Математика в школе, 2018, № 2

МАТЕМАТИКА
в школе

2/2018

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издается с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

 3 
Троицкая С.Д.
О IV Конгрессе «Инновационная практика: наука + бизнес»

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 5 
«Как подготовить трансфессионала?» и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

 9 
Прокофьев А.А., Соколова Т.В. 
Экономические задачи Единого государственного экзамена на оптимизацию

ОЛИМПИАДЫ

16 
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.
Муниципальный этап XLIV Всероссийской олимпиады по математике 
в Московской области

КОНСУЛЬТАЦИЯ

27 
Костюченко Р.Ю. 
Подготовка обучающихся к Государственной итоговой аттестации по математике

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

35 
Кузовкова А.А., Мамалыга Р.Ф., Бодряков В.Ю.
Формирование познавательного интереса к математике у обучающихся 
в классах гуманитарно-эстетической направленности

43 
Малова И.Е., Сенчурова Г.П.
Обогащающий анализ текстов решения заданий с параметрами

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

53 
Дворянинов С.В. 
Так что же такое процент, или с чего начинается изучение процентов?

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84×108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3182. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2018, № 2

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, 
В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Г.И. Саранцев, 
Е.А. Седова, А.Л. Семёнов

Редакторы:  С.В. Дворянинов, Н.М. Карпушина, 
Б.Н. Кукушкин, В.П. Норин, С.Н. Федин
Отдел задач  С.И. Токарев, Б.Н. Кукушкин
Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова
Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

57 
Богданова Е.А., Богданов П.С., Богданов С.Н.
Геометрические интерпретации множества действительных чисел 
и их применение в тригонометрии

ВНЕ УРОКА

66 
Дружининская И.М., Недосекина И.С.. 
Несколько страниц из жизни функций: композиция функций 
и функциональные уравнения

ЗАДАЧИ

76 
Кукушкин Б.Н.
Задачи простые, но…

СЕТЕМАТИКА

79 
Карпушина Н.М.
Бдительный читатель

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

80 
Карпушина Н.М.
Забавы математиков

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

12 декабря 2017 года в Московском 
государственном университете имени 
М.В. Ломоносова состоялся IV Конгресс 
«Инновационная практика: наука + бизнес».
Целью этого мероприятия, в котором 
приняли участие представители науки, 
образования и бизнеса, а также госструктур, был обмен опытом и поиск практических решений, направленных на развитие инновационной экономики нашей 
страны. 
Тему пленарного заседания конгресса, 
прошедшего под названием «Ценностная 
матрица XXI века: формула роста человеческого капитала и инновационной экономики», определило понимание его участниками того факта, что именно система 
ценностей как отдельно взятого человека, 
так и общества в целом, влияет на формирование и развитие человеческого капитала и, как следствие, делает государство 
конкурентоспособным. «Ценностная матрица является ядром каждой личности 
и богатством каждого государства. Как 
для человека, так и для страны есть три 
ключевых вопроса: «Кто я?», «Куда я иду?» 
и «Чего я хочу достичь?»» [1]. Ответы на 
эти вопросы ещё предстоит осмыслить, поскольку они основываются на личностных 
ценностях, которые в настоящий момент, 
как отметил выступивший на заседании 
заместитель председателя Правительства 
РФ Игорь Шувалов, «претерпевают определённые изменения, трансформацию, 

приобретают какие-то новые оттенки. И 
это будет длиться ещё не один год».
Одним из факторов, оказывающих влияние на такие трансформации ценностей, 
является вступление во взрослую жизнь 
людей поколения Z (по-другому называемого «цифровым поколением»). К этому 
поколению относят людей, родившихся в 
2001 г. и позже (согласно некоторым исследователям, в 2003 г. и позже). Это поколение отличается от всех предыдущих, 
и основной причиной, определяющей эти 
отличия, является его формирование в 
эпоху цифровых технологий: это дети, 
выросшие в Сети, предпочитающие виртуальные развлечения обычным, играющие в онлайновые игры, общающиеся в 
социальных сетях с «друзьями», которых 
никогда не видели, и, самое главное, это 
дети, которые имеют практически неограниченный доступ к информации благодаря Сети. При этом, увы, как отмечают 
исследователи, многим представителям 
именно этого поколения Z присуще так 
называемое клиповое мышление, они не 
могут длительное время быть сосредоточенными на какой-либо информации или 
мысли, у них снижена способность к анализу. 
Ясно, что отмеченные особенности развития людей поколения Z вступают в 
серьёзное противоречие с возможностью 
глубокого изучения математики. Возможно, именно поэтому в рамках одной 
из параллельных сессий конгресса про
АКТУАЛЬНАЯ ТЕМА

О IV КОНГРЕССЕ «ИННОВАЦИОННАЯ ПРАКТИКА: 
НАУКА + БИЗНЕС»

Математика в школе  2 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

водилось отдельное заседание в форме круглого стола, темой которого была 
«Ценность математических знаний для 
развития образования, науки и культуры». На заседании присутствовало более 
пятисот участников. Заседание вёл ректор МГУ имени М.В. Ломоносова Виктор 
Антонович Садовничий. Он прочитал 
увлекательную лекцию о значении математики для развития науки, образования 
и искусства. Помимо классических примеров того, как именно благодаря математике стали возможными величайшие достижения в других науках, он рассказал 
присутствующим также о малоизвестных 
«Трудах по стиховедению» выдающегося 
советского математика А.Н. Колмогорова, об удивительном и грандиозном проекте «Ноев ковчег», работа над которым 
проводится в настоящее время в МГУ и 
которая была бы невозможной без решения серьёзных математических проблем, 
связанных с необходимостью структуризации, анализа и хранения огромных баз 
данных. Далее В.А. Садовничий рассказал 
о создании ряда разработок для космической отрасли, в которых он сам принимал 
участие. А именно, он рассказал, что в 
1970-х гг., когда он был заместителем 
декана механико-математического факультета МГУ по научной работе, к нему 
с просьбой «сделать невесомость на Земле» обратился руководитель центра подготовки космонавтов Георгий Береговой. 
Это подвигло В.А. Садовничего вместе с 
группой учёных к созданию специального тренажёра для космонавтов – так называемой центрифуги, которая, конечно, 
не давала невесомости, но полностью обеспечивала имитацию невесомости на Зем
ле. Позже на этом тренажёре тренировались все российские космонавты. Все эти 
примеры наглядно продемонстрировали 
тот факт, что качественное математическое образование является необходимым 
условием развития нашей страны в эпоху 
цифровой экономики. 
Интересно отметить, что в ходе круглого стола студенты, составлявшие большинство в аудитории, задавали вопросы 
экспертам, среди которых были авторитетные учёные: академики А.Б. Куржанский, 
С.М. Алдошин, А.А. Акаев и профессора 
А.А. Липгарт, И.В. Машечкин, такие, как: 
«Сможет ли когда-нибудь робот заменить 
в аудитории профессора?», «Какой должна 
быть доля математики в учебных планах 
на гуманитарных факультетах?», «Какую 
роль играет математика в литературоведении?».
В заключение заседания В.А. Садовничий привёл данные интерактивного 
голосования, в котором приняли участие 
185 человек (а могли принять участие все 
зарегистрированные участники конгресса). На вопрос о цели математического образования в школе 42,6% участников ответили, что математика нужна для общего 
интеллектуального развития, 25,3% – для 
понимания законов мироздания, 2,6% – 
для подготовки к будущей профессии, но 
29,5% – для сдачи ЕГЭ (!) Увы, есть, о чём 
задуматься.

Литература
1. IV Конгресс «Инновационная практика: наука + бизнес». Программа мероприятия.
С.Д. Троицкая,
д. ф.-м. н., участник конгресса

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Мультимедиа

ДОРОГА В НИКУДА
(по кому звенит «Последний звонок»?)
В 2017 году в Интернете состоялась премьера документального трёхсерийного фильма 
«Последний звонок», посвящённого проблемам современного российского образования. 
Фильм снят на народные деньги – российским журналистом Константином Сёминым и 
историком Евгением Спицыным – и его по понятным причинам не покажет ни один федеральный канал. Каковы истоки и смысл бесконечных реформ в нашем образовании и кто за 
всем этим стоит? Почему яростно отвергаются и искореняются прежние традиции и нельзя 
сохранить собственное уникальное образование? Как подменяют понятия, реабилитируют 
лженауку и всячески оправдывают реформы их идеологи и исполнители? Как действует механизм сегрегации в образовании и как оно само превращается в предмет купли-продажи? 
Почему нынешним выпускникам позволено не знать ничего? Когда и как со школы сняли 
обязанность учить всех и каждого и какова в этом пагубная роль ЕГЭ? Вот лишь некоторые 
из затронутых создателями фильма вопросов. Фильм трудный для восприятия, способный 
ввергнуть в уныние и даже в отчаяние, предупреждают его авторы. Однако по-другому 
правдиво рассказать о том, какое образование мы потеряли (см. 2-ю серию – «Кухаркины 
дети»), и о том, как планомерно разрушается отечественная школа и перекраивается вся 
система образования, нельзя, а закрывать глаза и молчать уже невозможно.

Кадр из документального фильма «Последний звонок» (3-я серия)

Подробности: https://lastcall.su/top/episode-3.html.

Перспективы далёкие и близкие

КАК ПОДГОТОВИТЬ ТРАНСФЕССИОНАЛА?
(какое будущее уготовано российскому образованию?)
В ноябре 2017 года в Москве прошёл крупный международный саммит, посвященный 
изменениям в системе образования XXI века. Мир меняется стремительно, само обще

Математика в школе  2 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ство стало другим – сформировался свободный рынок, профессии трансформировались, 
появились новые карьерные стратегии... Чтобы человек не потерялся в новом мире, его 
нужно по-новому учить, а значит, образование тоже должно стать другим. Но каким другим? 
Какое будущее готовят образованию идеологи его новой глобальной концепции? Один из 
основных их тезисов гласит: «знания – не главное». И этим многое сказано. «Битва за учащихся» уже идёт на всех фронтах под сюрреалистическими лозунгами типа «Школа должна 
превратиться в инструмент проектирования самих себя» (по-научному, если это слово здесь 
вообще уместно, это называется метапознанием), «Университет должен формировать не 
профессионала, а трансфессионала – человека, способного менять профессию вместе с 
собой, меняться вместе с профессией, которая трансформируется», «Долой профессиональные границы! Да здравствует любовь к разнообразию и схватыванию смыслов!». Подобные 
идеи активно продвигают и воплощают в жизнь нынешние реформаторы образования, 
которые и собрались-то для того, чтобы обсудить, как побыстрее осуществить их на практике. В свою очередь, всем «подопытным» нужно хотя бы в общих чертах представлять, что 
их ждёт в скором будущем, что на самом деле скрывается за разного рода призывами и 
высказываниями вроде «Традиционные экзамены не нужны», «Образование спасёт “цифра”», «Учитель должен стать мотиватором, коммуникатором, экспертом по поддержке разнообразия» и пр. Кто предупреждён – тот вооружён.
Подробности: https://www.nkj.ru/open/32497/.

А как у других?

СУРОВАЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТЬ
(как Финляндия разрушила свою систему образования)
Кажется, совсем недавно Финляндия гордилась своей системой образования и возглавляла список участников PISA – международного исследования по оценке качества школьного образования. Однако успех был недолгим: уже после 2006 года показатели учеников и по чтению, и по математике, и по естествознанию снизились. Быть может, высокие 
результаты были обусловлены эффектом инерции и запасом прочности, сохранявшимся 
какое-то время после окончания «золотого века» финского образования, когда бесплатная для всех средняя школа давала ученикам качественное образование и обеспечивала их всем необходимым? Как бы 
там ни было, специалисты обеспокоены: 
за последние годы в финских школах накопились серьёзные и скрытые проблемы. Некоторые из этих проблем похожи 
на российские как две капли воды. Наибольшую тревогу у финнов сегодня вызывают растущая зависимость успеваемости от социального положения семей 
учащихся и значительная «региональная 
разница» в успеваемости. Не оправдала 
себя существующая в школах неофици

Особые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

альная система формирования классов по уровню знаний учащихся. Она не смогла закрепить наивысшие достижения сильных учеников и ухудшила результаты слабых. В итоге 
средние показатели успеваемости, если взять всех школьников, понизились. Введение 
дифференцированного обучения, в частности создание условий для более одарённых и 
мотивированных детей, на практике привело к разнице в уровне успеваемости и к различным целям обучения в разных классах. Специалисты констатируют: те факторы, которыми 
ранее объяснялись успехи системы школьного образования в Финляндии, стали работать 
против неё.
Подробности: http://inosmi.ru/social/20171119/240781312.html.

Из жизни учёных

ЧЕРЕЗ ТЕРНИИ – В БОЛЬШУЮ НАУКУ
(к юбилею видного советского математика Л.С. Понтрягина)
В этом году исполняется 110 лет со дня рождения Льва Семёновича Понтрягина, одного из 
крупнейших математиков XX столетия. Одних только понятий и теорем, носящих его имя, 
десятки. Сам Понтрягин и не думал, что его предназначение – стать учёным. В детстве 
увлекался техникой и, если бы не несчастный случай, приведший к полной потере зрения в возрасте 13 лет, скорее всего, стал бы инженером. Впрочем, рассматривались и 
другие профессии, например музыканта или историка. Однако взяли верх ярко выраженные способности и интерес к математике. После школы Понтрягин поступил на физикоматематический факультет Московского университета и уже в 18 лет занялся научной деятельностью. Примечательно, что ни в учёбе, ни в работе он никогда не пользовался приспособлениями для слепых. Ещё в школе знания по высшей математике Лев приобрёл, читая с 
помощью матери случайно попадавшиеся популярные книжки, учебники и статьи, а много 
лет спустя эту работу взяли на себя помощники учёного, которые начитывали и записывали 
на магнитофон нужные ему книги. Лекции в университете студент Понтрягин запоминал 
на слух и ночами, лёжа в постели, продумывал их. Как-то на одном из занятий 
он даже поправил лектора: «Профессор, 
вы ошиблись на чертеже!» Оказывается, 
он «услышал» расстановку букв на чертеже и понял, что там что-то не в порядке. 
В зрелые годы академик Л.С. Понтрягин 
всерьёз интересовался проблемами преподавания математики в средней школе 
и одно время возглавлял комиссию по 
школьному математическому образованию Отделения математики АН СССР. Он 
был известен своей жёсткой позицией по 
вопросу реформирования школьного образования и небезосновательно критиковал 
колмогоровскую реформу 1970-х годов.
Подробности: http://first2.polit.ru/news/2016/09/03/pontryagin/, http://ega-math.narod.ru/LSP/
book.htm (жизнеописание).

Л.С. Понтрягин (1908–1988)

Математика в школе  2 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Пополняем ресурсы

ГИМН ВО СЛАВУ ГЕОМЕТРИИ
(наука и искусство – две стороны одной медали?)
Серию «Популярная наука», которая выпускается издательством «Амфора», пополнила удивительная книга с историей Карла Левитина «Геометрическая рапсодия». Впервые она 
была издана в далёком 1976 году тиражом 100 тыс. 
экземпляров, и все они быстро разошлись по рукам. Достойные научно-популярные книги по математике ещё 
поискать, тиражи у них нынче не те, да и читатель не тот, 
что прежде. Отрадно, что данная книга – переработанная и дополненная версия первого издания – и сегодня 
востребована. Она будет интересна тем, кто любит поразмышлять на досуге и ценит красоту и великолепие 
геометрии. Эту науку автор рассматривает как своего 
рода искусство, поэтому и рассказывает об её истории 
и ключевых идеях прежде всего в этом аспекте, а попутно показывает, как эти идеи реализуются в живописи, 
архитектуре, строительстве и в то же время приводят к 
новым открытиям в химии, генетике, микробиологии, 
геологии, кристаллографии. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Этому очень способствуют украшающие «Геометрическую рапсодию» гравюры 
Маурица Эшера, творения Сальвадора Дали и других 
великих мастеров.

Нетривиальные суждения

Сложное математическое построение представляет собой как бы логическое кружево 
из мелких стежков очень простой структуры. На одном конце этого сложного куска 
кружев находится предпосылка, а на другом – результат. Каждый стежок, составляющий 
кусок кружев, очень прост. Всё в целом сплетение представляется очень сложным. 
Для понимания его требуется большой опыт и одарённость математика. Процесс 
математического творчества заключается в сплетении этого сложного логического куска, 
на одном конце которого находится предпосылка, а на другом – научный результат.

Л.С. Понтрягин, советский математик 

Математик, подобно натуралисту, проверяя некоторые следствия предполагаемого общего 
закона с помощью нового наблюдения, обращается с вопросом к Природе: «Я подозреваю, 
что этот закон верен. Верен ли он?» Если следствие ясно опровергается, то закон не может 
быть верен. Если следствие ясно подтверждается, то имеется некоторое указание, что 
закон может быть верен. Природа может ответить «Да» или «Нет», но она шепчет один ответ 
и громогласно произносит другой; её «Да» условно, её «Нет» определённо.

Дьёрдь Пойа, венгеро-американский математик

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Содержание заданий С5 ЕГЭ профильного уровня за последние три года 
условно разбивается на три блока: задачи 
на вклады и ценные бумаги, задачи на 
кредиты и задачи на оптимизацию производства товаров или услуг. В статье [1] 
частично представлен обзор тем и подходов к решению подобных задач. 
Остановимся на решении одной из разобранных задач в указанной статье. Задача имеет следующую формулировку. 
Пример 1. Пенсионный фонд владеет 
ценными бумагами, которые стоят  t2  тыс. 
рублей в конце года  t (t = 1; 2; 3; …).  В 
конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить 

деньги на счёт в банке, при этом в конце 
каждого года сумма на счёте будет увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный фонд 
хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого 
года сумма на его счёте была наибольшей. 
Расчёты показали, что для этого ценные 
бумаги нужно продавать строго в конце 
двадцать первого года. При каких положительных значениях  r  это возможно?
В [1] предложено следующее решение. 
Если ценные бумаги будут проданы в конце  n-го года, то по ним будет получен доход  S(n) = n2(1 + r)25–n.
По условию задачи эта функция будет 
принимать наибольшее значение при 

ЭКЗАМЕНЫ

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 
ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА 
НА ОПТИМИЗАЦИЮ

А.А. Прокофьев,
доктор пед. наук, зав. кафедрой «Высшей математики–1», Национальный исследовательский 
университет «МИЭТ»
e-mail: aaprokof@yandex.ru
Т.В. Соколова,
к.ф.-м.н., доцент, Национальный исследовательский университет «МИЭТ»
e-mail: tsokolova@mail.ru

A.A. Prokofyev,
DrSci (Pedagogy), head of the chair of Higher 
Mathematics–1, National Research University of 
Electronic Technology (MIET)
e-mail: aaprokof@yandex.ru
T.V. Sokolova,
PH.D., Assoc.prof., National Research University 
of Electronic Technology (MIET)
e-mail: tsokolova@mail.ru

Ключевые слова: задачи с экономическим содержанием на ЕГЭ, оптимизация, наибольшая 
прибыль, методы решения задач на оптимизацию.

Keywords: tasks with economic content on the 
USE, optimization, the greatest profit, methods of 
solving problems of optimization.

Аннотация: в статье приведено обоснование 
построения моделей в задании 17 из ЕГЭ профильного уровня для решения экономических 
задач на оптимизацию. Рассмотрены различные 
методы решения и указаны типичные ошибки, 
которые допускали участники экзамена при решении подобных задач.

Annotation: the authors give a justification for 
constructing models in task 17 of the Unified 
State Exam (profile level) for solving economic 
problems of optimization. The authors considered 
various methods of solution and pointed to the 
typical mistakes that the participants in the exam 
did when solving similar problems.

Математика в школе  2 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

n = 21,  то есть при  n < 21  последовательность  S(n)  возрастает, а при  n > 21 
убывает. Следовательно, выполняются 
неравенства
S(20) < S(21)  и  S(21) < S(22).

2
5
2
4

2
4
2
25 22
20 (1
)
21 (1
)

21 (1
)
22 (1
)

r
r

r
r
−
⎧
+
<
+
⎪
⇔
⎨
+
>
+
⎪⎩

2

2

2

2

21
1
20

22
1
21

r

r

⎧ +
<
⎪⎪
⇔
⇔
⎨
⎪ +
>
⎪⎩

484
441
43
41
1
1
.
441
400
441
400
r
r
⇔
−
<
<
−
⇔
<
<

О т в е т:  43
41 .
441
400
r
<
<

И хотя полученный ответ совпадает с 
ответом, приведённым в выданных экспертам критериях, данное решение является 
недостаточно обоснованным и предложенная модель не соответствует данной задаче. Во-первых, из того, что функция будет принимать наибольшее значение при 
n = 21,  вообще говоря, не следует, что при 
n < 21  последовательность  S(n)  возрастает, а при  n > 21  убывает. Во-вторых, 
выполнение неравенств  S(20) < S(21)  и 
S(21) > S(22)  является необходимым, 
но не достаточным условием для того, чтобы последовательность принимала 
наибольшее значение при  n = 21.
Приведём несколько способов решения 
этой задачи, за которые выставлялся полный балл.
Р е ш е н и е. 1-й способ (предложен в 
критериях проверки). Если пенсионный 
фонд продаст ценные бумаги в конце года  
t,  то в конце двадцать пятого года на его 
счёте будет  St = t2(1 + r)25–t тыс. рублей. 
Сравним числа  St  и  St+1:

St+1 – St = (t + 1)2(1 + r)24–t – t2(1 + r)25–t =

= (1 + r)24–t (–rt2 + 2t + 1).

Рассмотрим непрерывную функцию  
f(x) = –rx2 + 2x + 1.
Если  f(t) > 0,  то  St+1 – St > 0,  а если 
f(t) < 0,  то  St+1 – St < 0.
График функции  f(x)  – парабола, ветви которой направлены вниз. Так как 
f(0) > 0,  то если для некоторого натурального числа  t  выполнено условие  f(t) < 0, 
то для любого  n > t  также выполнено 
условие  f(n) < 0.  Следовательно, ценные 
бумаги нужно продавать строго в конце 
двадцать первого года при выполнении 
условий  f(20) > 0  и  f(21) < 0,  то есть 

2

2
20
2 20
1
0

21
2 21
1
0

r

r

⎧−
+
⋅
+
>
⎪
⇔
⎨
−
+
⋅
+
<
⎪⎩
400
41,
43
41 .
441
43
441
400

r
r
r
<
⎧
⇔
⇔
<
<
⎨
>
⎩

О т в е т:  43
41 .
441
400
r
<
<

Р е ш е н и е. 2-й способ. Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце 
года  t,  то в конце двадцать пятого года 
на его счёте будет  S(t) = t2(1 + r)25–t тыс. 
рублей.
Рассмотрим функцию  S(x) = x2(1 + r)25–x, 
зависящую от действительной переменной  х,  на отрезке  [0; 25]. 
Функция  S(x)  непрерывна на отрезке  
[0; 25]  и  S(0) = 0, S(25) = 625.
S′(x) = (x2(1 + r)25–x)′ =
= 2x(1 + r)25–x – x2(1 + r)25–x
 ln(1 + r) =
= x(1 + r)25–x(2 – x ln(1 + r)).

S′(x) = 0  при  x = 0  или  
2
.
ln(1
)
x
r
=
+
 

Причём  S′(x) > 0  при  
2
0
ln(1
)
x
r
<
<
+
 

и  S′(x) < 0  при  
2
,
ln(1
)
x
r
>
+
  то есть 

функция  S(x)  имеет единственную точ
ку максимума  
max
2
,
ln(1
)
x
r
=
+
  в которой 

и достигается наибольшее на отрезке 
[0; 25]  значение.

Экзамены
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

В условии сказано, что ценные бумаги 
выгоднее продать в конце  21-го года. Значит, максимум функции  S(x)  находится 
на интервале  (20; 22)  и, следовательно, 
достаточно решить систему

(21)
(20)
(21)
(22)
S
S
S
S
>
⎧
⎨
>
⎩

(необходимость этих условий очевидна).
Отсюда 

2
25 21
2
25 20

2
25 21
2
25 22
21 (1
)
20 (1
)

21 (1
)
22 (1
)

r
r

r
r

−
−

−
−
⎧
+
>
+
⎪
⇔
⎨
+
>
+
⎪⎩

2
2

2
2

41
21
20 (1
)
400
43
21
22 (1
)
.
441

r
r

r
r

⎧ <
⎪
⎧
>
+
⎪
⎪
⇔
⇔
⎨
⎨
>
+
⎪
⎪
⎩
>
⎪⎩

О т в е т:  43
41 .
441
400
r
<
<

Р е ш е н и е. 3-й способ. Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце 
года  t,  то в конце двадцать пятого года 
на его счёте будет  St = t2(1 + r)25–t тыс. 
рублей. Сравним числа  St  и  St+1:

2
2
25
1
1
2
25

2

(
1) (1
)
1
1
1
(1
)

1
1
1
.
1

t
t
t
t

S
t
r
t
S
r
t
t
r

r
t

− −
+
−
+
+
+
⎛
⎞
=
=
⋅
=
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠

⎛
⎞
=
⋅
+
⎜
⎟
+
⎝
⎠

Следовательно, 
последовательность 

чисел  
1
t
t
t

S
d
S

+
=
  является убывающей. 

Значит, если  S21 > S20,  то  
21
20
20
1,
S
d
S
=
>
 

и тогда верна цепочка неравенств 
d1 > d2 > … > d19 > d20 > 1.  Отсюда следует, 
что  S21 > S20 > S19 > … > S2 > S1.  С дру
гой стороны, если  S21 > S22, 
22
21
21
1
S
d
S
=
<
 

и тогда верна цепочка неравенств 
1 > d21 > d22 > … > d25.  Значит,  S21 > 
> S22 > … > S25.  Таким образом, ценные 
бумаги целесообразно продавать строго в конце двадцать первого года, если 
S(21) > S(20)  и  S(21) > S(22):

202(1 + r)25–20
 < 212(1 + r)25–21
 < 212(1 + r)25–21 >

> 222(1 + r)25–22 
43
41 .
441
400
r
⇔
<
<

О т в е т:  43
41 .
441
400
r
<
<

Р е ш е н и е. 4-й способ. Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года  t,  то в конце двадцать пятого 
года на его счёте будет  S(t) = t2(1 + r)25–t 
тыс. рублей. Если выгоднее всего продажа бумаг в конце года  t,  (2 ≤ t ≤ 24),  то 
она выгоднее, чем продажа в конце годов 
(t + 1)  и  (t – 1).  Покажем, что система 

( )
(
1)
( )
(
1)
S t
S t
S t
S t
>
+
⎧
⎨
>
−
⎩

не может иметь более одного натурального решения. Обозначив  k = 1 + r > 1,  
получим 

2
2

2
2
(
1)

(
1)

t k
t

t
t
k

⎧
>
+
⎪
⇔
⎨
>
−
⎪⎩

1
1

1
1
1

k
t

t
k

⎧ +
<
⎪⎪
⇔ ⎨
⎪ −
<
⎪⎩

1

1

.
1

t
k

k
t
k

⎧ >
⎪
−
⎪
⇔ ⎨
⎪ <
⎪
−
⎩

Так как  
1
1,
1
1

k

k
k
−
=
−
−

  то нату
ральных значений  t,  удовлетворяющих 
системе, не более одного. Отсюда можно 
сделать вывод о том, что если  t = 21  удовлетворяет системе, то ей не удовлетворяет никакое другое натуральное  t = 2, 3, 
…, 20, 22, …, 24.  То есть продажа в эти 
годы не может быть самой выгодной. Зна
чит, при  43
41
441
400
r
<
<
  продажа акций в 

21-й год выгоднее, чем в любой год с номером  t = 2, 3, …, 20, 22, …, 24.  Однако при 
этом может оказаться, что продажа в 1-й 
или 25-й годы выгоднее. Но  S(1) < S(2) 
при  (1 + r)24 < 4(1 + r)23 ⇔ r < 3  и 

Математика в школе  2 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

S(25) < S(24)  при  252 < 242(1 + r) 
2
49 .
24
r
⇔
>
 

Таким образом, при выполнении нера
венств  43
41
441
400
r
<
<
  продажа ни в  1-й, 

ни в  25-й год не может дать большую прибыль. 
О т в е т:  43
41 .
441
400
r
<
<

*   *   *
Эту задачу можно решить совсем просто. Достаточно заметить, что «скорость» 
роста стоимости ценных бумаг из года в 
год выражается коэффициентом

2
2

2
(
1)
1
1
,
t
t
t

+
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠

который монотонно убывает с увеличением номера года  t.  При этом «скорость» 
увеличения банковского вклада каждый 
год постоянна и равна  (1 + r).  Поэтому 
ценные бумаги выгодно держать до тех 
пор, пока выполняется неравенство

2
1
1
(1
).
r
t
⎛
⎞
+
>
+
⎜
⎟
⎝
⎠

Поскольку по условию задачи бумаги выгодно продавать строго в конце  21-го года, то должно выполняться неравенство:

2
2
1
1
1
(1
)
1
21
20
r
⎛
⎞
⎛
⎞
+
<
+
<
+
⇔
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

43
41
441
400
r
⇔
<
<
  (прим. ред.).

*   *   *
Приведём пример решения ещё одной 
задачи, аналогичной предложенной, но 
в которой сравнение значений функции  
S(t)  в точках соседних с указанным в 
условии годом не достаточно для получения верного ответа.
Пример 2. Пенсионный фонд владеет 
ценными бумагами, которые стоят  t2 + 4 
тыс. рублей в конце года  t (t = 1; 2; …). 
В конце любого года пенсионный фонд 
может продать ценные бумаги и поло
жить деньги на счёт в банке, при этом в 
конце каждого года сумма на счёте будет 
увеличиваться в (1 + r) раз. Пенсионный 
фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце тридцатого 
года сумма на его счёте была наибольшей. 
Расчёты показали, что для этого ценные 
бумаги нужно продавать строго в конце 
третьего года. При каких положительных 
значениях  r  это возможно?
Р е ш е н и е. Если бумаги проданы в 
конце  k-го года, то сумма на счету будет 
равна  f(k) = (k2 + 4)(1 + r)30–k.  Ясно, что 
условия  f(3) > f(4)  и  f(3) > f(2)  являются 
необходимыми. Покажем, что они не достаточны. Решением системы 

(3)
(4)
13(1
)
20
(3)
(2)
13
8(1
)
f
f
r
f
f
r
>
+
>
⎧
⎧
⇔
⎨
⎨
>
>
+
⎩
⎩

является промежуток  
7
5
;
,
13 8
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠

  которо
му принадлежит число  8 .
13   Однако при  

8
13
r =
  получим, что

29
21
(1)
5
,
13
f
⎛
⎞
=
⋅⎜
⎟
⎝
⎠

27
21
(3)
13
.
13
f
⎛
⎞
=
⋅⎜
⎟
⎝
⎠

Из отношения

2
21
5
(1)
2205
13
1
(3)
13
2197
f
f

⎛
⎞
⋅⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
>

следует, что  f(1) > f(3).  Значит, число  

8
13
r =
  не удовлетворяет условию. 

Для решения поставленной задачи 
найдём наибольшее значение функции  
f(x) = (x2 + 4)(1 + r)30–x  на промежутке 
[1; 30].  Найдём промежутки монотонности с помощью производной:
f ′(x) = (1 + r)30–x(2x – (x2 + 4)ln(1 + r)).
Обозначим  ln(1 + r) = a,  где  a > 0,  тогда  

f ′(x) = 0  при  ax2 – 2x + 4a = 0.  При  
1
2
a >
 

полученное уравнение решений не имеет,