Условия представимости функции в виде разности выпуклых

И.М. ПРУДНИКОВ 
 
 
УСЛОВИЯ 
ПРЕДСТАВИМОСТИ 
ФУНКЦИИ В ВИДЕ 
РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2018 

ФЗ  
Издание не подлежит маркировке  
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1 
УДК 514(075.4) 
ББК 22.151 
№ 436-ФЗ 
П85 
 
 
 
 
Прудников И.М. 
 
П85  
Условия представимости функции в виде разности 
выпуклых : монография / И.М. Прудников. — Москва : 
ИНФРА-М, 2018. — 143 с. 
 
ISBN 978-5-16-107026-0 (online) 
 
 
В 
каждом 
параграфе 
дана 
геометрическая 
трактовка 
полученных результатов через поворот кривых из рассматриваемых 
классов на графиках функций. Выпуклые и ПРВ функции нашли 
широкое применение в разных областях математики и техники из-за 
хороших свойств выпуклых функций. 
Представляет 
интерес 
для 
геометров, 
занимающихся 
построением внутренней геометрии поверхностей, а также для 
специалистов в области оптимизации. 
 
 
УДК 514(075.4) 
ББК 22.151 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-16-107026-0 (online) 
© Прудников И.М., 2018 

 2 
Содержание
1
О ПРЕДСТАВИМОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНОЙ
ФУНКЦИИ
ПЕРВОЙ
СТЕПЕНИ
ДВУХ
ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ
ФУНКЦИЙ
6
1.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Положительно однородная функция первой степени.
Двухмерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2
УСЛОВИЯ
ПРЕДСТАВИМОСТИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНОЙ ФУНКЦИИ M−ОЙ СТЕПЕНИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
22
2.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.2
Положительно однородная функция m−ого порядка от
двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3
Класс кривых, ограничивающие выпуклые компактные
множества на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.4
Геометрическая интерпретация теоремы для п.о. функции m−ой степени двух переменных
. . . . . . . . . . .
36
3
УСЛОВИЯ
ПРЕДСТАВИМОСТИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОДНОРОДНОЙ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ 39
3.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Положительно однородные функции первой степени от
трех переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3
Поиск меньшего по включению класса кривых r(·) для
п.о. функции первой степени . . . . . . . . . . . . . . . .
59

 3 
3.4
Геометрическая интерпретация теоремы для п.о. функции первой степени трех переменных
. . . . . . . . . . .
62
4
ПРЕДСТАВИМОСТЬ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО
ОДНОРОДНОЙ
ФУНКЦИИ
M−
ОЙ
СТЕПЕНИ
ОТ
N
ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ
ФУНКЦИЙ
65
4.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.2
Класс кривых на единичной сфере Sn−1
1
(0) . . . . . . . .
66
4.3
Геометрическая интерпретация теоремы для п.о. функции m−ой степени от n переменных . . . . . . . . . . . .
76
5
К ВОПРОСУ О ПРЕДСТАВИМОСТИ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
79
5.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.2
Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.3
Геометрическая интерпретация теоремы 1 . . . . . . . . .
97
6
НЕОБХОДИМЫЕ
И
ДОСТАТОЧНЫЕ
УСЛОВИЯ
ПРЕДСТАВИМОСТИ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
99
6.1
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.2
Многомерный случай
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3
Геометрическая интерпретация теоремы 6.2.1 . . . . . . . 123
6.4
Поиск более узкого класса кривых r(·), характеризующих ПРВ функции от n переменных . . . . . . . . . . . . 126
7
УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ К

 4 
КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
130
7.1
Последовательность одномерных функций
. . . . . . . . 130
7.2
Последовательность квазидифференцируемых функций . 133
8
Заключение
136
Список литературы
137

 5 
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ
п.в. - почти всюду,
п.о. - положительно однородная(функция),
ПРВ - представимые в виде разности выпуклых,
Sn−1
1
(0) = {q ∈Rn |∥q ∥= 1},
Bn
1 (0) = {q ∈Rn |∥q ∥≤1},
N +−множество целых положительных чисел,
N−натуральное множество чисел,
¯
A−замыкание множества A,
co A−выпуклая оболочка множества A,
bd A−граница множества A,
intA−внутренность множества A,
ρH(A, B)−расстояние между множествами A, B в метрике Хаусдорфа,
ℜn−n-мерное евклидово пространство,
∇f(x) = f ′(x)−производная функции f(·) в точке x,
domf−область определения функции f(·),
Γf = {(y, x) ∈Rn|y = f(x), x ∈domf}−график функции f(·),
Π−координатная плоскость,
(a, b)−скалярное произведение векторов a и b,
K = con{a1, a2, . . . , ak}−конус K, равный конической оболочке векторов a1, a2, . . . , ak,
Pr(Q)−проекция множества Q на координатную плоскость Π.

 6 
1
О
ПРЕДСТАВИМОСТИ
ПОЛОЖИТЕЛЬНО
ОДНОРОДНОЙ ФУНКЦИИ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ВИДЕ РАЗНОСТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
В этом параграфе приведены необходимые и достаточные условия
представимости произвольной положительно однородной функции
первой степени двух переменных в виде разности выпуклых функций. Дана также геометрическая интерпретация этих условий. Приведен алгоритм такого представления, результатом которого есть последовательность равномерно сходящихся на произвольном компакте,
внутренности которого принадлежит начало координат, выпуклых положительно однородных первой степени многогранных функций. Объясняется связь поставленной задачи с оптимизацией.
1.1
Введение
Задача об условиях представимости функции в виде разности выпуклых интересна как для геометров, так и для специалистов других специальностей [1]-[22]. Представление функции в виде разности выпуклых нашло применение в оптимизации. Методы оптимизации функций, представленных в виде разности выпуклых, активно развиваются
в [18].
Академик А.Д. Александров развил геометрию выпуклых поверхностей [1]. Следующим шагом были поверхности, являющиеся графиками функций, представимых разностью выпуклых, так называемые
ПРВ функции. В западной литературе их называют DC функциями.

 7 
Дадим определение выпуклой функции.
Определение 1.1.1 Функция ϕ(·) называется выпуклой в области
определения D, если для любых точек x1, x2 ∈D и для любых α1, α2 ≥
0 таких, что α1 + α2 = 1 , выполняется неравенство
ϕ(α1x1 + α2x2) ≤α1ϕ(x1) + α2ϕ(x2).
Из определения ясно, что область определения D выпуклой функции
−выпуклое множество, так как вместе с точками x1, x2 ∈D множеству
D принадлежит также точка α1x1 + α2x2, где α1 + α2 = 1, α1, α2 ≥0.
По определению функция f(·) называется представимой в виде разности выпуклых (ПРВ функция), если верно представление
f(·) = f1(·) −f2(·),
где f1(·), f2(·)−выпуклые функции.
К проблеме о представимости функции в виде разности выпуклых
автор пришел, решая задачу, когда функция является квазидифференцируемой [6]. Первый результат на эту тему автор получил будучи
аспирантом Ленинградского государственного университета. Этот результат вошел в кандидатскую диссертацию автора [12]. Интересно, но
повторение этого же результата (конечно, без ссылки) автор нашел в
сборнике тезисов международной конференции "Конструктивный анализ и смежные вопросы", посвященный памяти профессора В.Ф. Демьянова, проходившей 22-27 мая 2017 года в Санкт-Петербурге [21].
Оптимизация функций многих переменных начала свое развитие с
выпуклых функций. Сюда относится линейное программирование [8].
Также, как и в геометрии, следующим шагом была теория оптимизации
функций, представимых разностью выпуклых функций, так называемых квазидифференцируемых функций [7].

 8 
Ясно, что ПРВ функция обязательно дифференцируема по направлениям, так как дифференцируемы по направлениям выпуклые функции [15].
Введем функцию h(·) : Rn →R :
h(g) = f ′(x0, g) = ∂f(x0)
∂g
= lim α→+0(f(x0 + αg) −f(x0))/α,
которая есть производная по направлению g ∈Rn функции f(·) в точке
x0. Доказывается [15], что h(·) есть положительно однородная (п.о.)
функция первого порядка, т.е.
h(λg) = λh(g)
для любого λ > 0.
По определению [6] функция f(·) называется квазидифференцируемой (КВД) в точке x0 , если
h(g) = h1(g) −h2(g),
где h1(·), h2(·)−выпуклые функции.
Согласно двойственности Минковского [7] любой выпуклой конечной п.о. функции соответствует выпуклое компактное множество в Rn,
называемое субдифференциалом этой функции в нуле. Обозначим субдифференциалы функций h1(·), h2(·) в нуле через ∂h1(0), ∂h2(0) соответственно. Тогда верны равенства [7]
h1(g) = max
v∈∂h1(0)(v, g),
h2(g) = max
v∈∂h2(0)(v, g) ∀g ∈Rn.
Здесь в правой части равенств стоят скалярные произведения векторов v и g: (v, g). Таким образом, вопрос о квазидифференцируемости
функции f(·) в точке x0 сводится к вопросу о представимости функции
h(·) в виде разности выпуклых п.о. функций.
Это была как раз та первая задача, за которую наряду с другими
задачами в других разделах математики взялся совсем еще молодой ав

 9 
тор статьи. Были получены необходимые и достаточные условия представимости произвольной липшицевой п.о. первой степени функции от
двух переменных в виде разности выпуклых. Результат на данную тему
вошел в диссертацию, защищенную автором [12].
Напомним о результатах на тему о представлении функции в виде разности выпуклых, известных автору, когда он был аспирантом и
решал поставленную задачу.
Необходимые и достаточные условия представимости функции одной переменной в виде разности выпуклых, т.е. условия. когда функция
является ПРВ функцией, хорошо известны. Эти условия могут быть
записаны в следующем виде.
Пусть x →f(x) : [a, b] →R - произвольная липшицевая функция.
Известно, что множество Nf, где функция f(·) дифференцируемая,
есть множество полной меры на [a,b]. Для того, чтобы функция f(·)
была представима в виде разности выпуклых функций, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
∨(f ′; a, b) < ∞,
где производные вычисляются там, где они существуют. Символ ∨
означает вариацию функции f ′ на отрезке [a,b].
В статье [2] А.Д.Александров задает вопрос о представимости функции в виде разности выпуклых, если она является таковой для любой
прямой в области определения. Ответ на этот вопрос отрицательный
(см. [23], [24] ).
Согласно
терминологии
А.Д.Александрова
под
многогранной
кусочно-линейной функцией с конечным числом граней, определенной
в R2, будем понимать такую функцию, график которой состоит из конечного числа частей плоскостей, которые называются гранями.
Введем понятие двугранного угла. Будем понимать под двугранным
углом функцию, график которой состоит из полуплоскостей с общей