Механика жидкости и газа

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в  качестве учебного пособия
для  cтудентов учреждений
высшего образования
по техническим и технологическим
специальностям

Минск
«Вышэйшая  школа»
2014

Ìåõàíèêà
æèäêîñòè
è ãàçà

À. À. Àíäðèæèåâñêèé

УДК 532/533(075.8)
ББК 22.253я73
 
А65

Р е ц е н з е н т ы : кафедра ЮНЕСКО «Энергосбережение и возобновляемые источники энергии» Белорусского национального технического 
университета; заведующий лабораторией дисперсных систем ГНУ «Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова» доктор технических наук, 
профессор, член-корреспондент Национальной академии наук Беларуси 
В.А. Бородуля

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения изда тельства.

ISBN 978-985-06-2509-0 
© Андрижиевский А.А., 2014
 
© Оформление. УП «Издательство 
 
 
«Вы шэй шая школа”», 2014

ПРЕДИСЛОВИЕ

Разработка научно обоснованных решений по совершенствованию технологических процессов и технических 
устройств связана в частности с моделированием и оптимизацией лежащих в их основе массообменных процессов. Успешное решение подобных задач предполагает знание методов 
описания гидрогазодинамических процессов в областях и каналах различной конфигурации.
В данном учебном пособии автор попытался в лаконичной 
и доступной для восприятия форме изложить теоретические 
основы механики жидкости и газа, а также показать их приложение к важным для практики задачам течения идеальной 
и вязкой жидкостей.
Книга создана на базе курса лекций, прочитанных автором 
в Белорусском государственном технологическом университете. При подготовке к изданию были частично использованы 
материалы (§ 4.2, 4.3, прил. 3), разработанные ранее автором 
совместно с П.С. Клепацким.
Основная цель пособия – разъяснить базовые понятия статики и кинематики газожидкостных систем, показать их фундаментальный характер, развить практические навыки применения основных положений и законов механики жидкости 
и газа к анализу эффективности работы и совершенствованию 
технологических устройств и систем.
В пособии рассматривается феноменологический метод 
описания жидкости и газа в рамках так называемой модели 
сплошной среды, приводятся основные положения теории 
напряженного состояния капельной жидкости, представлены физические свойства жидкости и газа, изложены основы 
механики жидкости и газа, в том числе статика и кинематика 
жидкостей и газов, а также элементы газовой динамики. Рассматриваются основные дифференциальные и интегральные 
условия равновесия жидкостей и газов в неподвижных и подвижных координатных системах, силы статического давления жидкости на плоскую и криволинейную поверхности, 
основные понятия кинематики жидкости и газа, дифференциальные формы выражения законов сохранения массы и им

пульсов, вихревое и потенциальное течения, закономерности 
ламинарного и турбулентного движений, основы теории подобия, элементы газовой динамики, включая звуковые колебания и ударные волны.
В учебном пособии приведен ряд практических приложений теоретических основ механики жидкости и газа, включая 
описание интегральных и одномерных методов анализа установившихся течений жидкости в пористых средах, трубопроводных системах, открытых каналах, а также при истечении из 
отверстий и насадков.
Изучение механики жидкости и газа, понимание сущности рассматриваемых физических явлений и процессов тесно 
связаны с усвоением достаточно развитого математического 
аппарата, которым эта наука оперирует. Соответственно автор 
счел полезным привести в приложении сведения из векторного анализа и теории поля, в основном известные студентам из 
курса математики.
Каждая из глав учебного пособия содержит достаточный 
объем теоретической информации, примеры решения задач 
по темам, а также задачи для самостоятельного решения, контрольные вопросы и задания.
Основой для освоения предмета являются общенаучные 
и общепрофессиональные дисциплины – математика, физика, химическая технология и т.д.
Учебное пособие предназначено для студентов учреждений 
высшего образования по техническим и технологическим специальностям. Оно может быть полезно магистрантам, аспирантам, студентам физических специальностей, преподавателям и практическим работникам.
Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220048, 
Минск.
Автор

ВВЕДЕНИЕ

Предмет механики жидкости и газа. Само понятие «механика жидкости и газа» включает в рамках данного пособия такие 
разделы, как техническая гидромеханика и газовая динамика. 
В свою очередь, техническая гидромеханика объединяет такие 
понятия, как гидравлика и аэродинамика (рис. В.1). 

Гидравлика – наука о законах движения капельных жидкостей (так называемая внутренняя задача – движение жидкостей 
в ограниченных областях, например в трубах, каналах и т.д.).
Аэродинамика – наука о законах движения газов (так называемая внешняя задача – обтекание газовым потоком твердых тел).
Газовая динамика – наука о законах движения газов с большими скоростями.
Знание механики жидкости и газа, в частности технической гидромеханики, необходимо для решения многочисленных инженерных задач. Например: 
 
• расчет трубопроводов различного назначения (воздухопроводы, водопроводы, газопроводы, паропроводы и др.);
 
• конструирование гидравлических и воздуходувных машин (насосы, компрессоры, вентиляторы и пр.);
 
• проектирование котельных агрегатов, печных и сушильных установок, теплообменных, воздухо- и газоочистных аппаратов;
 
• расчет отопительных и вентиляционных устройств и т.д.

Рис. В.1. Составные части механики жидкости и газа

Техническая 
гидромеханика

Аэродинамика
Гидравлика

Механика 
жидкости и газа

Газовая 
динамика

Исторические сведения. Техническая гидромеханика в своем историческом развитии прошла длинный путь. Некоторые 
принципы гидростатики (теория рав новесия жидкостей) были 
установлены еще Архимедом в трактате «О плавающих телах» 
(250 лет до н. э.), а затем возрождены и развиты Г. Галилеем 
(1564–1642) и Б. Паскалем (1623–1662).
В середине XV в. Леонардо да Винчи (1452–1519) положил 
начало экспериментальной гидравлике, исследовав в лабораторных условиях некоторые вопросы движения воды в каналах, через отверстия и водосливы. Э. Торичелли (1608–1647) 
предложил известную формулу для скорости жидкости, вытекающей из отверстия, а И. Ньютон (1643–1727) высказал 
основные положения о внутреннем трении в движущихся 
жидкостях.
В XVIII в. Д. Бернулли (1700–1782) и Л. Эйлер (1707–1783) 
разработали общие уравнения движения так называемой идеальной жидкости и тем самым положили начало теоретической гидромеханике. Однако применение этих уравнений 
приводило к удовлетворительным результатам лишь в немногих случаях.
С конца XVIII в. многочисленные ученые и инженеры 
(А. Шези, А. Дарси, А. Базен, Ю. Вейсбах и др.) начали опытным путем изучать движение воды и получили значительное 
число эмпирических формул. Созданная таким путем чисто 
практическая гидравлика все более отдалялась от теоретической гидродинамики. Сближение между ними наметилось 
лишь к концу XIX в., когда сформировались новые взгляды на 
движение жидкости, основанные на исследовании структуры 
потока. Тонкие экспериментальные исследования законов 
внутреннего трения в жидкостях при ламинарном движении 
(в работах Н.П. Петрова (1836–1920)) и перехода от ламинарного движения к турбулентному (в работах О. Рейнольдса 
(1842–1912)) позволили глубже проникнуть в физическую 
природу гидравлических сопротивлений.
Несколько позже работы Н.Е. Жуковского (1847–1921) 
и Л. Прандтля (1875–1953) значительно продвинули изучение 
важнейших вопросов гидродинамики (в частности, турбулентных потоков), которое завершилось созданием так называемых полуэмпирических теорий турбулентности, получивших 
широкое практическое применение.
Двадцатый век был ознаменован стремительным развитием авиационной техники, гидротехники, теплоэнергетики, 

гидромашиностроения, что обусловило, в свою очередь, бурное развитие технической гидромеханики на базе синтеза теоретических и экспериментальных методов исследования.
Феноменологический подход в механике жидкости и газа. 
Одной из важнейших особенностей механики жидкости и газа 
является то, что в основу ее положена так называемая модель 
сплошной среды. Как известно, для описания среды, состоящей из большого числа молекул в сравнительно малом объеме 
(жидкости и газа), в физике широко используются два пути: 
феноменологический и статистический.
 Феноменологический подход изучения основывается на простейших допущениях. Оставляя в стороне вопрос о строении 
вещества, он наделяет его такими свойствами, которые наилучшим образом устанавливают соответствие между наблюдаемыми явлениями и их описанием.
При феноменологическом подходе жидкости и газы рассматриваются как непрерывная среда, способная делиться до 
бесконечности. В соответствии с такой моделью все параметры жидкости (плотность, вязкость и др.) изменяются непрерывно от точки к точке. Это позволяет применять при анализе 
движения сред математический аппарат дифференциального 
и интегрального исчисления, хорошо разработанный для непрерывных функций.
Понятие о частицах жидкости, которым широко оперирует 
механика жидкости и газа, неразрывно связано с понятием о 
физически бесконечно малом объеме. Это объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами объекта, но он содержит настолько много молекул, что 
его средние характеристики становятся устойчивыми к изменению объема. Таким образом, принятая в механике жидкости 
и газа процедура «стягивания объема в точку» означает, что он 
стремится не к нулю, а к физически бесконечно малому объему. 
Все законы механики жидкости и газа справедливы до тех 
пор, пока справедлива модель сплошной среды. Количественно это можно оценить по значению числа Кнудсена

Кn
/
= l
L,

где l – длина свободного пробега молекул; L – характерный 
размер течения.
Принято считать, что законы механики жидкости справедливы, если Kn < 0,01.

Теория напряженного состояния (общие рассуждения). Рассмотрим напряженное состояние жидкости, находящейся 
в равновесии. Прежде чем определить это понятие, заметим, что общие теоремы о равновесии сил применимы также 
и к жидким телам. Это следует из так называемого принципа 
отвердевания. 
Если отдельные части какой-либо подвижной системы, 
находящейся в равновесии, сделать неподвижными, то равновесие всей системы не нарушится. Следовательно, в случае 
жидкости, находящейся в равновесии, всегда можно вообразить, что некоторая ее часть отвердела, но от этого равновесие 
всей жидкости не нарушится, к отвердевшей же части можно 
применить теоремы о равновесии твердых тел*. Однако для 
исследования равновесия жидкости не обязательно прибегать 
к представлению об отвердевании. 
Прежде всего напомним, что любые силы представляют 
собой взаимодействие масс. Если, например, масса m1 притягивает к себе другую массу т2 с силой F, то с такой же силой 
масса т2 притягивает к себе массу т1. Следовательно, обе силы 
направлены прямо противоположно друг другу (закон Ньютона о равенстве действия и противодействия).
В системе масс, каким-либо образом выделенной среди 
других масс, следует различать два вида сил: 
1) внутренние силы, действующие между массами, принадлежащими к рассматриваемой системе;
2) внешние силы, действующие между каждой массой рассматриваемой системы и массами, находящимися вне системы.
Теорема B.1. Во всей совокупности сил, действующих в рассматриваемой системе масс, внутренние силы входят всегда 
п о п а р н о  в виде равных и прямо противоположных сил, а 
внешние силы – всегда в  о д и н о ч к у. При суммировании 
(векторном или координатном) всех сил внутренние силы попарно уничтожаются и остаются только внешние силы.
Следовательно, для равновесия системы необходимо, 
чтобы сумма сил, приложенных к каждой отдельной массе системы, была р а в н а  н у л ю. При сложении таких сумм 
для всех масс системы остается, согласно сказанному выше, 
только сумма всех внешних сил, а так как каждая отдельная из 

* Применяя принцип отвердевания, следует иметь в виду не физическое отвердевание, а воображаемое, идеальное отвердевание без 
всякого перемещения частиц и изменения объема.

сложенных сумм при равновесии равна нулю, то равна нулю 
и сумма всех внешних сил.
Если вычисления ведутся в координатах, то эта теорема записывается в виде трех уравнений:

X =
∑
0,
Y =
∑
0,
Z =
∑
0,

где X, Y, Z – проекции внешних сил на оси x, y, z.
Совершенно аналогичная теорема существует и для моментов внешних сил. 
Теорема В.2. Сумма всех моментов сил, приложенных к 
каждой отдельной массе системы, при равновесии равна нулю.
Как для упругих твердых тел, так и для жидких важно знать 
напряженное состояние внутри тела, т.е. внутренние силы, 
действующие между мельчайшими частицами тела во всех 
направлениях и во всех точках тела. Однако в общем случае 
приходится ограничиваться указанием только среднего напряженного состояния. 
Но как же вообще можно получить представление о внутренних силах, если теоремы В.1 и В.2 об условиях равновесия 
говорят только о внешних силах? Для этого необходимо внутренние силы сделать внешними. 
Вообразим некоторое тело, к которому приложены внешние силы (на рис. В.2 они обозначены стрелками). Мысленно 
разрежем его на две части и одну из частей, например I, примем за нашу систему масс. Тогда все силы, с которыми частицы части II действовали на частицы части I и которые раньше 
были внутренними силами, теперь будут внешними. Эти силы 
распределены по площади сечения, и сумма их должна быть 
такова, чтобы выделенная часть тела продолжала оставаться в равновесии. Следовательно, результирующая этих сил 
должна быть равна и прямо противоположна результирующей 
внешних сил, действующих на выделенную часть тела. 
Таким образом, мы получили вполне определенное и однозначное представление о результирующей внутренних сил 

Рис. В.2. Метод сечений

I
II
I

в проведенном сечении тела*. Результирующая внутренних 
сил, отнесенная к единице площади сечения, называется напряжением. Более подробно ознакомимся с этим понятием 
в следующих главах.
Очевидно, что, разделив найденную в рассмотренном 
выше примере результирующую внутренних сил на площадь 
сечения, получим среднее напряжение в сечении. Вообще же 
на различных площадках сечения напряжение может быть 
разным. Напряжение на площадке, подобно силе, является 
вектором.
Из многочисленных и важных теорем о напряженном состоянии приведем следующую. 
Теорема В.3. Если в трех сечениях, образующих друг с другом трехгранный угол, напряжения известны, то напряжения 
во всех других сечениях могут быть определены. 
Для доказательства теоремы поступим следующим образом. 
Пересечем трехгранный угол четвертой плоскостью, именно 
той, в которой требуется определить напряжение (рис. В.3). 
Эта плоскость образует вместе с первыми тремя тетраэдр. 
Силы 1, 2, 3, действующие на грани, напряжения на которых 
известны, мы получим, если умножим заданные напряжения 
на площади соответствующих граней. Имеется только одна 
сила 4, которая уравновешивает сумму сил 1 + 2 + 3. Эта сила, 
разделенная на площадь соответствующей грани, и дает искомое напряжение. Для выполнения вычислений удобнее всего 
совместить заданные сечения с координатными плоскостями 
(рис. В.3).
Теперь, после того как мы разъяснили понятие напряжения, 
можно дать более точное определение напряженного состояния. Напряженным состоянием в какой-либо точке называется 
совокупность напряжений во всех сечениях, проходящих через 
заданную точку.
Как можно выразить напряжение в точке? Мысленно проведем внутри рассматриваемой массы поверхность, разделяющую объем массы на две части (рис. В.4). 
На элементарной площадке Δω разделяющей поверхности, 
действует сила ΔF. Площадка Δω может быть стянута в точку M 

* Мы получили бы совершенно такой же результат, если бы вместо части I 
тела рассмотрели часть II, только теперь результирующая внутренних сил была 
бы приложена к части II и направлена в прямо противоположную сторону.