Преподаватель XXI век, 2011, № 2. Часть 2

СОДЕРЖАНИЕ

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

НАУКА, ОБРАЗОВАНИЕ, ТЕХНОЛОГИИ

Инновационные процессы в образовании
Горбунова Т. В. Дифференцированная деятельность студентов 
как системообразующий фактор управления качеством 
профессионального обучения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Беспалова В. В., Муравьева Г. Е. Разработка технологии 
проектирования образовательного процесса в вузе 
на основе компетентностного подхода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
Беловолова Е. А., Гончар Е. А. Профессиональные компетенции 
будущих учителей в области географического образования: 
сущность, специфика, технология формирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

Актуальные проблемы образования
Ходжаниязов С. У., Шихова Х. И. Роль международного 
сотрудничества в совершенствовании педагогических условий 
деятельности информационно-ресурсного центра университета  . . . . . . . . . . . . .29
Коньков Е. В. Использование дистанционных образовательных 
технологий для реализации личностно-ориентированного обучения 
в соответствии со стандартами второго поколения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Соловьева Н. М. Дистанционные образовательные технологии 
в организации педагогической практики студентов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Сидорова Е. Э. Психолого-педагогические основы 
самообразовательной деятельности студентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
Попова Л. В. Педагогическое обеспечение процесса формирования 
готовности студентов к реализации функций старшего воспитателя . . . . . . . . . .56

Содержание и технологии образования
Григорьева Л. И. Система экологического образования и воспитания 
в контексте «модели обратных связей» А. С. Саввинова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
Ядрихинская Л. С. Воспитание культуры межнационального общения 
в образовательной практике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
Кузьменко Г. А. Мотивационно-ценностный компонент в структуре 
проявления и развития интеллектуальных способностей 
подростков-спортсменов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Ишбулдина И. В., Конеева Е. В. Исследование отношения арбитров 
по баскетболу к профессиональной деятельности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
Буяндэлгэр Одгэрэл. Взаимосвязь характерологических особенностей 
и эффективности учебной деятельности монгольских студентов  . . . . . . . . . . . . .94
Чулуунбат Должинсурэн. Монгольские традиции 
физического воспитания  детей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Шэнь Фанфан. Проблема методов в музыкально-исполнительском 
обучении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Безбородова Л. А., Просандеева И. В. Театральное искусство 
как средство эстетического воспитания младших школьников . . . . . . . . . . . . . .111

Образование и художественное творчество
Голуб А. А. Интерактивное обучение и творчество 
в художественной педагогике  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
Баранчеева Л. А. Некоторые особенности подготовки студентов 
художественно-графического факультета по художественной 
обработке металла  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

2/ 2011

194

Преподаватель XXВЕК

СОДЕРЖАНИЕ

Блохина Н. В. Формирование колористического видения у учащихся 
детской художественной школы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

Коррекционная педагогика
Речицкий И. В., Файтарон М. Динамика процесса активизации 
слуховой функции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
Силантьева С. Н. Формирование структурно-семантического анализа 
предложений у старших дошкольников с общим недоразвитием речи. . . . . . . .145
Пятибратова Н. В. Полисенсорная комбинаторная методика обучения 
чтению старших дошкольников с общим недоразвитием речи  . . . . . . . . . . . . . .150

ФИЛОСОФИЯ И ИСТОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Качалов Д. В. Рефлексивно-педагогические приемы как средство 
формирования педагогической культуры будущих учителей . . . . . . . . . . . . . . . .155
Готовцева Н. Г., Николаев Е. В. Особенности ценностных ориентаций 
будущих педагогов в вузе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Теряева О. А. Выбор идеала и предпочтения современной учащейся 
молодежью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166

ЯЗЫК И ОБРАЗОВАНИЕ

Ларионова Д. Г. Номинативное поле концепта «родина» 
как модель организации лексики в учебных целях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
Болдова T. A. Организация учебной деятельности студентов языковых 
вузов, опосредованной использованием интернет-технологий  . . . . . . . . . . . . . .176

ПСИХОЛОГИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ

Морозюк С. Н., Смолева Т. О. Детско-родительский тренинг 
как интегративный метод преодоления психологического 
неблагополучия ребенка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Физико-математические науки
Безручко А. С. История возникновения и развития метода изоклин 
и метода Эйлера для решения дифференциальных уравнений  . . . . . . . . . . . . .199
Муслимов Ю. Ш., Рустанов А. Р. Тождества на тензор 
конгармонической кривизны косимплектических многообразий. . . . . . . . . . . . .206

Географические науки
Аль Обайди Халид Хасун Джасим. Проект Юго-Восточной Анатолии 
и перспективы экономического развития Турции  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

Философские науки
Зима В. Н. Некоторые аспекты представления вечности в античной 
и раннесредневековой философии в контексте современных проблем 
онтологии и философии науки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

Исторические науки
Горохова А. В. Роль дивинации в общественно-политической жизни 
Греции (VIII–IV вв. до н.э.) и Рима (V в. до н.э.)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
Лысенкова А. А. Духовная культура населения европейского Боспора 
I–III вв. по данным росписи каменных склепов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

СОДЕРЖАНИЕ

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

Баутина Н. П. Правительство герцога Веллингтона 
и Июльская революция 1830 г. во Франции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
Ибятов Ф. М. Этнологические аспекты грузино-осетинского конфликта  . . . . .248
Стерин Е. Ф. Израильские арабы на выборах 1999 г. в преддверии 
второй палестинской Интифады «Аль-Акса» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255
Березкина А. В. Саудовско-американское сотрудничество 
в военной сфере  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262
Горохов С. А. Роль индуизма в общественно-политической жизни Индии. . . .266
Матвиенко В. В. Положение концернов в социально-экономической 
жизни современной Индии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273

Филологические науки
Позднякова А. А. Проблемы языка в аспекте глобализации . . . . . . . . . . . . . . .277
Дурягина И. А. К вопросу о методах лингвистической географии 
в истории французского языка (на материале нормандских рукописей)  . . . . . .284
Горбунов М. В. На пересечении языка и культуры: имена собственные. . . . . .291
Казюлина М. А. Репрезентация лексемы Power в политическом 
медиадискурсе (на примере издания The Economist)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
Петров А. Н. Лексические подсистемы игровых сообществ как социолекты . .299
Сомова А. Е. Функционирование обращения в жанре спортивного 
телерепортажа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305
Первезенцева О. А. Задачи исследования восприятия речи 
на современном этапе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310
Парастаев Г. Н. Реалия «великая депрессия» и ее репрезентация 
в речах Барака Обамы (на примере публичных выступлений 
президента США). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318
Киреева Н. В. Трансформация жанра автобиографии американскими 
писателями-постмодернистами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

Психологические науки
Елисеева О. О. Профессиональный имидж психолога-консультанта. . . . . . . . .331

Культурология
Баженов В. М. Технологическая культура как исторический тип культуры. . . .336

Искусствоведение
Сергеева Д. В. Антиномичность в истории музыки: ранние проявления. . . . . .341
Цориева И. Т. Тенденции развития изобразительного искусства 
Северной Осетии в социально-политическом контексте середины 
1940-х – 1950-х гг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350

Социологические науки
Васильев И. А. Совершенствование ключевых компетенций учителей 
как фактор эффективности учебно-воспитательного процесса 
(социологический аспект). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357
Сидорова А. Е. Социально-управленческие механизмы формирования 
социальной стабильности современного общества  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366
Яковлева М. А. Местное самоуправление как институт 
гражданского общества  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372

Сведения об авторах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376

2/ 2011

196

Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

SCIENCE, EDUCATION AND TECHNIQUES

Innovational Processes in Education
Gorbunova T. V. Differentiated Students’ Learning as a System-Forming 
Factor of Professional Training Quality Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Bespalova V. V., Muravyeva G. E. Developing University Educational 
Process Design Technology on the Basis of the Competency Approach. . . . . . . . . . .16
Belovolova Е. А., Gonchar Е. А. Future Geography Teachers’ Professional 
Competencies: Essence, Specific Features, Development Technology . . . . . . . . . . . .20

Modern Educational Issues
Hodzhaniyazov S. U., Shikhova K. I. The role of International Cooperation 
in Perfecting Pedagogical Conditions of the University Information Resource 
Center Functioning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Konkov E. V. Using Distance Learning Technologies in Implementing 
Individually-oriented Teaching in Accordance with the Second-Generation 
Standards  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
Solovieva N. M. Distance Learning Technologies in Organizing Student 
Practice Teaching  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
Sidorova E. E. Psychological and Pedagogical Foundations of Students’ 
Self-Education . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
Popova L. V. Pedagogical Support in Developing Students’ Readiness 
to Implement Senior Kindergarten Teacher Functions  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Educational Topics and Techniques
Grigorieva L. I. Environmental Education System in the Framework 
of A. S. Savvinov’s “reflexive model”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
Yadrikhinskaya L. S. Developing International Communication Culture 
in Secondary School Teaching  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
Kuzmenko G. A. Motivation and Value Component in Teenage Sportsmen 
Intellectual Abilities Development Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Ishbuldina I. V., Koneeva E. V. Study on Basketball Referees’ Attitude 
to Their Professional Work  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
Buyandelger Odgerel. Interrelation of Mongolian Students’ Characteristic 
Features and Learning Efficiency  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
Chulunbat Dolzhinsuren. Mongolian Tradition in Children’s 
Physical Education  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Shen Fangfang. The problem of Methods in a Musical Performance 
Training  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Bezborodova L. A., Prosandeyeva I. V. Theatrical Art as a Means 
of Primary Schoolchildren Aesthetic Education. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

Education and Art Creativity
Golub A. A. Interactive Learning and Creative Work in Art Education  . . . . . . . . . . .120
Barancheeva L. A. Some Peculiarities of Training Art Students 
in Art Metal Work. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
Blokhina N. V. Developing Art School Children’s Color Seeing  . . . . . . . . . . . . . . . .130

Correctional Pedagogy
Faitaron M., Rechitsky I. V. Dynamics of the Hearing Function 
Activization Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136
Silantieva S. N. Developing Structural and Semantic Sentence Analysis 

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

of Older Preschoolers with General Speech Underdevelopment  . . . . . . . . . . . . . . . .145
Pyatibratova N. V. Poly-sensory Combinatory Method for Teaching Reading 
to Older Preschoolers with General Speech Underdevelopment  . . . . . . . . . . . . . . . .150

PHILOSOPHY AND HISTORY OF EDUCATION

Kachalov D. V. Reflective and Pedagogical Techniques as a Means 
of Developing Future Teachers’ Pedagogical Culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
Gotovtseva N. G., Nikolaev E. V. Peculiarities of Teacher Training 
Students’ Values  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
Teryaeva O. A. Modern Students’ Choice of Their Ideals and Preferences  . . . . . . .166

LANGUAGE AND EDUCATION

Larionova D. G. Nominative Field of the ‘Homeland’ Concept 
as a Model of Organizing Vocabulary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171
Boldova T. A. Foreign Language Students Teaching Organization Using 
Internet Technologies  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

PSYCHOLOGY AND EDUCATION

Morozuk S. N., Smoleva T. O. Child-Parent Training as an Integrative 
Method of Overcoming Children’s Psychological Problems  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

FUNDAMENTAL SCIENCE TO HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS

Physics and Mathematics
Bezruchko A. S. History of Emergence and Development of the Method 
of Isoclines and Euler’s Method for Solving Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . .199
Muslimov U. S., Rustanov A. R. Some Identities For the Conharmoniсal 
Curvature Tensor of Cosymplectic Manifold  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

Geography
Al Obaidi Khalid Hasoun Jasim. South-Eeast Anatolia Project 
and Turkey Economic Development Prospects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

Philosophy
Zima V. N. Some Aspects of Representing Eternity in the Philosophy 
of Antiquity and the Early Middle Ages in the Context of Modern Problems 
of Ontology and Philosophy of Science  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

History
Gorokhova A. V. Role of Divination in the Social and Political Life of Greece 
(8th–4th c BC) and Rome (5th c BC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
Lysenkova A. A. Spiritual Culture of European Bosporus 
in the 1st-3rd c AD Based On the Stone Crypts Paintings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
Bautina N. P. The Duke of Wellington’s Government and the July Revolution 
of 1830 in France. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242
Ibyatov F. M. Ethnological Aspects of the Georgia and Osetia Conflict  . . . . . . . . . .248
Sterin E. F. Israeli Arabs in the 1999 Elections on the Eve of the Second 
Palestinian Intifada “Al-Aqsa”  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255
Beryozkina A. V. Saudi-American Military Cooperation  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262
Gorokhov S. A. Role of Hinduism in Social and Political Life of India  . . . . . . . . . . .266
Matvienko V. V. Position of Concerns in the Social and Economic Life 
of Modern India  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273

2/ 2011

198

Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

Philology
Pozdnyakova A. A. Language Issues Arising From Globalization  . . . . . . . . . . . . . .277
Duriagina I. A. On the Issue of Linguistic Geography Methods 
in the History of the French Language (based on Norman scripts)  . . . . . . . . . . . . . .284
Gorbunov M. V. Language and Culture Overlap: Proper Names . . . . . . . . . . . . . . .291
Kazulina M. А. Representation of the Word Power in the Political Media 
Discourse (on the basis of The Economist newspaper)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
Petrov A. N. Lexical Subsystems of Gamers’ Communities as Sociolects . . . . . . . .299
Somova А. Е. Address in Running TV Sports Commentary . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305
Pervezentseva O. A. Objectives in Research of Speech Perception 
at the Present Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310
Parastaev G. N. “Great Depression” Realia and Its Representation 
in Barack Obama’s Speeches (based on USA President’s public speeches)  . . . . . .318
Kireeva N. V. Transformation of the Autobiography Genre 
by Postmodern American Writers  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

Psychology
Eliseyeva O. O. Professional Image of the Psychologist Consultant  . . . . . . . . . . . .331

Culturology
Bazhenov V. M. Technological Culture as a Historical Type of Culture  . . . . . . . . . .336

Study of Art
Sergeeva D. V. Antinomicity in the History of Music: Early Manifestations. . . . . . . .341
Tsorieva I. T. Tendencies in Fine Arts Development in North Ossetia 
in the Social and Political Context From the Middle of the 1940’s 
to the 1950’s  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350

Sociology
Vasiliev I. A. Improving School Teachers’ Key Competencies 
as a Factor of Educational Process Efficiency (Sociological Aspect) . . . . . . . . . . . . .357
Sidorova A. E. Social Management Mechenisms of Developing Social 
Stability in the Modern Society  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .366
Yakovleva M. A. Local Government as an Institute of Civil Society  . . . . . . . . . . . . .372

Information about the authors  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

О

быкновенные дифференциальные уравнения являются важным математическим аппаратом, широко применяемым для решения различных научных и технических задач. Особенно эффективными оказались приближенные 
методы, которые формировались и совершенствовались под непосредственным влиянием прикладных задач механики, астрономии, баллистики, физики 
и других наук.
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений делятся на 
аналитические методы, представляющие решение в виде аналитического выражения, численные методы, позволяющие найти искомое решение лишь в отдельных точках, то есть в виде таблицы, и графические методы, использующие 
геометрические построения. К графическим методам решения обыкновенных 
дифференциальных уравнений первого порядка, широко использующихся в 
наше время, можно отнести метод изоклин и метод ломаных.
Считается, что с задачами, в той или иной степени связанными с дифференциальными уравнениями, математики впервые встретились в начале XVIII 
века, когда при создании таблиц логарифмов Дж. Непер положил в основу кинематическое представление о двух связанных между собой непрерывных прямолинейных движениях. Чуть позднее задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, появились и в области математического естествознания. 
Здесь можно отметить проблему падения тела в среде без сопротивления, решенную Г. Галилеем, а также «обратную задачу на касательные», поставленную 
и решенную Р. Декартом после открытия в оптике закона преломления света. 
Сам термин впервые употребил Лейбниц в письме к Ньютону (1676), а затем он 
появился и в печати (с 1684) [1].

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ 
МЕТОДА ИЗОКЛИН И МЕТОДА ЭЙЛЕРА 
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

А. С. Безручко

Аннотация. В статье представлены история развития метода изоклин и метода Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Исследованы работы математиков, занимавшихся этим вопросом.

Ключевые слова: история, метод изоклин, метод Эйлера.

Summary. The article describes the history of development of the method of isoclines and 
Euler’s method for solving ordinary differential equations of the first order. The author examines the works of mathematicians who worked at these subjects.

Keywords: history, method of isoclines, Euler’s method.

/ 2011

200

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Однако сами создатели математического анализа – Ньютон, Лейбниц и их 
последователи – столкнулись с ограничениями в области применения аналитических методов к решению ряда фундаментальных и прикладных задач. В частности, многие дифференциальные уравнения, важные для практики, не решались в квадратурах, то есть не интегрировались аналитически. Попытки выразить аналитически корни алгебраических уравнений выше четвертой степени 
также оставались безуспешными. Поэтому параллельно с развитием аналитических методов математики разрабатывают методы приближенных вычислений 
для решения неотложных прикладных задач [2].
Первое упоминание о графическом решении обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка встречается в 1694 г. у И. Бернулли, когда он 
опубликовал в «Acta Eruditorum» статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка». Здесь появились выражения «порядок» уравнения и «разделение» переменных – последним термином И. Бернулли 
пользовался еще в своих «Лекциях». Выражая сомнение в сводимости любого 
уравнения к виду с разделяющимися переменными, И. Бернулли предлагает для 
уравнений первого порядка 

0
)
,
,
(
=
d  x
d  y
y
x
f

 
общий прием построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в 
определяемом уравнением поле направлений. Изоклины (И. Бернулли называет их директрисами) вводятся как линии 
0
)
,
,
(
=
k
y
x
f
, в точках которых искомые интегральные кривые имеют касательные с одним и тем же наклоном k. 
Каждая интегральная кривая образуется из смыкающихся бесконечно малых 
прямых отрезков, проводимых соответственно наклону в данной точке от 
одной изоклины к другой, соседней. Из самого характера построения делается 
заключение о существовании бесконечного множества интегральных кривых. 
Особо рассмотрен вопрос об уравнении кривой точек перегиба интегральных 
кривых. В заключение автор писал, что предложенная идея может быть распространена на уравнения второго и высших порядков.
Рассуждения И. Бернулли в данной статье напоминают своего рода геометрическое доказательство существования непрерывных интегральных кривых данного дифференциального уравнения, возникающих, когда сомкнутся стягивающиеся в точки отрезки прямых. Но Бернулли имел в виду и приближенное вычерчивание интегральных кривых, как это видно из его письма к Лопиталю в 
декабре 1694 г., где он приводит и чертеж, на котором для уравнения х2dх + y2dx = 
a2dy изображены изоклины х2 + y2 = k2, несколько интегральных кривых и пересекающая их линия точек перегиба AN с уравнением y3 + x2y = a2x (рис. 1). Разобрав этот пример, И. Бернулли здесь писал: «Таков мой метод, найденный мною 
для общего построения дифференциальных уравнений; он может быть широко 
применен на практике, если довольствоваться механическим построением, ибо, 
чем больше нанести близких друг к другу директрис, тем более подойдут к истинной искомой кривой». Одним из достоинств такого геометрического построения 
Бернулли считал и то обстоятельство, что он позволяет обойтись не только без 
разделения переменных, что чаще всего невозможного, но также в тех случаях, 

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

когда разделение возможно, без квадратур, из-за которых аналитическое решение нередко бывает практически неосуществимым [3].
В последующем для приближенного решения дифференциальных уравнений долгое время применялись исключительно аналитические методы. Например, метод Эйлера, или, как его часто называют, метод ломаных. Свой метод 
Эйлер описывает с аналитической точки зрения, не акцентируя внимания на 
графическом построении, но метод ломаных, который является геометрической интерпретацией метода Эйлера, относится к графическим методам.
Основной результат Эйлера, касающийся этого метода, содержится в первом томе «Интегрального исчисления» (1768). Задача ставится сразу же в 
большой общности: для заданного уравнения dy/dx = V, где V – некоторая функция х и у, найти приближенно полный интеграл. Возникает вопрос: почему 
речь идет о полном, а не о частном интеграле? Последующее замечание Эйлера показывает, что имеется в виду задача с начальными условиями. Действительно, то, что теперь ищется полный, а не частный интеграл, указывает Эйлер, следует понимать в том смысле, что переменная у должна принимать некоторое заданное значение у = b, если другая переменная х принимает определенное значение х = а. Эйлер отдает дань традиционной постановке задачи 
решения уравнения как задачи нахождения полного интеграла. Основание 
для такой постановки вопроса он видит в том, что начальные данные задаются в общей форме, а не в виде конкретных численных значений, как было в 
задачах, рассмотренных ранее.
Ставя вопрос о нахождении общего метода, дающего приближенное решение задачи с произвольными начальными условиями, Эйлер предвосхитил постановку Коши задачи с начальными данными как одной из центральных в теории дифференциальных уравнений.
Решение дается методом ломаных. Однако вопрос трактуется при этом, как 
упоминалось ранее, чисто аналитически. Не довольствуясь изложением метода 
ломаных, Эйлер стремится сразу же его усовершенствовать с тем, чтобы резуль
Рис. 1. Приближенное решение дифференциального уравнения И. Бернулли

/ 2011

202

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

тат был ближе к истинному. Решение этой задачи имело принципиальное значение: здесь Эйлер фактически предложил второй метод, а именно тот, с помощью которого Коши впервые доказал существование решения дифференциального уравнения с аналитической правой частью. Чтобы учесть изменение 
правой части уравнения на малом интервале х – а, Эйлер поступает следующим 
образом: написав разложение в ряд Тейлора неизвестного решения, он показывает, как должны быть вычислены коэффициенты этого ряда, записанного в 
следующей своеобразной форме:

⋅⋅⋅
+
⋅
⋅
−
+
−
+
=
2

2
2

2
1
)
(
)
(
d  a
b
d
a
x
d  a
d  b
a
x
b
y
.

Коэффициенты вычисляются при помощи последовательного дифференцирования данного уравнения. В несколько измененной записи Эйлеровские 
формулы выглядят так:

⎥⎦

⎤
⎢⎣

⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
+
∂
∂
=

∂
∂
+
∂
∂
=

=

y
V
V
x
V
y
V
y
V
V
y
x
V
V
x
V
d  a
b
d

y
V
V
x
V
d  a
b
d

V
d  a
d  b

2

2
2
2

2

2

3

3

2

2

2

                         . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Правые части этих равенств должны быть вычислены, конечно, при 
х = а, у = b.
Относительно самого разложения у Эйлер отмечает, что при х, близком к а, 
ряд сходится очень быстро и поэтому достаточно хорошо представляет у(х). 
Этот метод он предлагает для того, чтобы точнее определить значение у = b' в 
точке а' = а + ω и таким же образом продолжать процесс дальше, отправляясь 
от уже известных x = а', у' =b'. Вполне очевидно, что Эйлер для малой окрестности начальной точки а рассматривал именно тот ряд, сходимость которого 
при определенных условиях была строго доказана Коши.
Также Эйлер отмечает: «Чем меньшими берутся промежутки, через которые возрастают значения х, тем с большей точностью находятся значения, 
соответствующие каждому из них. Тем не менее погрешности, допущенные в 
каждом отдельном случае, хотя они были и очень малы, все же накопляются 
вследствие их многочисленности. Ошибки, получающиеся при этом вычислении, проистекают из того, что на отдельных промежутках мы рассматриваем оба количества х и у как постоянные, и таким образом функция V принимается за постоянную. Значит, чем более меняется значение количества V 
при переходе от какого-либо промежутка к следующему, тем больших ошибок следует опасаться» [4].
Метод построения, описанный Бернулли, получил свое прикладное значение лишь в последней четверти XIX в., благодаря профессору Гентского университета Жюниусу Массо и его работе “Mémoire sur l’intégration graphique et 

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

ses applications” (Мемуары о графическом интегрировании и его применении) 
(1878–1887). В шестой главе этой книги, которая называется «Applications á 
l’hydraulique» (Применения в гидравлике), изложен графический метод решения дифференциальных уравнений первого порядка.
В данной главе изучаются движения жидкостей в трубах, водосливах, каналах. В ходе рассуждений описан метод о графическом интегрировании уравнений дифференциалов первого порядка. У Массо построения каждой интегральной кривой дифференциального уравнения F(x, y, dy/dx) основываются на построении кривых F(x, y, α), где α это константа. Такие кривые в каждой точке 
имеют одинаковый наклон, определяемый уравнением, и Массо называет их 
изоклинами. Именно он вводит это название.
В начале решения необходимо было построить достаточно большое количество изоклин и для каждой определить направления. На рис. 2 каждая изоклина определена номером, слева приводятся линейные элементы, соответствующие наклону, под которым интегральные кривые будут пересекать эти 
изоклины. Построение следовало вести из заданной точки А. Так как данная 
точка принадлежит изоклине 1, то необходимо было построить прямую параллельную линейному элементу 1. Данную прямую необходимо было продлить до 
середины интервала отделяющего изоклины 1 и 2. Из получившейся точки следовало провести прямую, параллельную линейному элементу второй изоклины, 
и продлить эту прямую до середины интервала между изоклинами 2 и 3 и т.д. 
Точку пересечения со второй изоклиной обозначить за В. В итоге получалась 
ломаная ABCD, которая и служила приблизительным изображением интегральной кривой.
Также Массо отмечает, что построения можно вести не только из точки 
принадлежащей изоклине, но и из точки, лежащей на середине интервала между изоклинами. Тогда следует в точке, лежащей в середине интервала между 1 и 
2 изоклинами, построить прямую параллельную линейному элементу первой 
изоклины и продлить ее до пересечения со второй изоклиной, таким образом 

Рис. 2. Графическое интегрирование дифференциального уравнения Ж. Массо

/ 2011

204

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

получить точку В. На получившейся прямой от точки В отложить отрезок, равный отрезку, заключенному между точкой В и серединой интервала, между первой и второй изоклиной. Таким образом, получить точку между второй и третьей изоклиной. Из получившейся точки провести прямую параллельную линейному элементу второй изоклины и т. д.
Достижения Массо заключались в том, что его построения относятся к методам точности второго порядка. В то время построения велись исключительно только при помощи метода Эйлера, а он относится к методам точности первого порядка [5].
Таким образом, основы геометрических методов решения обыкновенных 
дифференциальных уравнений были заложены еще в XVII–XIX вв. В последующие годы получили большое развитие численные методы. Хотя они и требовали больших расчетов, но не нуждались, в отличие от графических, в построениях многочисленных кривых и линейных элементов.
Графические методы долгое время были не востребованы. С развитием 
ЭВМ реализация данных методов значительно упростилась.
Изначально ЭВМ и компьютеры разных классов создавались для конкретных и практически полезных математических расчетов и вычислений. Это 
ясно видно уже из перевода англоязычного слова computer — «вычислитель». 
Для таких вычислений и поныне используются программируемые микрокалькуляторы и персональные компьютеры (ПК) с наборами математических программ на различных языках программирования. Затем появились специальные 
программные средства для численных расчетов, такие как Eureka, PC-MATLAB, 
Mathcad и др. В наши дни бурное развитие получили системы компьютерной 
математики (СКМ) для персональных компьютеров. Они интегрируют в себе 
современный интерфейс пользователя, решатели математических задач – как 
численных, так и аналитических (символьных) – и мощные средства графики. 
Такие системы стали называть интегрированными, или универсальными, СКМ. 
Они вторглись в наиболее интеллектуальную сферу деятельности математикованалитиков и ученых-теоретиков, традиционно относящихся к элите научных 
работников, занятой решением особо сложных и каверзных математических и 
научно-технических задач.
Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать 
с начала 60-х гг. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь 
компьютерной математики, названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые 
алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т.д. При 
этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно.
Первые системы компьютерной математики появились на рынке программных продуктов в 80-е гг. прошлого столетия. Наиболее бурным периодом их развития стали 1990-е гг. В настоящее время они имеют высочайший математический уровень как по объему, реализованных в них математических методов, так 

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

и по самим реализациям. Обновления их продолжаются, каждая следующая 
версия расширяет возможности предыдущей, но основы уже не меняются.
Список систем компьютерной математики достаточно обширный, наиболее известные Derive, MuPAD, Mathcad, Maple, Mathematica, MATLAB.
В настоящее время в вузе широко используются средства компьютерной математики для решения дифференциальных уравнений, которые позволяют расширить возможности изучения данного раздела. Теперь мы решаем эти уравнения не только аналитически, но и графически, не затрачивая на это много времени. Это дает возможность расширить класс решаемых задач и акцентировать 
внимание студентов не только на способах решения, но и на анализе свойств 
полученного решения дифференциального уравнения, которое описывает тот 
или иной процесс; рассмотреть графическое решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые не решаются аналитическими методами.
Современные средства компьютерной математики без труда строят изоклины, линейные элементы, соответствующие интегральные кривые, вычисляют 
значения методом Эйлера и строят соответствующую кривую методом ломаных. В связи с этим расширился и класс задач. Теперь можно без труда составить математическую модель процесса или явления с помощью дифференциального уравнения, построить семейство интегральных кривых для уравнения, 
не решаемого в квадратурах, и проанализировать свойства решения. Именно 
поэтому в наше время эти методы востребованы.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
Асланов Р. М., Матросов В. Л., Топунов М. В. Дифференциальные уравнения и уравнения с 
частными производными. Учебник для высших учебных заведений. – М.: Владос, 2011.
2. 
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: ИЛ, 1963.
3. 
Юшкеич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. – Т. 2. – 
М.: Наука, 1970.
4. 
Юшкеич А. П. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. – Т. 3. – 
М.: Наука, 1972.
5. 
Revue d’histoire des mathématiques. – 2003. – № 9. – P. 181–252. ■

/ 2011

206

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Д

аная статья является продолжением работы [1]. В статье используется терминология, принятая в работе [2]. Напомним необходимые сведения, приведенные в работе [1].

Пусть (
)
,
,
,
,
1
2
g
M n
Φ
+
ξ
η
 – косимплектическое многообразие.

Напомним, что ковариантный тензор конгармонической кривизны был 
введен Иши [3] как тензор типа (4,0) на n-мерном римановом многообразии, 
определенный формулой:

(1)

(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
[
]

(
) (
)
(
) (
)
[
]
( ),
,
,
  ,
,
,
,
,
2
1

,
,
,
,
2
1
,
,
,
,
,
,

M
X
Z
Y
X
Z
X
S
W
Y
g
W
X
S
Z
Y
g
n

W
Y
S
Z
X
g
Z
Y
S
W
X
g
n
W
Z
Y
X
R
W
Z
Y
X
K

∈
∀
−
−
+

+
−
−
−
=

где R – тензор римановой кривизны, S – тензор Риччи. Этот тензор инвариантен при конгармонических преобразованиях, то есть при конформных преобразованиях пространства, сохраняющих гармоничность функций.
Тензор конгармонической кривизны удовлетворяет всем свойствам алгебраического тензора кривизны:

(2)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
.0
,
,
,
,
,
 
4  )

;
,
,
,
 
3  )
;
 )
2 
;
 
1  )

=
+
+
=
−
=
−
=

W
Y
X
Z
K
W
X
Y,Z
K
X,Y,Z,W
K
Y
X
W
Z
K
X,Y,Z,W
K
X,Y,W,Z
K
X,Y,Z,W
K
Y,X,W,Z
K
X,Y,Z,W
K

Напомним [1], что компоненты тензора конгармонической кривизны косимплектического многообразия 
1
2 +
n
M
 на пространстве присоединенной 
G-структуры имеет вид:

ТОЖДЕСТВА НА ТЕНЗОР КОНГАРМОНИЧЕСКОЙ 
КРИВИЗНЫ КОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ 
МНОГООБРАЗИЙ

Ю. Ш. Муслимов, А. Р. Рустанов

Аннотация. В работе получены некоторые тождества на тензор конгармонической кривизны косимплектического многообразия.

Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплектическое многообразие, тензор конгармонической кривизны.

Summary. In this paper we obtain some identities for the conharmoniсal curvature tensor 
of cosymplectic manifold.

Keywords: almost contact metric manifold, cosymplectic manifold, conharmoniсal curvature tensor.

2 / 2011
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

(
)

(
),
1
2
1
 )
3

;
1
2
1
 )
2

;
1
2
1
      
          
          

 )1

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

0  0
ˆ
0
0
ˆ
0
ˆ
0

0
ˆ
0
ˆ
0  0
0
ˆ
0
0
ˆ
0
ˆ
0
0

d  h
a  h
b
c
b  h
c  h
d
a
b  d
a  c
d
a  c
b
c
d
a
b
c
d
b
a
d
c
b
a

c  h
a  h
d
b
d  h
a  h
c
b
d  h
b  h
c
a
c  h
b  h
d
a
a  b
d
c
d
c
a  b

b  c
a  c
a
b
a
b
a
b

a
b
b
a
b
a
b
a
b
a

A
A
n
A
K
K
K
K

A
A
A
A
n
K
K

A
n
K
K
K

K
K
K
K
K

δ
δ

δ
δ
δ
δ

+
−
−
−
=
−
=
=
−
=

−
+
−
−
−
=
=

−
=
−
=
=
−
=

=
=
−
=
=
−
=

(3)

а остальные компоненты нулевые.
Введем обозначение: 

 
(4)
a  c
b  c
a
b
A
A
=
.

Определим эндоморфизм 
L
L
A
→
:
 соотношением ( )
b
b
a
a
b
a
b
X
A
X
A
X
A
+
=
ε
 . 
Этот эндоморфизм обладает свойствами: 
 

(5)
(
)
( )
( )
( )
( )
M
X
Y
X
Y
A
X
Y
X
A
X
A
X
A
∈
=
Φ
=
Φ
,
 ;
,
,
 
2  )
  ,
 )1
.

Получим тождества на тензор конгармонической кривизны косимплектического многообразия 
1
2 +
n
M
.

1. Применим процедуру восстановления тождества [2], [4] к равенствам 

0
 ,
1
2
1
 ,0
ˆ
0  0
0  0
0
0  0
=
−
−
=
=
b
a
b  c
a  c
b
a
a
K
A
n
K
K
, то есть к равенству 
i c
a  c
i
a
A
n
K
1
2
1
0  0
−
−
=

 
, 

то есть к (
)
( )
a
a
A
n
K
ε
ξ
ε
ξ
1
2
1
,
−
−
=
. Поскольку { }
a
ε
 является базисом подпро
странства 
1
−
Φ
D
, а проектором на этот подмодуль является эндоморфизм 

(
)
Φ
−
+
Φ
−
=
1
2
1
2
π
, 
то 
последнее 
равенство 
перепишем 
в 
виде 

(
)
(
)
( )
M
X
X
X
X
A
n
X
X
K
∈
Φ
−
+
Φ
−
−
=
Φ
−
+
Φ
 ;
1
1
2
1
1
,
2
2
ξ
ξ
. Выделяя дей
ствительную и мнимую части, получим эквивалентные равенства:

(6)

(
)

(
)
(
)

(
)
( ).
 ,
1
2
1
,
 )
2

;
1
2
1
,
 
)1
2
2

M
X
X
X
A
n
X
K

X
A
n
X
K

∈
Φ
−
−
=
Φ

Φ
−
−
=
Φ

ξ
ξ

ξ
ξ

Тождество (6:2) получается из тождества (6:1) заменой 
X
X
Φ
→
. Итак, тензор конгармонической кривизны косимплектических многообразий обладает 
следующим тождеством:

(
(
(
)
)
)
M
X
X
X
A
n
X
K
∈
Φ
−
−
=
Φ
;
1
2
1
,
2
2
ξ
ξ
.
(7)