Высшая математика

ÓÄÊ 51(075.8)
ÁÁÊ 22.1ÿ73
 
Â93

À â ò î ð û: .. , .. , .. , .. Ð å ö å í ç å í ò : êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé Áåëîðóññêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêî
íîìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
..)

. .

ìàòåìàòèêà : ó÷åáíèê / Å. À. Ðîâáà [è äð.]. – 

Ìèíñê : Âûøýéøàÿ øêîëà, 2018. – 398 ñ. : èë.

ISBN 978-985-06-2838-1.

Ñîäåðæèòñÿ ìàòåðèàë ïî êëàññè÷åñêèì ðàçäåëàì êóðñà âûñøåé ìàòå
ìàòèêè. Äàíû ðåøåíèÿ òèïîâûõ çàäà÷ è ðàçíîîáðàçíûå ïðèëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ìàòåðèàëà â ýêîíîìèêå.

Äëÿ ñòóäåíòîâ ó÷ðåæäåíèé âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ ïî ýêîíîìè÷åñêèì 

ñïåöèàëüíîñòÿì. Ìîæåò áûòü ïîëåçåí ìàãèñòðàíòàì è ïðåïîäàâàòåëÿì, ÷èòàþùèì îäíîèìåííûé êóðñ.

51(075.8)

22.173

ISBN 978-985-06-2838-1
Îôîðìëåíèå. ÓÏ «Èçäàòåëüñòâî
 
“Âûøýéøàÿ øêîëà”», 2018

Â93

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

B.1. Базовые понятия математики . . . . . . . . . . . . . . .
12
B.1.1. Представление о математической логике
. . . . . . .
12
B.1.2. Общее понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . .
13
B.1.3. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

B.2. Декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . .
16
B.2.1. Декартовы координаты на прямой . . . . . . . . . . .
16
B.2.2. Декартовы координаты на плоскости
. . . . . . . . .
17
B.2.3. Декартовы координаты в пространстве . . . . . . . .
18

B.3. Метод математической индукции
. . . . . . . . . . . .
20
B.3.1. Дедукция и индукция в математике . . . . . . . . . .
20
B.3.2. Суммы и прогрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
B.3.3. Произведения и факториалы . . . . . . . . . . . . . .
22
B.3.4. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

Глава 1. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

1.1. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц . . . . . . . . . . . .
26
1.1.2. Операции над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.1.3. Определители низших порядков . . . . . . . . . . . .
33
1.1.4. Определители произвольного порядка . . . . . . . . .
35
1.1.5. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.1.6. Элементарные преобразования . . . . . . . . . . . . .
40
1.1.7. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.1.8. Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.1.9. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

Оглавление

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений
. . .
49
1.2.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.2.2. Матричный метод
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1.2.3. Метод Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.2.4. Метод Гаусса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.2.5. Критерий Кронекера — Капелли . . . . . . . . . . . .
59
1.2.6. Экономическая модель Леонтьева . . . . . . . . . . .
62

1.3. Векторная алгебра
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.3.1. Векторы в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.3.2. Алгебраическое описание вектора
. . . . . . . . . . .
67
1.3.3. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . .
69
1.3.4. n-Мерное векторное пространство . . . . . . . . . . .
71
1.3.5. Линейная зависимость векторов
. . . . . . . . . . . .
73
1.3.6. Базис и ранг системы векторов . . . . . . . . . . . . .
76
1.3.7. Базис пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
1.3.8. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . .
82
1.3.9. Собственные векторы и собственные значения . . . .
86

Глава 2. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . .
90

2.1. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.1.1. Простейшие задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
2.1.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом . . . .
93
2.1.3. Составление уравнений прямых
. . . . . . . . . . . .
95
2.1.4. Общее уравнение прямой
. . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.1.5. Уравнение прямой в отрезках . . . . . . . . . . . . . .
97
2.1.6. Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . .
99
2.1.7. Условия параллельности и перпендикулярности . . .
100
2.1.8. Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . .
101
2.1.9. Взаимное расположение двух прямых на плоскости .
101

2.2. Кривые второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
2.2.1. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
2.2.2. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
2.2.3. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
2.2.4. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.2.5. Кривые второго порядка со смещенным центром
. .
117

Глава 3. Предел последовательности и функции . . . . .
119

3.1. Числовая последовательность . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.1.1. Понятие числовой последовательности
. . . . . . . .
119

Оглавление
5

3.1.2. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . .
121
3.1.3. Бесконечно малые последовательности
. . . . . . . .
123
3.1.4. Бесконечно большие последовательности . . . . . . .
125
3.1.5. Сходящиеся последовательности . . . . . . . . . . . .
127
3.1.6. Предельный переход в неравенствах . . . . . . . . . .
130
3.1.7. Монотонные последовательности . . . . . . . . . . . .
131
3.1.8. Непрерывное начисление процентов . . . . . . . . . .
134

3.2. Функциональная зависимость . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.2.1. Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
3.2.2. Способы задания функции
. . . . . . . . . . . . . . .
138
3.2.3. Понятия обратной и сложной функций . . . . . . . .
142
3.2.4. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
3.2.5. Основные характеристики функций . . . . . . . . . .
148
3.2.6. Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . .
150
3.2.7. Функциональная зависимость в экономике . . . . . .
152

3.3. Предел функции. Два замечательных предела
. . .
153
3.3.1. Предел функции по Гейне . . . . . . . . . . . . . . . .
153
3.3.2. Предел функции по Коши . . . . . . . . . . . . . . . .
155
3.3.3. Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
3.3.4. Бесконечно малые функции . . . . . . . . . . . . . . .
158
3.3.5. Бесконечно большие функции
. . . . . . . . . . . . .
161
3.3.6. Свойства предела функции . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.3.7. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
3.3.8. Эквивалентные бесконечно малые функции
. . . . .
169

3.4. Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
3.4.1. Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . .
171
3.4.2. Теоремы о непрерывных в точке функциях . . . . . .
174
3.4.3. Точки разрыва и их классификация . . . . . . . . . .
175
3.4.4. Непрерывность элементарных функций . . . . . . . .
177
3.4.5. Раскрытие неопределенностей
. . . . . . . . . . . . .
180
3.4.6. Теоремы о непрерывных на отрезке функциях . . . .
183

Глава 4. Дифференциальное
исчисление
функций
одной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187

4.1. Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.1.1. Понятие производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.1.2. Геометрический смысл производной . . . . . . . . . .
190
4.1.3. Физический смысл производной
. . . . . . . . . . . .
192
4.1.4. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .
193

Оглавление

4.1.5. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной и обратной функций . . .
195
4.1.6. Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . .
202
4.1.7. Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . .
203
4.1.8. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . .
204
4.1.9. Применение производной в экономике . . . . . . . . .
207

4.2. Дифференцируемость функции . . . . . . . . . . . . . .
209
4.2.1. Понятие дифференцируемости функции в точке . . .
209
4.2.2. Дифференциал функции и приближенные вычисления с помощью дифференциала
. . . . . . . . . . . .
210
4.2.3. Геометрический смысл дифференциала . . . . . . . .
212
4.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
212

4.3. Правило Лопиталя. Понятие о формуле Тейлора . .
215
4.3.1. Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
4.3.2. Понятие о формуле Тейлора
. . . . . . . . . . . . . .
219

4.4. Исследование функции с помощью производной
. .
221
4.4.1. Условие постоянства функции
. . . . . . . . . . . . .
221
4.4.2. Достаточное условие монотонности функции . . . . .
222
4.4.3. Необходимые и достаточные условия локального экстремума
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
4.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . .
225
4.4.5. Выпуклые функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
4.4.6. Асимптоты графика функции
. . . . . . . . . . . . .
228
4.4.7. Общая схема исследования поведения функций и
построения графиков функций . . . . . . . . . . . . .
230

Глава 5. Теория интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
233

5.1. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
5.1.1. Первообразная
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
5.1.2. Неопределенный интеграл и его свойства . . . . . . .
234
5.1.3. Таблица интегралов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
5.1.4. Простейшие методы интегрирования
. . . . . . . . .
239

5.2. Интегрирование некоторых классов функций
. . . .
248
5.2.1. Интегрирование рациональных функций . . . . . . .
248
5.2.2. Интегрирование иррациональных функций . . . . . .
251
5.2.3. Тригонометрические интегралы
. . . . . . . . . . . .
258

5.3. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
5.3.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260

Оглавление
7

5.3.2. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . .
263
5.3.3. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении
. .
265
5.3.4. Необходимое условие интегрируемости функции . . .
269
5.3.5. Достаточные условия интегрируемости функции
. .
270
5.3.6. Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции
271
5.3.7. Формула Ньютона — Лейбница . . . . . . . . . . . . .
273
5.3.8. Замена переменной и интегрирование по частям в
определенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

5.4. Приложения определенного интеграла . . . . . . . . .
278
5.4.1. Площадь криволинейной трапеции . . . . . . . . . . .
278
5.4.2. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
5.4.3. Объем тела вращения
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
5.4.4. Использование понятия определенного интеграла в
экономике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284

5.5. Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
290
5.5.1. Обобщение понятия определенного интеграла . . . .
290
5.5.2. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
5.5.3. Интегралы от неограниченных функций
. . . . . . .
294

Глава 6. Дифференцирование
функций
двух
переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал
. . . . .
298
6.1.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
6.1.2. Предел функции двух переменных . . . . . . . . . . .
301
6.1.3. Непрерывность функции двух переменных . . . . . .
305
6.1.4. Частные производные
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
308
6.1.5. Частные производные высших порядков
. . . . . . .
310
6.1.6. Дифференцируемость и дифференциал . . . . . . . .
311
6.1.7. Производная сложной функции
. . . . . . . . . . . .
314
6.1.8. Производная по направлению. Градиент
. . . . . . .
316
6.1.9. Производственная функция Кобба — Дугласа
. . . .
320

6.2. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . .
323
6.2.1. Локальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
6.2.2. Глобальный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
6.2.3. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
6.2.4. Метод множителей Лагранжа . . . . . . . . . . . . . .
331
6.2.5. Экстремум выпуклых функций . . . . . . . . . . . . .
332
6.2.6. Функция полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334

Оглавление

Глава 7. Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . .
339

7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
. .
339
7.1.1. Общее дифференциальное уравнение первого порядка 339
7.1.2. Составление дифференциальных уравнений . . . . .
344
7.1.3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345

7.2. Решение уравнений первого порядка . . . . . . . . . .
346
7.2.1. Однородные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . .
346
7.2.2. Линейные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
349
7.2.3. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351

7.3. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . .
352
7.3.1. Уравнения второго порядка. Общие понятия . . . . .
352
7.3.2. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 354
7.3.3. Метод Эйлера решения однородного уравнения . . .
355
7.3.4. Решение неоднородного уравнения. Метод вариации
произвольных постоянных . . . . . . . . . . . . . . . .
357
7.3.5. Метод нахождения частного решения неоднородного
уравнения со специальной правой частью . . . . . . .
360
7.3.6. Приложение уравнений второго порядка в экономике 363

Глава 8. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365

8.1. Числовые ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
8.1.1. Понятие числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . .
365
8.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда . .
368
8.1.3. Достаточные условия сходимости
. . . . . . . . . . .
370
8.1.4. Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . .
374
8.1.5. Приложения рядов в экономике
. . . . . . . . . . . .
375

8.2. Функциональные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
8.2.1. Основные определения. Область сходимости . . . . .
376
8.2.2. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
8.2.3. Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . .
385
8.2.4. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
.
388

Рекомендуемая литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
390

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
392

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397

Предисловие

В течение многих столетий математика является неотъемлемым
элементом системы общего образования всех стран мира. Объясняется это уникальностью роли учебного предмета «Математика» в формировании личности. Как известно, образовательный и развивающий
потенциал математики огромен.
Высшая математика и некоторые ее приложения занимают важнейшее место в учебном процессе по экономическим специальностям
учреждений высшего образования. Читаемый на первом году обучения курс высшей математики лежит в основе подготовки специалистов в области экономики и закладывает фундамент, необходимый
для дальнейшего изучения основных экономических дисциплин, а также ориентированных на экономические приложения математических
дисциплин, изучаемых на старших курсах. Данная книга подготовлена коллективом авторов на основе многолетнего опыта чтения лекций
и проведения семинарских занятий по высшей математике.
Материал книги содержит следующие темы, оформленные в виде
глав:
1) аналитическая геометрия, где рассматриваются декартова
система координат на плоскости и в пространстве, теория прямой на
плоскости, кривых второго порядка;
2) предел последовательности и функции, где вводятся и подвергаются исследованию такие фундаментальные для математического
анализа понятия, как предел и непрерывность;
3) теория дифференцирования функции одной переменной, где
вводится понятие производной функции и рассматриваются ее приложения к исследованию функций и построению их графиков, а также
для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов и в приближенных вычислениях;
4) теория интегрирования, посвященная исследованию методов

Предисловие

нахождения первообразных и приложениям неопределенного, определенного и несобственного интегралов;
5) дифференцирование функций двух переменных, где выводится
обобщение понятия производной на случай функций двух переменных
и рассматриваются различные задачи нахождения экстремума для
функции двух переменных;
6) теория дифференциальных уравнений, содержащая материал
по различным видам уравнений первого порядка, а также линейным
дифференциальным уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами и методам их решения;
7) теория рядов, развивающая идеи сходимости, заложенные при
рассмотрении теории пределов, и дающая представление о числовых
и функциональных рядах, разложении функций в степенные ряды;
8) линейная алгебра, включающая теорию матриц, определителей и систем линейных уравнений, а также вопросы векторной алгебры.
Весь теоретический материал учебника сопровождается решениями задач основных типов. Авторы большое внимание уделили экономическим приложениям рассматриваемых математических методов,
что естественным образом предрасполагает к изучению в дальнейшем
курсов математического программирования, методов математического
моделирования, экономической теории, микроэкономики. Даются различные приложения функциональной зависимости в экономике. При
этом рассматриваются функции не только одной переменной (например, функции спроса и предложения), но и многих переменных (двухфакторная функция полезности и производственная функция Кобба –
Дугласа). В учебнике читатель может ознакомиться с применением понятий производной и интеграла в экономике, задачей о непрерывном
начислении процентов, особенностями экстремума выпуклых функций, макромоделью Домара, линейной моделью Леонтьева межотраслевого баланса. Авторы надеются, что подробное рассмотрение широкого класса экономических приложений усилит мотивацию изучения
высшей математики, повысит интерес к этой дисциплине, научит строить математические модели, применять их для исследования реальных
экономических процессов и решения профессиональных задач.
Каждая глава учебника состоит из параграфов, примерно соответствующих одной лекции. Параграфы разбиваются на подпарагра