Материаловедение

УДК 669.017:543.2(075.8)
ББК 34.2я73
М34

А вт оры :  И.М. Жарский, Н.П. Иванова, Д.В. Куис, Н.А. Свидунович

Реценз ент ы: кафедра «Технологии металлов» Белорусско-Российского университета (заведующий кафедрой кандидат технических наук, доцент Д.И. Якубович); руководитель аппарата Президиума НАН Беларуси академик, доктор технических наук, профессор П.А. Витязь

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть 
осуществлено без разрешения изда те льства.

ISBN 978-985-06-2517-5 
© Оформление. УП «Издательство “Вы шэйшая школа”», 2015

Материаловедение : учебное пособие / И. М. Жарский [и др.]. – Минск : ВыМ34 шэйшая школа, 2015. – 557 с. : ил.
 
 
ISBN 978-985-06-2517-5.

В учебном пособии изложены классические основы кристаллического строения металлов, дефектов кристаллических решеток. Общая теория сплавов включает фазовые диаграммы состояния сплавов.
Представлены теория и технология термической обработки; взаимосвязь состава, 
структуры и свойств различных групп материалов, в том числе новейших, таких как лазерные материалы, радиоактивные и драгоценные металлы и др.
Отдельная глава посвящена методике современных испытаний материалов при различных условиях, а также диагностике и аттестации материалов с использованием информационных технологий.
Для студентов учреждений высшего образования по техническим специальностям. Будет полезно инженерам машиностроительной, приборостроительной, металлургической 
и других отраслей промышленности.
УДК 669.017:543.2(075.8)
ББК 34.2я73

ПРЕДИСЛОВИЕ

Много веков металлы верно служат человеку, помогая ему покорять стихии, овладевать 
тайнами природы, создавать всевозможные машины и механизмы.
Богат и интересен мир металлов. Среди них встречаются «старые друзья» человека: медь, железо, свинец, ртуть, золото, серебро, олово. Эта «дружба» насчитывает уже тысячи лет. Но есть 
и такие металлы, знакомство с которыми состоялось лишь в последние десятилетия.
Свойства металлов удивительны и разнообразны. Ртуть, например, не замерзает даже 
на морозе, а вольфрам не боится огня. Литий вдвое легче воды и поэтому не тонет, а осмий 
камнем идет ко дну. Серебро проводит электрический ток, а у титана электропроводность 
в 300 раз ниже, чем у серебра. Гольмий содержится в земной коре в таких мизерных количествах, что даже крупицы этого металла стоят баснословно дорого: чистый гольмий в несколько сотен раз дороже золота.
Современное машиностроение характеризуют непрерывно растущая энергонапряженность, а также тяжелые условия эксплуатации машин (высокий вакуум, низкие или высокие 
температуры, агрессивные среды, высокая радиация и т.д.). В связи с такими условиями работы машин к материалам предъявляют особые требования. Для удовлетворения этих требований создано большое количество сплавов.
В настоящее время широко применяют стали, обеспечивающие высокую конструктивную прочность, и сплавы, которые остаются прочными при высоких температурах и вязкими при температурах, близких к абсолютному нулю, обладающие высокой коррозионной 
стойкостью в агрессивных средах или другими физико-химическими свойствами.
Некоторые давно освоенные металлы и сплавы, например алюминиевые и даже титановые, ранее применявшиеся преимущественно в авиационной технике, становятся одним 
из основных конструкционных материалов в строительстве, машиностроении и других отраслях промышленности.
Количество новых сплавов непрерывно растет. Особенно большие возможности открылись при создании современных материалов благодаря использованию тугоплавких металлов. Все более широкое применение получают композиционные материалы на основе металлов, полимеров и керамики.
Повышение качества, надежности и долговечности машин достигается в результате использования термической и химико-термической обработок. Термическая обработка является составной частью общего цикла изготовления деталей машин и инструмента.
Все эти вопросы получили освещение в учебном пособии.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

Металловедение как наука возникло в середине XIX в. Впервые связь между строением 
и свойствами металлов установил П.П. Аносов (1799–1851), применивший для изучения 
стали микроскоп. Позднее (1863) микроскоп для исследования строения металлов использовал Г. Сорби (Англия).
Однако основы научного металловедения были заложены выдающимся русским металлургом Д.К. Черновым (1839–1921), который за свои работы был назван в литературе отцом 
металлографии.
Работы Д.К. Чернова, имеющие мировое значение, позволили создать научные основы 
многих технологических процессов и в первую очередь производства и наиболее рациональной термической обработки высококачественных сталей.
Продолжением трудов Д.К. Чернова явились исследования большой группы ученых: 
Н.В. Гутовского, А.А. Ржешотарского, Н.П. Чижевского, А.А. Байкова (Россия), Ф. Осмонда (Франция), Р. Аустена (Англия), Б. Розебома (Голландия), П. Геренса (Германия) и др.
В начале XX в. большую роль в развитии металловедения сыграли работы Н.С. Курнакова, который применил для исследования металлов методы физико-химического анализа (электрический, дилатометрический, магнитный и др.).
Большое значение в развитии металловедения и термической обработки имели труды В. ЮмРозери и Н. Мота (Англия), Ф. Зейтца, Э. Бейна и Р. Мейла (США), Ф. Вёлера (Германия) и др.
В Республике Беларусь создана известная школа в области материаловедения – это академики С.А. Астапчик, П.А. Витязь, А.И. Гордиенко, А.Л. Ласковнёв, Е.И. Марукович, члены-корреспонденты НАН Беларуси Ф.И. Пантелеенко, А.Ф. Ильющенко, профессора В.М. Константинов, Ф.Г. Ловшенко, А.А. Шипко, А.Т. Волочко, Б.М. Невменёнок, М.В. Ситкевич, 
В.М. Капцевич и др.
Достижения в области физики прочности и пластичности за последние годы позволили 
перевести физическое металловедение на качественно новый уровень и обеспечили небывалый прогресс в разработке конструкционных и инструментальных материалов в различных областях техники. Исследования реальной структуры твердых тел показали принципиальную возможность получения материалов с прочностью межатомных связей.
Материаловедение – наука о природе, свойствах и поведении материалов на основе металлов, неметаллических элементов оксидных систем, неоксидных металлоподобных и неметаллических соединений, а также о закономерностях процессов их получения, структурообразования, соединения и разрушения. Это наука, определяющая принципы «конструирования» и создания новых материалов, разработки их технологий и установления областей 
применения.
Таким образом, современное материаловедение – огромный массив знаний, требующий 
понимания новых разделов фундаментальных наук, а также процессов структурообразования и разрушения материалов, проблем анализа и диагностики материалов, методов компьютерного моделирования в материаловедении и др.
В современной науке принято представление об иерархии структурных уровней материалов, 
которые можно рассматривать как частный случай иерархии структурных уровней материи 
в целом, описываемый понятием «квантовая лестница в строении материи» (В. Вайсхопф). 
Квантовая лестница представляет собой последовательность структурных состояний материи, 
реализуемых путем поэтапного увеличения (или уменьшения) передаваемой энергии.
В науке о материалах наиболее важна нижняя часть квантовой лестницы. Разнообразие 
структурных состояний в конденсированных средах (жидкое, аморфное, нанокристаллическое, поликристаллическое, монокристаллическое) позволяет гибко и всесторонне с помощью внешних относительно низкоэнергетических воздействий управлять физико-механическими, тепло- и электрофизическими, магнитными, физико-химическими и другими 
свойствами материалов.
Исходя из поставленных задач в Республике Беларусь по получению университетского 
образования студенты всех технических специальностей должны иметь теоретические пред

ставления о роли электронной структуры (зонной структуры) твердых тел, об их электрофизических (включая явления сверхпроводимости, сегнето- и пироэлектрические свойства) 
и магнитных свойствах, определяемых электронной структурой, о дефектах в реальных кристаллах и теоретической и реальной прочности материалов.
Поскольку материалы являются многокомпонентными и многофазными системами 
и имеют к тому же развитую или активную поверхность, студенты технического университета должны иметь представления о топохимических реакциях, гетерогенном катализе и поверхности материалов как источнике дефектов и их неравновесности, а также аспектах 
электрохимии как основы для понимания процессов коррозии материалов, электролиза 
растворов и расплавов и создания твердых электролитов. Формулу инженерного материаловедения обычно представляют как «состав – структура – свойства».
Структурные особенности материалов во многом определяют комплекс их разнообразных свойств, методы и способы определения которых являются очень важными для практической подготовки студентов. Современная аппаратура для определения механических, 
электрофизических, теплофизических и других свойств материалов очень быстро совершенствуется, поэтому в любом техническом университете должны быть такие лаборатории.
Очень важным для инженера в современном мире является использование компьютерных технологий при аттестации и диагностике материалов и, прежде всего, при обработке 
и визуализации результатов дефектоскопии и интроскопии, что позволяет надежно идентифицировать и локализовать в материалах дефекты разного происхождения.
Противоположные структурообразованию явления разрушения материалов реализуются 
под воздействием внешних электрических полей. В результате аккумулирования энергии 
происходит постепенная деградация структуры и полная деструкция материала, а продукты 
разрушения переходят на более высокую ступень квантовой лестницы. С этих позиций любой инженер-механик должен четко разбираться в трех видах разрушения: механическом, 
химическом и тепловом.
За последние годы разработаны новые методы синтеза веществ и химических соединений, в том числе отличающихся неравновесным структурным состоянием, которое во многом определяет специфические свойства новых неорганических материалов, созданных 
на их основе. Произошел прорыв в области теории и технологии композиционных и наноструктурных материалов. Разработаны компьютерные методы моделирования структур материалов и процессов их формирования и разрушения. Созданы методики и приборы, позволяющие изучать структуру материалов на уровне атомного разрешения, а также анализировать их элементный, изотопный и фазовый составы с большей точностью. В свою очередь 
наличие современной аналитической базы обусловило получение сверхчистых бездефектных монокристаллов и поликристаллических материалов, используемых в полупроводниковой технике и ядерной энергетике. Уже применяются методики и аппаратура для прецизионного определения различных физических свойств материалов в широком диапазоне параметров внешних воздействий. В результате использования комплексных теоретических 
и прикладных исследований разработаны промышленные технологические процессы производства изделий из новых материалов, расширены и найдены новые области их применения как в традиционных, так и в передовых отраслях техники.

Глава 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ МЕТАЛЛОВ 
И ДЕФЕКТЫ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК

1.1. Элементарная кристаллография

Металлы и их сплавы в твердом состоян ии в подавляющем большинстве случаев – это 
кристаллические тела. Обычно они состоят из множества кристаллов, поэтому их называют 
поликристаллами. Кристаллами (krystallos) древние греки называли лед и природные образования кварца (SiO2 – горный хрусталь), 
которые встречаются в виде многогранников довольно правильной геометрической 
формы (рис. 1.1), поскольку они имели возможность свободно, без помех, расти в жидкости и самоограняться. Известны и другие 
вещества, образующие в природе правильные многогранники – кристаллы.
С привлечением в первой четверти XX в. 
к исследованию таких кристаллов рентгеновских лучей установили, что правильная 
внешняя огранка – результат особого внутреннего строения: атомы или молекулы образуют в пространстве правильную систему 
точек. Переход таких веществ из жидкого состояния в твердое называют кристаллизацией. 
Однако при затвердевании не все вещества становятся кристаллами. Антиподом кристаллов являются аморфные или стеклообразные вещества, которые при затвердевании в обычных условиях сохраняют неупорядоченную структуру жидкости, например сплавы оксидов – стекла. 
При очень медленном охлаждении расплавы этих оксидов тоже могут кристаллизоваться.
Условия кристаллизации металлов и их сплавов обычно таковы, что в образующихся поликристаллах каждый кристалл чаще всего не имеет правильной огранки и называется зерном или кристаллитом. В некоторых производствах из разных материалов получают однокристальные объекты – монокристаллы (например, монокристальные лопатки из жаропрочных никелевых сплавов для газотурбинных авиационных двигателей или монокристаллы кремния для интегральных микросхем). Однако известные разнообразные методы 
выращивания монокристаллов, размеры которых (например, длина) могут достигать десятков сантиметров, ориентированы на получение специальных свойств, поэтому такие монокристаллы обычно не имеют присущей их строению огранки.
В затвердевшем промышленном слитке или отливке зерна, каждое из которых выросло 
из своего центра, могут иметь размеры от нескольких миллиметров до нескольких десятков 
миллиметров. Для их изучения используют макроанализ. Из слитка вырезают поперечную 
пластину – темплет, которую с одной из сторон среза подвергают шлифовке. При этом постепенно уменьшают крупность абразива шлифовальной бумаги. После каждой смены сорта шлифовальной бумаги срез перемещают по бумаге перпендикулярно царапинам, оставшимся от предыдущего сорта бумаги, до полного исчезновения предшествующих царапин 
с поверхности макрошлифа. На шлифовальной бумаге с абразивом микронного размера 
шлифовку заканчивают, а полученную поверхность макрошлифа подвергают травлению 
в соответствующих кислотах или щелочах. Зерна, выросшие из разных центров и произвольно рассеченные срезом, после травления приобретают разный оттенок, между ними 
вытравливаются границы, что позволяет отличить их одно от другого и установить их форму 
(рис. 1.2). Обычно макроанализ структуры ведут невооруженным глазом или при увеличениях лупы до 30 раз. К макроскопическому анализу относится также исследование изломов, 
возникающих в результате каких-либо разрушений или полученных специально, для выяснения особенностей зеренного строения слитков или деталей.

Рис. 1.1. Ограненные кристаллы горного хрусталя

Слитки металлов и сплавов обычно после литья подвергают обработке давлением, 
сначала горячей, т.е. при высоких температурах, при которых металл более податлив 
силовому воздействию, а затем холодной – 
приблизительно при комнатной температуре. Обработка давлением может производиться прокаткой, прессованием, ковкой 
и другими способами. В промежутках между 
операциями обработки давлением металлы 
и сплавы подвергают термической обработке для их смягчения, приведения в равновесие и т.п.
В процессах обработки давлением зеренная структура сплавов меняется: оси, проведенные случайным образом через центр 
произвольного зерна, имеют примерно одинаковую длину.
У материалов, кристаллизующихся в один 
этап, – одна структурная составляющая. Но существует множество других сплавов, процесс 
затвердевания которых делится на несколько этапов. На каждом этапе в результате различных физико-химических реакций, о которых речь будет идти ниже, образуются соответствующие структурные составляющие, отличающиеся химическим составом, формой и размерами от кристаллизующихся на других этапах. Другими словами, структура реальных сплавов обычно сложна и содержит зерна – кристаллиты разных структурных составляющих.
Правильную систему точек, которую образуют атомы, молекулы или ионы в кристаллах, 
называют кристаллической решеткой. Ее можно представить как совокупность пересекающихся в пространстве трех серий параллельных прямых, проведенных параллельно трем 
осям координат (рис. 1.3). Расстояния между соседними узлами (а, b, с) такой решетки 
вдоль каждой из трех координатных осей повторяются, поэтому мысленно кристаллическую решетку можно построить путем последовательного перемещения (трансляции) какого-либо атома вдоль координатных осей. Также можно мысленно построить такую решетку, 
накладывая одну на другую плоскости из соответствующих атомов. Но более наглядно 
и удобно построение кристаллической решетки путем трехмерной трансляции некоторого 
минимального объема – параллелепипеда, образованного узлами решетки (см. рис. 1.3) и 
называемого элементарной ячейкой кристаллической решетки. Длины ребер элементарной ячейки а, b и с называют периодами или параметрами решетки.
В каждой из семи сингоний существует своя примитивная решетка Браве, отличающаяся от других либо соотношением между величинами периодов а, b, с, 
либо осевыми углами α, β, γ, либо и тем, 
и другим. Оставшиеся семь решеток Браве распределяются по сингониям следующим образом: три в ромбической (С, I, F), 
две в кубической (I, F) и по одной в тетрагональной (I) и моноклинной (C) 
(рис. 1.4).
Наиболее удобный способ единообразного описания пространственного 
расположения плоскостей и направлений 
в кристаллах заключается в приписыва
Рис. 1.2. Макроструктура слитка меди

Рис. 1.3. Модель кристаллической решетки с выделенной элементарной ячейкой

нии направлениям и плоскостям определенных индексов (индицирование) при введении 
в каждой сингонии своей системы координат. Параллельно каждой плоскости в кристалле 
можно провести многочисленное семейство плоскостей, образованных узлами пространственной решетки. Плоскости одного семейства неотличимы по рисунку и плотности 
укладки в них атомов и, следовательно, по свойствам (рис. 1.5). Аналогично можно говорить о семействах параллельных направлений. Поэтому способ индицирования должен 
быть таким, чтобы любое из параллельных направлений, как и любая из параллельных плоскостей, имело бы одинаковые индексы.
В кристаллографии принята правая система координат: поворот от оси Y к оси X совершается по часовой стрелке, если смотреть сверху на плоскость, в которой лежат эти оси, из любой 
точки на положительном направлении оси Z. Начало координат обычно находится в вершине 
элементарной ячейки, оси координат направлены по ребрам ячейки, а за единичные отрезки 
по осям принимают соответствующие периоды решетки. Поэтому в каждой сингонии образуется своя система координат, для которой углы между осями и соотношение единичных отрезков 
соответствуют (см. рис. 1.4) углам между ребрами ячеек 
и соотношениям периодов решеток.
Кристаллографическое направление характеризуют 
совпадающим с ним вектором или параллельным вектором. Поскольку за начало координат можно выбрать любой узел пространственной решетки, так как все узлы 
структурно-эквивалентны, то располагают этот вектор 
Т 
параллельно 
заданному 
кристаллографическому 
 направлению на линии, которая выходит из начала координат. Абсолютная величина вектора не важна, учитывается лишь его направление. Поэтому индексами выходящего из начала координат направления служат (в кубических решетках) три целых, взаимно простых (т.е. 
не имеющих общего делителя) числа u, v, w, пропорциональных координатам [mpq] любой точки, лежащей 
на этом направлении: u : v : w = т : р : q. Индексы на
Рис. 1.4. Сингоний и 14 решеток Браве:
1 – триклинная – P (a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γ ≠ 90°); 2 – моноклинная простая – P (a ≠ b ≠ c; α = γ = 90°, β > 90°); 3 – моноклинная 
с центрированным основанием – C (a ≠ b ≠ c; α = γ = 90°, β > 90°); 4 – ромбическая простая – P (a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°); 
5 – ромбическая с центрированным основанием – C (a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°); 6 – ромбическая объемно центрированная – 
I (a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°); 7 – ромбическая гранецентрированная – F (a ≠ b ≠ c; α = β = γ = 90°); 8 – гексагональная – 
P (a ≠ b ≠ c; α = β = 90°, γ = 120°); 9 – ромбоэдрическая – P (a = b = c; α = β = γ ≠ 90°); 10 – тетрагональная простая – 
P (a = b ≠ c; α = β = γ = 90°); 11 – тетрагональная объемно центрированная – I (a = b ≠ c; α = β = γ = 90°); 12 – кубическая 
простая – P (a = b = c; α = β = γ = 90°); 13 – кубическая объемно центрированная – I (a = b = c; α = β = γ = 90°); 14 – кубическая гранецентрированная – P (a = b = c; α = β = γ = 90°)

Рис. 1.5. Семейство кристаллографических плоскостей с межплоскостным 
расстоянием d

правления записывают в одинарных квадратных скобках – [uvw] – и называют символом направления. Если какая-либо из координат отрицательна, знак «минус» ставят над соответствующим индексом. Для установления индексов направления необходимо либо перенести 
его параллельно самому себе так, чтобы оно проходило через начало координат, либо выбрать точку начала координат на этом направлении с параллельным переносом координатных осей. Затем выбрать в качестве индексов направления наименьшие целые координаты 
любой точки, лежащей на линии этого направления. Отсюда ясно, что все параллельные направления имеют одинаковые индексы и образуют семейства.
На рис. 1.6, а приведены примеры индицирования некоторых направлений. Если начало 
координат поместить в точку 0, то точка е будет иметь координаты [1/2, 1/2, 1], а направление 0е – индексы [112], которые читают раздельно: «направление один – один – два». Для 
нахождения индексов направления ab необходимо начало координат поместить в точку а: 
координаты точки b будут [–1, 1, 0], а индексы направления – [110] (в этом случае читают: 
«один под минусом – один – ноль»). Перемена знаков индексов на противоположные, например [001] на [001] (см. рис. 1.6), изменяет направление на обратное, принадлежащее 
тому же семейству.

Среди непараллельных направлений в кристалле можно найти кристаллографически равноценные, не отличимые одно от другого по расстоянию между атомами в них, а их индексы 
получаются перестановкой и изменением знака. Поэтому можно говорить о совокупности 
семейств эквивалентных по строению направлений, которую обозначают символом <uvw>. 
Например, на рис. 1.6, а направления [110], [110] и [101] принадлежат совокупности <110>. 
Угловые скобки – принадлежность обозначения совокупности семейств направ лений.
Положение плоскости в пространстве можно задать направлением нормали к ней, 
но проще это сделать отрезками, отсекаемыми плоскостью на координатных осях. Однако 
плоскости, параллельные координатным осям, уходят в бесконечность. Для описания ориентации кристаллографических плоскостей в кубических решетках используют индексы 
Миллера – три целых взаимно простых числа h, к, l, обратных измеренным в осевых единицах отрезкам, отсекаемым плоскостью по координатным осям. Символом плоскости служат 
ее индексы (hkl), заключенные в круглые скобки.
Для определения индексов плоскости необходимо: найти отсекаемые ею на осях координат отрезки 0х, 0у, 0z, измеряя их в единицах периодов соответствующей оси; вычислить 
обратные величины 1/0х, 1/0у, 1/0z; привести полученное соотношение к отношению трех 
целых взаимно простых чисел. Например, на рис. 1.6, б, где показаны три соседние элементарные ячейки, плоскость abcd отсекает на осях координат отрезки 1, 1/2, ∞, обратными величинами которых будут 1, 2, 0. Следовательно, индексы этой плоскости (120). Параллель
Рис. 1.6. Определение индексов направлений (а) и плоскостей (б)

ная ей плоскость a′b′c′d′ отсекает отрезки 2, 1, ∞, обратные величины которых 1/2, 1, 0. 
Приведя полученное отношение к отношению трех целых чисел (домножив каждое число 
на 2), получим индексы данной плоскости (120), такие же как и для плоскости abcd. Ясно, 
что любая плоскость, параллельная данной, будет иметь с ней одинаковые индексы. Таким 
образом, символ плоскости (hkl) в круглых скобках описывает бесконечно большое семейство параллельных плоскостей, причем все эти плоскости структурно-эквивалентны, т.е. 
имеют одинаковую укладку атомов.
Зная величины периодов решетки, можно вычислить значения d для разных сингоний 
(табл. 1.1).

Таблица 1.1. Значения d для различных сингоний

Сингония
Формула
Номер

Кубическая
d = а / \ 1 h2 + k2 + 12
(1)

Тетрагональная
d = a / \ Jh2 + к2 + 12(а2 / с2)
(2)

Гексагональная
D = a / (ylMh2 + hk + k2) / 3 + l 2(a2 / с2)
(3)

Параллельные плоскости с одинаковыми индексами находятся на равном расстоянии одна 
от другой (см. рис. 1.5). Это межплоскостное расстояние d равно длине перпендикуляра, 
опущенного из начала координат на ближайшую к нему плоскость данного семейства (hkl).
В кристаллах можно выделить несколько непараллельных, но полностью идентичных 
по расположению атомов семейств кристаллографических плоскостей с одинаковым межплоскостным расстоянием, поэтому можно говорить о существовании в кристаллах совокупности структурно-эквивалентных плоскостей. Совокупность плоскостей обозначают символом {hkl} в фигурных скобках. Необходимым признаком принадлежности того или иного 
семейства к одной совокупности является равенство их межплоскостных расстояний.
В кубической сингонии в одну совокупность входят семейства плоскостей, индексы которых различаются лишь знаками и местоположениям в символе. Действительно, если в уравнении (1) последовательно менять местами и знаками индексы h, к, l, не меняя их величины, подкоренное выражение будет иметь неизменную величину, и межплоскостное расстояние тоже 
будет неизменно. Так, в совокупность {100} кристалла кубической сингонии входят шесть семейств плоскостей: (100), (100), (010), (010), (001) и (001). Число семейств, входящих в данную 
совокупность, называют повторяемостью. Величину повторяемости R можно определить как 
число перестановок индексов в символе плоскости местами и знаками, не приводящих к изменению межплоскостного расстояния. Ниже приведены величины повторяемости для всех совокупностей с любыми возможными вариантами сочетаний индексов в кристаллах кубической 
сингонии (символ {hhl} означает, что два индекса равны между собой по величине и не равны 
третьему, например {112}, {331} и т.д.; здесь также не учитывается, что плоскости с одинаковым 
положением индексов и разными знаками фактически параллельны) (табл. 1.2).

Таблица 1.2. Величины повторяемости для совокупностей с вариантами сочетаний индексов

Индексы совокупности……....
{100}
{110}
(111)
{hkO}
{hhk}
{hkl}

Повторяемость, R……………….
6
12
8
24
24
48

В кубических решетках направление, перпендикулярное плоскости, имеет одинаковые 
с этой плоскостью индексы:

 
[uvw] = (hkl), 
(1.1)

т.е. и = h, v = k и w = l, а направление, лежащее в какой-либо плоскости, должно удовлетворять условию

 
u · h + v · k + w · l = 0. 
(1.2)