Теория автоматического регулирования теплоэнергетических процессов

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в качестве учебного пособия 
для студентов учреждений 
высшего образования по специальностям
«Паротурбинные установки атомных 
электрических станций»,
«Тепловые электрические станции»,
«Промышленная теплоэнергетика»

Минск
«Вышэйшая  школа»
2015

Â.È. Íàçàðîâ

Теория
автоматического
регулирования
теплоэнергетических
процессов

Практикум

УДК 621.1:681.58(075.8)
ББК 31.3-05я73
 
Н13

Реценз ент ы: кафедра «Теоретические основы электротехники» Гомельского государственного университета имени П.О. Сухого (заведующий 
кафедрой кандидат технических наук, доцент А.В. Козлов); профессор кафедры «Практическая подготовка студентов» Белорусского государственного 
аграрного технического университета доктор технических наук В.И. Русан

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения изда те льства.

Назаров, В. И.
Теория автоматического регулирования теплоэнергетических процессов. Практикум : учеб. пособие / 
В. И. Назаров. — Минск : Вышэйшая школа, 2015. – 
215 с. : ил.
ISBN 978-985-06-2605-9.

Представлены теоретический материал и задачи по основам теории 
автоматического регулирования теплоэнергетических процессов. Задачи охватывают математическое описание объектов и систем регулирования, расчет устойчивости, анализ качества переходных процессов, 
оптимизацию параметров настройки типовых линейных регуляторов. 
Предназначено для студентов учреждений высшего образования 
по специальностям «Паротурбинные установки атомных электрических станций», «Тепловые электрические станции», «Промышленная 
теплоэнергетика».

УДК 621.1:681.58(075.8)
ББК 31.3-05я73

ISBN 978-985-06-2605-9 
© Назаров В.И., 2015
 
© Оформление. УП «Издательство
 
“Вы шэйшая школа”», 2015

Н13

ПРЕДИСЛОВИЕ

Трудоемкие процессы, связанные с производством и распределением тепловой и электрической энергии на современных тепловых и атомных электростанциях (ТЭС и АЭС соответственно), предопределяют важность их автоматизации. 
Теплоэнергетика, отличающаяся высокими параметрами рабочей среды, требованиями к точности их регулирования, является той областью науки и техники, где постоянно находят 
применение методы теории автоматического регулирования. 
В учебном пособии приведены задачи и теоретические материалы, которые охватывают математическое описание объектов и систем регулирования, расчет устойчивости, анализ 
качества переходных процессов, оптимизацию параметров настройки типовых линейных регуляторов. Материал изложен в 
соответствии со структурой  учебной программы курса «Теория автоматического регулирования».
Практикум предназначен для студентов специальностей 
«Паротурбинные установки атомных электрических станций», «Тепловые электрические станции», «Промышленная 
теплоэнергетика», а также для изучающих курсы «Теория автоматического регулирования», «Автоматизированные системы управления на ТЭС», «Автоматизация водоподготовки и 
водно-химических режимов».
Автор

 

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ

1.1. Комплексные числа

Комплексным числом z называется выражение вида

z = х + jy, 

где х и y – вещественные числа; j – некоторый символ. Под 
символом j понимается 
−1. Из этого следует, что j2 = –1, 
j3 = – j, j4 = 1. В общем случае j 4m = 1, j 4m + 1 = j, j4m + 2 = –1, 
j4m + 3 = –j, где m = 0, 1, 2… Число х называется вещественной 
частью комплексного числа и обозначается х = Re z; число y – 
мнимая часть комплексного числа и обозначается y = Im z. Чисто 
мнимое число – это комплексное число, для которого Re z = 0.
Сложение, деление и умножение комплексных чисел осуществляется по формулам:

(x1 + jy1) + (x2 + jy2) = (x1 + x2) + j(y1 + y2);

(x1 + jy1)(x2 + jy2) = (x1x2 – y1y2) + j(x1y2 +x2y2);

х
jy
x
jy
x x
y y
x
y
j x y
x y
x
y

1
1

2
2

1
2
1
2

2
2
2
2
2 1
1
2

2
2
2
2
+
+
=
+
+
+
−
+
.

Вычисления с комплексными числами можно производить, применяя обычные правила алгебры, если в расчетах 
принимать j2 = –1. Таким образом, для комплексных чисел нет 
необходимости создавать специальную алгебру.
Два комплексных числа z1 = x1 + jy1 и z2 = x2 + jy2 считаются 
равными, если х1 = х2; у1 = у2. Комплексные числа z1 = x + jy и 
z2 = x – jy называются сопряженными.
Комплексное число z1 = x1 + jy1 можно изобразить как точку М(х1; у1) на плоскости с координатами х и у (рис. 1.1). Число 
z1 = x1 + jy1 называется аффиксом точки М1(х1; у1).
На рис. 1.1 в качестве примера изображена точка М2(х1; 
– y1), соответствующая комплексному числу z2 = x1 + jy1, которое сопряжено с комплексным числом z1 = x1 + jy1. На данной 
плоскости можно изобразить бесконечное множество ком

y

M  (x ; y )

z  = x  + jy

y1

–y1

x
0

1
1
1

M  (x  ; –y )
2
1
1

ρ

ρ

x1

1 
1
1

z  = x  –  jy
2 
1
1

ϕ

−ϕ

Рис. 1.1. Представление комплексного 
числа на плоскости

плексных чисел. Плоскость, 
точки которой изображают 
комплексные числа, называют комплексной плоскостью.
Комплексное число z1, 
можно 
также 
изобразить 
вектором, начало которого 
находится в начале координат, а конец – в точке М1. 
При сложении комплексных 
чисел их векторы складываются по правилам параллелограмма.
Комплексные числа кроме приведенной выше алгебраической формы удобно 
записывать также в тригонометрической форме:

 
z = х + jy = ρ(cos ϕ + j sin ϕ). 
(1.1)

Выражение (1.1) для комплексного числа с учетом формулы Эйлера имеет вид

 
ejϕ = cos ϕ + j sin ϕ, 
(1.2)

также можно записать в показательной форме: 

z = ρejϕ,

где ρ = | z | = 
х
у
2
2
+
 – модуль комплексного числа; ϕ =

=±arctg ϕ =±arсtg
,
у
х  при х > 0, и ϕ = π ±arсtg у
х , при х < 0, – 

аргумент комплексного числа; ϕ = π / 2 при х = 0, если у > 0, 
и ϕ = –π / 2 при х = 0, если у < 0. Геометрический смысл ρ и ϕ 
понятен на рис. 1.1.

Пример 1.1.

z
j
e

z
j
e

j
n

j
n

= +
=

=
=

+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

2
2
2 2
4

2

π
π

π
π

;

,

где e – экспонента.

5

В теории автоматического управления комплексные числа 
широко используются при частотных методах анализа систем, 
что будет показано в последующих параграфах.

1.2. Преобразование Фурье

В теории автоматического управления для однозначного 
преобразования функции времени в функцию частоты и наоборот используют следующие формулы:

 
F j
t e
dt
j t
ω
ϕ
ω
(
)=
( )

−∞

∞
−
∫
; 
(1.3)

 
 ϕ
π
ω
ω
ω
t
F j
e
d
j t
( )=
(
)

−∞

∞
−
∫
1
2
.  
(1.4)

Выражения (1.3) и (1.4) соответственно называются прямым и обратным преобразованиями Фурье.
С учетом формулы Эйлера выражение (1.3) запишется в виде

F j
t
t
j
t dt
ω
ω
ω
ϕ
(
)=
( )
−
(
)

−∞

∞
∫
cos
sin

или

F j
F
jF
ω
ω
ω
(
)=
( )−
( )
1
2
,

где F
t
t dt
1 ω
ϕ
ω
( )=
( )

−∞

∞
∫
cos
; F
t
t dt
2 ω
ϕ
ω
( )=
( )

−∞

∞
∫
sin
.

Если функция ϕ(t) определена только при t > 0, т.е. ϕ(t) = 0 
при t < 0, то вводятся другие преобразования Фурье:
косинус-преобразование Фурье для ϕ(t) при t > 0

F
t
t dt
1
0
ω
ϕ
ω
( )=
( )

∞
∫
cos
;

синус-преобразование Фурье для ϕ(t) при t > 0

F
t
t dt
2
0
ω
ϕ
ω
( )=
( )

∞
∫
sin
.

Обратные преобразования имеют вид

ϕ
π
ω
ω
ω
t
F
t d
( )=
( )

∞
∫
2

1
0
cos
;

ϕ
π
ϕ
ω
ω
t
F
t d
( )=
( )

∞
∫
2

2
0
sin
.

Преобразование Фурье широко используется в теории автоматического управления, когда необходимо получить частотные характеристики системы по ее передаточной функции. 
Если передаточная функция системы не имеет полюсов справа 
от мнимой оси или на ней самой и ϕ(t) равна нулю при t < 0, то 
достаточно заменить p в выражении для передаточной функции 
W(p) (где p – символ преобразования Лапласа) на jω, чтобы получить комплексную частотную характеристику системы.
Если же ϕ(t) не равна нулю при t < 0, то

F j
t e
dt
t e
dt
t e
dt
j t
j t
j t
ω
ϕ
ϕ
ϕ
ω
ω
ω
(
)=
( )
=
( )
+
−
(
)

−∞

∞
−
∞
−
∞
∫
∫
∫
0
0
.

Пример 1.2. Найдите преобразование Фурье следующей 
функции:

ϕ
α
( )t
t
t
=
<
>
⎧⎨⎩
0 при 
 0;
sin t при 
 0.

Имеем

F j
t e
dt
j

j t
(
)
sin
,
ω
α
α
ω

ω
=
=
−

∞
−
∫
0
2
2

поскольку ϕ(t)  = 0 при t = 0.

1.3. Алгебра матриц

Матрицу рассматривают в качестве некоторого математического символа, над которым можно производить действия, 
аналогичные действиям над обычными числами. Совершенно так же, как с помощью двух вещественных чисел приходят 
к построению чисел новой природы, а именно комплексных 
чисел вида а + jb, так и с помощью m · n чисел, расставленных 
в виде определенной таблицы, приходят к понятию нового 
числа – матрицы и соответственно алгебры матриц. В отличие 

от обычной алгебры алгебра матриц имеет одну особенность, 
которая заключается в некоммутативности умножения, т.е. результат умножения зависит от порядка сомножителей.
Матрица вида

a
a
a
a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

,

состоящая из m · n чисел, расположенных в m строк и n столбцов, называется прямоугольной матрицей с размерами m · n или 
m · n-матрицей. Числа, составляющие матрицу, называются ее 
элементами. Если m = n, то матрица называется квадратной, а 
число m – ее порядком.
Для квадратной матрицы выражение

Δ =

a
a
a
a
a
a

a
a
a

n

n

n
n
nn

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

называется определителем (детерминантом), который рассчитывается по формуле

 
Δ =
+
+
+
a
a
a
a
i
i
i
i
l
il
in
il
1
1
2
2
1
Д
Д
Д
Д
...
...
, 
(1.5)

где Дil – алгебраическое дополнение (или адъюнкт) элемента 
аil  вычисляемое следующим образом:

Д
  
il
i
l
il
= −
(
) +
1
Δ .

Определитель Δil получается из определителя Δ путем вычеркивания i-й строки и l-го столбца. В выражении (1.5) определитель раскрыт по i-й строке, но он может быть раскрыт и 
по любому l-му столбцу в соответствии с формулой

 
Δ =
+
+
+
a
a
a
l
l
l
l
nl
nl
1
1
2
2
Д
Д
Д
...
. 
(1.6)

С помощью выражений (1.5) и (1.6) вычисление любого определителя можно свести к вычислению определителей 
второго порядка, которые раскрываются по формуле

a
b
c
d
ad
bc
=
−
.

Пример 1.3. Найдите определитель матрицы

1
2
3
4
5
6
7
8
9

.

Согласно формуле (1.6) можно записать

Δ =
−
+
=
1
5
6
8
9
2
4
6
2
9
3
4
5
2
8
15,

тогда (при l = 3) Δ  = 15.

1.4. Случайные величины и функции

Случайная величина – это величина, которая в результате 
опыта принимает одно и только одно заранее неизвестное значение из множества возможных, поэтому, чтобы охарактеризовать случайную величину Х, необходимо задать как множество 
ее возможных значений х, так и их вероятности. Она представляет собой более сложное понятие, чем случайное событие.
Пусть возможные значения х1, х2, … хn случайной величины Х 
дискретны, тогда нужно задать n вероятностей вида pi = p(xi), где 
pi – вероятность случайного события, заключающегося в появлении значения xi случайной величины Х. События Х = xi для разных i несовместны и по определению случайной величины образуют полную группу, поэтому возможно следующее определение:

pi
i

n

=∑
=
1
1.

Если же случайная величина Х непрерывна, т.е. может принимать любые значения в некотором интервале (такие случайные величины и будут рассматриваться в дальнейшем), то 
для задания ее вероятностной характеристики применяется 
функция распределения F(x) – вероятность случайного события Х < х, заключающегося в том, что значение Х оказалось 
меньше некоторого фиксированного значения х:

F x
p X
x
( )=
<
(
).

Функция F(x) (или интегральный закон распределения) позволяет легко найти вероятность попадания Х в интервал а ≤ Х ≤ b:

p a
X
b
F b
F a
≤
≤
(
)=
( )−
( ).

Функция F(x) есть монотонная неубывающая функция 
от х, причем F (–∞) = 0, F (+∞) = 1.
Функция

P x
dF x
dx
( )=
( )

называется плотностью вероятности или дифференциальным 
законом распределения случайной величины Х.
Величина Р(х)dx представляет собой вероятность для случайной величины Х и находиться в бесконечно малом интервале х ≤ Х ≤ х + dх. Вероятность величины Х находится в интервале а ≤ Х ≤ b и определяется выражением

 
p a
X
b
F b
F a
P x dx

a

b
≤
≤
(
)=
( )−
( )=
( )
∫
. 
(1.7)

Из выражения (1.7) следует, что

P x dx
( )
=

−∞

∞
∫
1.

Важными характеристиками случайной величины, хотя и не 
вполне исчерпывающими, являются ее моменты. Моментом порядка k называется некоторое число, определяемое выражением

αk
k
x P x dx
=
( )

−∞

∞
∫
.

Момент первого порядка α1  называется математическим 
ожиданием или средним значением случайной величины Х и 
обозначается mx :

α1 =
=
( )

−∞

∞
∫
m
xP x dx
x
.

Он характеризует среднее арифметическое значение Хср.ар 
случайной величины Х в тех случаях, когда при достаточно 
большом числе испытаний Хср.ар мало отличается от mx .