Сопротивление материалов. Практикум по решению задач

М.Д. Подскребко





                СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ





Практикум по решению задач


Допущено
Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по техническим специальностям












Минск «Вышэйшая школа» 2009

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 22.251я73
     П 61

    Рецензенты: кафедра сопротивления материалов машиностроительного профиля Белорусского национального технического университета; доктор технических наук, профессор кафедры инженерной графики и технической механики Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники В.М. Сурин

    Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.
      Подскребко, М. Д.
П 61 Сопротивление материалов. Практикум по решению задач : учеб. пособие / М. Д. Подскребко. - Минск : Выш. шк., 2009. - 688 с. : ил.
          ISBN 978-985-06-1458-2.
          Содержит материал по всем основным разделам курса «Сопротивление материалов». В начале каждого раздела кратко приводятся основные положения теории и перечень формул, необходимых для решения задач, рассматриваемых в данной главе. Предлагаемые примеры сопровождаются подробными пояснениями общего метода решения, разбором различных приемов, способствующих развитию инженерного мышления. В конце каждой главы приводятся вопросы и задания для самоконтроля. Содержит все необходимые для расчетов справочные материалы.
          Для студентов инженерных специальностей вузов. Будет полезно преподавателям вузов и колледжей, инженерам-механикам.
УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 22.251я73
Учебное издание
Подскребко Михаил Данилович
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Практикум по решению задач
Учебное пособие
Редактор А.В. Новикова. Художественный редактор В.А. Ярошевич. Технический редактор НА. Лебедевич. Корректоры В.П. Шкредова, Т.К. Хваль. Компьютерная верстка ЮЛ. Шибаевой.
Подписано в печать 23.03.2009. Формат 84x108/32. Бумага офсетная. Гарнитура «Нимбус». Офсетная печать. Усл. печ. л. 36,12. Уч.-изд. л. 34,5. Тираж 1500 экз. Заказ 1111.
      Республиканское унитарное предприятие «Издательство “Вышэйшая школа”».
       ЛИ № 02330/0494062 от 03.02.2009. Пр. Победителей, 11, 220048, Минск.
http://vshph.com
Открытое акционерное общество «Барановичская укрупненная типография». ЛП № 02330/0131659 от 02.02.2006. Ул. Советская, 80, 225409, Барановичи.


ISBN 978-985-06-1458-2

         © Подскребко М.Д., 2009
                               © Издательство «Вышэйшая школа», 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ


   Решение задач при изучении курса «Сопротивление материалов» способствует пониманию и закреплению теоретического материала, развитию инженерного мышления и интуиции, освоению методов расчета элементов конструкций и деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость.
   Предлагаемое руководство к решению задач является учебным пособием, главная цель которого помочь изучающим сопротивление материалов глубже понять теоретический материал, выработать необходимые навыки решения прикладных задач, «умение прилагать знания к делу» (А.Н. Крылов), а также облегчить самостоятельное изучение тем, не рассматриваемых на занятиях.
   Отличительная особенность издания — его практическая направленность. Оно охватывает все основные темы курса «Сопротивление материалов». По темам приведены задачи с подробным описанием методики решения, контролем и анализом результатов. Все задачи подобраны так, чтобы они хорошо иллюстрировали теоретические положения курса и имели практическую значимость, раскрывали пути экономии материала, влияние параметров на работоспособность деталей. Некоторые задачи являются расчетными схемами конкретных элементов конструкций. В отдельных случаях решение выполнено различными методами, что, по мнению автора, должно способствовать расширению кругозора студентов. По каждой теме даются необходимые сведения из теории и основные расчетные формулы, а также вопросы для самоконтроля знаний. Ответы на контрольные вопросы позволяют изучающему оценить, как он усвоил теоретические положения и может ли применить их к решению технических задач на практике. При решении задач, если нет специальной оговорки, материал считается линейно-упругим; часто используемые в задачах характеристики материалов даны в начале пособия.
   Считаю долгом выразить благодарность рецензентам: доктору физико-математических наук, профессору Ю.В. Василевичу и доктору технических наук, профессору В.М. Сурину, тщательно прочитавшим рукопись и сделавшим много ценных замечаний и предложений, которые, безусловно, способствовали улучшению текста пособия. Приношу благодарность В.С.Алисионок за помощь при подготовке рукописи к печати.
Автор

3

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

F — сосредоточенная сила р — интенсивность распределенной нагрузки на длине q — интенсивность распределенной нагрузки на площади М — внешний изгибающий момент m — внешний скручивающий момент; параметр кривой усталости Y — удельный вес материала ст — нормальное напряжение т — касательное напряжение [ст] — допускаемое нормальное напряжение
[ ст ]р — допускаемое нормальное напряжение при растяжении [ст]с — допускаемое нормальное напряжение при сжатии [ т ] — допускаемое касательное напряжение сттах , т ₘₐₓ — максимальные напряжения
Ст1, ст2 стз — главные напряжения
ста, т а — нормальные и касательные напряжения на произвольной наклонной площадке
n, nт, ny, nr — коэффициенты безопасности при изгибе и кручении, по текучести, устойчивости, усталости
N — нормальная или продольная сила
Qₓ , Qy — поперечная сила
Мх , My — изгибающий момент относительно осей х и у
Т — крутящий момент
Е — модуль упругости
G — модуль сдвига
и — коэффициент Пуассона
от — предел текучести

оп — предел пропорциональности

о B — предел прочности

8 — относительное продольное удлинение у — относительное поперечное сужение
и ₒ — удельная потенциальная энергия деформации
и — удельная потенциальная энергия деформации изменения объ-ооб
    ема
и ₒ — удельная потенциальная энергия деформации изменения формы ф
А — площадь поперечного сечения
W — работа внешних сил

4

Yₓy ’ Y yz ’ Y zₓ — угловые деформации в координатных плоскостях д l — абсолютное продольное удлинение (или укорочение)
е1’£ 2 > £3 — главные деформации
£ — относительное продольное удлинение
ф — угол закручивания поперечного сечения; коэффициент продольного изгиба
0 — относительный угол закручивания поперечного сечения (угол закручивания на единицу длины)
d — диаметр круглого стержня у — прогиб балки при изгибе Sz, Sy — статические моменты площади, относительной осей z и у zc , yc — координаты центра тяжести сечения
zᵢc, У к — координаты центров тяжести i-х частей, составляющих сечение
Jz J — осевые моменты инерции сечения относительно осей х и у
  z, У

J   — центробежный момент инерции сечения
  zy

J p — полярный момент инерции сечения

i, i., — радиусы инерции сечения
  z У

i ₘᵢₙ — минимальный радиус инерции сечения

Jv, Ju — главные моменты инерции сечения
Wz, Wy — осевые моменты сопротивления сечения
Wₚ — полярный момент сопротивления сечения
р — расстояние от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки сечения
dx — длина элементарного участка бруса (дифференциал длины)
zₚ, Ур — координаты точки приложения силы (полюса) при внецентрен-ном растяжении, сжатии
Мприв — приведенный момент по теории прочности
° экв — эквивалентное напряжение по теории прочности
Кд — динамический коэффициент
G — вес груза
g — ускорение свободного падения
р и — интенсивность сил инерции
(,) — угловая скорость вращения
h — высота падения груза

5

Fкр, ° кр — критическая сила и критическое напряжение
1  — гибкость стержня
1  пред — предельная гибкость стержня
° max, ° min — максимальное и минимальное напряжения цикла
° а — амплитудное напряжение цикла

° т — среднее напряжение цикла
R — коэффициент асимметрии цикла
°-1 — предел выносливости при симметричном цикле

Y°, ц/_ — коэффициенты, характеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла.

Общие для всех задач данные
   При отсутствии в условиях задач специальных указаний следует принять следующие значения величин:
   модуль упругости стали при растяжении или сжатии Е = 2-10⁷ Н/см²;
   модуль упругости алюминия и дуралюмина Е0/7-10⁷ Н/см²;
   модуль упругости чугуна Е=1,1-10⁷ Н/см²;
   модуль упругости меди Е 1-10⁷ Н/см²;
   модуль упругости дерева вдоль волокон Е = 1-106 Н/см²;
   модуль упругости стали при сдвиге G = 0,Х-10⁷ Н/см²;
   коэффициент Пуассона стали ц = 0,30;
   объемный вес стали у = 7,8^10—² Н/см²;
   температурный коэффициент линейного расширения стали а = 12,5-10—6;
   температурный коэффициент линейного расширения меди а = 16,5-10—6.

            Глава 1



ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ


1.1.3адачи курса «Сопротивление материалов»

   Сопротивление материалов — это наука, занимающаяся разработкой инженерных методов расчета типичных деталей машин и элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.
   Прочностью называется способность деталей машин и элементов конструкций воспринимать внешние нагрузки без разрушения.
   Жесткостью называется способность деталей и элементов конструкций сопротивляться изменению первоначальных размеров и формы, вызываемых действием внешних нагрузок.
   Устойчивостью называется способность конструкций сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.
   Изложение методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость составляет основную задачу курса «Сопротивление материалов».
   Под действием внешних нагрузок твердое тело изменяет свою форму и размеры — деформируется. Конечным результатом деформации может быть разрушение элементов конструкции или недопустимое искажение их формы, когда дальнейшая эксплуатация конструкции становится невозможной. Обеспечить нормальную работу можно только выбором соответствующего материала и расчетом поперечных размеров элементов конструкции в зависимости от величины и характера действующих сил.
   Создавая любую конструкцию, необходимо обеспечить ее прочность и надежность при минимальной материалоемкости. Увеличение размеров деталей по сравнению с необходимыми излишне увеличивает материалоемкость.
   Таким образом, создание совершенных конструкций машин и инженерных сооружений невозможно без использования современных методов расчета, без глубоких знаний природы и свойств материала. Это требует резкого повышения качества подготовки инженерных кадров, способных решать выдвигаемые практикой новые технические задачи.


7

   В настоящее время определились два принципиально различных метода расчета на прочность: расчет по допускаемым напряжениям и расчет по предельным нагрузкам, или по несущей способности.
   В первом методе прочность элемента конструкции считается исчерпанной, если даже в одной его точке напряжения превышают допускаемые или появляются пластические деформации.
   Во втором методе прочность считается исчерпанной, когда нагрузка достигает предельного значения, при котором конструкция перестает удовлетворять функциональному назначению. В предельном состоянии в элементах конструкции пластические деформации охватывают весь объем элемента или отдельные его сечения. По второму методу рассчитывать на прочность можно только конструкции из пластичных материалов при статическом действии нагрузок.
   На практике под термином «расчет на прочность» понимается ограничение наибольшего расчетного напряжения величиной допускаемого напряжения, а под термином «расчет на жесткость» — ограничение наибольшей упругой деформации допускаемым значением.
   Сопротивление материалов является общеинженерной дисциплиной, составляющей основу технического образования инженера любой специальности. Без фундаментальных знаний этой дисциплины нельзя проводить никакой инженернопроектной работы.
   В сопротивлении материалов рассматриваются задачи, в которых главное значение имеют свойства материалов, а законы движения тела как жесткого целого считаются несущественными. Необходимость довести решение практической задачи до числового результата часто приводит к использованию различных приближенных приемов.
   Задача заключается не только в том, чтобы создать метод расчета элемента конструкции, но также в том, чтобы дать правильное объяснение полученным закономерностям, оценить надежность и практическую пригодность конструкции.

1.2. Расчетная схема и основные принципы

   В сопротивлении материалов расчет реального объекта (детали машины, элементы конструкции) начинается с выбора расчетной схемы. Реальный объект, освобожденный от несу

8

щественных факторов, называется расчетной схемой. В учебном курсе сопротивления материалов расчетные схемы считаются заданными, полученными в результате идеализации и пренебрежения несущественными особенностями реального объекта.
   Расчетная схема включает в себя модель материала, модель формы и модель нагружения.
   Материал в сопротивлении материалов в отличие от физики рассматривается как сплошная среда, заполняющая весь объем тела без пустот и разрывов. Среда считается идеально линейно-упругой, однородной и изотропной, имеющей свойства, одинаковые с реальным материалом. Под однородностью понимается независимость свойств среды от размеров выделенной частицы. Под изотропностью понимается одинаковость упругих свойств материала по всем направлениям, проведенным из любой точки тела. Понятие сплошной среды позволяет при решении задач пользоваться аппаратом дифференциального и интегрального исчислений.
   При расчете геометрическая форма деталей машин и элементов конструкций приводится к схеме бруса, оболочки и пластины.
   Брусом называется тело, у которого один размер (длина) много больше двух других. Брус с прямолинейной геометрической осью называется стержнем. Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Поперечные сечения брусьев могут быть в виде квадрата, круга, прямоугольника, двутавра, швеллера и т.д.
   Оболочкой называется тело, ограниченное криволинейной поверхностью, у которого один размер (толщина) меньше двух других.
   Плоская оболочка называется пластиной.
   Внешние воздействия на конструкцию могут быть силовыми (нагрузки), температурными (нагрев или охлаждение) и другими воздействиями химического или физического характера. В общем курсе сопротивления материалов главным образом изучаются силовые и температурные воздействия. Внешние нагрузки (силы и пары сил), действующие на рассматриваемый объект, являются количественной мерой механического взаимодействия объекта с окружающими телами или внешней средой, такой как газ, жидкость и т.д. Внешние силы делятся на поверхностные и объемные.

9

   Поверхностные силы распределяются по поверхности или линии, характеризуются интенсивностью и имеют размерность силы, деленной на площадь или длину:


Jn\ 1 • Fq ■ q ( B )⁻ lim ——;
        Д4 ,O, ДЛ

/„Ч      Д F
Р ⁽B)- lim —,
Дl,0 Дl

(1.1)

где Д Fq, Д Fi — соответственно равнодействующие поверхностных сил, распределенных на элементе поверхности ДА или на элементе длины Дl, выделенных около точки В.
   Согласно формуле (1.1) равнодействующие поверхностных сил, приложенных к конечной поверхности А или конечному отрезку l, будут равны
FA -J qdA; Fl-Jpdl.             (1.2)
A        I
  Когда q = const и р = const, формулы (1 .2) принимают вид
Fₐ - q ■ A; Fₐ - p ■ l.         (1.3)
   Объемные силы приложены к каждой частице тела. Это силы тяжести, силы инерции и др.
   При расчете балок и стержневых систем — объемные силы заменяют распределенной по длине нагрузкой. Если объемной силой является сила тяжести, то равнодействующая объемных сил, распределенных по длине l, равна
G -J pdl,                  (1.4)
l
где р — интенсивность равномерно распределенной нагрузки от собственного веса; G — вес балки; l — длина балки.
  Согласно формуле (1.4) интенсивность
p - G /1 - (YAl)/1-YA.


   Если объемной силой является сила инерции, то равнодействующая объемных сил, распределенных по длине l , равна

Fu -J Pudl, l

(1.5)

где р и — интенсивность распределенной инерционной нагрузки. Согласно формуле (1.5) интенсивность ри будет равна

10