Теоретическая механика. Учебно-практическое пособие для обучающихся заочной формы обучения

 
 
 
Э.В. Литвинова 
 
Теоретическая механика 
Учебно-практическое пособие для 
обучающихся заочной формы обучения 
 
 
 
 
 
 
Москва 
 
Инфра-М 
2018 

 
 
Э.В. Литвинова 
 
Теоретическая механика 
Учебно‐практическое пособие для 
обучающихся заочной формы обучения 
 
Учебно‐методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Инфра‐М; Znanium.com 
2018 

 
 
 
 
 
 
 
Литвинова, Э.В. 
 
Теоретическая 
механика. 
Учебно-практическое 
пособие 
для 
обучающихся заочной формы обучения: учебно-методическое пособие / Э.В. 
Литвинова. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2018. – 126 с. 
ISBN 978-5-16-107269-1 (online) 
 
Пособие содержит задания для выполнения контрольных работ по основным 
темам: статика твердого тела, кинематика точки, сложное движение точки, 
кинематика плоского движения тела, дифференциальные уравнения 
движения материальной точки, основные теоремы динамики материальной 
системы, аналитическая механика. 
Цель – научить студентов самостоятельно выполнять контрольные задания. 
Для каждого задания рассмотрены примеры, представлена теория, которую 
можно использовать и при подготовке к экзамену. По всем разделам даны 
контрольные вопросы. 
Предназначены для студентов заочной и дистанционной форм обучения 
строительных специальностей. 
 
 
 
 
ISBN 978-5-16-107269-1 (online) 
 
 
 
© Э.В. Литвинова, 2018 

ВВЕДЕНИЕ
Механика – это наука о механическом движении и механическом
взаимодействии материальных тел.  
Под механическим движением понимается изменение положения материальных тел в пространстве с течением времени.  
Механическим взаимодействием называется такое взаимодействие
материальных тел, в результате которого происходит изменение их механического движения или формы (деформация).  
Мерой механического взаимодействия материальных тел является
сила.
Механика относится к разряду естественных наук, т. е. наук о природе, зарождение которой в Древней Греции (V – IV вв. до н.э.) обусловлено
потребностями практики. Наибольшее влияние на развитие механики
вплоть до эпохи Возрождения (XIV – XVI вв.) оказали учения Аристотеля
(384 – 322 гг. до н.э.) и Архимеда (284 – 212 гг. до н.э.). Яркими представителями эпохи Возрождения, с именами которых связано бурное и успешное развитие механики, можно назвать: Леонардо да Винчи (1452 – 1519), 
Н. Коперника (1473 – 1543), И. Кеплера (1571 – 1630). К этому же периоду
относятся работы Г. Галилея (1564 – 1642), сумевшего систематизировать
отдельные разрозненные сведения по механике, накопленные человечеством на протяжении многих столетий, и впервые сформулировать важнейшие понятия механики: принцип относительности классической механики
и принцип инерции вещества, законы падения тел, сложения движений и
скоростей, понятие ускорения и т.д. В 1687 г. вышло в свет знаменитое сочинение И. Ньютона (1642 – 1727) "Математические начала натуральной
философии", в котором он, обобщая опыт и завершая работы своих пред3

шественников, систематически изложил основные законы классической
механики. С этого времени механика окончательно сформировалась как
наука, которую часто называют механикой Галилея – Ньютона, или классической механикой. Последующее развитие механики связано с разработкой аналитических методов в трудах Л. Эйлера (1707 – 1783), Ж. Даламбера (1717 – 1783), Ж. Лагранжа (1736 – 1813). На развитие исследований по
механике в России большое влияние оказали работы М. В. Остроградского
(1801 – 1862), П. Л. Чебышева (1821 – 1894), A. M. Ляпунова (1857 – 1918), 
И. В. Мещерского (1859 – 1935), Н. Е. Жуковского (1847 – 1921),       
А. Н. Крылова (1863 – 1945), С. А. Чаплыгина (1869 – 1942) и других выдающихся ученых. 
В классической механике рассматриваются материальные тела, размеры которых много больше межмолекулярных расстояний и которые
движутся со скоростями, много меньшими скорости света. 
Если объектами исследования механики являются любые реальные
тела: деформируемые твердые тела, жидкие, газообразные и др., то в теоретической механике рассматриваются идеализированные материальные
объекты такие, как материальная точка, система материальных точек, абсолютно твердое тело. Данные абстракции, которые, конечно, не существуют в природе, позволяют выявить наиболее общие законы механического движения и механического взаимодействия, справедливые для любых
материальных тел независимо от их конкретных физических свойств. Наука об общих законах механического движения и механического взаимодействия материальных тел называется теоретической механикой. Таким
образом, теоретическая механика – это раздел механики, составляющий
основу общей механики, которая лежит в основе всех остальных технических дисциплин: сопротивления материалов, деталей машин, теории машин и механизмов, строительной механики, гидромеханики, газодинамики
и т. д. Отсюда понятны роль и значение теоретической механики, позволяющей получить необходимые знания о природе посредством обобщенных методов построения математических моделей движений материальных объектов природы и техники. В теоретической механике движение
материальных тел рассматривается в трехмерном евклидовом простран4 

стве. Для изучения движения вводят так называемую систему отсчета, 
понимая под ней совокупность тела отсчета (т. е. тела, по отношению к которому изучается движение других тел) и связанных с ним систем координатных осей и часов. Принимается, что время не зависит от движения тел и 
одинаково во всех точках пространства и системах отсчета (абсолютное 
время). Поэтому, говоря о системе отсчета в теоретической механике, как 
правило, ограничиваются указанием только тела отсчета и системы координатных осей, связанных с ним. Тело находится в движении относительно выбранной системы отсчета, если с течением времени происходит изменение координат хотя бы одной его точки, в противном случае тело находится в покое по отношению к этой системе отсчета. Таким образом, 
движение и покой тела по сути дела понятия относительные, зависящие от 
выбора системы отсчета. Поэтому в задачу теоретической механики входит также изучение равновесия материальных тел. Под равновесием понимается состояние покоя тела по отношению к другим материальным телам 
(телам отсчета). Если движением тела отсчета, по отношению к которому 
изучается равновесие, можно пренебречь, то равновесие условно называется абсолютным. Часто при инженерных расчетах систему отсчета, связанную с Землей, можно условно принять за неподвижную. Возникающие 
при таком допущении ошибки, как правило, практического значения не 
имеют. В задачах, в которых нельзя пренебречь вращением Земли, за 
неподвижную систему отсчета можно принять гелиоцентрическую систему отсчета с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными на одни и те же далекие «неподвижные» звезды. По характеру 
решаемых задач курс теоретической механики обычно делится на три 
части: статику, кинематику и динамику. 
 
 
 
 
 
 
 
5

 
 
 
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ 
 
Практикум содержит задания для курсовых, расчетно-графических и 
контрольных работ по трем разделам теоретической механики.  
Объем работ и шифр заданий назначаются преподавателем. Шифр 
заданий двухзначный. Последняя цифра шифра – номер рисунка, первая – 
номер условия (данные задачи), которые приводятся в соответствующей 
таблице. 
 
Требования к оформлению работ 
Работы включают в себя пояснительную записку, оформленную на 
одной стороне листа писчей бумаги стандартного размера А4, и чертежи, 
выполненные на листах ватмана формата А3. 
Пояснительная записка должна содержать условие задач и их решение с элементами теории по соответствующему разделу. Работа должна 
быть распечатана на компьютере и подшита под титульный лист, выполненный на ватмане формата А4 чертежным шрифтом или на листе писчей 
бумаги. Объем заданий и номера задач выдаются преподавателем. 
 
I. СТАТИКА 
 
1. Плоская система сил 
 
Статика – раздел теоретической механики, в котором изучаются методы приведения систем сил к простейшему виду и выводятся условия 
равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу. 
Основные задачи статики. 
1. Задача приведения системы сил: замена данной системы сил другой, более простой, ей эквивалентной. 
2. Задача о равновесии: изучаются условия равновесия тел под действием различных систем сил и определяются неизвестные реакции. 
Основной мерой механического взаимодействия тел является сила. 
Действие силы на любое тело определяется: 
а) точкой приложения; 
 
6 

б) численной величиной или модулем силы; 
в) линией действия; 
г) направлением силы вдоль линии действия. 
В системе СИ сила измеряется в Ньютонах. Сила через проекции её на 
координатные оси определяется следующим равенством 
k
F
j
F
i
F
F
z
y
x
+
+
=
, 
где 
x
F , 
y
F , 
z
F  – проекции силы на оси координат; 
i , j , k  – орты этих осей. 
 
Основные системы сил 
 
1. Система сходящихся сил на плоскости и в пространстве. 
2. Произвольная плоская система сил. 
3. Произвольная пространственная система сил. 
 
Аксиомы статики 
 
Аксиома 1. Если на твердое тело не действуют никакие силы, то оно 
находится в покое или совершает равномерное прямолинейное движение. 
Такое движение тела называется движением по инерции. Под равновесием 
тела понимается не только состояние покоя, но и движение его по инерции. 
Вращение тела вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью есть частный случай его равновесия. 
Аксиома 2. Две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если их модули равны и они направлены 
по одной прямой в противоположные стороны. Такие силы называются 
уравновешивающимися. 
Аксиома 3. Действие системы сил на твердое тело не изменится, если 
к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил. 
Системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно 
заменить другой, не нарушая состояния твердого тела. 
Равнодействующей называется сила, которая эквивалентна данной 
системе сил. 
 
7

Аксиома 4. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена 
в точке их пересечения и определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис.1.1) 
 
2
1
F
F
R
+
=
. 
Модуль равнодействующей силы 
определяется по формуле 
2
2
1
2
1 2
2
cosij
R
F
F
F F
=
+
+
, 
 
          Рис. 1.1 
где ij – угол между силами 
1
F  и 
2
F . 
Аксиома 5. Два тела действуют 
друг на друга с силами, равными по величине и направленными по одной прямой в противоположные стороны. 
Аксиома 6. Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании. 
Все вышеперечисленные аксиомы справедливы для свободных тел, 
перемещения которых в пространстве ничем не ограничиваются. В практике большей частью встречаются несвободные тела, перемещение которых в каких-то направлениях чем-либо ограничиваются. Все то, что ограничивает перемещения тел, называется связями. Так, для лампочки, подвешенной на проводе, связью является провод, для книги, лежащей на столе, связью будет стол и т. п. 
Действие связи на тело характеризуется силами, которые называются 
реакциями связей. 
Все силы, действующие на твердое тело, разделяют на активные силы и реакции связей. При этом активными называют силы, которые не являются реакциями связей. Активные силы часто называют задаваемыми, т. к. 
они, как правило, задаются условиями задач. 
Аксиома 7. Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив их действие на 
тело соответствующими реакциями связей. 
 
Плоская система сил. Связи и реакции 
 
Если твердое тело соприкасается с другими телами, которые тем или 
иным образом ограничивают свободу его перемещения, то такие тела по 
 
8 

отношению к рассматриваемому называются связями, а само рассматриваемое тело называется несвободным. Действие связей на несвободные тела характеризуется силами, которые называются реакциями связей. Основные их виды представлены на рис. 1.2. 
 
Гладкая поверхность 
Невесомый стержень 
(прямолинейный и криволинейный) 
 
 
 
 
Нить, трос 
 
 
 
Подвижный шарнир 
 
 
 
Неподвижный шарнир 
 
 
 
 
Жесткая заделка 
 
 
Рис. 1.2 
 
 
 
 
 
9