Алгебра и геометрия

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Москва
РИОР
ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Г.И. ШУМАН
О.А. ВОЛГИНА
Н.Ю. ГОЛОДНАЯ

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса (ВГУЭС)

УДК 512+514
ББК 22.14+22.151
 
Ш96

Шуман Г.И., Волгина О.А., Голодная Н.Ю.

Алгебра и геометрия : учеб. пособие / Г.И. Шуман, О.А. Волгина, 

Н.Ю. Голодная. – М. : РИОР : ИНФРА-М, 2019. — (Высшее образование). – 160 с. — DOI: https://doi.org/10.12737/1708-1

ISBN 978-5-369-01708-1 (РИОР)
ISBN 978-5-9736-0417-2 (ВГУЭС)
ISBN 978-5-16-013140-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105920-3 (ИНФРА-М, online)
В данном учебном пособии по каждой теме приводится теоретическая 

часть курса алгебры и геометрии, в которой рассматриваются основные понятия и формулы, даны решения типовых задач. Содержится большое количество задач для самостоятельной работы студентов, контрольные работы и 
индивидуальные домашние задания.

Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки, 

изучающих данный раздел.

УДК 512+514
ББК 22.14+22.151

Ш96

ISBN 978-5-369-01708-1 (РИОР)
ISBN 978-5-9736-0417-2 (ВГУЭС)
ISBN 978-5-16-013140-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-105920-3 (ИНФРА-М, online)

А в т о р ы :
Шуман Г.И. — доцент кафедры «Математика и моделирование» ВГУЭС 

г. Владивосток;

Волгина О.А.— канд. экон. наук, доцент кафедры «Математика и моделирование» 

ВГУЭС г. Владивосток;

Голодная Н.Ю. — доцент кафедры «Математика и моделирование» ВГУЭС 

г. Владивосток

Р е ц е н з е н т ы :
Степанова А.А. — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры алгебры, геометрии 

и анализа ДВФУ;

Первухин М.А. — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и модели
рования ВГУЭС

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

©  Шуман Г.И.,
Волгина О.А.,
Голодная Н.Ю.

 

ВВЕДЕНИЕ 

Знания, приобретаемые студентами в результате изучения дисциплины «Алгебра и геометрия», играют важную роль в процессе обучения  
в университете. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин, предусмотренных учебными планами всех 
направлений. 
В пособии предлагаемого объема невозможно полностью осветить 
весь изучаемый теоретический материал, поэтому в каждом разделе приведены лишь необходимые теоретические сведения и формулы, отражающие количественную сторону или пространственные свойства реальных 
объектов и процессов, которые сопровождаются подробными решениями 
типовых задач, без чего невозможно успешное изучение математики. 
Достоинство пособия состоит в том, что при наличии такого количества задач оно может быть использовано как задачник, как раздаточный 
материал для выполнения контрольных работ по соответствующему разделу дисциплины «Алгебра и геометрия», а также содержит 30 различных 
вариантов индивидуальных домашних заданий по всем разделам. 
 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 

1.1. Определители 

1.1.1. Определители второго порядка 

Определение. Определителем второго порядка, соответствующим 

квадратной 
таблице 
элементов 









22
21

12
11
a
a
a
a
, 
называется 
число 

12
21
22
11
a
a
a
a



. Таким образом,  

12
21
22
11
22
21

12
11
a
a
a
a
a
a
a
a






. 
(1.1) 

Числа 
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
 называются элементами определителя. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, 
21
a
 
стоит во второй строке и первом столбце определителя и читается «а два 
один». Элементы 
22
11,a
a
 называют элементами главной диагонали определителя, а элементы 
21
12,a
a
 — соответственно элементами побочной диагонали. 
Пример 1. Вычислим определитель 

13
6
7
)
3
(
2
7
1
7
2

3
1











. 

Пример 2. Вычислим определитель 

21
0
21
0
)
6
(
)
7
(
3
7
6

0
3















. 

Пример 3. Вычислим определитель 

0
12
12
2
6
4
3
4
6

2
3









. 

1.1.2. Определители третьего порядка 

Определение. Определителем третьего порядка, соответствующим 
квадратной таблице элементов 

















33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a

a
a
a

a
a
a
, 

называется число, определяемое равенством  

11
12
13
22
23
21
23
21
22
23
11
12
32
33
31
33
31
32
33

21
22
13
31
32
.

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
a

 









 
(1.2) 

Пример 4. Вычислить определитель 

1
5
1

3
1
4

2
3
1




. 

Решение. По определению получим:  

23
42
3
16
21
2
1
3
)
16
(
1
)1
20
(
2

)
3
4
(
3
)
15
1
(
1
5
1

1
4
2
1
1

3
4
3
1
5

3
1
1



































 
Если в формуле (1.2) раскрыть определители второго порядка и собрать 
слагаемые с одинаковыми знаками, то получим: 

11
22
33
21
32
13
12
23
31
11
23
32

12
21
33
13
22
31.

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
a
a

 



















 
(1.3) 

Этот способ вычисления определителя третьего порядка называется 
правилом треугольника. 





















 

Первые три слагаемых для вычисления определителя есть сумма произведений элементов главной диагонали и элементов, расположенных  
в вершинах треугольников, как они показаны линиями на первом рисунке; 
оставшиеся слагаемые есть сумма произведений, взятых со знаком минус, 
элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах 
треугольников, как они показаны линиями на втором рисунке. 

Пример 5. Вычислить определитель 

1
2
1

4
3
0
3
1
2




 по правилу тре
угольника. 

. 

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя 
1
)
3
(
2



, затем — элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и 
элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника 
3
2
0


,
1
4
)1
(



. Элементы, входящие в формулу (1.3) со знаком 
минус, вычисляем аналогично, но относительно побочной диагонали: 
3
)
3
(
1



,
1
)1
(
0



,
4
2
2


. 
Таким образом, 
4
2
2
1
)1
(
0
3
)3
(
1
1
4
)1
(
3
2
0
1
)3
(
2
























 

17
16
0
9
4
0
6









 

Определение. Определитель, в котором под главной диагональю (над 
главной диагональю) стоят нули, называется определителем треугольного 
вида. 
Определитель треугольного вида равен произведению элементов 
главной диагонали. 

Пример 6. Вычислить определитель 

8
0
0

6
5
0

1
3
2







. 

Решение. По условию дан определитель треугольного вида, так как 
под главной диагональю этого определителя стоят нули, значит значение 
данного определителя равно произведению элементов главной диагонали, 
т.е. 
80
8
5
2





. 
Определение. Минором элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного определителя путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых 
стоит данный элемент. 
Минор элемента 
ij
a , стоящего на пересечении i-ой строки и j-го 

столбца определителя, обозначают 
ij
M
. 

Например, для определителя  

8
2
4

11
7
1

3
5
2




 

миноры 
26
28
2
2
4

7
1
13





M
, 
46
6
40
8
2

3
5
21





M
. 

Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на 

k)1
(
, где k равно сумме номера строки и номера столбца, на пересечении 

которых находится этот элемент. 

Алгебраическое дополнение элемента 
ij
a  обозначают
ij
A . Согласно 

определению 
j
i
k
M
A
ij
k
ij





,
)1
(
. 
(1.4) 

Для определителя третьего порядка знак, который при этом приписывается минору соответствующего определителя, определяется следующей 

таблицей: 











. 

Из определения определителя третьего порядка следует, что  

13
13
12
12
11
11
A
a
A
a
A
a







. 

Верна общая теорема разложения: определитель 3-го порядка равен 
сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие этим элементам алгебраические дополнения. 
Таким образом, имеют место шесть разложений: 

.

,

,

,

,

,

33
33
23
23
13
13

32
32
22
22
12
12

31
31
21
21
11
11

33
33
32
32
31
31

23
23
22
22
21
21

13
13
12
12
11
11

A
a
A
a
A
a

A
a
A
a
A
a

A
a
A
a
A
a

A
a
A
a
A
a

A
a
A
a
A
a

A
a
A
a
A
a

















































 
(1.5) 

Отметим, что сумма произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) на алгебраические дополнения элементов параллельного 
ряда равна нулю. 

Пример 7. Вычислить определитель 

6
3
7

4
2
1

2
3
5




, 

разлагая его по элементам третьего столбца. 
Решение. Согласно теореме разложения и формулы (1.4) имеем: 







































)
3
7
3
5
(
)1
(
4
)
2
7
3
)1
((
)1
(
2
2
1

3
5
1
6

3
7

3
5
)1
(
4
3
7

2
1
)1
(
2
6
4
2

5
4
3
3

3
2
3
1
33
23
13
A
A
A

 

.
68
78
24
34
)
3
10
(
6
)
21
15
(
4
)
14
3
(
2
)
3
)1
(
2
5
(
)1
(
6
6





















 

1.1.3. Свойства определителей 

Следующие свойства справедливы для определителей любого порядка, позволяют упростить вычисления определителей. 
Свойство 1. (Транспонирование строк и столбцов). Определитель не 
меняет своего значения, если его строки заменить столбцами с теми же 
номерами, а столбцы — строками, т.е. 

33
23
13

32
22
12

31
21
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a
a
a
a

a
a
a


. 

Введенное действие называется транспонированием строк и столбцов. 
Свойство 2. Если переставить две строки (столбца) определителя, то 
знак значения определителя изменится на противоположный: 

33
32
31

13
12
11

23
22
21

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a
a
a
a

a
a
a



. 

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковых строки или два 
одинаковых столбца, то он равен нулю: 

0

13
12
11

23
22
21

13
12
11


a
a
a

a
a
a

a
a
a
. 

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя: 

33
32
31

23
22
21

13
12
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a
a
a
a

a
a
a

k
a
a
a
k
a
a
a
k

a
a
a
k







. 

Свойство 5. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны 
нулю, то определитель равен нулю: 

0

0

0

0

32
31

22
21

12
11


a
a

a
a

a
a
. 

Свойство 6. Если две строки (столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю: 

0

31
32
31

21
22
21

11
12
11






a
k
a
a
a
k
a
a

a
k
a
a
. 

Свойство 7. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель можно представить в 
виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, 
прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые слагаемые, 
а во втором определителе — вторые: 

33
32
31

23
22
21

13
12
11

33
23
13

32
22
12

31
21
11

33
32
31
31

23
22
21
21

13
12
11
11

a
a
b
a
a
b

a
a
b

a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
b
a
a
a
b
a

a
a
b
a







. 

Свойство 8. Величина определителя не изменится, если к элементам 
какой-либо строки (столбца) определителя прибавить элементы параллельной строки (столбца), умноженные на одно и то же число: 

33
32
33
31

23
22
23
21

13
12
13
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a
k
a
a
a
a
k
a

a
a
a
k
a

a
a
a
a
a
a

a
a
a










. 

Пример 8. Вычислить определитель 

5
2
1

1
6
3

4
2
1`






, используя свойства определителей. 

Решение. Элементы первого и второго столбцов данного определите
ля пропорциональны 
2
1
2
1
6
3
2
1





, поэтому, согласно свойству 6, дан
ный определитель равен нулю, т.е. 
0


. 
Пример 9. Вычислить определитель 

1
0
4

1
3
1

2
1
1`



, используя свойства определителей. 

Решение. Используя свойство 8, приведем данный определитель к 
треугольному виду. Для этого элементы первой строки умножим на (–1) и 
прибавим к элементам второй строки: 

1
0
4

1
2
0

2
1
1

1
0
4

)
2
(
1
)1
(
3
)1
(
1

2
1
1

1
0
4

1
3
1

2
1
1`












. 

Элементы первой строки умножим на (–4) и прибавим к элементам 
третьей строки: 

7
4
0

1
2
0

2
1
1

)
8
(
1
)
4
(
0
)
4
(
4

1
2
0

2
1
1`

















. 

Элементы второй строки умножим на 2 и прибавим к элементам 
третьей строки: 

9
0
0

1
2
0

2
1
1

)
7
(
2
)
4
(
4
0

1
2
0

2
1
1`















. 

Получили определитель треугольного вида (под главной диагональю 
определителя все элементы равны нулю), и поэтому значение определителя будет равно произведению элементов главной диагонали преобразованного определителя: 

18
)
9
(
2
1
9
0
0
1
2
0

2
1
1

1
0
4
1
3
1

2
1
1












. 

Пример 10. Вычислить определитель 

4
2
4

1
2
3

1
1
1`




, используя свойства определителей. 

Решение. 

4
2
4

2
1
2

1
1
1

4
2
4

1
1
1

1
1
1

4
2
4

2
1
1
1
2
1

1
1
1`

















. 

Воспользовались свойством 7, а так как в первом полученном определителе первые две строки одинаковые, то по свойству 3 этот определитель 
равен нулю, поэтому