Математика в школе, 2018, № 1

МАТЕМАТИКА
в школе

1/2018

НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ  
И МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
В НОМЕРЕ:

Министерство

образования и науки

Российской Федерации

ООО «Школьная Пресса»

Издается с мая 1934 г.

Периодичность – 10 номеров в год 

 3 
Слово главного редактора

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

 4 
«Госэкзамен по-китайски» и другие новости (обзор интернет-ресурсов)

ЭКЗАМЕНЫ

 8 
Зеленский А.С., Панфилов И.И., Панфилова Е.А. 
Задачи с параметром на ЕГЭ-2017

МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР

19 
Крачковский С.М. 
Вариативность подходов к задачам на экстремальные значения 

33 
Дворянинов С.В.
О графиках сложных и дробно-квадратичных функций

ТОЧКА ЗРЕНИЯ

39 
Семенов П.В.
Закон не исключённого третьего: а был ли ЕГЭ?

ПРОБЛЕМЫ И СУЖДЕНИЯ

44 
Гишларкаев В.И. 
Некоторые предложения по реализации в Чеченской Республике 
Концепции развития математического образования в РФ

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

53 
Ельчанинова Г.Г., Мельников Р.А., Саввина О.А.
История тригонометрии: взгляд сквозь века

Журнал рекомендован Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации
в перечне ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы
основные научные результаты диссертаций на соискание учёной степени доктора и кандидата наук.
Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования.
Распространяется в печатном и электронном виде.

Рукописи, поступившие в редакцию, не возвращаются. Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы.
Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается.
Мнение редакции может не совпадать с мнением авторов материалов.

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций
Свидетельство о регистрации  ПИ № ФС77–33044
от 04 сентября 2008 г.

Формат 84×108 /16
Усл. п. л. 5,0. Изд. № 3166. Заказ

Отпечатано в АО «ИПК «Чувашия» 
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© ООО «Школьная Пресса»
© «Математика в школе», 2018, № 1

В оформлении обложки использована картина 
Жоса де Мея «Эшеровская сфера и узел встречаются 
с Магриттовским человеком» (репродукция заимствована с сайта «Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Главный редактор  Е.А. Бунимович
Заместитель главного редактора  С.Д. Троицкая

Редакционная коллегия:
Н.Х. Агаханов, М.И. Башмаков, И.Е. Малова, 
В.И. Рыжик, О.А. Саввина, Г.И. Саранцев, 
Е.А. Седова, А.Л. Семёнов

Редакторы:  С.В. Дворянинов, Н.М. Карпушина, 
Б.Н. Кукушкин, В.П. Норин, С.Н. Федин
Отдел задач  С.И. Токарев, Б.Н. Кукушкин
Выпускающий редактор  И.А. Моргунова
Корректор  И.И. Саможенкова
Компьютерная вёрстка  В.Н. Бармин

ООО «Школьная Пресса»
Корреспонденцию направлять: 127254, Москва, а/я 62
Телефоны: 8(495) 619-52-87, 619-83-80
E-mail: matematika@schoolpress.ru
Интернет http://www.школьнаяпресса.рф

ДЕЯТЕЛИ НАУКИ И ПРОСВЕЩЕНИЯ

65 
Новиков С.П.
Произошёл распад обязательного знания 
(фрагмент сборника «Математические прогулки»)

ЗАДАЧИ

72 
Кукушкин Б.Н.
Задачи простые, но…

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

76 
Акулич И.Ф.
Греческие пирожки

Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Журнал 
«Математика в школе», первый номер которого 
в новом 2018 году 
Вы держите в руках 
(или видите на мониторе) – уникален. 
На девятом десятке существования наш 
журнал не стареет и не устаревает, мы можем с гордостью свидетельствовать, что к 
материалам «Математики в школе» могут 
обращаться и обращаются не только в момент выхода свежего номера, но и месяцы, и годы спустя, встречая на страницах 
журнала знаковые имена, полезные статьи, красивые математические и методические идеи, увлекательные задачи. Ряд 
замечательных статей и разработок, опубликованных в журнале и десять, и двадцать, и пятьдесят, и даже восемьдесят лет 
назад сегодня не только стали классикой 
педагогической мысли, но при этом никак 
не теряют своей актуальности. 
Работать в журнале с такой давней 
и славной историей для нас и большая 
честь, и большая ответственность. Вместе с вами мы размышляем о том, что 
нового, интересного можем предложить 
читателям, и в то же время стараемся не 
забывать то лучшее, что было свойственно журналу на протяжении его долгой и 
славной истории. Мы гордимся нашими 
постоянными авторами, всегда открыты для новых людей и идей, и, конечно, 
наш журнал «Математика в школе» был 
и остается надёжным подспорьем и верным другом, помощником для всех учителей математики, студентов, методистов, 
учёных. 
В каждом номере журнала наряду с 
актуальными методическими разработ
ками, 
обсуждением 
образовательных 
новаций, стандартов и программ, материалами государственных экзаменов и 
олимпиад, другими практическими советами и рекомендациями, мы стараемся ставить и более общие, всегда важные 
для настоящего учителя вопросы. Зачем и 
кому нужна сегодня математика и в чём 
смысл её преподавания? Что может дать 
личности математическое образование? 
Действительно ли математическое образование есть благо? Какой должна быть 
школьная математика в цифровом веке, 
пронизанном всемирной паутиной социальных сетей и интернет-сайтов? Как те 
перемены, которые произошли за последние четверть века в нашей стране, да и 
во всём мире, влияют на цели и задачи 
математического образования? 
Вот и в этом номере – «Математические прогулки», размышления известного 
учёного-математика, академика РАН Сергея Новикова о современной математике и 
современном образовании, полемические 
заметки Павла Семенова о едином госэкзамене и, рядом, – разбор традиционно 
вызывающих затруднения у школьников 
задач с параметром на ЕГЭ, предложения по конкретной реализации недавно 
принятой Концепции развития математического образования в РФ и даже... греческие пирожки, также, как выясняется, 
имеющие непосредственное отношение к 
математике.
И на страницах всех номеров журнала 
вас ждет ещё немало интересных материалов, новых идей и проектов.

С новым годом,
наши дорогие читатели, друзья, коллеги! 

Евгений Бунимович

Дорогие наши читатели!

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ОСОБЫЕ ТОЧКИ

Баба-ЕГЭ. Хроники

ГОСЭКЗАМЕН ПО-КИТАЙСКИ
(почему у нас нет шансов перед восточным соседом)
В Китае математика – обязательный выпускной и в то же время вступительный экзамен 
на все специальности. Он двухуровневый, и каждый вариант содержит три раздела. Гуманитарии должны за 2 часа выполнить 14 заданий из первого раздела и 6 – из второго 
(оцениваются в 90 и 70 баллов соответственно), а выбравшие естественно-научный профиль – 23 задания за 2,5 часа (200 баллов). Принципиальное отличие от нашего ЕГЭ по 
математике – отсутствие демоверсий, открытого банка заданий и каких-либо шаблонов в 
содержании, что исключает безделье со стороны учеников и натаскивание со стороны учителей, держит в тонусе педагогов, не плодит армию репетиторов и далее по списку. Задания 
год от года меняются принципиально, они непредсказуемы, для успешной сдачи экзамена 
нужно владеть всем материалом программы (не такой, как у нас, которую учителя старшей 
школы давно оплакали, а полноценной, о которой ещё не все позабыли).
Задания дают представление о том, чему и на каком уровне учат сегодня китайских школьников: теория множеств, комплексные числа, кривые второго порядка, функции, метод 
координат, векторная техника, основы стереометрии и т.д. У нас же «для поступления на 
специальности, не связанные с математикой», достаточно сдать базовый ЕГЭ с задачами, 
которые нынче в приличном обществе стыдно цитировать. Китайский госэкзамен отличается как небо от земли от нашего профильного ЕГЭ, открывшего путь в вузы неграмотным абитуриентам и сильно осложнившего подготовку будущих профессиональных кадров. 
В Китае разработчикам экзамена не приходит в голову, например, включить в вариант 
задачу с громоздкими вычислениями или нелепым «реальным» сюжетом. Каждое задание 
имеет свою цену в баллах, и её никто не скрывает, что мотивирует сдающего экзамен решать каждую задачу. Нет никакой «мутной» шкалы пересчёта первичных баллов. Вопрос о 
списывании даже не стоит, попавшегося на списывании лишают права пересдачи пожизненно... При всём при этом в Китае уже широко обсуждается возможный отказ от тестовой 
системы аттестации и введение устных выпускных экзаменов. Причина проста – их система 
образования переросла тесты, пора переходить к творческому «выпускному контролю». 
Бесспорно одно. Нынешний российский ЕГЭ и общие тенденции «развития» системы образования не дают нам перед восточным соседом никаких шансов.
Подробности: https://vk.com/club62604527?w=wall-62604527_14127.

Перспективы далёкие и близкие

ОПРОВЕРЖИМЫЕ ДАННЫЕ
(большинство родителей (не)довольны школьным образованием)
С апреля по сентябрь 2017 года Счётная палата проводила онлайн-опрос в рамках экспертного анализа реализации госпрограммы РФ «Развитие образования» на 2013–2020 
годы. В нём приняли участие более 1,3 тыс. человек из 50 регионов. Согласно результатам 

Особые точки
5

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

опроса, опубликованным «Известиями», школьным 
образованием довольны только 17,1% опрошенных, 
подавляющее большинство – 70,4% – считают, что 
школьных знаний недостаточно для поступления в 
вуз, примерно столько же – 70,8% – оплачивают дополнительные занятия с репетитором. Больше всего 
претензий к качеству преподавания иностранного 
языка (15,3%), математики (14,4%) и русского языка (11%). К тому же 23,1% респондентов считают, что 
учителя лишь отрабатывают часы и не заботятся о 
полученных ребёнком знаниях; 56,6% не были столь 
категоричны и ответили, что есть педагоги, прививающие интерес к предмету, а есть те, кто просто проводит урок. По мнению чиновников из Рособрнадзора, куда «Известия» обратились за комментариями, 
«если ребёнок добросовестно учится, а учебный процесс организован эффективно, школьной подготовки 
достаточно, чтобы сдать ЕГЭ» и т.п. В свою очередь, 
Минобрнауки газетчиков заверило: детали опроса 
Счётной палаты «безусловно, будут учтены».
А вот в РАНХиГС данные опроса поспешили опровергнуть. Директор Центра экономики 
непрерывного образования ИПЭИ (Института прикладных экономических исследований) 
Татьяна Клячко уверяет: они уже пять лет проводят глубокие исследования, и по последним 
данным работа школ устраивает большинство родителей, а недовольных «по репрезентативной выборке» всего 12%. Да, некоторая неудовлетворённость растёт – пять лет назад 
недовольных было 7%, – но «никакого резкого изменения родительского отношения к школе мы не выявляем». Даже удивительно, что после этого она подтвердила другую цифру: 
только 27% родителей считают, что можно сдать ЕГЭ на высокие баллы без дополнительных 
занятий. «Но это не означает, что школа не подготовит к  ЕГЭ, это значит, что родители очень 
боятся ЕГЭ», – резюмировала Клячко. Высказалась она и по поводу преподавания ведущих 
предметов, в том числе математики. «Как бы выразиться культурно... Какие же “сказочники” в этом РАНХиГС», – прокомментировал слова эксперта один из пользователей.
Подробности: https://ria.ru/society/20171011/1506645305.html.

Из жизни учёных

МАТЕМАТИКА ОБЩЕНИЯ
(российские учёные выяснили, как работает «сарафанное радио»)
В последние годы учёные активно исследуют принципы, которые управляют поведением 
больших групп людей. Например, как между ними распространяется информация и как 
она влияет на их поведение. Недавно математики из Санкт-Петербурга раскрыли секрет 
работы так называемого сарафанного радио – вирусного распространения информации 
среди родственников, друзей, знакомых, знакомых знакомых и так далее. В кризисных 
ситуациях именно оно часто становится единственным источником информации (или дезин

Математика в школе  1 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

формации). Его чрезмерная активность может вызвать массовую панику, перегрузку сетей 
и другие негативные последствия, и нужно уметь вовремя их ликвидировать. Для решения 
этой задачи была разработана компьютерная программа, способная предсказывать передачу информации в социальных сетях и по телефону. Наблюдая за «общением» виртуальных 
абонентов, учёные научились определять, с какой скоростью и какими путями передаётся 
информация, и даже находить людей, играющих ключевую роль в этом процессе – «организаторов». В результате наши математики создали формулу, позволяющую определить 
вероятностью распространения информации в зависимости от тех или иных факторов.
Подробности: https://ria.ru/science/20170504/1493644127.html.

НУЛЬ ПОСТАРЕЛ НА 500 ЛЕТ
(о чём поведала Башхалийская рукопись)
Понятие нуля появилось в математике на пять веков раньше, чем принято считать. К такому выводу пришли исследователи из Оксфорда после радиоуглеродного анализа так 
называемой Бахшалийской рукописи. Речь идёт о древнейшем индийском манускрипте, 
посвящённом математике. Он был найден в 1881 году возле деревни Бахшали (Пакистан) 
и с 1902 года хранится в Бодлеанской библиотеке Оксфордского университета. В этом 
документе встречаются символы в виде точек – предшественники современной цифры 0. 
В математике индусов эти точки обозначали отсутствие разряда в числе. Появление нуля 
как самостоятельной цифры считается одним из крупнейших достижений за всю историю 
математики. Долгое время велись споры о датировке Башхалийской рукописи. Большинство учёных считали, что она была создана между VIII и XII веками нашей эры. Проведённый радиоуглеродный анализ показал, что манускрипт старше на несколько столетий и 
относится к III–IV векам.

Башхалийская рукопись. Фото: University of Oxford

Подробности: https://ria.ru/science/20170914/1504799518.html.

Пополняем ресурсы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКОВИНКИ
(чем порадовал читателя профессор Стюарт в этот раз?)
В России вышла в свет ещё одна книга известного британского популяризатора науки Иэна 
Стюарта, одного из «наследников» Мартина Гарднера (десять лет Стюарт вёл раздел матема

Особые точки
7

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

тических развлечений в журнале Scientific American), 
универсала, эрудита, мастера слова и своего любимого дела, который готов показать каждому, даже 
последнему скептику: математика – наука очень 
увлекательная, она способна дарить истинное наслаждение. Все числа интересные, утверждает 
профессор и тут же доказывает это от противного. 
«Предположим, что не все числа интересны. Тогда 
существует наименьшее неинтересное число. Быть 
самым маленьким среди неинтересных – разве это 
не интересно?! Противоречие. Теорема доказана».
Новый сборник Иэна Стюарта – смесь из занимательных задачек, остроумных головоломок, фокусов, исторических баек и прочих забавных историй, 
подобранных на любой вкус и возраст. Все они – из 
коллекции профессора, которую тот собирал многомного лет и время от времени пополнял собственными экспонатами, так что наряду со знакомыми 
задачами и сюжетами в книге есть настоящий эксклюзив. Скучать читателю точно не придётся.
Подробности: http://files.pilotlz.ru/pdf/cP03-3-ch.pdf.

Нетривиальные суждения

Физику я скорее всего уподобил бы трухе, соломе (crusca), 
a математику – хлебному зерну, пище для разума.
Б. Кавальери, итальянский математик

Математика представляется силой человеческого духа, призванной вознаградить нас 
за несовершенство наших чувств и за краткость нашей жизни.
Ж.Фурье, французский математик

Математика – самая надёжная форма пророчества.
В. Швебель, немецкий учёный и публицист

Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, 
что они не понимают всю сложность жизни.
Дж. фон Нейман, венгеро-американский математик и физик 

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Обнадёживающие тенденции 
ЕГЭ-2017
Очень часто программа работы школьных учителей математики в выпускном классе 
определяется не столько регламентирующими материалами вышестоящих инстанций, 
сколько содержанием предстоящего Единого государственного экзамена. Обычно учителя экономят время на тех разделах, в которых не видят прямой «пользы» для ЕГЭ, 
и, наоборот, подробнее останавливаются на тех тематических заданиях, которые максимально приближены к задачам экзамена. Этот прагматичный подход современной 
школы общеизвестен, и его-то как раз и относят к одному из главных недостатков ЕГЭ, 
так как говорить о полноценном математическом образовании в этих условиях нельзя – его уровень неуклонно снижается, что бы ни говорили руководители различного 
ранга в своих речах и отчётах.
Эту тенденцию переломить не удаётся и вряд ли удастся (пока существует ЕГЭ в 
его нынешней форме), а значит, на составителей экзаменационных заданий ложится большая ответственность, так как выходит, что именно они определяют вектор 
математического развития школьников. И когда, например, мы с горечью отмечаем, 
что школьная геометрия неуклонно деградирует, то одна из причин этого – уровень 
геометрических задач в ЕГЭ. Мы имеем в виду не простые задачи из первой части, 
а задачи 14 и 16. Эти задачи в предыдущие годы из-за сложности, на порядок более 
высокой по сравнению с другими задачами варианта, отнимали столько сил у школь
ЭКЗАМЕНЫ

ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ НА ЕГЭ–2017

А.С. Зеленский, к.ф.-м.н., ст.н.с.,
МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва),
e-mail: asz1956@yandex.ru
И.И. Панфилов,
ГБОУ СОШ № 2086 (25) (Москва),
e-mail: panfilovi@list.ru
Е.А. Панфилова,
ГБОУ СОШ № 1018 (Москва),
e-mail: panfilena77@mail.ru

A.S. Zelenskiy, Ph.D., senior research ass,
Lomonosov MSU (Moscow),
e-mail: asz1956@yandex.ru
I.I. Panfilov,
GOU School 2086 (25) (Moscow),
e-mail: panfilovi@list.ru
E.A. Panfilova,
GOU School 1018 (Moscow),
e-mail: panfilena77@mail.ru

Ключевые слова: ЕГЭ, задачи с параметром, различные способы решения.
Keywords: EGE, tasks with a parameter, different 
ways of solving.

Аннотация: анализируются особенности прошедшего ЕГЭ и, в частности, рассматриваются задачи 
18 из вариантов ЕГЭ 2017 года. Приводятся различные способы их решения и рекомендации для учителей и учащихся. Даётся подборка задач, которая 
может стать основой для серии школьных уроков 
по подготовке к решению задач с параметрами.

Annotation: the features of the last EGE are analyzed 
and, in particular, the tasks with a parameter from 
the variants of exams-2017 are considered. Various 
ways to solve them and recommendations for 
teachers and students are given. A selection of tasks 
that can become the basis for a series of school 
lessons on preparing for solving problems with 
parameters is given.

Экзамены
9

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

ников, что многие из них уже не смогли справиться с вполне приемлемыми следующими задачами. Когда у ученика (среднего уровня и выше) не получается пробиться 
через пункт а) задачи 14, которую он при подготовке всегда решал, это парализует его 
действия и в части б) этой задачи. Если к этому добавляются проблемы с пунктом а) 
задачи 16 (который он также почти всегда решал и на этот пункт очень рассчитывал), 
то эмоционально этот учащийся оказывается крайне истощенным, что в результате 
сказывается на качестве решения всего варианта. В этой ситуации в выигрышном 
положении оказывались те, кто при подготовке к ЕГЭ полностью игнорировал геометрию и рассчитывал только на успехи в алгебре. Их «правоту» неявно подтвердил 
и И.А. Ященко, когда, выступая на семинаре в МГУ перед учителями, сказал, что в 
2015 г. планиметрическую задачу решил примерно 1 человек из 500…
В итоге после таких экзаменов многие из школьников и даже учителей постепенно 
отвернулись от планиметрии. Да и на стереометрию, которую освоить намного тяжелее, чем, например, логарифмы, многие махнули рукой. И только надежда на то, что 
задачи по геометрии как-то изменят, не позволила некоторым учителям полностью 
скатиться на путь геометрического нигилизма и формального (чаще всего ускоренного) 
изложения этого раздела математики.
Экзамен 2017 года показал наличие обнадёживающей тенденции. Пункт а) в геометрических задачах был «решаемым», что давало возможность школьникам заработать 
дополнительные баллы даже без правильного решения второго пункта. Более того, в 
этом году и задача 14, и задача 16 были составлены так, что учащийся мог не справиться 
с первым пунктом, но, используя информацию из него, мог произвести расчёты в пункте 
б). В этом случае за счёт геометрии ему удавалось улучшить свой результат (раньше 
это тоже было, но сложность задачи в реальности эту возможность блокировала). При 
сохранении такой тенденции есть шанс, что в старших классах учителя опять, наряду со 
стереометрией, будут уделять внимание и планиметрии, повышая, тем самым, общий математический уровень школьников. Этому же способствовало бы и давно, на наш взгляд, 
назревшее повышение оценки за стереометрическую задачу с 2-х до 3-х баллов.
Ещё одна особенность экзамена 2017 года: раньше в разных вариантах школьникам 
предлагались похожие задачи, отличающиеся, по сути, только числами. Сейчас впервые были предложены разные задачи. Несмотря на то, что эти задачи порой были не 
вполне равнозначны по трудности, этот подход нам представляется позитивным. Это 
важно, опять же, с точки зрения будущего. Ведь не секрет, что часть учителей думают так: вот вчера и сегодня была задача такого-то типа (например, в экономическом 
блоке задача на дифференцированный платеж), значит, завтра этой задачи точно не 
будет, зачем на неё тратить много времени, лучше позубрить что-нибудь другое, чего 
уже давно не было. Это сужает и без того уже серьёзно сокращённый объём изучаемого 
материала, снижая математическую эрудицию школьника до уровня «натасканности» 
на определённые типы задач.
По нашему мнению, положительной является также тенденция, которую составители вариантов ЕГЭ демонстрируют в номинации «Задача с параметром» (задача 18). Мы 
хотели бы остановиться подробнее именно на этих задачах, показав заинтересованным 
учителям подходы к их изложению в классе, а также их связь с основным алгебраическим материалом, изучаемым в средней школе.

Математика в школе  1 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Задача с параметром на ЕГЭ-2017
Задачи с параметром на ЕГЭ стали подбираться так, что они являются непосредственным продолжением, обобщением и углублением соответствующих алгебраических задач, 
которые изучаются в средней школе. Причём усложнение в решении этих задач не является чрезмерным, как это было в предыдущие годы [1–3], а потому задачи оказываются 
вполне приемлемыми для освоения многими интересующимися математикой школьниками, а также вполне доступными для изложения их учителями на занятиях.
Перед тем, как рассмотреть задачи из ЕГЭ-2017, напомним задачу 2016 года – она, 
на наш взгляд, концептуально совпадает с задачами этого года.

Задача 1. Найдите все значения параметра  a,  при каждом из которых уравнение  

2
2
3
2
1
1
х
ах
х
ах
+
+
=
+
+
  имеет ровно три различных корня.
Р е ш е н и е. Сразу же замечаем, что исходное уравнение равносильно системе:  

2

2
2
2
1
0

3
2
1
(
1) .

х
ах

х
ах
х
ах

⎧
+
+
≥
⎪⎨
+
+
=
+
+
⎪⎩

Обратим внимание на первое неравенство системы – это условие возведения в квадрат иррационального уравнения, не допускающее появления посторонних корней. 
Именно оно является важнейшим условием равносильного преобразования, а не ОДЗ, 
как некоторые (даже, увы, многие!) ошибочно считают. Таким образом, акцент в начале 
решения сделан не на умении работать с параметрами, а на умении грамотно решать 
иррациональные уравнения.
Удивительно, но главное уже сделано! Далее нужно правильно возвести в квадрат 
правую часть уравнения. При осуществлении этой процедуры, конечно, выиграли 
те, кто хоть раз в жизни встречался с формулой возведения в квадрат трёхчлена. 
Остальные, а таких было большинство, перемножали и, в зависимости от способности 
аккуратно выполнять арифметические операции, дошли или не дошли до уравнения 
3x2 + 2ax + 1 = x4 + a2x2 + 1 + 2ax3 + 2x2 + 2ax ⇔ x2(x2 + 2ax + a2 – 1) = 0 ⇔ 
⇔ x2((x + a)2 – 1) = 0.  Получаются корни:  0  и  x + a = ±1.
Осталось только финишировать: эти три корня будут тремя корнями исходного уравнения тогда и только тогда, когда все они удовлетворяют неравенству 
x2 + ax + 1 ≥ 0  и не равны между собой. Это уже дело техники – пересекаем решения 
полученных трёх неравенств и из этого множества исключаем случаи совпадения корней:  1 ≥ 0; a ≥ –2;  a ≤ 2;  –a + 1 ≠ 0;  –a – 1 ≠ 0.
О т в е т:  a ∈ [–2; –1) ∪ (–1; 1) ∪ (1; 2].
Как мы видим, в решении всё просто, нет никаких особых «фокусов», не нужно, чтобы 
где-то экзаменуемого «осенило». Но нужны аккуратность в выкладках и – главное – 
чёткая логика рассуждений. Поэтому неподготовленный ученик эту задачу никак не 
осилит, успеха здесь достигнет только математически грамотный школьник.
Примерно этим же характеризуются и задачи 2017 года (задачи 2–5 этой статьи).

Задача 2. Найдите все значения  а, при каждом из которых уравнение

2
2
3
2 ln(
4
5
)
0
х
x
x
a
−
⋅
−
+
−
=

имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].

Экзамены
11

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Р е ш е н и е. Способ 1. В самом начале отметим основные особенности, которые содержит это уравнение. Левая его часть представляет из себя произведение двух множителей, каждый из которых имеет свои собственные ограничения помимо тех, которые 
диктуются условиями задачи. В задачах с параметром эти ограничения желательно 
учитывать сразу, выписывая соответствующие решения, а не откладывать эту процедуру на потом, как часто делают ученики, пересекая полученные решения с ОДЗ перед 
тем, как написать ответ. Если научиться фиксировать ограничения сразу, то их уже 
не забудешь проверить (а ведь это одна из главных бед учащихся!), да и путаницы в 
конце будет существенно меньше.
Каждый из множителей имеет очевидные корни, которые, являясь нулями собственной функции, уже учитывают часть ограничений, накладываемых этой функцией на 
всю задачу:

2
2

2
2

3
2
0,

4
5
0
0
2

ln(
4
5
)
0
3
2
0,
0
2

х

х
х
а
х

x
x
a
x
x

⎡⎧
−
=
⎢⎪⎪
⎢
−
+
−
>
⎨
⎢⎪ ≤
≤
⎢⎪⎩
⇔
⎢
⎧
⎢
−
+
−
=
⎪
⎢
−
≥
⎨
⎢
⎪
⎢
≤
≤
⎩
⎣

2
2

2
2

2
3

4
5

4
5
1
2
2
3

х

a
х
x

x
x
a

x

⎡⎧
=
⎪
⎢⎨
⎢⎪
⎢
<
−
+
⎩
⇔
⎢
⎧
⎢
−
+
−
=
⎪
⎢⎨
⎢
≤
≤
⎪
⎢⎩
⎣

(
)

2

2
2

2
3
25
9

2

2
2
3

х

a

x
a

x

⎡⎧
=
⎢⎪⎪
⎢⎨
⎢⎪
<
⎢⎪⎩
⇔
⇔
⎢
⎧
⎢
−
=
⎪
⎢⎨
⎢
≤
≤
⎪
⎢⎩
⎣

2
3
5
5
3
3
2
2
2
3

х

a

x
a

x

⎡⎧
=
⎢⎪⎪
⎢⎨
⎢⎪−
<
<
⎢⎪
⇔
⎩
⎢
−
= ±
⎧
⎢⎪
⎢⎨
⎢
≤
≤
⎪
⎢⎩
⎣

1

2

3

2
5 5
,
;
3
3 3

4
2
,
;0
3

4
2
,
0;
.
3

x
a

x
a a

x
a a

⎡
⎛
⎞
=
∈ −
⎜
⎟
⎢
⎝
⎠
⎢
⎢
⎡
⎤
=
+
∈ −
⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎢
⎡
⎤
=
−
∈
⎢
⎢
⎥
⎢
⎣
⎦
⎣

Каждое из полученных решений реализуется при определённых значениях  а,  а это 
значит, что при каких-то а возможно получение нескольких решений исходного уравнения. Эту информацию удобно изобразить на числовой прямой (рис. 1). Тогда восприятие результатов будет более чётким. Ведь по рисунку сразу видно, что единственное 

решение возможно только в промежутках изменения параметра  
5
4
4 5
;
;
.
3
3
3 3
а
⎛
⎞
⎛
⎞
∈ −
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∪
 

В остальных областях решений либо нет вообще  (при  
5
5
;
;
3
3
а
⎛
⎤
⎡
⎞
∈ −∞ −
+∞
⎜
⎟
⎥
⎢
⎝
⎦
⎣
⎠
∪
),  либо 

их больше одного:  x1  и  x2 при  
4 ;0 ;
3
а
⎡
⎞
∈ −
⎟
⎢⎣
⎠

  x1  и  x3  при  
4
0;
;
3
а
⎛
⎤
∈⎜
⎥
⎝
⎦

  x1, x2  и  x3 
при  a = 0. 

Рис. 1

a

x1
x2
x3

0
4–3
   4
––
   3
   5
––
   3
5–3

Математика в школе  1 / 2018

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Однако в нашем анализе необходимо также предусмотреть случаи, при которых 
некоторые из этих решений могут совпадать, что может скорректировать ответ к за
даче. Так, приравняв выражения для первых двух решений  2
2
,
3
а
=
+
  мы получим 

условие их совпадения:  x1 = x2  при  
4 .
3
а = −
  Аналогично  x1 = x3  при  
4 ,
3
а =
  а 

x2 = x3  при  a = 0.  В результате, мы получаем, что при  
4
3
а = ±
  наше уравнение также 

имеет только одно решение, тогда как при  a = 0  их будет два.

О т в е т:  
5
4
4 5
;
;
.
3
3
3 3
а
⎛
⎤
⎡
⎞
∈ −
−
⎜
⎟
⎥
⎢
⎝
⎦
⎣
⎠
∪

Способ 2. Для любителей геометрических иллюстраций можно привести ещё один из возможных 
вариантов окончания решения (рис. 2): в плоскости 
переменная-параметр  (хОа)  строятся отрезки трёх 

прямых:  
2 ,
3
х =
 a = 2 – x  и  a = x – 2,  удовлетво
ряющие всем ограничениям задачи. Тогда анализ, 
проведённый на рисунке 1, можно заменить определением на рисунке 2 области изменения переменной  а,  при которой прямая  a = const  пересекается 
с заданными отрезками ровно  1 раз.
Стоит также отметить, что использование «графического» способа решения при решении задач ЕГЭ2017 было, конечно, возможно, но, как правило, не 
давало явного выигрыша по сравнению с аналитическим способом решения. Решения задач 3–5 это 
подтверждают.
                                                                                   Рис. 2

Способ 3. Можно было бы рассуждать и так:  
2 ,
3
х =
  очевидно, является корнем 

уравнения, принадлежащим исследуемому отрезку, при условии положительности 

аргумента логарифма при этом значении  х,  то есть при  

2
2
2
8
5
0,
3
3
а
⎛
⎞ −
+
−
>
⎜
⎟
⎝
⎠

  или 

5 5
;
.
3 3
а
⎛
⎞
∈ −
⎜
⎟
⎝
⎠

  Чтобы он был единственным, надо чтобы два других возможных корня 

либо с ним совпадали (а это, как мы уже видели, реализуется при  
4
3
а = ±
),  либо 

блокировались другими ограничениями задачи. В нашем случае, это условия:  
2
3
x <
 
или  x > 2.  То есть 
2
2
3
2
2

2
2
3
2
2

a

a

a

a

⎧⎡ −
<
⎪⎢
⎪⎢ −
>
⎢
⎪⎣
⇔
⎨⎡
⎪
+
<
⎢
⎪⎢
⎪
+
>
⎢⎣
⎩

4
3
0

4
3
0

a

a

a

a

⎧⎡
>
⎪⎢
⎪⎢
<
⎢
⎪⎣
⇔
⎨⎡
⎪
< −
⎢
⎪⎢
⎪
>
⎢⎣
⎩

4
4
;
;
.
3
3
а
⎛
⎞
⎛
⎞
∈ −∞ −
+∞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∪

x

a

a = 2 – x

a = –2 + x

0
1

1

–1

2–3

4–3

   4
––
   3
   5
––
   3

5–3

2