Неправильные распределения простых чисел

ГОРНЫЙ
ИНФОРМАЦИОННОАНАЛИТИЧЕСКИЙ
БЮЛЛЕТЕНЬ № 3
СПЕЦИАЛЬНЫЙ
ВЫПУСК 9

В.А. Горбунов

НЕПРАВИЛЬНЫЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ПРОСТЫХ
ЧИСЕЛ

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Г 67 

511
Г 67 
 
 
 
Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253-03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 
29.124—94). Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной 
службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия
человека № 77.99.60.953.Д.014367.12.14 
 
 
 
Горбунов В.А. 

Неправильные распределения простых чисел. Отдельная ста
тья: Горный информационно-аналитический бюллетень (научнотехнический журнал). — 2015. — № 3 (специальный выпуск 9). —
32 с. — М.: Издательство «Горная книга» 
ISSN 0236-1493 

Экспериментальные наблюдения за распределением простых чисел, имеющих сотни знаков, на интервалах одинаковой длины указывают на отсутствие какой либо закономерности содержания простых чисел на этих интервалах. Асимптотический закон распределения простых чисел носит интегральный характер и 
не может учитывать особенности локального значения. Подход, используемый в 
данной статье, позволяет выяснить причины такого «странного» поведения в распределении простых чисел. Разбиение числовой оси на интервалы, границами которых являются члены праймориальных последовательностей системы (2.1) позволяет на этих интервалах натуральные числа разбить на два множества. Для ин
тервала (
)
k
p#
0;
 в первое множество (обозначаемое {
}

k
p
N
# ) входят простые числа, 

образующие праймориал 
k
p#  и числа, кратные множителям праймориала. Во вто
рое множество (обозначаемое {
}
Nϕ ) входят числа взаимно простые с праймориа
лом 
k
p# . Сюда входят: единица, все простые числа 
ip интервала (
)
k
k
p
p#
;
 и состав
ные числа 
iq , являющиеся всевозможными произведениями простых чисел 
ip  и 

удовлетворяющими условию 
(
)
i
k
q
p#
0;
∈
. Количество элементов множества {
}
Nϕ

определяется функцией Эйлера и равно (
)
k
p#
ϕ
.  

УДК 511

©  В.А. Горбунов, 2015 
©  Издательство «Горная книга», 2015 
ISSN 0236-1493 

©  Дизайн книги. Издательство  
«Горная книга», 2015 

 
 

1. ВВЕДЕНИЕ 
 
Основной отличительной чертой множества простых чисел 
является нерегулярность их распределения в натуральном ряде. 
Зная очередное простое число невозможно без предварительных 
исследований указать следующее простое число. Промежуток 
между двумя соседними простыми числами определяется только 
после тестирования нечетных чисел, идущих вслед за обнаруженным простым числом. 
Другим видом неопределенности распределения простых чисел 
является количество простых чисел на интервале определенной длины. На конкретном примере продемонстрируем данную ситуацию. 
Пример 1.1. На интервале (
)

#
#
709
30000;709
30000
−
+
 рас
положено 118 простых чисел. Выпишем их: 
#
709 −
ip :{ 811, 2053, 3461, 3539, 3613, 4273, 4493, 4723, 5381,  
5741, 6091, 6329, 6997, 7577, 8209, 9341, 10211, 11171,  
11299, 12161, 13093, 13229, 13691, 13697,13999, 14303,  
14389, 14449, 14627, 15199, 15341, 15649, 15817, 15937,  
16187, 16333, 16529, 16829, 17389, 17729, 18047, 18439,  
18743, 19001, 19727, 19793, 20029, 20357, 21739, 22279,  
22717, 23747, 25031, 25867, 26183, 26701, 26759, 27431,  
27847, 29009, 29669 } – 61. 
#
709 +
ip : { 883, 1789, 3769, 3863, 4397, 4441, 4523, 4583, 4679,  
5003, 5039, 5443, 6229, 6971, 8761, 11083, 11257, 12211,  
12569, 13457, 15307, 15661, 15667, 15991, 16127, 16231,  
16831, 17107, 17477, 17491, 17657, 18541, 19207, 19739,  
20261, 20399, 20411, 20549, 21023, 21787, 22073, 23029,  
23189, 24133, 24229, 24281, 24439, 24697, 25411, 25693,  
26501, 27367, 28537, 29027, 29399, 29401, 29663 } 
- 
57. 
Развернутый вид праймориала 
#
709  такой: 

#
709 = 1380265110671180253634405030613336299264996365
62299148630585801421426104824308179499221045316393513819
21564573865712490763569228376295661814770390189505137031
69278191952771328537454016440857127805568317159302017023
31280864647759745205463868066440110910469921085096619698
60784773011026549129761870. 

Это число имеет 296 знаков. Следовательно, выписанные 
выше простые числа 
np  имеют также 296 знаков. Согласно асимптотическому закону распределения простых чисел, [1], количество простых чисел на интервале 
(
)

#
#
709
30000;709
30000
−
+
 оценивается формулой 

(
)

#
#
60000
60000
709
30000;709
30000 ~
~
89
ln
680
π
−
+
≈

np
. 
 (1.1) 

Полученное значение на 29 простых чисел меньше фактического или составляет 75% от фактического значения. 
Далее, рассмотрим интервал такой же протяженности 
60000
=
l
 и расположенный на 
1 =
l
#
167  левее предыдущего интервала. То есть, центром второго интервала является точка, изображающая число 
#
#
709
167
−
. Развернутый вид этого числа такой: 

#
#
1
709
167
=
−
=
S
 
1380265110671180253634405030613336299264996365622991
48630585801421426104824308179499221045316393513819215645
73865712490763569228376295661814770390189505137031692781
91952771328537454016440857127805568317159302017023312808
64647759735575989660706600840341007762073752327734416541
66797951133166270600. 
На интервале (
)
1
30000; 1
30000
−
+
S
S
 расположено 78 простых чисел. Вот эти числа: 
1−
i
S
p : { 613, 1373, 1649, 1877, 1999, 2063, 2351, 2579, 3697, 
3833, 5237, 5801, 5953, 8563, 8779, 9829, 10391, 11717, 12539, 
12893, 13397, 13799, 13831, 15797, 16319, 17159, 17239, 17291, 
17729, 19373, 20089, 20113, 20441, 22123, 22283, 22741, 24413, 
26249, 26683, 26987, 27611, 29443 } – 42. 
1+
i
S
p : {439, 1171, 1277, 1291, 1741, 1811, 2731, 3137, 3313, 
3559, 3793, 5131, 8059, 8111, 10099, 10513, 10903, 10993, 12161, 
12281, 12659, 12823, 15263, 15451, 16361, 17659, 19183, 22157, 
23167, 23197, 24077, 24407, 25771, 26597, 28283, 28297 } – 36. 
Так же как и в первом случае, простые числа имеют 296 знаков и ln
680
≈
np
. Тогда согласно асимптотическому закону количество простых чисел на этом интервале оценивается форму