Высшая математика

С.В. Ржевский

Высшая математика

Учебник

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

Ржевский, С.В.

Высшая математика: учебник / С.В. Ржевский. – М.: Инфра-М; 

Znanium.com, 2018. – 814 с.

ISBN 978-5-16-107481-7 (online)

Изложены все темы типовых учебных программ курса «Высшая математика», 
рекомендуемых 
Министерством 
образования 
и 
науки 
Российской 

Федерации для подготовки бакалавров экономики, менеджмента и других 
направлений специализации. Особое внимание уделено иллюстрации 
применения основных утверждений соответствующих разделов математики, 
примерам типичных задач и подробному объяснению методов их решения.

Книга предназначена для студентов вузов, а также для практиков, 
деятельность которых предполагает применение инструментария линейной 
алгебры, аналитической геометрии, математического анализа и теории 
обыкновенных дифференциальных уравнений.

ISBN 978-5-16-107481-7 (online)
© С.В. Ржевский, 2018

Список основных обозначений 
  – квантор всеобщности (запись  x читается: «для любого x», или «для 
каждого x», или «для произвольного x», или «для всех x»); 1 
  – квантор существования (запись  x читается: «для некоторого x» или 
«найдется x»); 
 – знак логической импликации, логического следования (запись A  B 
читается: «при выполнении условия A выполняется условие B» или 
«из A следует B»); 
 – знак эквивалентности условий (запись A  B читается:  
«условие A эквивалентно условию B», или 
«A выполняется тогда () и только тогда (), когда выполняется B», или 
 
 
«выполнения условия A необходимо и достаточно для выполнения 
условия B»); 
 – знак тождественного равенства (запись A  B означает, что выражения 
A и B равны одно другому по определению); 
 – пустое множество; 
{x: P(x)} – множество всех элементов x, каждому из которых присуще 
свойство (свойства) P(x); 
{x: P(x)} – подмножество всех элементов x множества , имеющих 
свойство (свойства) P(x);  
xA – элемент x принадлежит множеству A; 
xA – элемент x не принадлежит множеству A; 
A  B  или  A  B  –  множество A содержится в множестве B, или 
множество B содержит множество A, или 
множество A является подмножеством множества B; 
B
A
B
A
 – объединение множеств A и B; 
 – пересечение множеств A и B; 

A  – дополнение множества A; 
A \ B – дополнение множества B до множества A; 
R – множество действительных чисел; 
[a; b], (a; b), [a; b), (a; b] – соответственно отрезок, интервал и полуинтервалы, определяемые действительными числами a и b; 
n
R  – n-мерное евклидово пространство действительных чисел; 
N – множество натуральных чисел; 
n! – произведение 1·2·…·n (n – натуральное число; читается: «эн факториал); 

n
m
E или I – единичная матрица; 

A

 или 
 – матрица размера m  n;  
n
m
ij
a

}
{

O – нулевая матрица; 
0 – нулевой вектор; 
T
A  и 
 – транспонированные соответственно матрица A и вектор a; 
T
a
, r(A) или rank A – ранг матрицы A; 
A
r
|  A | или 
 – определитель квадратной матрицы A; 
A

1

A
 – обратная матрица квадратной матрицы A; 
                                                 
1 Квáнтор – общее название для некоторых логических операций, применяемых 
при записи математических высказываний. 

 
3

(k
A

)  – k-й главный минор квадратной матрицы A; 

  –  сумма векторов
n   

    и    
  –  соответственно сумма и 

  
) 

и которой 

 

 – -окрестность

n
i
2
1
2
1
n

i
a
a
a
a







1
 
;
,
,
,
a
a
a


n

n

i
i
a
a
a






1
1

<a, b> – (евклидово







n

i
n
i
a
a
a
a
1
2
1


произвед
скалярное прои
ение чисел 
a
a
a
,
,
,
; 
зведение векторов a и
n
2
1

 b; 
| a | – длина вектора a или абсолютная величина числа a; 
ниям
f: X → R – функция, определенная на множестве X, значе
являются действительные числа; 
epif,  
f  и 
f
S
  соответственно надграфик, множество уровня и 

lev
поверхность уровня функции f; 
 точки x; 
)
(x
O
X ,  int X  и  ∂X  соответственно замыкание, множество внутренних точек и 

знак «тильда

 граница множества 
n
R
X 
; 
» или «волна»; запис
~ – 
ь x~  читается: «икс малое с тильдой»  
или «икс малое с волной»; 
x
x
~

 – обозначение того, что элементы векторы, числовые величины) x 
 (
сходятся к элементу x~ ; 
) – предел функции f  то

;
)
,
,
,
,
2
1


k
a
a
a
 

(
lim~
x
f
x
x 
x~
в
чке 
; 

0
~ 
x
x
 – обозначение условий 
x
x
~

 и 
x
x
~

;  
0
~ 
 x
x
 – обозначение условий 
x
x
~

 и 
x
x
~

;  
f′(x) – производная функции f в точке x; 
f″(x) – вторая производная функции f в точке x; 
 x, k – натуральное 
)
(
)
(
x
f k
 – производная k-го порядка функции f в точке
число или 0; 

)
(x  – частная производная
,)
(
f
x
x
f

ix
i



 функции f в точке x по i-й компоненте x ; 

f(x)  и  
 

 – неопределенный интеграл функции f (множество всех ее перво
 – определенный интеграл функции f на отрезке [a; b]; 

 – числовой ряд (сумма бесконечного числа действительных чисел 

k  – степенной ряд. 

i

)
(x
f
 – соответственно градиент и матрица Гессе функции f в
2

точке x; 

x
d
x
f
)
(
 образных); 



b

a
x
d
x
f
)
(



1
k
k
a

k
kx
c




1

 
4

 
 
 
 
 
Учение без размышления бесполезно, 
а размышление без учения опасно. 

Конфуций2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ 

В наше время никакой нетривиальный прогноз развития какой бы то 
ни было реальной социально-экономической системы без применения 
математики уже не считается научно обоснованным, никакое предложение, 
касающееся управления такой системой, без его предварительно проведенного всестороннего математического анализа не воспринимается как серьезное – ведь последствия управления должны соответствовать желаемым! 
Накопленный человечеством опыт свидетельствует, что именно математика, 
помимо того, что содержит в себе мощный инструментарий для проведения 
количественных расчетов и решения прикладных задач самой разной 
природы, также является универсальным языком науки, образцом исследования четко поставленных проблем. 
В соответствии с программой курса «Высшая математика» предусмотрено изучение нескольких базовых разделов математики. Предполагается, что усвоение этих разделов должно быть таким, чтобы студенты, вопервых, правильно воспринимали другие нормативные и выборочные 
учебные дисциплины и, во-вторых, понимали постановки, методы исследования и методы решения типичных задач, возникающих в их будущей 
профессиональной деятельности. 

                                                 
2 Конфуций (около 551-479 до н.э.) – древнекитайский мыслитель.  
 

 
5

В этой книге стиль и форма изложения материала ориентированы как 
а изначально неискушенных в математике студентов, так и на студентов, 
меющих повышенный уровень математической подготовки. Для этого в 
нигу включены наглядные иллюстрации большинства определяемых математических объектов и действий с т
примеры задач разной сложности с 
ндуемых методов их решения. В завершение каждого раздела кн
ены вопросы и задачи, предназначенные для самопроверки степени
ания изученного материала. 
Изложению основной части курса высшей математики предшествует 
ебольшой раздел, в котором рассматриваются ключевые понятия теории 
ножеств, вводятся базовые операции (действия) над множествами и 
бъясняется их смысл. В этом разделе  некотором введении в формализоанный язык математики  даны самые простые иллюстрации абстрактных 
атематических объектов и операций над ними. 
В части книги «Линейная алгебра» центральным понятием является 
истема линейных алгебраических уравнений – естественное обобщение 
инейного алгебраического уравнения с одним неизвестным на случай несольких неизвестных, «линейно связанных» в нескольких алгебраических 
уравн
исленные применения систем линейных алгебраических у

ений) системы уравнений, предопределяю

н
и
к
акими объектами, а также включены 
подробными объяснениями рекоме
иги приве пони
д
м

н
м
о
в
м

с
л
к
ениях. Многоч
равнений предопределяют необходимость изучения как свойств этих 
систем, так и методов отыскания их решений. 
Остальной понятийный аппарат представленного здесь курса линейной 
алгебры в основном играет вспомогательную роль при изучении систем 
линейных алгебраических уравнений. Например, любая такая система 
уравнений может быть задана в терминах соответствующей числовой 
матрицы. По некоторым свойствам этой матрицы можно сделать вывод о 
наличии или отсутствии одного или бесконечного числа решений у системы 
уравнений, а также о возможных способах их отыскания. Кроме того, особенности структуры этой матрицы, помимо применимости выбранного 
метода отыскания решения (или реш
т и его эффективность. 
Основное назначение части «Аналитическая геометрия» состоит в 
иллюстрации возможности характеризации свойств геометрических объектов 
аналитическими методами. Применение таких методов стало возможным 
благодаря предложенному Декартом 3 методу координат – фундаментальному методу описания геометрических объектов в терминах координат 
точек, составляющих эти объекты.  

                                                 
 Декарт Рене (1596-1650) – французский математик и философ. 
3
 

 
6

В части аналитической геометрии программы курса высшей математики предусмотрено изучение нескольких геометрических объектов в двух- 
и трехмерных пространствах: прямой, эллипса, гиперболы, параболы, 
плоскости. Кроме различных способов задания этих объектов и исследования их свойств подробно рассматриваются задачи, обычно возникающие 
в приложениях: вычисление расстояния от заданной точки до заданной 
прямой, вычисление угла между заданными прямыми и др. 
Далее в книге представлены базовые разделы математического 
анализа – дифференциальное и интегральное исчисление функций одной 
и нес

ятийном аппарате математики, 

 объяснению рекомендуемых 
метод

 задач, возникающих, в частности, в технике, 
эконо

ответствующих вычислений (например, 
при приближенном вычислении определенных интегралов).  

кольких переменных, числовые и функциональные ряды, – а также 
даются необходимые понятия и формулируются основные утверждения об 
обыкновенных дифференциальных уравнениях и системах таких уравнений. 
Тематика части «Дифференциальное исчисление» включает необходимый минимум сведений о соответствующих пон
основных ее утверждениях, методах дифференцирования элементарных функций одной и нескольких переменных – неотъемлемой составляющей инструментария математики, назначение и возможности которого 
должен хорошо понимать каждый современный специалист достаточно 
широкого профиля. Здесь особое внимание уделено основным определениям 
и ключевым утверждениям указанных разделов математики, иллюстративным примерам типичных задач и подробному
ов их решения. 
 
В части «Интегральное исчисление» изложены: 
 необходимые сведения о неопределенных, определенных, кратных и 
несобственных интегралах, а также об интегралах, зависящих от 
параметров; 
 основные утверждения об интегралах; 
 методы интегрирования элементарных функций одной и двух переменных.  
Здесь же приведены примеры практического применения интегрального исчисления при решении
мике и социологии. 
В части «Числовые и функциональные ряды» изучаются суммы действительных чисел и функций, содержащие бесконечные количества слагаемых. Кроме того, что такие математические объекты имеют самостоятельное значение в многочисленных приложениях, они также используются как 
вспомогательные при проведении со

 
7

В части «Обыкновенные дифференциальные уравнения» рассматриваются классы дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающихся в экономической науке – обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, нормальные системы дифференциальных уравнений первого порядка,  а также описываются аналитические 
методы отыскания решений уравнений из этих классов и приводятся примеры их применения. 
В Приложение включены греческий и латинский алфавиты, некоторые определения, утверждения и формулы из курса математики средней 
школы. 
После изучения каждого относительно независимого раздела курса 
высшей математики рекомендуется изучить возможности и особенности 
применения специализированного программного обеспечения персонального компьюте а, разработанного для отыскания решений соответствующих задач (табличный процессор Excel, пакеты Mathcad, Mathlab, Maple и 
др.). Именно при таком сочетании изучения теории и современного вспомогательного инструментария можно научиться понимать, формулировать и эффективно решать практические задачи умеренной сложности. 
Необходимо обратить внимание студентов, которые только еще начинают углубленное и систематизированное изучение математики, на такую 
особенность всех ее утверждений. Структура каждого из них может быть 
описана одним из двух способов: или 
A    B, 
 
 
 
 
       (0.1) 
или 

р

 
 
       (0.2) 

м логической импликации или логического следования, а 

0.1) знак    означает, что выполнение условий A влечет за 
собой

 условиями выполнения условий B, 
а усло

ия, имеющегося 
между условиями A и B. 

A    B,  
 
где буквами A и B обозначены некоторые совокупности свойств рассматриваемого математического объекта («условия A» и «условия B»), знак 
  называют знако
знак    – знаком эквивалентности. 
 
Утверждения в форме (0.1) и (0.2) следует понимать таким образом.  
 
В записи (
 выполнение условий B (читается: «при выполнении условий A 
выполняются условия B», или – «из условий A следуют условия B»). Ввиду 
этого условия A называют достаточными
вия B – необходимыми условиями выполнения условий A. 
Причина таких названий характера отношений между условиями A и B 
обусловлена следующим. 
Если выполняются условия A, то при правильном утверждении (0.1) 
обязательно выполняются и условия B (выполнения условий A достаточно 
для выполнения условий B). Обоснование правильности утверждения A    B 
собственно и состоит в доказательстве именно такого отношен

 
8

Формально, при невыполнении условий A условия B могут как 
выполняться, так и не выполняться, а при выполнении условий B условия A 
могут как выполняться, так и не выполняться. Для правильного же 
утверждения (0.1) если условия B не выполняются, то очевидно, что и 
условия A не выполняются (если бы условия A выполнялись, то в силу 
утверждения (0.1) выполнялись бы и условия B). 
Значит, для правильного утверждения (0.1) выполнение условий B 
необходимо для выполнения условий A. Кроме того, утверждение (0.1) 
равносильно (эквивалентно) утверждению 
    
B
A ,  
 
 
 
      (0.1′) 
где A  и B  обозначения условий, состоящих в невыполнении соответственно условий A и B. 
 
Равносильность утверждений (0.1) и (0.1′) следует понимать так: 
правильность любого из этих утверждений обусловливает правильность 
второго утверждения; если же какое-либо из этих утверждений неправильное 
(не выполняется), то неправильное (не выполняется) и второе утверждение. 
 
Утверждение (0.1′) называют двойственным утверждению (0.1), а 
утвер

условиями выполнения условий B 
(A    B), а значит, условия B
необходимыми ус
лнения условий А; кроме того, условия B являются достаточными 
условиями выполнения условий A
 ли, что то
е самое, 

и достаточными условиями выполения
 тол
 

 примеры. 
 

ждение (0.1)  двойственным утверждению (0.1′); утверждения (0.1) 
и (0.1′) называют взаимодвойственными утверждениями. 
 
В записи (0.2) знак    означает эквивалентность условий A и B: 
условия A являются достаточными 
 являются 
ловиями 
выпо
 (B    A и
 ж
A    B), 
а значит, условия А являются необходимыми условиями выполнения 
условий В. Другими словами, условия A являются необходимыми и 
достаточными условиями выполнения условий B (или, что то же самое, 
условия B являются необходимыми 
н
 условий A). Запись (0.2) читают так: «условия A выполняются тогда 
и
ько тогда, когда выполняются условия B», или «условия A необходимы и достаточны для выполнения условий B», или «условия B необходимы и достаточны для выполнения условий A», или коротко  «условия 
A и B эквивалентны». 
Для иллюстрации утверждений типа (0.1) и (0.2) приведем
Пусть n  некоторое целое число и условие A состоит в том, что это 
число можно разделить на 6 без остатка, а условие B  это число можно 
разделить на 3 без остатка. 
 
В данном случае A    B, но поскольку утверждение B    A не 
является правильным (например, число 9 без остатка делится на 3, а на 6 – 
нет), то условия A и B не эквивалентны. 

 
9

тики автор пользовался как 
класс

ьных особенностей каждой из 
отмеченных книг он пытался сохран
 
лагаем
 ку
е, т
 и
го усилия – судить читателю. 

Вместе с тем условие C: «целое число n без остатка делится и на 2, и на 
3» – эквивалентно условию A (A    C). Это утверждение – известный из 
арифметики признак делимости целого числа на 6 («целое число без остатка 
делится на 6 тогда и только тогда, когда оно без остатка делится и на 2, и на 
3»). 
При подготовке этого курса высшей матема
ическими учебниками и учебными пособиями, так и современными 
специализированными изданиями (см. список литературы, приведенный в 
конце книги). Бóльшую часть привлекател
ить и в пред
ом
рс
ворчески 
дополняя
х собственными наработками. Насколько удачными оказались 
все приложенные для это

Автор