Теория электрических цепей

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.279я73
 Б28

Ре це нз е нт ы: афедра элетротехнии и систем элетропитания Военной аадемии Респблии Беларсь; профессор афедры
информационно-измерительной технии и технолоий Белорссоо
национальноо техничесоо ниверситета дотор техничесих на,
профессор А.Л. Жарин

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей нии или
любой ее части не может быть осществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2562-5
© Батра М.П., Кзнецов А.П., 
     Крлёв А.П., 2004
© Батра М.П., Кзнецов А.П., Крлёв А.П., 2015,
      с изменениями
© Оформление. УП «Издательство “Вышэйшая 
шола”», 2015

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Понимание принципов фнционирования элетрорадиотехничесой, миро- и наноэлетронной аппаратры в современном производстве и сфере слосновывается на знании
теории элетричесих цепей.
Данный чебнипредназначен для стдентов чреждений
высшео образования по техничесим специальностям, изчающих дисциплины ОТЭЦ (основы теории элетричесих цепей), ТЭЦ (теория элетричесих цепей), ТЛЭЦ (теория линейных элетричесих цепей), ТОЭ (теоретичесие основы
элетротехнии), ТЭРЦ (теория элетрорадиотехничесих
цепей), «Элетротехниа».
Учебни, написанный на базе леций, читаемых авторами
в Белорссом осдарственном ниверситете информатии и
радиоэлетронии, дважды издавался (в 2004 и 2007 .) и востребован в чреждениях высшео образования Респблии Беларсь и стран ближнео зарбежья. Это обстоятельство предопределило пблиацию третьео издания. В нем полностью
сохранена стртра чебниа предыдщих двх изданий, внесены исправления, часть материала переработана, обновлен
списореомендемой литератры. 
В чебние приведены сведения о линейных элетричесих цепях постоянноо и синсоидальноо тоов, цепях с индтивной связью, олебательных онтрах, трехфазных элетричесих цепях, четырехполюсниах и фильтрах, цепях периодичесоо несинсоидальноо тоа. Дается анализ переходных процессов в элетричесих цепях лассичесим, операторным и спетральным методами. В соответствии с типовым
чебным планом по дисциплине «Теория элетричесих цепей» в чебнивлючены основы синтеза линейных элетричесих цепей, а таже методы анализа линейных ативных цепей, длинных линий, нелинейных элетричесих цепей. Материал лав 1–7 базирется на знании таих разделов физии,
аэлетричество и манетизм, олебания и волны; из рса
высшей математии необходимо знать основы дифференциальноо и интеральноо исчисления, теорию омплесной
переменной. Для эффетивноо своения материала остальных лав требется знать матричный анализ (л. 9, 19, 20), основы операционноо исчисления (л. 14), методы решения

дифференциальных равнений (л. 12, 15, 17), интералы
Дюамеля (л. 13), ряды и интералы Фрье (л. 16), свойства
полинома Грвица, теорию вычетов, правила деления полинома на полином (л. 18).
Теория элетричесих цепей является фндаментальной для
изчения таих дисциплин, а«Радиотехничесие цепи и синалы», «Усилительные стройства», «Радиопередающие и радиоприемные стройства», «Основы автоматии», «Системы
автоматичесоо правления», «Основы радиолоации» и др.
За содействие лчшению содержания чебниа авторы
выражают лбою блаодарность рецензентам – оллетивафедры элетротехнии и систем элетропитания Военной аадемии Респблии Беларсь (особенно андидаттехничесих на, доцентА.Н. Малашин) и дотортехничесих на, профессорафедры «Информационно-измерительная техниа и технолоии» Белорссоо национальноо
техничесоо ниверситета А.Л. Жарин, а таже сотрдниам Белорссоо осдарственноо ниверситета информатии и радиоэлетронии дотортехничесих на, профессорЛ.Ю. Шилин, андидатам техничесим на, доцентам
И.Л. Свито, В.М. Ковалено, И.И. Петровсом.
Все отзывы и пожелания просим направлять по адрес: издательство «Вышэйшая шола», пр. Победителей, 11, 220048,
Минс.

Авторы

ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Теория элетричесих цепей анаа посвящена решению
задач анализа и синтеза элетричесих цепей, схем и стройств
и является важнейшим инстрментом, широо использемым в
элетротехние и радиоэлетроние. К элетричесим цепям
относятся техничесие стройства самоо разнообразноо назначения. Там, де речь идет об элетричесом тое или элетричесом напряжении, имеют дело с элетричесой цепью.
Формирование теории элетричесих цепей началось с отрытия заонов Ома (1826) и Кирхофа (1845), изобретения
трансформатора П.Н. Яблочовым (1876), радио А.С. Поповым
(1895), триода Л. де Ворестом (1906). Сотрднии Нижеородсой радиолаборатории (1918) во лаве с профессором
М.А. Бонч-Бревичем внесли большой влад в развитие радиотехнии. Р. Фостером (1924) и В. Каэром (1926) была
сформлирована методиа решения задач синтеза цепей.
В 40-е оды прошлоо столетия весомые теоретичесие исследования в области теории элетричесих цепей были выполнены профессорами В.И. Коваленовым, П.Е. Альшиным,
И.А. Кощеевым, Н.А. Баевым и др. В 50-е оды в работах
Г.Е. Пхова, В.А. Гафта, В.П. Сиорсоо, А.Ф. Белецоо было
положено начало решению задач радиоэлетронии. В 60 – 70-е
оды появление вычислительной технии дало толчостремительномразвитию мироэлетронии. Примерно в эти же
оды полчила развитие теория синтеза элетричесих цепей в
трдах П.Л. Чебышева, Е.И. Золотарева, А.А. Ляпнова,
Л.В. Конторовича, Е.Я. Ремеза, А.Л. Марова, С.Н. Бернштейна, Е.В. Зеляха, В.Н. Листова, М.Г. Цимбальсоо и др. К фндаментальным работам в области элетро- и радиотехнии относятся таже трды аадемиов Ю.Б. Кобзарева, В.А. Котельниова, В.Ф. Митевича, Л.И. Мандельштама, Н.Д. Папалеси,
членов-орреспондентов К.А. Кра, В.И. Сидорова и др.
Главные задачи, решаемые в теории элетричесих цепей,
мот быть подразделены на две рппы: анализ и синтез. 
Задачей анализа является исследование процессов, протеающих в цепи с заданной стртрой при известных параметрах ее элементов. Первым шаом в анализе элетричесой цепи является ее представление с помощью математичесой модели в идеализированной форме. Таая идеализация является
одной из харатерных черт начноо метода теории цепей.
При этом реальная элетричесая цепь представляется эви

валентной цепью, состоящей из идеализированных элементов. Процессы в эвивалентной элетричесой цепи описываются с помощью интеро-дифференциальных равнений, решение оторых выражает реацию (отли) анализиремой
цепи на входные воздействия при заданных начальных словиях. Таим образом, методы теории цепей влючают: составление эвивалентной идеализированной цепи, соответствющей реальномстройств; составление и решение равнений
состояния цепи; приведение полченных резльтатов в соответствие с анализиремой реальной цепью. 
Задача синтеза залючается в отысании стртры цепи и
параметров ее элементов, при оторых процессы в ней бдт
подчиняться заданным заономерностям. Синтез является задачей более сложной, чем анализ, посольпредполаает решение оптимизационной задачи, в оторой заданные требования выполняются, например, при минимальном числе элементов элетричесой цепи или при ее предельно низой стоимости. Первый этап при решении задачи синтеза линейных
элетричесих цепей с сосредоточенными параметрами – аппросимация харатеристицепи рациональными фнциями. Этот этап относится области математии и авторами не
рассматривается. Второй этап, залючающийся в физичесой
реализации рациональных фнций, рассмотрен подробно с
примерами для двхполюсниов и четырехполюсниов.
Впервые разложение фнции в трионометричесие ряды
применили Бернлли, Эйлер и Фрье. Метод Фрье стал лассичесим для решения волновых равнений и позднее телерафных равнений, использемых для описания процессов в
длинных линиях. В связи с брным развитием в ХХ в. радиотехнии, радиотелефонии, телевидения, навиации, радиолоации и дрих отраслей технии, опирающихся на теорию олебаний, спетральный способ описания физичесих процессов в
элетричесих цепях распространился весьма широо.
В залючительной лаве изложены общие сведения о нелинейных элементах, аппросимации их харатеристи, методах
расчета нелинейных цепей, переходных процессах и преобразовании спетров в них. Особенности харатеристинелинейных
элементов, с одной стороны, затрдняют расчет и исследование
нелинейных цепей, а с дрой – позволяют производить таие
преобразования синалов, осществление оторых невозможно в
линейных цепях. В ачестве иллюстрации рассмотрено использование свойств нелинейных элементов при онстрировании
автоенераторов незатхающих олебаний.

I. ÓÑÒÀÍÎÂÈÂØÈÅÑß ÏÐÎÖÅÑÑÛ 
 ËÈÍÅÉÍÛÕ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ 
ÖÅÏßÕ

1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß È ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß 
ÒÅÎÐÈÈ ÖÅÏÅÉ

1.1. Îïðåäåëåíèÿ, õàðàêòåðèñòèêè, 
êëàññèôèêàöèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé 
è èõ ýëåìåíòîâ

Элетричесой цепью называется совопность элементов и
стройств, образющих пть для элетричесоо тоа, элетроманитные процессы в оторых мот быть описаны с помощью понятий об элетродвижщей силе (ЭДС), тое и напряжении.
Элемент элетричесой цепи – отдельное стройство, входящее в состав элетричесой цепи и выполняющее в ней определенню фнцию. К числосновных элементов элетричесой цепи относятся резистор, атша индтивности и
онденсатор. Каждый из этих элементов предназначен для использования соответственно ео элетричесоо сопротивления, индтивности и емости.
Основной формой представления элетричесой цепи является рафичесая – с помощью схемы. Схема элетричесой цепи – это рафичесое изображение цепи, содержащее словные
обозначения ее элементов и поазывающее их соединение.
Реальные элетро- и радиотехничесие цепи и стройства
достаточно сложны. Чтобы облечить изчение протеающих
в них элетроманитных процессов, эти цепи заменяют эвивалентными. Теория цепей основывается на анализе и синтезе
эвивалентных элетричесих цепей. Эвивалентная элетричесая цепь – это идеализированная модель реальной элетричесой цепи, представленная совопностью идеализированных элементов. Каждый из элементов этой цепи является
словным идеализированным представлением элемента реальной цепи. Понятие идеализированноо элемента цепи непосредственно связано с вполне определенным математичесим

соотношением, оторое сществет междтоом и напряжением, действющим на ео зажимах. В дальнейшем для простоты под терминами «элетричесая цепь» и «элемент цепи»
бдем подразмевать эвивалентню цепь и ее идеализированный элемент.
Пассивные элементы – это элементы элетричесой цепи, в оторых рассеивается или наапливается энерия.
К числпассивных элементов относятся резистивный, индтивный и емостный элементы, т.е. сопротивление, емость и индтивность.
Сопротивление r – элемент цепи, в отором
происходит 
тольо 
необратимое 
преобразование элетричесой энерии в тепловю.
Тои напряжение на ео зажимах (рис. 1.1) связаны пропорциональными зависимостями:

u = ri;  r = u/i.

Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью:

g = 1/r;   g = i/u.

Сопротивление r измеряется в омах (Ом), а проводимость
g – в сименсах (См). Часто сопротивление и проводимость называют ативным сопротивлением и ативной проводимостью. Термин «ативное» азывает на связь с ативной мощностью.
Индтивность L – элемент цепи, в манитном поле отороо происходит обратимое
наопление энерии. Сила тоа и напряжение
на ео зажимах (рис. 1.2) связаны через дифференцирование: 

uL = Ldi/dt.

При прохождении тоа i через атшиндтивности с числом витов W в ней возниает
манитный потоФ.
Потоосцеплением Ψ атши индтивности называют
произведение потоа Ф и числа витов W:

Ψ = WФ.

Р и с. 1.1

Р и с. 1.2

Индтивность L определяется отношением потоосцепления
самоиндции Ψ то, проходящемчерез атш:

L = Ψ/i.

Индтивность измеряется в енри (Гн).
Емость С – элемент цепи, в элетричесом
поле отороо происходит обратимое наопление энерии. Тои напряжение на ео зажимах
(рис. 1.3) связаны через интерирование:

.

На емостном элементе наапливается заряд
q, величина отороо пропорциональна напряжению на зажимах элемента. Емость позволяет выразить
заряд через напряжение; ее значение определяется отношением заряда напряжению: 

q = CuC; C = q/uC.

Емость измеряется в фарадах (Ф).
Идеализированные элементы цепи – сопротивление r,
индтивность L, емость С – отражают основные свойства и
параметры соответственно резисторов, атшеиндтивности
и онденсаторов. Однао резистор, например, обладает
емостью и индтивностью, значения оторых зависят от ео
онстртивноо исполнения, и при определенных словиях их
необходимо читывать. Это же относится и атше
индтивности, оторая обладает собственными сопротивлением и емостью, читывающими соответственно потери
энерии в обмоте и сердечние и межвитовые емости. Для
онденсатора харатерны индтивности выводов и потери
энерии в диэлетрие, что определяет в онечном счете ео
собственные сопротивление и индтивность.
С помощью идеализированных элементов r, L и С можно
составить эвивалентные схемы резисторов (рис. 1.4, а), атшеиндтивности (рис. 1.4, б) и онденсаторов (рис. 1.4, в),
читывающие их дополнительные свойства и параметры.
Параметры таих схем определяют эспериментальным или
расчетным птем.

Р и с. 1.3

uC
1
C---- i td
∫
=

Пассивные элементы мот
быть линейными и нелинейными, 
с 
постоянными 
и
переменными 
параметрами.
Рассмотренные выше идеализированные элементы r, L и С
являются линейными элементами с постоянными параметрами.
Линейными 
элементами
называются элементы цепи,
параметры оторых не зависят от приложенноо ним
напряжения и проходящео
через них тоа. Если параметры элементов зависят от значения или направления действющео напряжения и силы
проходящео тоа, то их называют нелинейными (рис. 1.5). Примерами нелинейных элементов мот слжить полпроводниовые и элетронные
приборы, атши индтивности с ферроманитными сердечниами и др.

Элементы с постоянными параметрами – это линейные
элементы, параметры оторых не зависят от времени. Элементы цепи, параметры оторых меняются во времени по определенномзаон, называются элементами с переменными параметрами (рис. 1.6).
Ативные элементы – это источнии энерии. Различают
источнии ЭДС или напряжения и источнии тоа.

Р и с. 1.4

Р и с. 1.5
Р и с. 1.6