупречно работает едва ли не во всех областях науки? Создана 
ли математика человеком или он только открывает её законы, существующие в природе? 
Быть может, наш мир не просто обладает некоторыми математическими свойствами, а 
построен только на математических принципах? В этом и кроется главная загадка математики, над которой размышляют герои и создатели научно-популярного документального 
фильма «Великая тайна математики» (США, 2015). Является ли способность распознавать 
количество и формы врождённой? Как проявляются числовые соотношения в природе? 
Служит ли математика ключом к пониманию космоса? Как она помогает предсказывать 
фундаментальные законы физики и в каких областях математика «обоснованно неэффективна»? На эти и другие вопросы дают ответы известные американские учёные и исследователи.

Кадры из научно-популярного фильма «Великая тайна математики»
Подробности: https://www.youtube.com/watch?v=6xMganyj4Lo.

- етривиальные суждения

Раздел философии, называемый математикой, является самым лёгким из всех разделов с 
точки зрения представления и доказательств. <...> Этот раздел философии сообщает нам 
гибкость, укрепляет соображение, приучает нас ненавидеть недосказанное, так как его 
исходные положения общеизвестны, доказательства легки, в нём воображение помогает 
разуму и мало противоречивого.
Омар Хайям, средневековый персидский учёный и поэт

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОЛИМПИАДЫ

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ОЛИМПИАДЫ 
«ФИЗТЕХ-2018» ПО МАТЕМАТИКЕ. ЧАСТЬ 1

Н.Х. Агаханов, И.И. Богданов,
И.В. Глухов, С.Е. Городецкий,
В.Ю. Дубинская, О.К. Подлипский,
Д.А. Терёшин,
Московскиизико-техническиинститут (государственныуниверситет)
e-mail: nazar_ag@mail.ru

N.Kh. Agakhanov, I.I. Bogdanov,
I.V. Glukhov, S.E. Gorodetskiy,
V.Yu. Dubinskaya, O.K. Podlipskii,
D.A. Tereshin,
Moscow Institute of physics and technology (state 
University),
e-mail: nazar_ag@mail.ru

Ключевые слова: россиские олимпиады школьников, математическая олимпиада, олимпиада 
«изтех», олимпиадная задача.

Keywords: Russian Olympiad for school students, 
mathematics Olympiad, Olympiad «Phystech», 
Olympiad problem.

Аннотация: в статье приводятся задания (с решениями) заключительного тапа олимпиады 
«изтех» по математике 2018 г.

Abstract: problems with solutions of the final stage 
of the Olympiad «Phystech» on mathematics held 
in 2018 are provided.

Заключительный этап олимпиады «Физтех» по математике проводился в феврале 
2018 года, и он прошел в 79 городах России. В олимпиаде приняли участие около 6 
тысяч учащихся IX–XI классов. В данной статье представлен один вариант заданий 
олимпиады для XI класса, а также избранные задачи варианта X класса.

Условия задач 
XI класс

1. Найдите все значения х, при каждом из которых одно из трёх данных чисел 

2
2(
3
2),
logx
x
x
−
+

2

2
log
2
x
x
x −

 и 

2

2
log
1
x
x
x −
 равно сумме двух остальных.

2. Даны две линейные функции f(x) и g(x) такие, что графики y = f(x) и y = g(x) – 
параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции 3(g(x))2 + 2f(x), если наименьшее значение функции 3(f(x))2 + 2g(x) 

равно 
19 .
6
−

3. На каждой из прямых y = 1 и y = 6 отмечено по 200 точек с абсциссами  
1, 2, 3, …, 200. Сколькими способами можно выбрать три точки из отмеченных 400 так, 
чтобы они являлись вершинами прямоугольного треугольника?
4. Числа x и y таковы, что выполняются равенства ctg x + ctg y = 3 и 2sin(2x + 2y) = 
= sin 2x sin 2y. Найдите ctg x ctg y.
5. Окружность Ω радиуса 
3  касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках 

лимпиады
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) 
так, что отрезок MK параллелен AC, KC = 1, AL = 4. Найдите ∠ACB, длины отрезков 
MK, AB и площадь треугольника CMN.
6. Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма 
расстояний от семи последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 609, а сумма расстояний от этих же семи чисел до некоторого числа b равна 721. 
Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 192.
7. Ребро A1A параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно его грани ABCD. 
Сфера Ω касается рёбер BB1, B1C1, C1C, CB, CD, и при этом касается ребра CD в такой 
точке K, что CK = 9, KD = 1.
а) Найдите длину ребра A1A.
б) Пусть дополнительно известно, что сфера Ω касается ребра A1D1. Найдите объём 
параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 и радиус сферы Ω.

X класс 
(избранные задачи)

8. Каких целых чисел от 1 до 8 ⋅ 1020 (включительно) больше и на сколько: содержащих в своей записи только чётные цифры или содержащих в своей записи только 
нечётные цифры?
9. Уравнение x2 + ax + 5 = 0 имеет два различных корня x1 и x2; при этом 

2
2
1
2
3
3
2
1

250
250
=
.
19
19
x
x
x
x
+
+

Найдите все возможные значения a.
10. В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из 
полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При 

этом 
8
= 5
AM
 и 
12
= 5
MD
. Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр 

второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом 
30
= 11
BN
 и 
25
= 11
NC
.
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.

Решения задач

1. О т в е т : x = 3.
Р е ш е н и е . Заметим, что на ОДЗ (x > 2) сумма всех трёх логарифмов равна

2

2
2
2
4
2
(
3
2) =
= 2.
log
log
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x

⎛
⎞
⋅
−
+
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠

Обозначим то число, которое равно сумме двух других через с, а два оставшихся 
числа через a и b. Тогда c = a + b и a + b + c = 2, откуда следует, что c = 1, то есть один 
из трёх данных логарифмов равен 1.
Верно и обратное, а именно: если один из трёх данных логарифмов равен 1, то по

Математика в школе  6 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

скольку сумма всех трёх логарифмов равна 2, то два оставшихся в сумме составляют 
1, то есть их сумма равна первому логарифму.
Итак, требование задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен 1 (и все логарифмы существуют). Логарифм равен 1, когда его основание 
равно логарифмируемому выражению. Получаем совокупность

2
2

2
2

2
2

=
,
= 0,
2
= 3,
=
,
= 2,
1
2
=
3
2
=
.
3

x
x
x
x
x
x
x
x
x

x
x
x
x

⎡
⎡
⎢
−
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔ ⎢
⎢
−
⎢
⎢
⎢
⎢
−
+
⎢
⎢
⎣
⎣

Из найденных значений переменной только x = 3 удовлетворяет ОДЗ.

2. О т в е т : 5 .
2

Р е ш е н и е . Пусть f(x) = ax + b, g(x) = ax + c, где a ≠ 0. Рассмотрим h(x) = 3(f(x))2 + 2g(x). 
Раскрывая скобки, получаем h(x) = 3(ax + b)2 + 2(ax + c) = 3a2x2 + 2a(3b + 1)x + 3b2 + 2c. 
График y = h(x) – это парабола с ветвями вверх; минимальное значение принимает
ся в вершине. Абсциссой вершины является 
B
3
1
=
;
3
b
x
a
+
−
 ордината вершины равна 

B
1
(
) =
2
2 .
3
h x
b
c
−
−
+

Аналогично получаем, что минимальное значение выражения 3(g(x))2 + 2f(x) равно 

1
2
2 .
3
c
b
−
−
+
 Заметим, что сумма этих двух минимальных значений равна 
2 ,
3
−
 сле
довательно, если одно из этих минимальных значений равно 
19 ,
6
−
 то второе равно 

2
19
5
=
.
3
6
2
−
+

3. О т в е т : 80676.
Р е ш е н и е . Есть две возможности.
1) Гипотенуза треугольника лежит на одной из прямых, а вершина прямого угла – 
на второй прямой. Пусть ABC – данный треугольник с прямым углом при вершине C, 
CH – его высота, опущенная на гипотенузу. Из пропорциональности отрезков прямоугольного треугольника получаем, что CH2 = AH ⋅ BH, то есть AH ⋅ BH = 25. Поскольку 
AH и BH – целые числа, то возможны следующие случаи: AH = BH = 5, AH = 25 и 
BH = 1, AH = 1 и BH = 25.
В первом из этих случаев гипотенузу AB, равную 10, можно расположить 190 ⋅ 2 = 380 
способами (по 200 – 10 способов расположения на каждой из двух данных прямых), 
при этом положение вершины C  определяется однозначно.
Во втором и третьем случаях длина гипотенузы равна 26, и её можно расположить 
2(200 – 26) = 348 способами. Для каждого положения гипотенузы существует два способа размещения вершины C – получаем 2 ⋅ 348 = 696 способов.
2) Один из катетов треугольника (назовём его BC) перпендикулярен данным пря

б лимпиады
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

мым, а второй катет (AC) лежит на одной из данных прямых. Тогда положение катета 
BC можно выбрать 200 способами. Для каждого варианта расположения катета BC 
вершину A можно расположить 398 способами (подходят все точки кроме уже выбранных B и C) – всего выходит 200 ⋅ 398 = 79 600 способов.
Итого получаем 380 + 696 + 79 600 = 80 676 способов.

4. О т в е т : 3 .
2

Р е ш е н и е . На ОДЗ первое равенство равносильно следующим: 

cos
sin
cos
sin
= 3
sin(
) = 3sin
sin .
sin
sin
x
y
y
x
x
y
x
y
x
y
+
⇔
+

Преобразуем второе равенство: 

4sin (x + y) cos (x + y) = 4sin x sin y cos x cos y.

Подставляем в левую часть 3sin x sin y вместо sin (x + y) и преобразуем полученное 
равенство (учитываем, что в силу ОДЗ sin x sin y ≠ 0): 
12 sin x sin y cos (x + y) = 4 sin x sin y cos x cos y ⇔
⇔ 3cos (x + y) = cos x cos y ⇔ 3 cos x cos y – 3 sin x sin y =

3
cos
cos
2cos
cos
= 3sin
sin
ctg ctg
=
.
2
x
y
x
y
x
y
x
y
=
⇔
⇔

5. О т в е т : 
2
=
,
3
ACB
π
∠
 MK = 3, 
7
= 5 2
AB
3
= 45
.
28
CMN
SΔ

Р е ш е н и е . Обозначим (рис. 1) центр окружности через O, основание высоты треугольника, проведённой из вершины C, через H, а угол BAC через α.

C

N
H

L

M

B

A

O

K
1

4

Рис. 1
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то 

tg
=
=
3
OK
OCK
CK
∠
 и ∠OCK = 60°. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на 

биссектрисе этого угла, поэтому ∠ACB = 2∠OCK = 120°. В четырёхугольнике OLCK по 
теореме о сумме углов четырёхугольника находим, что ∠LOK = 60°.
Поскольку OL ⊥ AC и MK || AC, то OL ⊥ MK. Треугольник MOK – равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит, ∠MOK = 2∠LOK = 120°. Отсюда  
MK = 2 ⋅ MO ⋅ sin 60° = 3.

Математика в школе  6 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

1
=
= 60 ,
2
MOL
MOK
∠
∠
°  MO = LO, следовательно, треугольник MOL  – равносторон
ний, ∠MLO = 60°, 
=
3.
ML
 Тогда ∠ALM = ∠ALO – ∠MLO = 30°.
Рассмотрим 
треугольник 
ALM. 
По 
теореме 
косинусов 
получаем, 
что 

2
2
2
3
=
2
= 7.
2
AM
AL
LM
AL LM
+
−
⋅
⋅
⋅
 По теореме синусов 
=
,
sin30
sin
AM
LM
°
α

 откуда 

3
sin
=
.
2 7
α
 Так как угол α лежит напротив меньшей стороны треугольника, то он 

острый. Из треугольника ACH получаем, что 
5 3
=
sin
=
.
2 7
CH
AC
α

По теореме о касательной и секущей AL2 = AM ⋅ AN, откуда 
16
=
,
7
AN

9
=
=
.
7
MN
AN
AM
−
 Тогда площадь треугольника CMN равна 1
45 3
=
.
2
28
CH MN
⋅
⋅

Так как KM || AC, треугольники BKM и BCA подобны, при этом коэффициент по
добия равен KM : CA = 3 : 5. Отсюда следует, что 
3
=
,
5
BM
BA

7
3
=
,
5
BA
BA
−
5 7
=
.
2
AB

6. О т в е т : a = 1, a = 104, a = 191.
Р е ш е н и е :  Обозначим данные последовательные натуральные числа через k, k + 1, 
…, k + 6. Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке [k, k + 6], то сумма рас
стояний от него до данных семи чисел не превосходит 7 6 = 21
2 ⋅
 (сумма расстояний до 

двух крайних чисел в точности равна 6, сумма расстояний до k + 1 и k + 5 не превосходит 6, сумма расстояний до k + 2 и k + 4 также не превосходит 6, расстояние до k + 3 
не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, то есть 3). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка [k, k + 6]. Тогда сумма расстояний от числа a 
до 
каждого 
из 
данных 
последовательных 
чисел 
выражается 
формулой  
|7a – k – (k + 1) – … – (k + 6)| = 7|a – k – 3|. Аналогично, сумма расстояний от числа 
b до каждого из данных чисел равна 7|b – k – 3|. Получаем систему уравнений 

7|
3|= 609,
7|
3|= 721,
= 192

a
k
b
k
a
b

−
−
⎧
⎪
−
−
⇔
⎨
⎪
+
⎩

|
3|= 87,
|
3|= 103,
= 192.

a
k
b
k
a
b

−
−
⎧
⎪
−
−
⎨
⎪
+
⎩

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.
1) Оба числа a и b лежат справа от отрезка [k, k + 6]. Тогда 

3 = 87,
= 88,
3 = 103,
= 104,
= 192
=
2.

a
k
a
b
k
b
a
b
k

−
−
⎧
⎧
⎪
⎪
−
−
⇔
⎨
⎨
⎪
⎪
+
−
⎩
⎩

Ввиду того, что k должно быть натуральным числом, этот случай не подходит.
2) Оба числа a и b лежат слева от отрезка [k, k + 6]. Тогда