Численные методы в строительстве

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 

В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

В.Т. ЧЕМОДУРОВ 
Э.В. ЛИТВИНОВА 

М.С. СЕИТЖЕЛИЛОВ

Москва

ИНФРА-М

2019

МОНОГРАФИЯ

Крымский федеральный университет 

имени В.И. Вернадского

УДК [519.6+69](075.4)
ББК 22.19:38.112
 
Ч42

Чемодуров В.Т.

Ч42 
 
Численные методы в строительстве : монография / В.Т. Чемодуров, Э.В. Литвинова, М.С. Сеитжелилов. — М. : ИНФРА‑М, 2019. — 
151 с. — (Научная мысль). — www.dx.doi.org/10.12737/monography_5c10
d7fd894225.06055676.

ISBN 978‑5‑16‑014363‑7 (print)
ISBN 978‑5‑16‑106859‑5 (online)
В монографии рассмотрены вопросы разработки моделей напряженно‑деформированного состояния элементов строительных конструкций, 
исследования поведения строительных конструкций под действием динамических нагрузок с помощью дифференциальных уравнений; методы 
дискретизации аналитических моделей функционирования строительных 
конструкций и конструирования сложных технических систем (задачи системного анализа).

Предназначена для научных и инженерно‑технических работников, будет полезна обучающимся по направлениям подготовки 08.03.01 и 08.04.01 
«Строительство».

УДК [519.6+69](075.4)

ББК 22.19:38.112

Рассмотрена и одобрена на заседании кафедры механики и сейсмостойкости 

сооружений 15 марта 2017 г., протокол № 5.

Одобрена и рекомендована к печати Ученым советом Академии 
строительства и архитектуры КФУ имени В.И. Вернадского 

30 марта 2017 г., протокол № 3.

Рекомендована к изданию Научно-техническим советом КФУ 

имени В.И. Вернадского 16 мая 2017 г., протокол № 4

А в т о р ы:

Чемодуров В.Т., доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой механики и сейсмостойкости сооружений Академии строительства и архитектуры Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского;

Литвинова Э.В., кандидат технических наук, доцент кафедры механики и 

сейсмостойкости сооружений Академии строительства и архитектуры Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского;

Сеитжелилов М.С., ассистент кафедры механики и сейсмостойкости сооружений Академии строительства и архитектуры Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского
Р е ц е н з е н т ы:

Новиков В.В., доктор технических наук, профессор, профессор кафедры 

ракетного вооружения надводных кораблей Черноморского высшего военноморского ордена Красной Звезды училища имени П.С. Нахимова Министерства обороны Российской Федерации;

Ситшаева З.З., кандидат физико‑математических наук, доцент кафедры 

математики Крымского инженерно‑педагогического университета

ISBN 978‑5‑16‑014363‑7 (print)
ISBN 978‑5‑16‑106859‑5 (online)

© Чемодуров В.Т., Литвинова Э.В., 

Сеитжелилов М.С., 2019

Введение

Решение сложных инженерных задач, относящихся к предметной области науки о прочности и устойчивости строительных 
конструкций, существенно упрощается благодаря моделированию. 
При этом моделируемый реальный объект (оригинал) заменяется 
упрощенным, идеализируемым объектом — моделью. Успех моделирования, то есть успешное решение задачи, в большей степени 
зависит от удачного выбора модели. Основными моделями при 
анализе строительных конструкций являются физические и математические модели.

Физические модели относятся к материальным моделям, которые имитируют лишь часть свойств, присущих реальному объекту 
(конструкции). Очевидно, что подробность описания физической 
модели будет оказывать влияние и на выбор методов ее исследования. Возможности физического моделирования напряженно‑деформированного состояния конкретной конструкции всегда ограничены из‑за сложности ее конструкции и больших материальных 
затрат.

Математическая модель представляет собой приближенное описание какого‑либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики. Этот этап моделирования (наряду с физическим моделированием) содержит элементы субъективизма, 
поскольку включает в себя неформальное обсуждение постановки 
задачи (вводимые гипотезы, граничные условия, точность исходных 
данных и так далее), квалификацию расчетчика, возможности ЭВМ 
и ее математического обеспечения.

Математические модели строительных конструкций представляют собой условия равновесия конструкций и их узлов, выраженные в дифференциальной или интегральной форме, под действием различного рода нагрузок. К таким моделям, например, 
могут быть отнесены уравнения теории упругости, основанные 
на фундаментальных законах баланса, а также полученные на их 
основе уравнения прикладных теорий с соответствующими начальными и граничными условиями.

Однако следует отметить, что в большинстве случаев решение 

таких задач в замкнутом виде без каких‑либо упрощений получить 
не удается. В этой связи приходится использовать различные приближенные методы, основанные на дискретизации изучаемой области.

В настоящее время создан достаточно большой класс прикладных программ в области строительства, позволяющий проводить исследовательские расчеты практически любой сложности. 

Все расчетные программы основаны на использовании численных 
методов решения задач, возникающих в процессе математического моделирования на ЭВМ реальных явлений. В этой связи выпускник строительной академии должен (наряду с автоматическим 
применением прикладных программ в своей практической деятельности) иметь представление о технике разработки программного 
обеспечения. Ввиду этого одной из важнейших дисциплин профессиональной подготовки будущего строителя становится вычислительная математика, которая развивает идеи численного решения 
задач, возникающих в процессе профессиональной деятельности.

В монографии первые четыре раздела являются основой для 

разработки моделей напряженно‑деформированного состояния 
элементов строительных конструкций. Несмотря на наличие стандартных программ решения отдельных задач, любой исследователь 
должен иметь достаточное представление не только об их реализации, но и уметь применять в математических моделях исследования сложных систем.

Пятый раздел монографии, посвященный численному интегрированию дифференциальных уравнений, необходим при исследовании поведения строительных конструкций под действием динамических нагрузок.

Шестой раздел книги связан с непосредственной заменой интегро‑дифференциальных операторов их разностными аналогами — метод конечных разностей (МКР). Данный раздел посвящен методам дискретизации аналитических моделей функционирования строительных конструкций, что, по существу, является 
аппроксимацией системы с бесконечным числом степеней свободы 
на систему с конечным числом степеней свободы. В результате 
любые интегро‑дифференциальные уравнения задач строительной 
механики сооружений могут быть сведены к конечному числу алгебраических уравнений.

В седьмом и восьмом разделах монографии изложены решения 

оптимизационных задач с прилагаемыми алгоритмами, которые 
тесно связаны с конструированием сложных технических систем 
(задач системного анализа). Теория систем ориентирована на решение задач, для которых можно построить математические модели, позволяющие получать оптимальные решения, которые 
в большинстве своем находятся только с использованием численных методов.

Глава 1. 

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ 

УРАВНЕНИЙ

Решение уравнений — одна из древнейших математических 

проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение 
уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Существует множество классов уравнений — алгебраические 

и трансцендентные, дифференциальные, интегральные, функциональные, операторные и другие. Примеры уравнений, позволяющих получать аналитические решения, хорошо известны 
из школьной и высшей математики. Тем не менее, подавляющее 
число уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть 
решены аналитически.

Численные методы решения уравнений являются гораздо 

более мощными, нежели аналитические. Они тоже не всемогущи, 
но в умелых руках численные методы позволяют получать решения 
множества уравнений, совершенно недоступных для аналитических 
методов.

Часто аналитические методы решения уравнений называют 

«точными», а численные — «приближенными». Действительно, численные методы практически всегда дают приближенный результат, 
но если необходимо довести решение «до числа», то часто и аналитические методы в реальности позволяют получить лишь приближенный результат. Кроме того, аналитические методы решения 
математических задач часто бывают приближенными по существу, 
оставаясь аналитическими (например, приближение функции отрезком степенного ряда).

В данной главе будут рассмотрены численные методы решения 

алгебраических и трансцендентных уравнений.

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И 

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть имеется уравнение типа

( )
0,
F x =
 
(1.1)

где ( )
F x  — алгебраическая или трансцендентная функция.
Решить такое уравнение — значит установить, имеет ли оно 

корни, сколько корней, и найти значения корней. Ограничимся 

методом поиска лишь действительных корней. Решение указанной 
задачи в общем случае начинается с отделения корней, то есть 
с установления:

— количества корней;
— промежутков, каждый из которых содержит только один корень.

Если бы мы располагали графиком функции ( )
F x , то примерное 

положение корней уравнения (1.1) было бы очевидным — точки 
пересечения графика с осью абсцисс. Тем не менее, определение 
корней во многих случаях можно произвести графически. Задачу 
часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

( )
( )
1
2
.
f
x
f
x
=
 
(1.2)

В этом случае строятся графики функций 
( )
1f
x  и 
( )
2
,
f
x  а потом 

на оси x отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 1.1. Для графического определения корней уравнения 
(
)
( )
−
=
2
ln
0
sin
x
x
 преобразуем его к равносильному уравнению 

(
)
( )
=
2
ln
sin
x
x  и отдельно построим графики функций 
(
)
2
sin
x  и 
( )
ln x

(рис. 1.1). Из графиков вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень x0, который находится на отрезке [1,0; 1,5].

Рис. 1.1. Графический метод определения корней уравнения

При решении задачи об отделении корней необходимо руководствоваться следующим:

— если непрерывная на отрезке [a; b] функция 
( )
F x  принимает 

на его концах значения разных знаков (то есть ( )
( )
0)
F a
F b
⋅
<
, то уравнение (1.1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень;

— если функция ( )
F x  монотонна, то корень на отрезке [a; b] единственный.

Вычислим для проверки значения функции 
(
)
( )
−
=
2
0
sin
ln
x
x

на кон цах отрезка [1,0; 1,5]. 
(
)
(
)
1 0
0 909
1 5
0 264
,
,
;  
,
,
.
F
F
=
= −
 Таким 

обра зом, корень на обозначенном отрезке, действительно, существует. 
В простейших случаях найти действительное значение корня вполне 
возможно вручную. Например, используя правило деления отрезка пополам. Графически такой подход иллюстрируется на рисунке (1.2).

Рис. 1.2. Иллюстрация к методу деления отрезка пополам

Первоначальный отрезок [A; B], где А = 1,0 и B = 1,5. ( )
0 909
,
 
F A =
>

( )
0
0 269
0
,
,
.
F B
>
= −
<
 Разделив первоначальный отрезок пополам, получим новую точку — С = 1,25, для которой ( )
0 375
0
,
.
F C =
>
 Далее 

делим пополам отрезок С-В. Получим новую точку D = 1,375, для которой ( )
0 063
0
,
.
F D =
>
 Затем пополам делим отрезок D-B и так далее.

Рис. 1.3. Блок-схема алгоритма отделения корней уравления F(x) = 0

В более сложных случаях для исследования вопроса о значении 

корня уравнения на заданном отрезке целесообразнее воспользоваться инструментальным пакетом или составить программу для 
компьютера на языке программирования.

Пример 1.2. Решить задачу отделения корней уравнения 
(
) −
2
sin
x

( )
ln x
−
 = 0 на отрезке [0,1; 5,0] с помощью программы для компьютера.

Для быстрого написания программы решения задачи целесообразно 

предварительно разработать схему соответствующего алгоритма. Для 
данного примера такая блок‑схема представлена на рисунке 1.3. Результатом решения поставленной задачи будут выводимые на экран 
или печать значения параметров концов выделенных отрезков (a и b).

По схеме алгоритма отделения корней легко составить программу.

Ниже приводится программа отделения корней уравнения на языке 

TurboPascal.

Program otrezok;
Labe lcikl, konec;
var
 
a, b, h, x1, x2, y1, y2: real;

k: integer;
function F (z: real): real; begin F:=Sin (2.0*z) ‑ln (z); end;

begin
a:=0.1; b:=5.0; h:=0.5; k:=0;
x1:=a; x2:=x1+h; y1:=F (x1);
cikl:
if x2>b then goto konec;
 
y2:=F (x2);

if y1*y2<0 then begin k:=k+1;
writeln (k,’‑йкорень[‘,’x1=’, x1:5:2,’;’,’ ‘,’x2=’, x2:5:2,’] ’); end;
x1:=x2; x2:=x1+h; y1:=y2;
goto cikl;
konec:
end.

Результаты решения программы: 1‑й корень [1,1; 1,6].

Надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения зависит от вида функции ( )
F x  и величины шага h.

При решении уравнений обычно задается точность определения 

корня, причем с достаточно большой точностью ε. Обеспечить заданную точность можно путем уменьшения шага h. Гораздо более 
эффективным методом в процессе уточнения корня является метод 
последовательного половинчатого деления отрезка, полученного 
на этапе предварительного этапа отделения корней. В этом случае 

довольно легко обеспечить заданную точность. Этот метод легко 
реализуется на ЭВМ. Но в данной работе мы оставим его на самостоятельную проработку.

Рассмотрим ряд методов точного определения корней уравнения.

1.2. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Принцип простой итерации основан на преобразовании уравнения (1.1) к виду

( ).
x
f x
=
 
(1.3)

Пусть  x — корень уравнения (1.3), а 
0x  — полученное каким‑либо 

способом грубое приближение к корню x. Подставляя 
0x  в правую 

часть уравнения (1.3), получим некоторое число 
(
)
1
0
x
f x
=
. Проделаем то же самое с числом 
1x , получим 
(
)
2
1
 x
f x
=
 и так далее. Последовательно применяя рекуррентное соотношение 
(
)
1
,
k
k
x
f x
+ =

образуем итерационную последовательность

(
)
( )
(
)
0
1
0
2
1
1
,   
,   
,   ,   
,    
k
k
x
x
f x
x
f x
x
f x −
=
=
=

 
(1.4)

Процесс построения итерационной последовательности имеет 

простую геометрическую интерпретацию (рис. 1.4), на которой 
изображены два случая, показывающие, что последовательность 
приближений может быть сходящейся (рис. 1.4а) или расходящейся (рис. 1.4б). Условием сходимости итерационной последовательности является то, что функция ( )
f x  осуществляет сжимающее 

отображение в окрестности корня.

Рис. 1.4. Геометрическая иллюстрация итерационной последоватепьности:

а — сходящаяся последоватетьность; б — расходящаяся

Способ перехода от уравнения в форме (1.1) к форме (1.3) является определяющим для сходимости итерационного процесса. 

Если ( )
f x  подбирать вслепую, то можно не всегда прийти к сходящейся последовательности. Однако существуют общие приемы, 
позволяющие избежать этой ситуации. Рассмотрим один из них. 
Для этого нужно обратиться к теории метрического пространства.

Если существует такая окрестность корня уравнения, в которой отображение любой точки ( )
f x  не выходит за пределы этой 

окрестности и отображение ( )
f x  является сжимающим, то последовательность (1.4) будет сходиться к корню (1.3). Условие того, 
что функция ( )
f x  является сжимающей функцией на отрезке [
]
;a b , 

имеет вид: ( )
[
]
;
f x
a b
∈
 для всех 
[
]
;
,
x
a b
∈
 а также существует такое 

число 
0
1
,  
,
α
< α <
 что для любых 
[
]
,
;
x y
a b
∈
 выполняется соотношение

( )
( )
.
f x
f y
x
y
−
≤ α ⋅
−
 
(1.5)

Условие (1.5) называется условием Липшица. Практически проверить условие Липшица весьма затруднительно. Поэтому применяют теорему Лагранжа:

( )
( )
( ) (
). 
f b
f a
f
c
b
a
′
−
=
⋅
−
 
(1.6)

Точка с принадлежит отрезку [
]
;a b . Сравнивая (1.5) и (1.6), приходим к следующему заключению: если существует такое число 

0
1
,  
q
q
<
< , что для любых 
[
]
;
x
a b
∈

( )
,
f
x
q
′
<
 
(1.7)

то функция ( )
f x  является сжимающей на отрезке [
]
;a b . При этом 

роль константы Липшица α играет число 

[
]
( )

;
max
.

a b
q
f
x
′
=
 Условие 

(1.7) легко проверяется.

Общая схема решения уравнения (1.1) следующая.

Алгоритм 1.1.
Шаг 1. Определить отрезок [
]
 ;a b , содержащий корень уравнения.

Шаг 2. Преобразовать уравнение (1.1) к виду (1.3). Самый 

простой метод заключается в прибавлении к его правой и левой 
частей переменной x.

Шаг 3. Найти 

[
]
( )

;
max
a b
q
f
x
=
′
 и проверить функцию на ее сжимаемость. Если условие сжимаемости не выполняется, то сузить 
интервал [
]
;
.
a b

Шаг 4. Задать точность решения задачи ε. Задать начальное значение x0.

Шаг 5. Определить следующий член итерационной последовательности (1.4).

Шаг 6. Если 
1
,
k
k
x
x
+ −
< ε  то остановиться, иначе перейти к шагу 5.

Определим схему вычислений на шаге 5 подробнее. Приведем 

уравнение (1.1) к равносильному 
( ).
x
x
f x
=
− µ ⋅
 Здесь 
0
µ ≠
 —