Обыкновенные дифференциальные уравнения. Практикум

ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

ПРАКТИКУМ

А.В. ПАНТЕЛЕЕВ
А.С. ЯКИМОВА
К.А. РЫБАКОВ

Москва

ИНФРА-М

201УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки 

естественных наук, техники, информатики и экономики

(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161.6
 
П16

Пантелеев А.В.

П16  
Обыкновенные 
дифференциальные 
уравнения. 
Практикум 
: 

учеб. пособие / А.В. Пантелеев, А.С. Якимова, К.А. Рыбаков. — М. : 
ИНФРА-М, 2019. — 432 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-011973-1 (print)
ISBN 978-5-16-104612-8 (online)
Изложены аналитические, приближенно-аналитические и численные 

методы и алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение каждого метода продемонстрировано на решении типовых и нетиповых примеров, охватывающих различные приложения к задачам механики, экономики, расчета электрических цепей и биологических 
систем. Особое внимание уделено специфике решения задач анализа выходных процессов и устойчивости одномерных и многомерных динамических систем, исследуемых в теории управления.

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями Федераль
ного государственного образовательного стандарта высшего образования 
последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, получающих образование 

по направлениям (специальностям) естественных наук, техники и технологий, информатики и экономики (квалификация (степень) «бакалавр» 
и «магистр»).

УДК 517.9(075.8)

ББК 22.161.6

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра «Прикладная математика» Московского государственного 

технического университета гражданской авиации (заведующий кафедрой док  тор технических наук, профессор В.Л. Кузнецов);

Н.А. Бодунов, доктор физико-математических наук, профессор 

(Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»)

ISBN 978-5-16-011973-1 (print)
ISBN 978-5-16-104612-8 (online)

© Пантелеев А.В., Якимова А.С., 

Рыбаков К.А., 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Глава 1. Общие теоретические положения . . . . . . . . . . . .
15

1.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

1.1.1. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . .
15

1.1.2. Системы дифференциальных уравнений
. . . . . . .
22

1.2. Основные понятия, связанные с исследованием и решением

дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.2.1. Интегрирование обыкновенных дифференциальных

уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.2.2. Сведение дифференциального уравнения высшего по
рядка к системе дифференциальных уравнений
. . .
27

1.2.3. Поле направлений. Приближенное решение уравне
ний методом изоклин
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

1.2.4. Свойства
решений
линейных
дифференциальных

уравнений и систем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

1.2.5. Анализ выходных процессов
. . . . . . . . . . . . . .
32

1.2.6. Анализ устойчивости
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

Глава 2. Дифференциальные уравнения первого порядка . .
40

2.1. Уравнения с разделяющимися переменными
. . . . . . . .
40

2.1.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

2.1.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяю
щимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

2.2. Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

2.2.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

2.2.2. Уравнения, приводящиеся к однородным . . . . . . .
53

2.3. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

2.3.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

2.3.2. Уравнения, приводящиеся к линейным
. . . . . . . .
62

2.4. Уравнение Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

2.4.1. Случаи интегрируемости уравнения Риккати . . . . .
67

2.4.2. Метод вспомогательных переменных
. . . . . . . . .
75

Оглавление

2.5. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . .
77

2.5.1. Метод решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

2.5.2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных

дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

2.6. Уравнения, не разрешенные относительно производной . .
97

2.6.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

2.6.2. Уравнения первого порядка n-й степени . . . . . . . .
99

2.6.3. Неполные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

2.6.4. Полные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

2.7. Уравнения высшего порядка, приводящиеся к уравнениям

первого порядка. Понижение порядка дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113

2.8. Простейшие краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего

порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.1.1. Линейные однородные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.1.2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137

3.2. Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

3.3. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158

3.4. Анализ устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164

3.5. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

с переменными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . .
167

3.5.1. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167

3.5.2. Линейные дифференциальные уравнения второго по
рядка с переменными коэффициентами . . . . . . . .
178

Глава 4. Системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . .
186

4.1. Методы нахождения и исследования общего решения одно
родной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

4.1.1. Метод приведения системы линейных уравнений к од
ному уравнению высшего порядка . . . . . . . . . . .
187

4.1.2. Метод сведения решения системы к задаче отыскания

собственных значений и собственных векторов матрицы системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192

Оглавление
5

4.1.3. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . .
203

4.2. Методы нахождения общего решения неоднородных систем
212

4.2.1. Метод приведения системы линейных уравнений

к одному уравнению высшего порядка . . . . . . . . .
212

4.2.2. Метод вариации произвольных постоянных . . . . . .
218

4.2.3. Метод подбора частного решения
. . . . . . . . . . .
223

4.3. Решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234

4.4. Анализ выходных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

4.5. Анализ устойчивости линейных многомерных стационар
ных динамических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243

Глава 5. Применение операционного исчисления для реше
ния линейных дифференциальных уравнений и
систем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248

5.1. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248

5.1.1. Основные определения
. . . . . . . . . . . . . . . . .
248

5.1.2. Свойства преобразования Лапласа . . . . . . . . . . .
252

5.1.3. Нахождение изображения по оригиналу . . . . . . . .
259

5.1.4. Нахождение оригинала по изображению
. . . . . . .
269

5.2. Применение преобразования Лапласа
. . . . . . . . . . . .
275

5.2.1. Решение линейных дифференциальных уравнений

и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

5.2.2. Применение передаточных функций для анализа вы
ходных процессов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293

Глава 6. Анализ поведения динамических систем на фазовой

плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304

6.1. Динамические системы и их исследование в фазовом про
странстве. Основные положения
. . . . . . . . . . . . . . .
304

6.2. Анализ поведения линейных динамических систем второго

порядка на фазовой плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . .
307

6.3. Анализ поведения нелинейных автономных динамических

систем второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319

Глава 7. Приближенно-аналитические методы решения

дифференциальных уравнений и систем . . . . . . .
337

7.1. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью

степенных рядов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337

7.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337

7.1.2. Метод неопределенных коэффициентов . . . . . . . .
339

7.1.3. Метод последовательного дифференцирования . . . .
349

Оглавление

7.2. Метод последовательных приближений
. . . . . . . . . . .
356

7.3. Спектральный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364

7.4. Метод Чаплыгина
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382

7.5. Метод Ньютона – Канторовича
. . . . . . . . . . . . . . . .
387

Глава 8. Численные методы решения дифференциальных

уравнений и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
391

8.1. Постановка задачи. Основные понятия . . . . . . . . . . . .
391

8.2. Явные методы решения дифференциальных уравнений

и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397

8.2.1. Явный метод Эйлера
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
397

8.2.2. Метод Эйлера – Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . .
402

8.2.3. Модифицированный метод Эйлера . . . . . . . . . . .
402

8.2.4. Явные методы Рунге – Кутты . . . . . . . . . . . . . .
402

8.2.5. Метод Рунге – Кутты – Мерсона . . . . . . . . . . . . .
407

8.2.6. Методы Адамса – Башфорта
. . . . . . . . . . . . . .
408

8.2.7. Методы Фельберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

8.2.8. Методы Ингленда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410

8.2.9. Методы Нюстрема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
411

8.2.10. Явные методы Милна . . . . . . . . . . . . . . . . . .
412

8.2.11. Явные методы Хемминга . . . . . . . . . . . . . . . .
412

8.2.12. Методы прогноза и коррекции . . . . . . . . . . . . .
413

8.3. Неявные методы решения дифференциальных уравнений

и систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
415

8.3.1. Неявный метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . .
415

8.3.2. Метод трапеций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416

8.3.3. Методы Адамса – Мултона
. . . . . . . . . . . . . . .
416

8.3.4. Неявные методы Милна . . . . . . . . . . . . . . . . .
417

8.3.5. Неявные методы Хемминга . . . . . . . . . . . . . . .
418

8.3.6. Методы Гира . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
418

8.3.7. Неявные методы Рунге – Кутты
. . . . . . . . . . . .
420

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
427

Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальные уравнения являются одним из основных разделов

математики, наиболее широко используемых при решении практических
задач. Причина этого состоит в том, что при исследовании физических
процессов, решении различных прикладных задач, как правило, не удается
непосредственно найти законы, связывающие величины, которые характеризуют исследуемые явления. Обычно легче устанавливаются зависимости
между теми же величинами и их производными или дифференциалами.
Соотношения такого рода называются дифференциальными уравнениями.

Решение задачи исследования физического явления можно разделить

на два этапа:

1) составление дифференциального уравнения, которое при определен
ных предположениях описывает сущность рассматриваемого явления;

2) нахождение решения дифференциального уравнения, т.е. функцио
нальной зависимости между величинами, характеризующими исследуемое
физическое явление.

Возможности и правила составления дифференциальных уравнений

определяются знанием законов той области науки, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике могут использоваться
законы Ньютона, в теории электрических цепей — законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций — законы действия масс и т.д. Однако
на практике часто случается, что законы, которые могли бы позволить составить дифференциальное уравнение, неизвестны. Тогда прибегают к различным упрощающим предположениям, касающимся протекания процесса при малых изменениях параметров-переменных. К дифференциальным
уравнениям в таком случае приводит предельный переход. Вопрос соответствия математической модели и реального явления решается на основе
анализа результатов опытов и сравнения их с поведением решения полученного дифференциального уравнения.

Для нахождения решения уравнения применяются аналитические,

приближенно-аналитические и численные методы. Аналитические методы позволяют найти точное решение задачи, но лишь для ограниченного класса дифференциальных уравнений. С помощью приближенноаналитических и численных методов получают приближенные решения,
но для значительно более широкого круга проблем.

Введение

Многочисленные дифференциальные уравнения, встречающиеся на

практике, могут быть разделены на несколько типов, для каждого из которых в настоящее время развита своя теория. В предлагаемом пособии рассматриваются лишь обыкновенные дифференциальные уравнения, в
которых неизвестная функция зависит только от одной переменной. В противоположность этому в дифференциальных уравнениях с частными
производными неизвестная функция зависит от нескольких переменных.

Будем обозначать независимую переменную буквой t, неизвестные

функции — x1(t), . . . , xn(t), а производные функции x(t) — x′(t), x′′(t),
. . . , x(m)(t). Также употребляются обозначения

x′(t) = dx

dt ,
x′′(t) = d2x

dt2 ,
. . . ,
x(m)(t) = dmx

dtm .

Физические процессы, которые могут быть описаны дифференциальны
ми уравнениями, весьма разнообразны и часто встречаются в практической
деятельности. Величины, характеризующие такие процессы, как правило,
изменяются с течением времени, поэтому, если не оговаривается особо, будем интерпретировать независимую переменную t как время.

Далее рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих процесс составле
ния дифференциальных уравнений.

Пример В.1. Рассмотрим электрическую схему с заданными сопро
тивлением R и емкостью C конденсатора (рис. В.1). В начальный момент
времени t0 = 0 конденсатор не заряжен. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения uc(t) на конденсаторе после замыкания ключа при условии действия источника с постоянным напряжением E.

▶ Запишем уравнение второго закона Кирхгофа и начальное условие:

uc(t) + i(t)R = E,
uc(t0) = uc(0) = 0.

Рис. В.1

Используя равенство i(t) = C duc

dt , получаем

RC duc

dt + uc(t) = E,
uc(0) = 0.
(В.1)

Уравнение (В.1) связывает независимую пе
ременную t, искомую функцию uc(t) и ее
первую производную duc

dt . Это дифференциаль
ное уравнение первого порядка. Решение урав
нения — искомое изменение напряжения uc(t) на конденсаторе — должно
удовлетворять дифференциальному уравнению (обращать его в тождество)
и начальному условию uc(0) = 0. ◀

Введение
9

Пример В.2. Для схемы (рис. В.2) с известными параметрами R, r

и C составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение выходного напряжения uвых(t) от времени при известном законе изменения
входного напряжения uвх(t).

▶ Запишем первый и второй законы Кирхгофа:

⎧
⎨

⎩

ir(t) = ic(t) + iR(t),
ir(t) = uвых(t)

r
,
ic(t) = C duc

dt ,
iR(t) = uc(t)

R ,

uвх(t) = uвых(t) + uc(t).

Отсюда

uвых(t)

r
= C d(uвх(t) − uвых(t))

dt
+ uвх(t) − uвых(t)

R
,

или

RC duвых

dt
+

1 + R

r

uвых(t) = RC duвх

dt + uвх(t).
(В.2)

Рис. В.2

Как и в предыдущем примере, получено

соотношение, в которое входят искомая функция uвых(t) и ее первая производная
duвых

dt .

Уравнение (В.2) является дифференциальным уравнением первого порядка. ◀

Пример В.3. Груз массы m соединен

пружинами с коэффициентом жесткости k
со стенками контейнера, заполненного жидкостью с коэффициентом вязкого трения
(рис. В.3). Требуется получить дифференциальное уравнение, описывающее перемещение груза из положения равновесия (состояние покоя) вдоль
оси 0x, если контейнер движется с ускорением a(t).

▶ Запишем второй закон Ньютона, который в данном случае имеет вид

mx′′(t) = Fин(t) − Fпр(t) − Fтр(t),

где Fин(t) = ma(t) — сила инерции, Fпр(t) = −kx(t) — сила сопротивления
пружины, определяемая законом Гука, Fтр(t) = −x′(t) — сила вязкого
трения. Отсюда

mx′′(t) +
x′(t) + kx(t) = ma(t).
(В.3)

Состоянию покоя, из которого начинается движение груза, соответству
ют нулевые начальные условия: x(0) = 0, x′(0) = 0.

Уравнение (В.3) связывает независимую переменную t, искомую функ
цию x(t), ее первую и вторую производные. Это дифференциальное уравнение второго порядка. При a(t) = 0 имеем уравнение свободных колебаний:

mx′′(t) +
x′(t) + kx(t) = 0.
(В.4)

Введение

Рис. В.3

Если, кроме того, предположить, что
= 0 (вязкое трение отсутствует),

то получим уравнение

mx′′(t) + kx(t) = 0,
(В.5)

описывающее свободные колебания в среде без сопротивления. ◀

Пример В.4. Составить дифференциальное уравнение, описывающее

движение тела массы m, брошенного в момент времени t0 = 0 вертикально
вверх из положения x0 со скоростью v0, под действием силы тяжести.

▶ Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

md2x

dt2 = −mg,

где g — ускорение свободного падения.

Отсюда

d2x
dt2 = −g,
x(0) = 0,
dx
dt

t=0

= v0.
(В.6)

Рис. В.4

Как и (В.5), уравнение (В.6) является диф
ференциальным уравнением второго порядка. ◀

Пример В.5. Рассмотрим схему (рис. В.4)

с известными параметрами R, L, C и заданным
законом изменения напряжения E(t). В начальный момент ток в цепи отсутствует, а конденсатор не заряжен. Требуется составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение напряжения на конденсаторе.

▶ Запишем уравнения второго закона Кирхгофа, которые в данном слу
чае имеют вид

Ldi

dt + i(t)R + uc(t) = E(t),
i(t) = C duc

dt ,
uc(0) = 0,
i(0) = 0.

Отсюда

LC d2uc

dt2 + RC duc

dt + uc(t) = E(t),
uc(0) = 0,
duc
dt

t=0

= 0.
(В.7)