Оптика. Решение задач

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов
учреждений высшего образования
по физическим и техническим
специальностям

 Минск
«Вышэйшая школа»
2018

Оптика
Решение задач

Под редакцией Л.И. Бурова

УДК 535(0.75)8
ББК 22.3я73
 
О-62

А в т о р ы: Л.И. Буров, А.С. Горбацевич, И.А. Капуцкая, Н.Г. Кембровская, И.Н. Медведь

Р е ц е н з е н т ы: кафедра общей физики УО «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы» (заведующий кафедрой общей физики доктор физикоматематических наук, доцент А.А. Маскевич); заведующий кафедрой технической физики УО «Белорусский национальный технический университет» кандидат физикоматематических наук, доцент А.И. Хорунжий, доцент кафедры технической физики 
УО «Белорусский национальный технический университет» кандидат физико-математических наук С.М. Качан

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не 
может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2981-4 
 Оформление. УП «Издательство
 
 
“Вышэйшая школа”», 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эффективное усвоение студентами понятий, представлений и методов оптической теории невозможно 
без приобретения умений и навыков по их применению при решении различных теоретических и практических задач. К тому же именно решение задач 
различного уровня сложности позволяет в значительной мере прояснить те вопросы, которые оказываются плохо понятыми в рамках освоения теоретического курса.
Специфической особенностью преподавания курса оптики в учреждениях высшего образования является существенная ограниченность, если не сказать 
примитивность, тех понятий и представлений, которые закладываются в средней школе. В учреждениях 
высшего образования программа курса оптики весьма обширна, и студентам приходится сталкиваться 
с большим объемом понятий и представлений, которые являются совершенно новыми для них. Более 
того, при переходе к новым разделам курса оптики 
набор понятий и представлений может в значительной степени меняться. Формирование и закрепление 
умений и навыков оперирования этими новыми объектами требует достаточно интенсивной конкретной 
работы, которая более эффективна, если связана 
с решением конкретных теоретических и практических задач.
Вместе с тем объем практических занятий всегда 
ограничен учебным планом, поэтому время на решение определенного круга задач по различным и весьма разнообразным темам курса оптики оказывается 
также весьма ограниченным. Вследствие этого преподаватель, ведущий практические занятия, для того 
чтобы разобрать определенное количество задач 
в ауди тории и подготовить студентов к выполнению 
домашнего задания, в большинстве случаев вынужден 
рассматривать каждую задачу в достаточно высоком 
темпе и подсказывать учебной группе путь ее реше

ния. При этом большинство студентов просто переписывают решение, 
не успевая разобраться в его сути. 
Наконец, огромной проблемой является то, что базовая подготовка 
студентов к учебной деятельности за последние 10–15 лет значительно 
снизилась. В каждой учебной группе лишь небольшое количество студентов готовы к интенсивной работе и способны эффективно усвоить 
не только ход решения рассмотренных задач, но и методику общих подходов и приемов. К тому же хромает и математическая подготовка студентов, что делает подробный разбор решения задач принципиально 
необходимым. Для большей части даже механическое усвоение хода 
решения представляет определенные трудности. Поэтому существенное 
значение приобретает самостоятельная работа студентов, в том числе 
и по выполнению домашних заданий. А для обеспечения подобной 
работы необходимы пособия, в которых были бы подробно расписаны 
те самые методы решения конкретных задач, которые рассматриваются 
на практических занятиях. 
К сожалению, выбор таких пособий крайне ограничен. Например, 
широко известна прекрасная серия пособий И.Е. Иродова по основным 
разделам курса общей физики. Вопросам оптики посвящена большая 
часть книги «Волновые процессы. Основные законы» [7]. Однако специфика всей серии заключается в том, что основное содержание связано 
с кратким изложением теоретических положений, а решение задач 
играет как бы второстепенную, иллюстративную роль. Задачи здесь подобраны весьма простые (достаточно сравнить с содержанием соответствующего раздела «Оптика» книги того же автора «Задачи по общей 
физике» [8]) и практически отсутствует анализ полученных решений. 
Более того, часть вопросов программы, которые должны рассматриваться на практических занятиях, в книге [7] вообще опущены. 
Безусловно, можно найти пособия такого плана, которые издавались 
за пределами республики. Например, очень хорошая книга [4] подготовлена на физическом факультете Московского государственного 
университета, однако она рассчитана на достаточно подготовленных 
студентов, поэтому и вопросы теории в ней излагаются конспективно, 
и сами решения конкретных задач изложены в весьма сжатом виде (по 
принципу: вот решение – в нем и разбирайся). Книги подобного плана 
могут быть рекомендованы лишь незначительному числу студентов. 
Все упомянутые учебные пособия (а можно назвать еще целый ряд) 
изданы в России, и их доступность в Республике Беларусь ограничена 
в основном фондами библиотек. А собственного качественного учебного пособия по решению задач из курса классической оптики, который 
был бы пригоден для широкого круга студентов различных специальностей, в настоящее время нет вообще.

Предлагаемое учебное пособие подготовлено с учетом опыта проведения практических занятий по оптике на физическом факультете 
Белорусского государственного университета, и все базовые разделы 
пособия построены в соответствии с программой университетского 
курса общей физики. Каждая глава книги включает теоретическую часть, 
примеры решения конкретных задач и задачи для самостоятельного 
решения. Количество задач для самостоятельного решения весьма ограничено, так как они предназначены лишь для элементарного закрепления материала, поскольку само учебное пособие не является заменой 
имеющимся сборникам задач.
Теоретическая часть каждой главы включает изложение только тех 
понятий, законов и формул, которые необходимы для решения конкретных задач по данной теме. Однако отдельные вопросы, которые часто 
вызывают особые затруднения у студентов, рассматриваются достаточно подробно. В то же время теоретическая часть не является кратким 
конспектом соответствующей главы курса оптики, а ориентирована на 
те задачи, которые разбираются в дальнейшем. Предполагается, что 
читателю необходимо в достаточно полном объеме освоить необходимый 
теоретический материал (на лекциях или самостоятельно). С этой целью 
в конце пособия приводится перечень рекомендуемой литературы, 
включающий как учебные пособия разного уровня [1, 3, 9–14, 16], специальную литературу для более глубокого усвоения отдельных вопросов 
[2, 5, 17], так и другие методические пособия по решению задач [4, 6, 7]. 
В списке приведено только два сборника задач [8, 15], но в них содержатся задачи разного уровня сложности по всем разделам классического курса оптики. 
При отборе разбираемых в пособии задач авторы, с одной стороны, 
были ограничены объемом пособия, а с другой – постарались максимально охватить все основные вопросы программы, специфические 
методы решения, характерные для задач именно оптического профиля, 
демонстрирующие отличительные черты и свойства оптических процессов, а также различный уровень сложности решения. Более того, для 
разбора в большинстве случаев использованы классические задачи, 
которые широко известны преподавателям и в различных вариациях 
представлены в разнообразных сборниках задач по данному курсу.
Принимая во внимание слабую физико-математическую подготовку 
большинства студентов (это реальный факт современного состояния 
подготовки выпускников средних школ) решения задач приводятся 
максимально (насколько возможно) подробно с пояснением основных 
этапов и математических выкладок. В то же время разобран ряд достаточно сложных задач с последующим анализом полученных решений, 
что соответствует требованиям образовательного стандарта Республики 

Беларусь. Вместе с тем анализ полученных решений, особенно при вариации исходных условий, отражает внутреннюю динамику физических 
процессов и предостерегает от поспешных «очевидных» выводов, что 
пробуждает интерес к более глубокому изучению оптики.
Данное пособие ориентировано прежде всего на студентов физических специальностей университетов, однако оно может быть полезно студентам других специальностей, преподавателям учреждений 
высшего образования и средних специальных учебных заведений, 
а также учителям специализированных классов средних общеобразовательных школ.

Оптика – раздел классической физики, изучающий 
распространение оптических (световых) волн в средах 
различной природы и взаимодействие этих волн 
с различными объектами.
Световые волны имеют электромагнитную природу и перекрывают очень широкий диапазон длин 
волн (
)
,
,
100
0 1
 нм
 мм
<
<
λ
 хотя волны только узкого 
диапазона (400
750
 нм
 нм
<
<
λ
 в вакууме) непосредственно воспринимаются зрительной системой человека [11, 12].
Согласно электромагнитной теории электрическая 

E и магнитная 

H компоненты волны в однородном изотропном пространстве должны подчиняться 
соответственно волновому уравнению

 
∆
E
E
t
=
∂
∂
e em m
0
0

2

2 , ∆
H
H
t
=
∂
∂
e em m
0
0

2

2 , 
(1.1)

где ∆ – оператор Лапласа; e0
12
8 85 10
=
⋅
−
,
 Ф/м – электрическая постоянная; e,m – соответственно относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости 
среды; m0
6
1 257 10
=
⋅
−
,
 Гн/м – магнитная постоянная.
Частным решением волновых уравнений (1.1) 
являются функции:

 

E
E
t
x
V
E
t
kx

H
t
x
V
H

=
−



 =
−

=
−



 =

0
0

0
0

sin
sin(
),

sin
sin(

ω
ω

ω
ω
H
tt
kx
−
),

 
(1.2)

которые описывают так называемую плоскую волну. 
В этом случае напряженности электрического и магнитного полей изменяются по одному и тому же гармоническому закону, E0 и H0 называются амплиту1

СВОЙСТВА 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ  
ВОЛН

дами, выражение, стоящее со знаком синуса, – фазой, поверхность оди наковой фазы является плоскостью.
В формулах (1.2) ω
πν
π
=
=
2
2 /T – циклическая частота (ν – частота; 
T – период); V  – фазовая скорость волны, определяемая соотношением

 
V =
1

0
0
e m em . 
(1.3)

В вакууме относительные диэлектрическая ( )
e  и магнитная ( )
m  проницаемости равны единице. Следовательно, скорость света в вакууме 

с =
1

0
0
e m . Эта величина является фундаментальной физической по
стоянной, по определению т о ч н о равной с = 299 792 458 м/с, и используется для введения основной единицы длины в СИ – метр. При решении задач используется значение скорости света в вакууме с = ⋅
3 108 м/с.
Фаза волны может быть записана также с использованием волнового числа k, являющегося модулем волнового вектора 

k и в случае плоской 
волны определяющего направление ее распространения (рис. 1.1):

 
k = 2π
λ , 
(1.4)

где λ – длина волны, расстояние, на которое распространяется волна за 
время t, равное периоду T:

 
λ =VТ. 
(1.5)

Волновой поверхностью называется непрерывная поверхность, геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, а волновым 
фронтом – волновая поверхность, отделяющая область, в которой распространяется волновой процесс, от невозмущенной области. Для 
плоской волны, описываемой выражениями (1.2), волновой фронт 
представляет собой плоскость, ортогональную вектору 

k (плоскость, 
параллельная плоскости yOz на рис. 1.1).
Плоская электромагнитная волна – физическая модель, результат 
частного математического решения волнового уравнения. Она не является физически реализуемым объектом вследствие бесконечности в пространстве и во времени. Однако любая электромагнитная волна может 
быть представлена в виде суперпозиции плоских волн, поэтому плоская 
волна – модельный объект волновой оптики.
Основные свойства плоской бегущей волны:
1) волна поперечная, т.е. векторы 

E,

H и 

k всегда составляют правую 
тройку векторов;

2) в любой момент времени фазы электрической и магнитной компонент волны одинаковы (колебания векторов 

E  и 

H синфазны);
3) для амплитудных значений векторов 

E  и 

H выполняется соотношение

 
e e
m m
0
0
0
0
E
H
=
. 
(1.6)

Частота (период) волны определяется ее источником и не изменяется при ее распространении в различных средах, однако согласно выражению (1.3) скорость распространения волны может изменяться. Величина, равная отношению фазовой скорости волны в вакууме к скорости 
волны в данной среде, называется абсолютным показателем преломления 
и обозначается n:

n
c
V
=
. 
(1.7)

Оптической длиной пути между точками А и В среды называется расстояние, на которое свет (оптическое излучение) распространился бы 
в вакууме за то же время, за которое он проходит от А до В в среде. Поскольку скорость света в любой среде меньше его скорости в вакууме, 
то оптическая длина пути всегда больше реально проходимого расстояния (в предельном случае в вакууме равна ему).
В однородной среде с показателем преломления n оптическая длина 
пути L определяется как произведение геометрической длины пути l на 
абсолютный показатель преломления среды n:

 
L
ln
=
. 
(1.8)

Оптической разностью хода двух волн называется разность оптических 
путей этих волн между двумя фиксированными точками.

O

k

E

H

y

x

z

S

λ = cT

Рис. 1.1

На границе раздела двух однородных изотропных сред скорость 
электромагнитной волны изменяется скачком, а отношением скоростей 
определяется относительный показатель преломления второй среды 
относительно первой:

 
n
V
V
12
1

2
=
. 
(1.9)

Монохроматической называется плоская волна строго определенной 
частоты. Такая волна не существует в реальности, но используется как 
удобная модель при рассмотрении различных оптических явлений.
Каждый реальный источник света дает излучение, которое всегда 
можно представить в виде определенного набора монохроматических 
волн. Спектром излучения называется распределение относительного 
вклада спектральных компонент (монохроматических волн). На практике излучение можно считать монохроматическим (или квазимонохроматическим), если оно содержит спектральные компоненты в очень 
узком интервале длин волн или частот.
Перенос энергии электромагнитной волной определяется вектором 
Умова – Пойнтинга 

 

S
E
H
=
×
[
], 
(1.10)

модуль которого имеет смысл плотности потока энергии, переносимой 
волной, т.е. равен количеству энергии, переносимой через единичную 
площадку dsn (нормальную к вектору 

S ) за единицу времени:

 

S
dW
ds dt
n
=
. 
(1.11)

Следовательно направление вектора Умова – Пойнтинга показывает направление распространения энергии световой волны (в геометрической оптике это направление светового луча). Так как векторы 

Е  и 

Н 
изменяются с течением времени, то величина 

S  является быстро осциллирующей (быстро изменяющейся с течением времени) функцией. 
В связи с этим используется понятие интенсивности излучения как 
среднего за период значения плотности потока энергии:

 
I
T
S t dt
S

T

=
= <
>
∫
1

0
( )
. 
(1.12)

На практике (при регистрации какими-либо устройствами) интенсивность излучения определяется как среднее значение плотности