Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 ч. Ч.2. Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Допущено
              Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов технических специальностей учреждений, обеспечивающих получение высшего образования
                      В четырех частях Часть 2
Комплексные числа.
Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения
               Под общей редакцией доктора физико-математических наук, профессора А.П. Рябушко

6-е издание






Минск
«Вышэйшая школа»

УДК 51(076.1)(075.8)
ББК 22.1я73
     И60




   Авторы: А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть

   Р е це н з е н т ы: кафедра высшей математики № 3 Белорусского национального технического университета; заведующий кафедрой высшей математики УО «Белорусский государственный технологический университет» доктор физико-математических наук, профессор В.М. Марченко

   Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.


























ISBN 978-985-06-2466-6 (ч. 2) © Издательство «Вышэйшая школа», 2014
ISBN 978-985-06-2000-2

ПРЕДИСЛОВИЕ




   Предлагаемая вниманию читателя книга продолжает комплекс учебных пособий под общим названием ''Индивидуальные задания по высшей математике". Он написан в соответствии с действующими программами курса высшей математики в объеме 380 — 450 часов для инженерно-технических специальностей вузов. Этот комплекс может быть использован в вузах других профилей, в которых количество часов, отведенное на изучение высшей математики, значительно меньше. (В последнем случае из предлагаемого материала рекомендуется сделать необходимую выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов вечерних и заочных отделений вузов.
   Настоящий комплекс пособий адресован преподавателям и студентам и предназначен для проведения самостоятельных (контрольных) работ во время аудиторных занятий (АЗ) и выдачи индивидуальных домашних заданий (ИДЗ) по всем разделам курса высшей математики.
   Во второй книге комплекса "Индивидуальные задания по высшей математике" содержится материал по комплексным числам, неопределенным и определенным интегралам, функциям нескольких переменных и обыкновенным дифференциальным уравнениям.
   Структура второй книги аналогична структуре первой. Нумерация глав, параграфов и рисунков продолжает соответствующую нумерацию в первой книге.
   Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам — коллективу кафедры высшей математики № 3 Белорус3

ского национального технического университета, возглавляемому доцентом В. Ф. Бубновым, и заведующему кафедрой высшей математики УО “Белорусский государственный технологический университет” доктору физико-математических наук, профессору В. М. Марченко - за ценные замечания и советы, способствовавшие улучшению книги.
   Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: издательство “Вышэйшая школа”, проспект Победителей, 11, 220048, Минск.

Авторы

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ




   Охарактеризуем структуру пособия, методику его использования, организацию проверки и оценки знаний, навыков и умений студентов.
   Весь практический материал по курсу высшей математики разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения (основные определения, понятия, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач и выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. (Начало решения примеров отмечается символом ►, а конец — ◄ .) Затем даются подборки задач с ответами для всех практических аудиторных занятий (АЗ) и для самостоятельных (миниконтрольных) работ на 10 — 15 минут во время этих занятий. Наконец, приводятся недельные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снабжена ответами. В конце каждой главы помещены дополнительные задачи повышенной трудности и прикладного характера.
   В приложении приведены двухчасовые контрольные работы (каждая по 30 вариантов) по важнейшим темам курса.
   Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел: первое из них указывает на главу, а второе — на порядковый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-9.1 означает, что АЗ относится к девятой главе и является первым по счету. Во второй книге комплекса содержится 26 АЗ и 12 ИДЗ.
   Для ИДЗ также принята нумерация по главам. Например, шифр ИДЗ-9.2 означает, что ИДЗ относится к девятой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следую

5

щая нумерация: первое число означает номер задачи в данном задании, а второе — номер варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-9.2:16 означает, что студент должен выполнить 16-й вариант из ИДЗ-9.2, который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16, 4.16.
   При выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов можно менять от задания к заданию по какой-либо системе или случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, комбинируя однотипные задачи из разных вариантов. Например, шифр ИДЗ-9.2:1.2; 2.4; 3.6; 4.1 означает, что студенту следует решать в ИДЗ-9.2 первую задачу из варианта 2, вторую — из варианта 4, третью — из варианта 6 и четвертую — из варианта 1. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариантов получить большое количество новых вариантов.
   Внедрение ИДЗ в учебный процесс показало, что целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых, как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее основной материал двух АЗ данной недели.
   Дадим некоторые общие рекомендации по организации работы студентов в соответствии с настоящим пособием.
   1.    В вузе студенческие группы по 25 человек, проводятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные необязательные для посещения студентами консультации, выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систематического контроля с выставлением оценок, указанием ошибок и путей их исправления могут быть использованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов и банк листов решений, которые кафедра заготавливает для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы решений разрабатываются только для тех задач и вариантов, где важно проверить правильность выбора метода, последовательности действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы решений. Листы решений (один вариант располагается на одном листе) используются при самоконтроле правильности выполнения заданий студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще всего при комбинированном контроле:

6

преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент по листу решений — свои вычисления. Эти методы позволяют проверить ИДЗ 25 студентов за 15 — 20 минут с выставлением оценок в журнал.
   2.    В вузе студенческие группы по 15 человек, проводятся два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы включены обязательные два часа в неделю самоподготовки под контролем преподавателя. При этих условиях организация индивидуальной, самостоятельной, творческой работы студентов, оперативного контроля за качеством этой работы значительно улучшается. Рекомендованные выше методы пригодны и в данном случае, однако появляются новые возможности. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной самоподготовки можно проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, принять задолженности по ИДЗ у отстающих.
   Накапливание большого количества оценок за ИДЗ, самостоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать качество усвоения изучаемого материала.
   Все это дает возможность отказаться от традиционного итогового семестрового (годового) экзамена по материалу всего семестра (учебного года) и ввести рейтинг-блок-модульную систему (РБМС) оценки знаний и навыков студентов, состоящую в следующем. Материал семестра (учебного года) разделяется на 3 — 5 блоков, по каждому из которых выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла — двухчасовая письменная коллоквиум-контрольная работа, в которую входят 2 — 3 теоретических вопроса и 5 — б задач. Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет вывести объективную общую оценку за каждый блок и итоговую оценку по всем блокам семестра (учебного года), Положение о РБМС см. в прил. 4.
   В заключение отметим, что усвоение содержащегося в пособии материала гарантирует хорошие знания студента по соответствующим разделам курса высшей математики. Для отлично успевающих студентов необходима подготовка заданий повышенной сложности (индивидуальный подход в обучении!) с перспективными поощрительными мерами. Например,

7

можно разработать для таких студентов специальные задания на весь семестр, включающие задачи настоящего пособия и дополнительные более сложные задачи и теоретические упражнения (для этой цели, в частности, предназначены дополнительные задачи в конце каждой главы). Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра, установить график их выполнения под своим контролем, разрешить свободное посещение лекционных или практических занятий по высшей математике и в случае успешной работы выставить отличную оценку до экзаменационной сессии.

7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ





7.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ



    Комплексным числом называется число вида z — х + iy, где т и у — действительные числа; i =  1 — так называемая мнимая единица’,
т. е. число, квадрат которого равен -1 (корень уравнения z² + 1 = 0); х называется действительной (вещественной) частью комплексного числа, а. у — мнимой его частью. Для этих чисел приняты обозначения: х = Rez, у — Imz. Если у = 0, то z = х G R; если жег =0, то число z — гу называется чисто мнимым. С геометрической точки зрения, всякому комплексному числу z = х+гу соответствует точка М(т, у) плоскости (или вектор ОМ) и, наоборот, всякой точке М{рцу) соответствует комплексное число z = х + iy. Между множествами комплексных чисел и точек плоскости Оху установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому данная плоскость называется комплексной и обозначается символом (z) (рис. 7.1).

Рис. 7.1

   *В технической литературе для мнимой единицы используется также обозначение j — V⁻1
9

    Множество всех комплексных чисел обозначается буквой С. Отметим, что R С С. Точки, соответствующие действительным числам z = х, расположены на оси Ох, которая называется действительной осью комплексной плоскости, а точки, соответствующие мнимым числам z = iy, — на оси Оу, которую называют лошлсой осью комплексной плоскости.
    Два комплексных числа равны, если соответственно равны их действительные и мнимые части. Числа вида z = х 4- гу и z — х — iy называются сопрзцисеинылги (см. рис. 7.1).
    Если zi - Xi +iyi, zj = х₂ 4-*уз — два комплексных числа, то арифметические операции над ними выполняются по следующим правилам;
zi + zi = (xi -I- tyi) + (х₂ + гу₂) = (acj + ха) + £(yi + у₂),
Zi - Z2 = (xi 4- tyi) - (х₂ + гуз) = (Х1 - хг) + t(yi - уа),
ziz2 = (xi + iyi)(x₂ + iy₂) = (iUi - У1У2) + г(цу₂ + 12У1),
Zi _ Il + tyi _ Ziz₂ _ XjX₂ 4- У1У2 ₊ ^2У1 ~ Х1У2
          *2 x? 4- iya zaz₂ x% 4- y₂ Jc₂ ⁺ Уз
(последняя операция имеет место при условии, что z₂ / 0). В результате получаем, вообще говоря, комплексные числа. Указанные операции над комплексными числами обладают всеми свойствами соответствующих операций над действительными числами, т. е. сложение и умножение коммутативны, ассоциативны, связаны отношением дистрибутивности и для них существуют обратные операции вычитания и деления (кроме деления на нуль),
    Пример 1. Даны комплексные числа zi = 2 4- 3t, z₂ = 3 - 4£, Z3 = 1 4-1. Найти
«1 + Z1Z2 + zi Z — -------------.
Z1 4- Z3
    ► Последовательно вычисляем:
zi + Z3 = (2 + з») 4- (1 + ») = 3 4- 4»,
ziz₂ = (2 + 3£)(3 - 4») = (6 + 12) 4- t(9 - 8) = 18 4-», zf = (3 - 4t)² = 9 - 24t - 16 = -7 - 24t,
zi 4- zi z₂ 4- z₂ = 2 4- 3t 4- 18 4-» - 7 - 24i = 13 - 20t.
Тогда
       _ 13 - 20t _ (13 - 20t)(3 - 4i) _ (39 - 80) 4-t(-60 - 52) _
          3 + 4t “ (3 4- 4i)(3 - 4i)            25
_ 41 _ .112
                           ~ 25 ¹ 25 ' >
    Число r = |OM| = vz¥ называется модулем комплексного числа z. Угол у?, образованный вектором ОМ с положительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа и обозначается = = Argz.

10