Математическое моделирование и количественные методы исследований в менеджменте

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ
И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ 
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ
В МЕНЕДЖМЕНТЕ

Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2018

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

М.Ю. МИХАЛЕВА
И.В. ОРЛОВА

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.04.02 «Менеджмент»
(квалификация (степень) «магистр»)

УДК  519.86(075.8)
ББК 65в6я73
 
М69

Михалева М.Ю.
Математическое моделирование и количественные методы исследований в менеджменте : учеб. пособие / М.Ю. Михалева, И.В. Орлова. — М. : Вузовский учебник : ИНФРА-М, 2018. — 296 с. — (Высшее 
образование: Магистратура). — www.dx.doi.org / 10.12737 / textbook_5b03f
73021f562.03199866.

ISBN 978-5-9558-0607-5 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-013671-4 (ИНФРА-М)
Учебное пособие охватывает широкий круг вопросов, связанных с практикой применения математического моделирования в различных областях 
экономики при принятии управленческих решений в производственной 
и финансовой сферах. В книге представлены два тематических блока: «Математическое моделирование принятия решений» и «Эконометрическое 
моделирование в менеджменте». В разделе I изложены основы теоретико-игрового моделирования принятия решений, методы и модели многокритериального выбора, биномиальные модели опционов. В разделе II 
рассмотрены вопросы анализа и прогнозирования экономических показателей с помощью эконометрических моделей. Теоретические аспекты эконометрического моделирования объединены с практической реализацией 
в программе Gretl.
Соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Учебное пособие адресовано прежде всего студентам магистратуры высших учебных заведений, обучающимся по направлению «Ме неджмент». Отдельные материалы учебного пособия могут быть использованы при самостоятельном изучении математических методов 
в менеджменте, при подготовке курсовых и выпускных квалификационных работ. Пособие может быть использовано студентами любой формы 
обучения: очной, заочной, дистанционной.
УДК 519.86(075.8)
ББК 65в6я73

М69

А в т о р:
Михалева М.Ю., кандидат экономических наук, доцент Департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий Финансового университета при Правительстве Российской Федерации (введение (в соавт. с И.В. Орловой), раздел I);
Орлова И.В., кандидат экономических наук, профессор, профессор 
Департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий Финансового университета при Правительстве Российской 
Федерации (введение (в соавт. с М.Ю. Михалевой), раздел II, приложения 1 и 2)

Р е ц е н з е н т ы:
Киселева И.А., доктор экономических наук, профессор кафедры 
математических методов в экономике Российского экономического 
университета имени Г.В. Плеханова;
Росс Г.В., доктор экономических наук, доктор технических наук, 
профессор, начальник отдела Научно-исследовательского центра 
Московского технологического университета

ISBN 978-5-9558-0607-5 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-013671-4 (ИНФРА-М)

© Михалева М.Ю., 
Орлова И.В., 2018
© Вузовский учебник, 2018

Предисловие

Учебное пособие «Математическое моделирование и количе
ственные методы исследований в менеджменте» является результатом многолетнего опыта преподавания авторами дисциплин, основанных на математическом моделировании экономических процессов, в Финансовом университете при Правительстве РФ.

В учебном пособии представлены математические методы и мо
дели, которые в силу разработанности математического аппарата 
и возможности практической реализации могут широко использоваться в различных областях экономики, при принятии управленческих решений в производственной и финансовой сферах.

Главной задачей учебного пособия является обучение студентов

навыкам разработки математических моделей, не углубляясь в математические и алгоритмические тонкости расчетов.

В пособии представлены два тематических блока: «Матема ти
ческое моделирование принятия решений» и «Эконо метри ческое 
моделирование в менеджменте».

В раздел I включены главы, посвященные теоретико-игровому 

моделированию принятия решений, методам многокритериального 
выбора, а также биномиальным моделям опционов. Структура раздела привязана к базовым принципам принятия решений: равновесия интересов, многокритериальности оценивания альтернатив 
и гибкости управления. В главе 1 раздела I изложены математические модели принятия решений в условиях противоположных 
интересов (антагонистические игры), несовпадающих интересов 
(неантагонистические игры), вариативности развития событий 
(игры с природой). В главе 2 приведен обзор методов многокритериального выбора из множества альтернатив с учетом приоритетов 
критериев и предпочтений лица, принимающего решения. Глава 3, 
имеющая более специальный характер, посвящена математическим основам образования стоимости с учетом последовательности 
управленческих решений. Все теоретические рассуждения сопровождаются примерами решения задач.

Раздел II посвящен вопросам построения эконометрических мо
делей в менеджменте. Модели данного класса отражают статистические закономерности, устанавливаемые экономической наукой, 
и могут применяться как на макро-, так и на микроуровне. Целью 
их применения является количественный анализ и прогнозирование взаимосвязей показателей, описывающих экономический 

объект для подготовки и принятия обоснованных экономических 
решений.
Большая часть материалов раздела II посвящена моделям множественной линейной регрессии. Рассматриваются вопросы применения эконометрических моделей на практике. Приводятся 
статистики и тесты для оценки качества регрессионных моделей. 
Обсуждаются причины и последствия гетероскедастичности и автокорреляции, тесты на их обнаружение, методы корректировки. 
Большое внимание уделяется методам выявления и устранения 
мультиколлинеарности. Рассматриваются вопросы моделирования влияния качественных признаков на эндогенную переменную 
регрессионной модели. Приводятся способы включения фиктивных переменных (используемых для формализации качественных 
признаков) в спецификацию модели. Отдельные главы посвящены 
нелинейной регрессии и моделям с дискретными зависимыми переменными.
В учебном пособии теоретические аспекты эконометрического 
моделирования объединены с практической реализацией в программной среде Gretl, являющейся бесплатной альтернативой специализированных эконометрических пакетов.
В результате освоения материала, изложенного в данном учебном пособии, студенты будут:
знать
— экономико-математические основы построения прогнозов 
и поиска оптимальных решений;
— методы оценки эффективности управленческих решений 
в условиях неопределенности и риска;
— основные принципы работы эконометрических пакетов;
уметь
— применять математические методы в профессиональной деятельности;
— оценивать эффективность управленческих решений в условиях неопределенности и риска;
— работать с эконометрическими пакетами;
владеть
— навыками построения экономико-математических моделей для 
решения задач прогнозирования и поиска оптимальных решений;
— навыками разработки экономико-математических моделей 
для поиска оптимальных решений в условиях неопределенности 
и риска;
— навыками сбора данных в глобальной сети и их первичной 
обработки для проведения эконометрического исследования.

Учебное пособие по дисциплине «Математическое моделирова
ние и количественные методы исследований в менеджменте» предназначено прежде всего для студентов магистратуры, обучающихся 
по направлению 38.04.02 «Менеджмент».

Отдельные материалы учебного пособия могут быть использо
ваны при самостоятельном изучении математических методов в менеджменте, при подготовке курсовых и выпускных квалификационных работ. Пособие может быть использовано студентами любой 
формы обучения: очной, заочной, дистанционной.

Авторы с благодарностью примут от читателей отзывы и советы, 

которые они просят направлять по адресу math.methods@mail.ru.

Раздел I 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 

ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Глава 1

ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ 

ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Теория игр — это раздел прикладной математики, предметом 

которого является изучение математических моделей принятия 
оптимальных решений в условиях конфликта интересов. В теории 
игр осуществляются поиск и разработка принципов, в соответствии с которыми поведение участников конфликта следует считать оптимальным, и выяснение реализуемости этих принципов. 
Представление об оптимальности в теории игр связано с понятием 
равновесия. Равновесием в игре называется ситуация, в нарушении 
которой не заинтересован ни один из игроков.

Теоретико-игровое моделирование принятия решений занима
ется построением математических моделей конфликта интересов 
с целью его дальнейшего изучения и обоснованного выбора наилучшей стратегии его разрешения. Моделью в математике называют математическое описание функций, отображающих существенные свойства объекта моделирования.

Математическую модель конфликта интересов в теории игр на
зывают игрой. Подразумевается, что в конфликте принимают участие различные стороны, называемые множествами игроков и наделенные несовпадающими интересами. При моделировании конфликтов выделяют три основных составляющих: заинтересованные 
стороны (игроки), возможные действия (стратегии) этих сторон, 
интересы сторон.

Для игры характерно:
1) наличие нескольких (два или более) участников;
2) неопределенность поведения участников, связанная с нали
чием у каждого из них нескольких (двух и более) вариантов поведения;

3) несовпадение интересов игроков;

4) взаимообусловленность поведения игроков (результат, полу
чаемый каждым из них, зависит от действий других участников);

5) наличие правил поведения, известных всем участникам.
Решение игры связано с нахождением оптимальной стратегии 

игрока, т.е. такой стратегии, которая наилучшим образом реализует 
цели игрока. Решить игру — значит, предложить наилучший вариант поведения для каждого и определить, какой выигрыш каждый 
игрок в этом случае получит.

В теоретико-игровой модели в качестве игроков могут выступать: 

одушевленные или неодушевленные объекты, отдельные личности, 
компании, бизнес-группы, государства, социальные группы, коалиции государств и т.п. Однако игроком признается лишь активный 
участник конфликта, т.е. такой, возможные действия которого учитываются другими игроками при принятии собственных решений.

Решения, принимаемые игроками, и соответствующие этим ре
шениям одновременные или последовательные действия называют 
стратегиями. Различают чистые и смешанные стратегии. Стратегии 
называются чистыми, если каждый игрок выбирает одну из них определенным, а не случайным образом. Случайный выбор стратегии 
из множества чистых стратегий называется смешанной стратегией.

1.1. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ

Игра двух игроков с противоположными интересами называется 

антагонистической.

Пусть M = {А1, А2, …, Аm} и N = {B1, B2, …, Bn} — множества чистых 

стратегий соответственно игроков А и В в антагонистической игре.

Из выигрышей aij игрока А сформируем матрицу выигрышей 

(платежную матрицу игры):

A

a
a
a
a
a
a

a
a
a

n

n

m
m
mn

=



















11
12
1

21
22
2

1
2









.  
(1.1)

В антагонистической игре выигрыш игрока A равен проигрышу 

игрока B, поэтому

 
bji = FB(Bj, Ai) = –FA(Ai, Bj) = –aij; 
(1.2)

i = 1, ,
m
j = 1, ,n

где FA(Ai, Bj) и FB(Bj, Ai) — выигрыш-функции игроков, определенные на декартовом произведении M × N.

Матрица проигрышей игрока B:

B

b
b
b
b
b
b

b
b
b

a
a
m

m

n
n
nm

=



















=

−
−
11
12
1

21
22
2

1
2

11
21









−

−
−
−

−
−
−



















= −

a
a
a
a

a
a
a

A

m

m

n
n
mn

T

1

12
22
2

1
2








,  
(1.3)

где T — знак транспонирования матрицы.

Пример 1.1
Пусть у игроков A и B имеется по четыре стратегии. Выигрыш
функция FA игрока A задана матрицей, в которой строки соответствуют его стратегиям, а столбцы — стратегиям игрока B.

A =

−
−

−
−



















2
1
3
0

4
1
2
5

0
3
1
2

2
1
4
3

.

Например, элемент матрицы a21 = 4 отражает выигрыш игрока A

в ситуации (A2, B1), когда им выбрана стратегия A2, а игроком B — 
стратегия B1.

Соответственно, выигрыш-функция игрока B может быть задана 

матрицей:

B =

−
−
−

−
−
−
−
−
−
−



















2
4
0
2

1
1
3
1

3
2
1
4

0
5
2
3

.

Элемент b12 = –4 матрицы B — выигрыш игрока B в ситуации (B1, A2).
Нижней ценой игры, или максимином, в чистых стратегиях назы
вается элемент платежной матрицы (1.1):

α =

≤ ≤
≤ ≤
maxmin
.
1
1
i m
j n
ijа  
(1.4)

Число α показывает, какой минимальный выигрыш может га
рантировать себе первый игрок, применяя свои чистые стратегии 
при всевозможных действиях второго игрока. Стратегия Ak, обеспечивающая игроку A выигрыш α, называется максиминной.

Минимаксом, или верхней ценой игры, в чистых стратегиях назы
вается элемент платежной матрицы (1.1):

β =

≤ ≤
≤ ≤
minmax
.
1
1
j n
i m
ijа
 
(1.5)

Число  показывает, какой максимальный выигрыш гарантирован первому игроку при условии, что второй игрок ведет себя 
рационально, а именно выбирает такую стратегию, которая обеспечивает ему минимальный из гарантированных первым игроком 
проигрышей. Стратегия Bl, соответствующая верхней цене игры , 
называется минимаксной.
Принцип осторожности, диктующий игрокам выбор максиминной и минимаксной стратегий, в теории игр называют принципом 
минимакса.

Вернемся к примеру 1.1.
Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

B1
B2
B3
B4
min
1
4
≤ ≤
j
ij
а

A1
2
1
–3
0
–3

A2
4
–1
2
5
–1

A3
0
3
1
2
0

A4
2
1
–4
–3
–4

max
1
4
≤ ≤
i
ij
а
4
3
2
5

α =
−
−
−
{
} =
≤ ≤
max
,
, ,
.
1
4
3
1 0
4
0
i

β =
{
} =
≤ ≤
min
, , ,
.
1
4 4 3 2 5
2
j

Таким образом, минимальный гарантированный выигрыш первого игрока равен 0. Максимальный выигрыш, на который может 
рассчитывать первый игрок, равен 2. Соответственно и второй игрок, для которого элементы матрицы A суть проигрыши, понимает, 
что максимальная потеря, которую он понесет в этой игре, равна 2; 
минимальная — 0.
Утверждение. Для любой антагонистической игры справедливо 
соотношение

 
α
β
≤ . 
(1.6)

Действительно, из определения минимума и максимума следует:

 
min
max
1
1
≤ ≤
≤ ≤
≤
≤
j n
ij
ij
i m
ij
а
a
a  
(1.7)

или

 
min
max
, .
1
1
≤ ≤
≤ ≤
≤
∀
j n
ij
i m
ij
a
a
i j  
  (1.8)

Так как данное соотношение справедливо ∀i j
, ,  следовательно 

утверждение (1.6) справедливо:

α
β
=
≤
=

≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
maxmin
minmax
.
1
1
1
1
i m
j n
ij
j n
i m
ij
a
a
 
(1.9)

Рассмотрим более подробно частный случай неравенства (1.6):

 
α = β.  
(1.10)

Стратегии Ai∗  и B j∗,  обеспечивающие соответственно игроку A

и игроку B результат игры γ = α = β, уравновешивают интересы игроков в том смысле, что ни один из них уже не может улучшить 
свою ситуацию. Если равенство (1.10) выполняется, говорят, что 
игра имеет седловую точку в чистых стратегиях.

В примере 1.1 условие равновесия (1.10) не выполняется, следо
вательно, данная игра не имеет решения в чистых стратегиях.

Рассмотрим другой пример.

Пример 1.2
Две конкурирующие фирмы заинтересованы в освоении двух 

рынков.

Если фирмы встречаются на первом рынке, в итоге конку
рентной борьбы с фирмой B побеждает фирма А, теряя при этом 
второй рынок. Выигрыш победителя на первом рынке составляет 
10 единиц. В этой ситуации выигрыш фирмы B в итоге ее недолгого 
пребывания на первом рынке будет равен 3 единицам.

Если фирмы встречаются на втором рынке, то побеждает вторая 

фирма, игрок B, однако первый рынок она завоевать уже не сможет. Выигрыш от завоевания второго рынка равен 8 единицам. При 
этом и фирма A успеет получить на втором рынке относительно небольшой выигрыш, равный 2 единицам.

Если фирмы не встречаются на рынке, первом или втором, 

каждой их них удается обосноваться на выбранном рынке и получить соответствующий выигрыш. Любая из фирм способна занять прочные позиции только на одном рынке, другой рынок она 
теряет.

Введем следующие обозначения:
A1 — выбор фирмой А первого рынка для завоевания;
A2 — выбор фирмой А второго рынка для завоевания;
B1 — выбор фирмой B первого рынка для завоевания;
B2 — выбор фирмой B второго рынка для завоевания.