Методы разработки математических моделей и вычислительный эксперимент на базе пакета Matlab


К.Э. Плохотников







Методы разработки математических моделей и вычислительный эксперимент на базе пакета
MATLAB



Курс лекций







Москва СОЛОН-Пресс 2017

     УДК 519.8
     ББК
       П 39


     Плохотников К.Э.
     Методы разработки математических моделей и вычислительный эксперимент на базе пакета MATLAB. Курс лекций. — М.: СОЛОН-Пресс, 2017. — 628с.
     Курс содержит 15 лекций плюс программное приложение. Тематика лекций разбита на две части. В первой части (лекции №1 — №9) изложены численные методы! решения базовых уравнений математической физики в частных производных. Обсуждаются численные методы!, освоение которых проводится в среде MATLAB в виде набора вычислителыных экспериментов, проведение каждого из которых доступно на персоналыном компыютере с предустановленным пакетом MATLAB. Первая часты курса завершается контролыной работай, содержащей 90 задач. Во второй части курса (лекции №10 — №15) разбираются оригиналыные математические модели: пространственных миграций планктонных организмов, морфогенеза, электромагнитного коллектора, термогеометрической динамики конечного кристаллического образца, турбулентности, идеалыной жидкости (дискретный стохастико-детерминированный подход). Разбор математических моделей включает: постановку задачи, приготовление уравнений для вычислителыного эксперимента, собственно вычислителыный эксперимент в среде MATLAB, а также выводы!. В конце книги приведен пере-чены из 30 тем для самостоятелыной работы студентов.
     Курс лекций может быты полезен старшекурсникам вузов естественнонаучной ориентации, а также аспирантам, стремящимся приобрести навыки математического моделирования со всем комплексом сопровождения.


По вопросам приобретения обращатыся:
ООО «ПЛАНЕТА АЛЬЯНС»
Тел: (499) 782-38-89,
www.alians-kniga.ru


ISBN 978-5-91359-211-8

© СОЛОН-Пресс, 2017
© К.Э. Плохотников, 2017

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ №1.........................................................7

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.......................................7
  §1  . Методологическое введение.................................7
  §2  . Литература по численным методам и среде MATLAB............9
  §3  . Примеры математических моделей...........................10

ЛЕКЦИЯ №2........................................................24

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ..........................24
  §1  . Постановка задачи Коши...................................24
  §2  . Метод Пикара.............................................27
  §3  . Метод малого параметра...................................29
  §4  . Метод ломаных............................................30
  §5  . Метод Рунге-Кутта........................................33
  §6  . Метод Адамса.............................................41
  §7  . Решатели дифференциальных уравнений в MATLAB.............44
  §8  . Постановка краевой задачи................................48
  §9  . Метод стрельбы...........................................49
  §10  . Краевая задача. Разностный метод........................52
  §11  . Краевая задача в среде MATLAB...........................55

ЛЕКЦИЯ №3........................................................57

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ..................................57
  §1  . Введение.................................................57
  §2  . Точные методы решения....................................59
  §3  . Автомодельные решения....................................62
  §4  . Разностный метод.........................................65
  §5  . Невязка..................................................69
  §6  . Методы составления разностных схем.......................70
  §7  . Аппроксимация............................................75
  §8  . Устойчивость.............................................77
  §9  . Метод разделения переменных..............................82
  §10  . Операторные неравенства.................................83
  §11  . Сходимость..............................................84

ЛЕКЦИЯ №4........................................................86

УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА...............................................86
  §1  . Линейное уравнение переноса..............................86
  §2  . Геометрическая интерпретация устойчивости................96
  §3  . Квазилинейное уравнение.................................106

ЛЕКЦИЯ №5.......................................................120

ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ........................................120
  §1  . Одномерные уравнения....................................120


— 3 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

  §2  . Многомерное уравнение......................................136

ЛЕКЦИЯ №6..........................................................148

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ............................................148
  §  1. Счет на установление.......................................148
  §2  . Прямые методы решения......................................167
  §3  . Итерационные методы........................................174

ЛЕКЦИЯ№7...........................................................182

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ.................................................182
  §  1. Схема “крест”..............................................182
  §2  . Неявная схема..............................................187
  §3  . Двухслойная акустическая схема.............................193
  §4  . Многомерные схемы..........................................202

ЛЕКЦИЯ №8..........................................................214

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.............................................214
  §1  . Корректно поставленные задачи..............................214
  §2  . Некорректные задачи........................................231

ЛЕКЦИЯ №9..........................................................254

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО).................254
  §1  . Случайные величины.........................................254
  §2  . Разыгрывание случайной величины............................255
  §3  . Интерполяция...............................................262
  §4  . Решение линейных алгебраических систем методом Монте-Карло.266
  §5  . Вычисление интегралов......................................269
  §6  . Решение краевых задач......................................282

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕРИАЛАМ ЛЕКЦИЙ №1 - №9....................288

ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ........................................300

ЛЕКЦИЯ №10.........................................................303

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ МИГРАЦИЙ ПЛАНКТОННЫХ ОРГАНИЗМОВ.............................................303
  §1  . Введение...................................................303
  §2  . Динамика преследования-убегания для двух особей: одного хищника и одной жертвы...........................................306
  §3  . Кинетические уравнения и гидродинамическое приближение в описании биоценоза...............................................308
  §4  . Преследование-убегание на примере двух видов...............311
  §5  . Преследование-убегание, диффузия и источники...............322
  §6  . “Энергетический” биоценоз..................................333
  §7  . Заключение.................................................340


— 4 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

ЛЕКЦИЯ №11.......................................................342

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МОРФОГЕНЕЗА................342
  §1  . Введение.................................................342
  §2  . Рост отдельной ткани.....................................345
  §3  . Баланс вещества в пределах растущей ткани................347
  §4  . Одномерное приближение...................................348
  §5  . Рост одномерной ткани. Вычислительный эксперимент........356
  §6  . Моделирование роста трех связанных одномерных тканей.....366
  §7  . Заключение...............................................374

ЛЕКЦИЯ 12........................................................375

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТОРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ.........................................375
  §1  . Введение.................................................375
  §2  . Постановказадачи.........................................378
  §3  . Приемник шума............................................379
  §4  . Численное решение уравнений приемника шума...............381
  §5  . Коллектор электромагнитной энергии.......................389
  §6  . Численное решение уравнений коллектора...................391
  §7  . Источники энергии, отличающиеся от белого шума...........397
  §8  . Заключение...............................................403

ЛЕКЦИЯ №13.......................................................404

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
КОНЕЧНОГО КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА...............................404
  §1  . Введение.................................................404
  §2  . Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре?..407
  §3  . Двухвременной формализм..................................412
  §4  . Окрестность нулевой температуры..........................418
  §5  . Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции поверхности (100)Pt............................................423
  §6  . Вычислительный эксперимент на примере моделирования реконструкции поверхности (100)W.............................................440
  §7  . Заключение...............................................472

ЛЕКЦИЯ №14.......................................................473

МНОГОМАСШТАБНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ................................................473
  §1  . Введение.................................................473
  §2  . Исследование потенциала взаимодействия...................478
  §3  . Вывод и решение основного кинетического уравнения........485
  §4  . Исследование вопроса об измеряемости.....................492
  §5  . Пример расчета турбулентного течения жидкости в трубе....498
  §6  . Заключение...............................................510


5

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

ЛЕКЦИЯ№15......................................................511

ОБ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ.............................................511
  §  1. Введение...............................................511
  §2  . Переход к ансамблю жидких частиц.......................513
  §3  . Взаимодействие пары дискретных жидких частиц...........516
  §4  . Взаимодействие в n-кластере............................528
  §5  . Характерные типы движения ансамбля частиц...............535
  §6  . Особенности трехмерного движения ансамбля частиц.......606
  §7  . Заключение.............................................619

ТЕМЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ................................621


— 6 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB



            Лекция №1



        ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

         Рассмотрено общее методологическое введение в численные методы. Приводится базовая литература по численным методам. Обсуждается ряд учебных математических моделей вместе с соответствующим вычислительным экспериментом в среде MATLAB.

§1 . Методологическое введение
Дисциплина под названием численные методы часто характеризуется также термином вычислительная математика. Свою наивысшую стадию развития вычислительная математика обретает в форме вычислительного эксперимента — важнейшего компонента технологии математического моделирования. В курсе лекций будет представлен набор вычислительных, численных методов, процедур, наиболее употребляемых в современных задачах физики, и, прежде всего, математической физики и вообще во всех тех областях знания, которые принято называть естественнонаучными.
     В настоящее время применение численных методов не ограничивается только естественнонаучными областями знания, но и активно востребовано в сфере, традиционно относимой к гуманитарной. Это история, политика, экономика, психология и некоторые другие области знаковой деятельности человека¹. Более того, на примере экономики можно констатировать значительные злоупотребления в использовании математического метода в ущерб содержанию предметной области ².
     Активное продвижение математических методов, математических технологий во все сферы знаковой деятельности человека стало возможным с появлением компьютера в современном смысле слова, т.е. с появлением компьютерной или, более точно, информационной индустрии.
     Традиционное использование компьютера в науке, как универсального вычислительного устройства, получило в последнее время новое содержание в рамках таких понятий, как виртуальная реальность и интерактивный интерфейс . Современные вычислительные мощности и средства программирования позволяют в ряде случаев не просто решить ту или иную задачу, но и построить нечто большее — виртуальную реальность или, просто, виртуал, в котором исследователь может осознать решение задачи во всем возможном многообразии. Привлечение средств интерактивного интерфейса позволяет активно манипулировать доступным многообразием для получения оптимального в том или ином смысле решения исходной задачи. В этом контексте курс

     ¹ Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. — М.: Едиториал УРСС, 2003. 280с.; Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования: курс лекций. — М.: Флинта, 2012. 518с. — ISBN 978-5-9765-1541-3.

     ² Балацкий Е.В. Профессиональное сообщество экономистов — западная и российская модели// Вестник РАН, 2006, т.76, №1, с.38 — 43.

— 7

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

лекций построен таким образом, чтобы студенты могли непосредственно использовать такой широко известный пакет программирования, как MATLAB для активного овладения вычислительными методами и методами разработки математических моделей.
     С точки зрения внешнего наблюдателя, физика, а также все прочие естественнонаучные отрасли знания представляют собой свод, перечень или набор теорий, моделей, которые могут объединяться в еще более крупные единицы — парадигмы. Теории или модели могут быть насыщены в той или иной мере математикой, тогда они становятся математическими теориями или математическими моделями. Более употребляемым является термин математическая модель, т.к. модели в отличие от теорий представляются более мелкими единицами знания и более разнообразными, они интенсивно генерируются, а также могут активно устаревать, выходя из употребления. Более подробно понятие математическая модель разобрано в работах К.Э. Плохотникова¹. Грубо говоря, “расстояние” между математическими моделями той или иной предметной области и компьютером в широком смысле слова заполняют вычислительные методы. Вычислительные методы свой наивысший статус — статус вычислительного эксперимента достигают в контексте некоторой математической модели, описывающей тот или иной объект исследования.
     Постановка и проведение вычислительного эксперимента нам необходимы не сами по себе, а для контроля и управления объектом исследования. Говоря в более широком смысле слова и уже применительно к моделям любой предметной области, нас, в конечном счете, интересует власть над тем или иным фрагментом природой или социальной реальностями.
     Приведенный перечень понятий проиллюстрируем на примере современных методов прогноза погоды. Предметная область или объект исследования может быть назван физикой атмосферы. В частности, физика атмосферы включает ряд математических моделей, описывающих динамику и термодинамику атмосферы в целом. Как известно, для целей прогноза погоды используются уравнения в частных производных Навье-Стокса. Эти уравнения описывают динамику и термодинамику сплошной среды, они традиционно привлекаются для описания движения жидкостей и газов. Чтобы эти уравнения использовать для прогноза погоды, их необходимо дискретизировать, т.е. перейти от континуального описания сплошной среды к дискретному в том или ином смысле описанию. Сам по себе этот переход является одной из основных процедур, обсуждаемых в вычислительных методах. После осуществления процедуры дискретизации становится возможным привлечение компьютеров для расчетов основных метеорологических параметров: скорости, температуры, давления и прочих характеристик. Когда нам, массовым потребителям прогноза погоды, демонстрируют на экране телевизора соответствующие карты, и мы переживаем чувство власти над стихией — это и есть выражение триумфа вычислительных методов в форме вычислительного эксперимента.
     Объект исследования допускает множество математических моделей для своего описания. Естественно может возникнуть вопрос: почему моделей множество? Потому, что сам объект исследования не удается раз и навсегда

— 8 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

определить, текущая модель и есть одно из возможных определений объекта исследования. Современное положение дел в области моделирования такого, что объект исследования допускает, в общем случае, бесконечно много моделей для своего описания. Основная трудность, стоящая перед исследователем, состоит в проблеме выбора из потенциально бесконечного набора конкурирующих моделей. Более подробно о природе выбора моделей изложено в курсе лекций автора “Метод и искусство математического моделирования”³.
      На рис. 1 приведена схема позиционирования вычислительных методов в рамках так называемого “колеса” научно-технической деятельности. Под колесом или циклом понимается реализация цепочки: объект ^ модель ^ вычислительные методы ^ вычислительный эксперимент ^ контроль ^ объект', где штрих обозначает возврат к исходному объекту исследования, но на другом научно-техническом, познавательном уровне.



Рис.1. Блок-схема позиционирования вычислительных методов в рамках “колеса” научно-технической деятельности

         §2  . Литература по численным методам и среде MATLAB
В основу курса положены следующие учебные материалы в части вычислительных методов:
      1. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Гл. ред. физ.-матлит., 1978. 512с.
      2. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). — М.: Гл. ред. физ.-матлит., 1973. 631с.
      3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-матлит., 1989. 432с.
      4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-матлит., 1970. 664с.
      5. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-матлит., 1968. 400с.
а также учебные пособия последних лет:


      ³ Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования: курс лекций. — М.: Флинта, 2012. 518с. — ISBN 978-5-9765-1541-3

— 9 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

      6. Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции почисленным методам: Учеб, пособие. — М.: Университетская книга, Логос, 2006. 184с.
      7. Пирумов У.Г. Численные методы : Учеб. пособие. — М.: Дрофа, 2004. 224с.
      8. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах: Учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 2006, 480с.
      Среда MATLAB для научных и технических математических вычислений изложена во множестве учебных пособий, среди них выделим:
      1. МартыновН.Н. Введение в MATLAB6. — М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. 352с.
      2. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5+Simulink4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — М.: СОЛОН-Пресс, 2002. 768с.
      3. Плохотников К.Э., Волков Б.И., Задорожный С.С., Антонюк В.А., Терентьев Е.Н., Белинский А.В. Методы разработки курсовых работ. Моделирование, вычисления, программирование на C/C++ и MATLAB, виртуализация, образцы лучших студенческих курсовых работ: Учеб. пособие/ Под ред. К.Э.Плохотникова. — М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2006. 320с.
кроме того отметим имеющиеся учебные материалы по изложению вычислительных методов в среде MATLAB:
      4. Плохотников К.Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB: курс лекций. Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Горячая линия - Телеком, 2013. 496с.
      5. КетковЮ.Л., Кетков А.Ю., ШульцМ.М. MATLAB7: программирование, численные методы. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 752с.
      6. Потемкин В.Г. Вычисления в среде MATLAB. — М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2004. 720с.
      7. Мэтьюз Дж.Г., Финк К.Д. Численные методы. Использование MATLAB. — М.: Издательский дом “Вильямс”, 2001. 720с.
      8. БоглаевЮ.П. Вычислительная математика и программирование. — М.: Высшая школа, 1990. 544с.
§3. Примеры математических моделей
Модель №1. Модель маятника. Смоделируем движение маятника в некоторой среде, характеризуемой трением.







Рис.2,а. Объект исследования — механический маятник

,d 2Ф ^Ф -а о
   l---у- + д— + g Sin Ф = 0
   dt² ^dt





Рис.2,б. Математическая модель механического маятника



— 10 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

     На рис.2,а приведен образ маятника, а на рис.2,б его математическая модель в виде дифференциального уравнения. Подробности объекта исследования и его математической модели: груз некоторой массы прикреплен к абсолютно упругому и невесомому стержню длины l, стержень крепится к шарнирной опоре в точке О, ф — угол отклонения маятника от вертикального положения, g — ускорение свободного падения, t — время, д — коэффициент трения при движении маятника в некоторой среде. Перечисленные выше словесные оговорки при описании объекта исследования, имеют ввиду отсечение огромного количества иных возможных моделей маятника с учетом других особенностей его определения и моделирования.
     На рис.2,б приведена математическая модель движения маятника в виде нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Необходимо решить это уравнение, т.е. найти решения этого уравнения в том или ином смысле. Как правило, уравнения математических моделей не допускают простых аналитических решений, поэтому приходится привлекать численные методы для их решения. Уравнение на рис.2,б именно такое, для него в общем случаю отсутствует решение, выражаемое через обычные функции алгебры и

анализа.

     Для использования решателей дифференциальных уравнений в пакете


MATLAB перепишем уравнение на рис.2,б в следующем виде:

<


       dyi _ y

       dt ²’
       dyi
       ~П      ²
       . dt

(1)

- a ² sin y₁,

гдеуi = ф, y2 = ф, v = д 11, a² = g 11.
     Наряду с моделью движения маятника согласно уравнениям (1), рассмотрим также модель линейного маятника, когда считается, что sinф ® ф. Со
ответствующие уравнения для описания движения линеаризованного маят




ника представлены в (2). dy₁
-dt ⁼ y²,

<

       dyy = ⁻vy2 ⁻ a²y 1. I dt

(2)

     Ниже приведен код программы с комментариями в среде MATLAB, который обеспечивает численное решение систем уравнений (1) и (2) и представление решений в виде графиков на рис.З. Отметим, что в целях упрощения кода программы не используются элементы графического интерфейса (кнопки, редактируемые поля и пр.), которые легко могут быть введены в программу приложения (более подробно с соответствующими процедурами можно ознакомиться в учебном пособии [З] из второго списка, представленного выше).


%Листинг №1
     %Моделирования движения маятника

— 11

Плохотников К.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

     function pendulum
     %Определяем значения входных параметров задачи nu=0.1; omega2=1;
     %Вводим начальный и конечный моменты времени tin=0; tfin=30;
     %Определяем анонимную функцию правых частей
     %системы уравнений (1)
     f=@(t,y)[y(2);-nu*y(2)-omega2*sin(y(1))];
     %Обращаемся к одному из решателей
     %дифференциальных уравнений в среде MATLAB ode23, %задавая относительную и абсолютную точности options = odeset('RelTol',1e-3,'AbsTol',[1e-6 1e-6]); %Решаем систему дифференциальных уравнения (1) [time,z]=ode23(f,[tin tfin],[(3*pi)/4 0],options);
     %Строим график искомого решения
     plot(time,z(:,1));
     %Находим решение упрощенной линеаризованной модели
     %движения маятника (2)
     fl=@(t,y)[y(2);-nu*y(2)-omega2*y(1)];
     [timel,zl]=ode23(fl,[tin tfin],[(3*pi)/4 0],options);
     hold on
     plot(timel,zl(:,1),'-.');


Рис.З. Решения систем уравнений (1), (2) согласно коду листинга №1

     Действия студентов по запуску программы pendulum следующие: входим в MATLAB, нажимаем File ^ New ^ M-File (либо ), в появившееся окно с помощью буфера обмена загружаем код программы. Если требуется, корректируем код программы и запускаем ее на исполнение с помощью либо кнопки Run, либо — нажатий Debug ^ Run, либо просто F5. MATLAB также запросит имя и место дислокации соответствующего файла.



12

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

      Изучение листинга №1 показывает наличие возможности задания уровней относительной и абсолютной погрешностей или соответствующей точности относительной либо (и) абсолютной при решении уравнений (1) и (2). В общем случае различают четыре источника погрешности результата:
      •  математическая модель;
      •  исходные данные;
      •  приближенный метод;
      •  округления при вычислениях.
      Иллюстрация погрешности математической модели приведена на рис.З при сравнении двух моделей: нелинейной, более реалистичной модели и линейной, упрощенной модели движения маятника.
      Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного A и заменяющее последнее в вычислениях. Под ошибкой или погрешностью Ла приближенного числа а обычно понимается разность между точным и приближенным значениями, т.е. Ла = A - а. Как правило, знак ошибки неизвестен. В этом случае используют абсолютную погрешность приближенного числа Л = \Ла|. Относительной погрешностью 8приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Л к модулю точного числа A, т.е. 8 = Л / \А|. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается всякое число Л , не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т.е. Л = \А -а| < Ла. Под предельной относительной погрешностью приближенного числа а понимается всякое число 8а , не меньшее относительной погрешности этого числа, т.е. 8 < 8а. Согласно введенным определениям, имеем
      а  - Ла < A < а + Л или, что то же, A = а ± Л;
      а  (1 - 8а) < A < а(1 + 8а) или, что то же, A = а(1 ± 8а).
      Второе из неравенств получено из предположения о том, что на практике A ~ а.
      Возвращаемся к источнику погрешности результата в исходных данных. Так, согласно работе⁴, измерение лэмбовского сдвига 8 (МГц) в атоме водорода по сравнению с теорией имеет следующую абсолютную точность: 8,ксп = 1057,862 ± 0,020; 8геор = 1057,912 ± 0,011. Нетрудно оценить относительную точность измерения и погрешность теоретической оценки: 1,89-10⁻⁴ и 1,04-10⁻⁵ соответственно. Точность в особых прецизионных измерениях доходит до 10⁻¹². Это, конечно, не типичная ситуация в физике и технике. Часто приходится ограничиваться относительной погрешностью измерений от 1% до 10% и более.
      Погрешности результата, связанного с особенностями метода, весьма разнообразны. Они выражаются, например, в том, что ряды суммируются с конечным, а не бесконечным числом слагаемых, функции аппроксимируются полиномами с заданной точностью, итерационные процессы прекращаются

      ⁴ Соколов Ю.Л., Яковлев Б.П. Измерение лэмбовского сдвига в атоме водорода// http://data.ufn.ru//ufn82/ufn82 10/Russian/r8210n.pdf

— 13 —

ПлохотниковК.Э. Методы разработки математических ... на базе пакета MATLAB

после конечного числа шагов и пр. Особенности тех или иных вычислительных методов обсуждаются на протяжении всего данного курса.
      Погрешности при вычислениях вследствие округлений неизбежны, поскольку на компьютере под числа отводится ограниченное число байт. Например, под число с плавающей запятой типа double в MATLAB отводится 8 байт или 64 бит памяти, что позволяет достигать точность порядка 15 значащих цифр. Отметим, что в MATLAB, в рамках символических вычислений, возможны точные расчеты, однако любая память, отведенная под эти расчеты, может быть быстро исчерпана.
      Например, попытка вычислить 1000!, исходя из обычной арифметики, приведет в среде MATLAB к ответу: Inf, что означает машинную бесконечность. Однако если обратиться к символическим вычислениям и набрать команду:
      >> one=sym('1'); prod(one:1000) ^ Enter
получим точное значение факториала (первые 50 значащих цифр из 2568):
      40238726007709377354370243392300398571937486421071.
      Поскольку в среде MATLAB мы в основном будем иметь дело с числами с плавающей запятой, т.е. с типом double, постольку важно выяснить каковы минимально (после нуля) и максимально возможные числа. Для этого в MATLAB имеются соответствующие команды: realmin и realmax. Если их выполнить, получим
      2.225073858507201е-308 и 1.797693134862316е+308.
      Определим понятие корректность — одно из важнейших понятий в вычислительных методах. Некоторая задача называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса решение существует, единственно и устойчиво по входным данным.
      Приведем классический пример некорректно поставленной задачи Коши для эллиптического уравнения в области у > 0:
      Uxx + Uyy = 0, u(x,0) = 0, Uy(x,0) = ip(x).             (3)
      Входными данными задачи (3) является функция рx). Очевидно, что, если рx) = 0, то решение также тривиально, т.е. u(x,у) = 0. Выберем теперь <Хx) = р,(x) = Пcosnx, где n = 1,2,. В этом случае решение эллиптического уравнения (3) предстанет в виде:
     uₙ (x, у) = '., cos nx ■ shny.                           (4)
              n ²
      Очевидно, что pₙ(x) равномерно сходится к 0 при n ^ то, однако, согласно (4), решение uₙ(x,y) к нулю при n ^ то не сходится, поскольку приу #0

решение неограниченно, когда n ^ то.
      Модель №2. Модель хищник-жертва Лотки-Вольтерра. Пусть x — плот
ность популяции жертвы^ — плотность популяции хищника, тогда, согласно

модели Лотки-Вольтерра, можно записать следующие уравнения: (x = ax - bxy,
      [ y = cxy - dy,

(5)

— 14 —