Курс высшей математики для горно-экономических специальностей бакалавриата : Т. 1

М Г Г У 

московский 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

РЕДАКЦИОННЫЙ 

С О В Е Т 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 
ректор 
МГГУ, 
чл.-корр. 
РАН 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 
директор 
Издательства 
МГГУ 

Члены редсовета 

И.В.ДЕМЕНТЬЕВ 
академик 
РАЕН 

А.П.ДМИТРИЕВ 
академик 
РАЕН 

Б.А. КАРТОЗИЯ 
академик 
РАЕН 

В.В. КУРЕХИН 
академик 
РАЕН 

М.В. КУРЛЕНЯ 
академик 
РАН 

В.И. ОСИПОВ 
академик 
РАН 

э.м. СОКОЛОВ 
академик 
МАН 
ВШ 

К.Н. ТРУБЕЦКОЙ 
академик 
РАН 

В.В. ХРОНИН 
профессор 

В.А. ЧАНТУРИЯ 
академик 
РАН 

Е.И. ШЕМЯКИН 
академик 
РАН 

ВЫСШЕЕ ГОРНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 

Б.Я. Волк 

КУРС 
ВЫСШЕЙ 
МАТЕМАТИКИ 

для горно-экономических 
специальностей бакалавриата 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области горного дела в качестве учебного пособия для 
студентов вузов, обучающихся по специальности 
«Экономика и управление на предприятии горной 
промышленности» 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
м о с к о в с к о г о ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

2 0 0 3 

УДК 517 
ББК 22.1 
В 61 

Рецензенты: 
• д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.П. Пытьев (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова); 
• д-р физ.-мат. наук, проф. Э.М. Карташов (Московская государственная академия тонкой химической технологии им. 
М.В. Ломоносова) 

Волк В.Я. 

В 61 
Курс высшей математики для горно-экономических 
специальностей бакалавриата: Учебное пособие. — М.: 
Издательство Московского государственного 
горного 
университета, 2003. — Т. 1.— 324 с: ил. 

ISBN 5-7418-0240-0 (в пер.) 

Основное содержание учебного пособия составляют линейная алгебра и дифференциальное исчисление. Кроме того, в пособии излагаются 
элементы алгебры, аналитической геометрии, линейного и нелинейного 
программирования, интегрального исчисления и теории обыкновенных 
дифференциальных уравнений. 

Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Экономика и 
управление на предприятии горной промышленности». 

УДК 517 
ББК 22.1 

ISBN 5-7418-0240-0 
© В.Я. Волк, 2003 
© Издательство МГГУ, 2003 
© Дизайн книги. Издательство 
МГГУ, 2003 

ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ. 
МНОЖЕСТВА 

1. ЛОГИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ 

При изложении материала в этой книге используются символы математической логики 

1 VA =><=> V 3. 

Символ ] называется отрицанием. 
Например, 

1(х=у) 
означает х * у. 

Символ v - логическое «или», дизъюнкция, читается: 
«выполняется хотя бы одно из условий». 

Условию (число делится на два) v (число делится на три) 
удовлетворяют все числа, делящиеся на два, и все числа, делящиеся на три, например 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 и т.д. 

Символ л - логическое «и», конъюнкция, читается: «выполняются оба условия одновременно». 

Условию (число делится на два) л (число делится на три) 
удовлетворяют числа, делящиеся на два и на три одновременно, т.е. делящиеся на шесть. Это 6, 12, 18 и т.д. 

Символ => , «влечет», означает логическое следствие. 
Например, (число делится на шесть) => (число делится на 
два). 

Символ <=>, «равносильно», означает логическую эквивалентность. 

Например, ((число делится на два) л (число делится на 
три)) <з> (число делится на шесть). 

Символ V означает «любой», «произвольный». 
Например, V студент имеет зачетную книжку. 

5 

Символ 3 означает «существует», «найдется». 
Например, 3 студент, у которого в зачетке только отличные оценки. 

Кроме того, будут использоваться символы, позаимствованные в программировании, 

:: = и : = 

Они читаются: «равно по определению». 
Первый из них используется для абстрактных понятий, 
второй - для конкретных объектов. 

Например, окружность :: = множество точек, равноудаленных от точки, называемой центром, С: = окружность с 
радиусом, равным единице, и центром в точке О. 

2. МНОЖЕСТВА 

Понятие множества - одно из основных в математике. На интуитивном уровне множество - это собрание некоторых объектов, как правило, объединенных каким-либо общим свойством. Например, множество целых чисел, множество равнобедренных треугольников, множество студентов МГГУ. 

Однако это простое интуитивное понимание множества 
оказывается внутренне противоречивым. Это показывает парадокс английского логика Б. Рассела. 

В популярном изложении этот парадокс выглядит следующим образом. В воинской части командир приказал парикмахеру брить всех, кто не может бриться сам, и не брить 
тех, кто бриться может. Куда следует отнести самого парикмахера? Если он побреется - он может бриться и ему бриться 
нельзя, если ему бриться нельзя, то он обязан себя побрить. 

Чтобы избежать этого и других парадоксов, создана строгая теория множеств, исключающая влияние противоречия. 
Эта теория выходит за рамки данного курса, но необходимо 
понимать, что с интуитивными понятиями в математике (да и 
не только) следует обращаться с осторожностью. 

6 

Множества обычно обозначаются прописными буквами 
латинского алфавита, а объекты, в них входящие и называемые элементами множества, - строчными буквами. 

Если элементы х объединяются в множество А какимлибо общим свойством, то пишут: 

А : = {х | свойство элементов х множества А}. 

В теории множеств используются символы 

€ С = П U 

Символ е используется для указания принадлежности 
элемента множеству. 
Например, если 

F: = {п | n-натуральное число, делящееся на четыре}, то 
2000 е F. 

Если элемент не принадлежит множеству, то используется 
символ g, например, 2001 «Ё F. 

Если любой элемент множества А является элементом 
множества В, то используется символ с : А с В . 

С помощью введенных ранее символов это включение 
можно определить так: 

A c B : : = V x e A = > x e B . 

Это же включение может быть записано в виде 

В zd А. 

Если А с В и В с А, то пишут А = В: 

А = В:: = (А с В) л (В с А). 

Объединение множеств А и В, А и В - это множество всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А 
или В: 

А и В:: = {х\ ( i e A ) v ( x e В)}. 

Пересечение множества А и В, А п В - это множество 
элементов, одновременно входящих и в А, и в В: 

А п В : : = { х | ( х е А ) л ( х е В)}. 

7 

Эти понятия можно проиллюстрировать 
диаграммами 
(рис. 1). 

А с В 
А и В 
А П В 

Рис. 1 

I 

Ч А С Т Ь 

ЛИНЕЙНАЯ 
АЛГЕБРА 

I 

Г Л А В А 

ВЕКТОРНАЯ 
АЛГЕБРА 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА 

Вектором называется направленный отрезок. Отрезок определяется двумя точками - концами этого отрезка. Если выбрать, какая из этих точек первая, а какая вторая, то отрезок 
приобретает направление и превращается в вектор. Первая из 
точек называется началом вектора, а вторая - его концом. 
Поэтому говорят, что вектор - это упорядоченная 
пара точек. Если точка А - начало вектора, а В - его конец, то вектор 

обозначается АВ. 
На чертеже конец вектора отмечается 
стрелкой (рис. 2). 

Рис.2 

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется 
нулевым. Векторы могут быть расположены в пространстве, 
на плоскости или на прямой. 

2. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ 

Два вектора называются равными, если 

а) они лежат на одной прямой, составляющие их отрезки 
равны и они направлены в одну сторону (рис. 3) 

или 

10