Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), 2013, № 6 (спецвып.)
Проблема Гольдбаха
Покупка
Тематика:
Горная промышленность. Металлургия
Издательство:
Горная книга
Год издания: 2013
Кол-во страниц: 26
Дополнительно
Вид издания:
Журнал
Артикул: 701252.0001.99
Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (1.1) позволяет
на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для
интервала (0; # ) k p в первое множество (обозначаемое { } #
pk N ) входят простые числа, образующие праймориал #
k p и числа, кратные множителям
праймориала. Во второе множество (обозначаемое {N } ϕ ) входят числа
взаимно простые с праймориалом #
k p . Сюда входят: единица, все простые числа i p интервала ( ; # ) k k p p и составные числа i q , являющиеся всевозможными произведениями простых чисел i p и удовлетворяющими
условию (0; # ) i k q - p . Количество элементов множества {N } ϕ определяется
функцией Эйлера и равно ( # ) k ϕ p .
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА В.А. Горбунов
УДК Г 67 511 Г 67 Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253-03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 29.124—94). Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека № 77.99.60.953.Д.014367.12.12 Горбунов В.А. Проблема Гольдбаха // Горный информационно-аналити ческий бюллетень (научно-технический журнал). Отдельная статья (специальный выпуск). — 2013. — № 6. — 28 с.— М.: издательство «Горная книга» ISSN 0236-1493 Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (1.1) позволяет на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для интервала ( ) # 0; kp в первое множество (обозначаемое { } # k p N ) входят про стые числа, образующие праймориал # kp и числа, кратные множителям праймориала. Во второе множество (обозначаемое { } Nϕ ) входят числа взаимно простые с праймориалом # kp . Сюда входят: единица, все простые числа ip интервала ( ) # ; k k p p и составные числа iq , являющиеся все возможными произведениями простых чисел ip и удовлетворяющими условию ( ) # 0; i k q p ∈ . Количество элементов множества { } Nϕ определяется функцией Эйлера и равно ( ) # kp ϕ . УДК 511 © В.А. Горбунов, 2013 © Издательство «Горная книга», 2013 ISSN 0236-1493 © Дизайн книги. Издательство «Горная книга», 2013
1. ВВЕДЕНИЕ Теория простых чисел начинается с определения и доказательства бесконечности множества простых чисел. Самое первое доказательство принадлежит Эвклиду и для наших целей оно самое подходящее. Произведение первых k простых чисел обозначают # kp и называют праймориалом, # 2 3 5 ... k k p p = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Тогда # 1 kp + не имеет простых делителей меньших или равных kp . Следовательно, оно либо простое ( ) k p p > , либо составное, у которого множители простые числа большие kp . То же самое можно сказать про число # 1 kp − , (оно либо простое, либо составное с делителями большими kp ). Можно пойти дальше. Так как доказано, что существуют простые числа i k p p > , то выражения # k i p p ± также либо простые числа, либо составные с делителями большими kp . Например, # 7 1 209 11 19 − = = ⋅ , # 29 41 6469693189 − = — простое число. Используя закон распределения простых чисел, имеем представление о количестве простых чисел на интервалах (0, 100), (0, 1000), (0, 10000) и т.д., [1]. Однако, как расположены простые числа внутри этих интервалов закон ответа не дает. С другой стороны, из примеров видно, что с помощью небольших простых чисел через праймориалы # kp можно получать сколь угодно большие простые числа и знать их расположение, (простое число 6469693189 расположено на 41 левее праймориала # 29 ). Такие рассуждения приводят к мысли рассматривать простые числа не в интервалах ограниченных степенями 10n , а в интервалах, границами которых являются праймориальные числа. Введем в рассмотрение бесконечную систему праймориальных последовательностей: #3 , # 2 3 ⋅ , # 3 3 ⋅ , # 4 3 ⋅ ; #5 , # 2 5 ⋅ , # 3 5 ⋅ , # 4 5 ⋅ , # 5 5 ⋅ , # 6 5 ⋅ ; # 7 , # 2 7 ⋅ , …………………, # 10 7 ⋅ ; ……………………………………… # kp , # 2 kp ⋅ , …………( ) # 1 1 k k p p + − ⋅ ; (1.1)
и посмотрим расположение простых чисел относительно членов этих последовательностей. Простые числа, расположенные относительно членов первой последовательности можно записать в виде #3 1 m⋅ ∓ , m = 1, 2, 3, 4: #3 1 5 − = , #3 1 7 + = , # 2 3 1 11 ⋅ − = , # 2 3 1 13 ⋅ + = , # 3 3 1 17 ⋅ − = , # 3 3 1 19 ⋅ + = , # 4 3 1 23 ⋅ − = . Среди простых чисел, расположенных относительно членов второй и других последовательностей системы (1.1), кроме простых чисел вида # 1 k m p ⋅ ∓ есть и другие простые числа, которые могут быть записаны также с использованием членов праймориальных последовательностей. В интервале ( ) # 0, kp целые числа разобьем на два класса. В первый класс включим простые числа, образующие праймориал # kp , ( ) 2,3,5,..., kp и числа кратные множителям этого праймориала. Обозначим это множество через # k p N . Например, # 5 N : {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}. Множество чисел второго класса обозначим через Nϕ . В нашем примере Nϕ : {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}. Числа второго класса взаимно простые с праймориалом # kp и их количество определяется функцией Эйлера ( ) # kp ϕ . Обратим внимание на важный момент: все простые числа интервала ( ) # 0, kp , кроме образующих праймориал # kp принадле жат множеству Nϕ . Во множество Nϕ кроме простых чисел входит 1 и составные числа iq , являющиеся всевозможными произведениями простых чисел ( ) # , i k k p p p ∈ , ( ) # , 1 i k q p = . Отметим два важных обстоятельства: 1). Числа кратные множителям праймориала # kp , (включая и простые числа, образующие праймориал) расположены симметрично относительно середины интервала ( ) ( ) # 0,2 0, k n p → , # / 2 k n p = . В нашем примере, ( # #5 kp = ), это будут пары: {2, 28}, {3, 27}, {4, 26}, {5, 25}, {6, 24}, {8, 22}, {9, 21}, {10, 20}, {12, 18}, {14, 16}.
2). Аналогично, числа множества Nϕ также расположены симметрично относительно # / 2 k n p = . В нашем примере это будут пары: {1, 29}, {7, 23}, {11, 19} и {13, 17}. Последнее свойство симметрии расположения чисел множества Nϕ является определяющим при изучении рас пределения простых чисел. В [2] такой подход использовался для генерирования простых чисел любой величины, (приведены примеры простых чисел вида 2 1 mp + с количеством знаков 304). Для гипотезы Гольдбаха, (в дальнейшем ГГ.), такой подход позволяет обнаружить закономерности, о которых ранее не было известно. В формулировке ГГ. «любое четное число большее 4 может быть разложено в сумму двух простых чисел» вопрос этих закономерностей вообще не затрагивается. Например, почему четное число # 2 13 30030 n = = имеет 900 вариантов разложения на сумму двух простых чисел, а рядом стоящее четное число # 2 13 2 30028 n = − = имеет только 231 вариантов разложения в сумму двух простых чисел. В чем причина такого различия? И вообще, фраза «может быть разложено в сумму двух простых чисел» имеет смысл для небольших четных чисел. Если, например, четное число # 2 167 n = , (66 знаков), имеет количество вариантов разложения в сумму двух простых чисел, определяемое числом 61 ~ 10 , то эта фраза звучит также как, скажем «в море можно набрать стакан воды». Для четных чисел 6 2 634 n ≤ ≤ на рис.1 приведено характерное поведение функции ( ) 2 K n ∗ — числа разбиений четного чис ла 2n на сумму двух простых чисел. Из рис.1 видно, что функция ( ) 2 K n ∗ является возрастающей, (в среднем), но не является монотонно возрастающей. Экспериментальные наблюдения с различными праймориалами вскрывают эту причину. Разложение праймориальных чисел # k m p ⋅ систе мы (1.1) определяется множеством простых чисел # 0; 2 k i m p p ⎛ ⎞ ⋅ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , при которых числа вида # k i m p p ⋅ − оказываются простыми. Тогда,
K(2n) 0 10 20 30 40 50 0 100 200 300 400 500 600 700 K(2n) Рис. 1. Характерное поведение функции ( ) 2 K n ∗ — числа разбиений четного числа 2n на сумму двух простых чисел, (точечный график, соединенный прямыми отрезками) ( ) ( ) # # 2 k i k i n m p p m p p = ⋅ = + ⋅ − . Для разложения четных чисел вида # 2 k n m p h = ⋅ ± , где h — четное число, на интервале # 0; 2 k m p ⎛ ⎞ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ тре буется наличие пар простых чисел ( ) { } ; i i p p h − и ( ) { } ; i i p p h + , при которых числа # k i m p p ⋅ − , ( ) 0 h = , оказываются простыми. Оче видно, что таких пар всегда меньше, чем простых чисел ip , при которых числа вида # k i m p p ⋅ − оказываются простыми. Гипотеза Гольдбаха будет опровергнута, если для какого, то h таких пар не обнаружится вообще. К этому важному моменту мы вернемся позже. Самым неожиданным, пожалуй, оказывается то, что составные числа множества Nϕ неявным образом принимают уча стие в разложении четных чисел на сумму двух простых чисел. Так, в приведенном ранее четном числе # 2 13 2 30028 n = − = количество вариантов разложения равно 231. Из них 130 вариантов генерируются парами простых чисел (близнецов), и 101 вариантов разложения генерируются смешанными парами ( ) ; i i p q для чисел вида # 2 k n m p h = ⋅ − и ( ) ; i i q p для четных чисел вида ( ) # # 2 k i k i n m p h p m p q = ⋅ + = + ⋅ − . Чем больше праймориал # kp , тем
больше доля составных чисел iq на множестве Nϕ и, следова тельно, больше смешанных пар для любого четного h . Таким образом, в разложении четных чисел # 2 k n m p h = ⋅ ± на сумму двух простых чисел принимают участие все элементы множества # ; 2 k k m p N p ϕ ⎛ ⎞ ⋅ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧЛЕНОВ ПРАЙМОРИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СИСТЕМЫ (1.1) НА СУММУ ДВУХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ Рассмотрим произвольную последовательность системы (1.1): # k m p ⋅ , ( ) 1 1,2,..., 1 k m p + = − . Начнем с первого члена # kp . На интервале ( ) # 0; kp простые числа, (кроме образующих праймориал), принадлежат множеству { } Nϕ . Разобьем интервал ( ) # 0; kp точкой # 2 kp n = на два интервала # 0; 2 kp ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и # # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Таким образом, точка # 2 kp n = является серединой интервала ( ) # 0; kp . Элементы множества { } Nϕ расположены симметрично отно сительно # 2 kp n = , а простые числа # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ являются под множеством множества { } Nϕ этого интервала. Так что, если на множестве { } Nϕ интервала # # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ найдутся простые числа, симметрично расположенные относительно n с простыми числа ми # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то сумма этих простых чисел будет равна # 2 k n p = .
Гипотезе Гольдбаха можно дать эквивалентную геометрическую формулировку: для любого натурального ( ) , 3 n n ≥ най дется, по крайней мере, одна пара простых чисел, симметрично расположенных относительно n , (для 3 n = эта пара простых чисел сливается в одну точку). Возвращаясь к случаю # 2 k n p = докажем «ГГ» и, более того, дадим количественную оценку числа разбиений { } # k K p ∗ праймо риала # kp на сумму двух простых чисел. Пусть k l p + наибольшее простое число удовлетворяющее условию # k l k p p + ≤ , (2.1) Тогда множество простых чисел { } 1 2 , ,..., k k k l p p p + + + будут наименьшими делителями составных чисел { } iq Nϕ ∈ из интерва ла # # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Для проблемы ГГ представляют интерес элементы множест ва { } Nϕ из интервала # # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , расположенные симметрично от носительно # 2 kp n = с простыми числами # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Очевидно, что для простого числа # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ симметрично относительно n расположен элемент # i k i p p p ′ = − . Если ip′ не делится ни на одно из простых чисел, удовлетворяющих условию (2.1), то ip′ — простое число и, следовательно, ( ) # # i i i k i k p p p p p p ′ + = + − = . В дальнейшем поступим следующим образом. Найдем все составные числа множества { } Nϕ из интервала # # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ симмет
рично (относительно n ) простым числам # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Тогда, ос тавшиеся числа вида # i k i p p p ′ = − будут простыми числами, и нет необходимости тестировать их на простоту! Составим таблицу вычетов для праймориала # kp : Таблица 2.1 jp 1 kp + 2 kp + … k l p + ( ) # mod ; k j p p 1r 2r … lr Для определения составных чисел множества { } Nϕ из интер вала # # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ будем руководствоваться следующей теоремой. Теорема 2.1. Число вида # k i p p − , где # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - простое число, будет составным, если ( ) ( ) # mod ; mod ; k j i j j p p p p r = = , (2.2) причем jp является делителем числа # i k i q p p ′ = − . Доказательство. Из условия (2.2) следует # 1 2 ; k j j i j j p p b r p p b r ⎫ = ⋅ + ⎪⎬ = ⋅ + ⎪⎭ . (2.3) Вычитая из первого равенства второе, получим ( ) # 1 2 i k i j q p p p b b ′ = − = ⋅ − , 1 2 , b b Z ∈ , 1 2 b b > . (2.4) Теорема доказана. Простые числа ip , удовлетворяющие условию (2.2) теоремы, находятся из арифметических прогрессий с первым членом 1 j a r = , (если jr — нечетное число), или 1 j j a r p = + , (в случае четного jr ). Разность прогрессии 2 j d p = . Количество арифметических прогрессий равно количеству наименьших делителей, удовлетворяющих условию (2.1).
Итак, пусть 1 kp + — наименьшее простое число, принадле жащее интервалу # ; 2 k k p p ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Число # k i p p − , где # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ — простое число, делится на 1 kp + с вероятностью 1 1 kp + . Действи тельно, ( ) # 1 1 mod ; k k p p r + = , где 1 1 1 1 k r p + ≤ ≤ − . А ( ) 1 mod ; i k i p p r + = , где 1 1 1 i k r p + ≤ ≤ − . Вычет 1r будем считать известным, а вычет ir слу чайным, поскольку простое число # ; 2 k i k p p p ⎛ ⎞ ∈⎜ ⎟ ⎝ ⎠ выбираем слу чайно (любое). Отсюда вероятность события ( ) { } 1 1 mod ; i i k A p p r + = = равна ( ) 1 1 1 i k P A p + = − . . В дальнейшем, для удобства эту вероятность будем считать равной ( ) 1 1 i k P A p + = . Для больших праймориалов это допущение будет почти незаметным. Пусть jp ( ) # ; k k p p ∈ — делитель для чисел вида # k i p p − . Ве роятность, что это число делится на jp равна ( ) 1 j j P A p = . Тогда, вероятность противоположного события равна 1 1 j j P A p − ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Обозначим через A событие: {число # k i p p − простое}. Тогда, вероятность такого события равна ( ) 1 2 1 1 1 1 1 ... 1 k k k l P A p p p + + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , (2.5) где k l p + наибольшее простое число, удовлетворяющее условию # k l k p p + ≤ . Таким образом, любое число вида # k i p p − с вероятностью ( ) P A может оказаться простым.