Высшая математика для горных вузов : Ч. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления

М Г Г У 

московский 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

РЕДАКЦИОННЫЙ 

С О В Е Т 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 
ректор 
МГГУ, 
чл.-корр. 
РАН 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 
директор 
Издательства 
МГГУ 

Члены 
редсовета 

И.В. 
ДЕМЕНТЬЕВ 
академик 
РАЕН 

А.П.ДМИТРИЕВ 
академик 
РАЕН 

Б.А. 
КАРТОЗИЯ 
академик 
РАЕН 

В.В. 
КУРЕХИН 
академик 
РАЕН 

М.В. 
КУРЛЕНЯ 
академик 
РАН 

В.И. 
ОСИПОВ 
академик 
РАН 

Э.М. 
СОКОЛОВ 
академик 
МАН 
BUI 

К.Н. 
ТРУБЕЦКОЙ 
академик 
РАН 

В.В. 
ХРОНИН 
профессор 

В.А. 
ЧАНТУРИЯ 
академик 
РАН 

Е.И. 
ШЕМЯКИН 
академик 
РАН 

В Ы С Ш Е Е Г О Р Н О Е О Б Р А З О В А Н И Е 

Е.Б. Куликова 
Э.Б. Сарингулян 

ВЫСШАЯ 
МАТЕМАТИКА 
ДЛЯ ГОРНЫХ ВУЗОВ 

Часть 2 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
И 
ИНТЕГРАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЯ 

Допущено Учебно-методическим объединением 
вузов Российской Федерации по образованию 
в области горного дела в качестве учебного 
пособия для студентов горных специальностей 
направления подготовки дипломированных специалистов «Горное дело-> 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

2 0 0 3 

УДК 517 
ББК 22.1я73 
К 90 

Экспертиза проведена 
Учебно-методическим объединением 
по высшему горному образованию Минобразования России 
(гриф выдан 21.05.2002 г., протокол № 46) 

Р е ц е н з е н т ы : 
д-р физ.-мат. наук, проф. 
В.С.Воробьев 
(Институт теплофизики и экстремальных состояний РАН), 
д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. 
Пилюгин 
(НИИ механики МГУ) 

Куликова Е.В., Сарингулян Э.В. 

К 90 
Высшая 
математика для горных вузов: Ч. 2. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособие 
для вузов. — М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2003. — 291 с : ил. 

ISBN 5-7418-0269-9 (в пер.) 
В учебном пособии изложены разделы: введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления. 

Подробно обсуждаются основные понятия, теоремы и методы 
решения типовых задач. Приведены вопросы для самопроверки и набор задач для самостоятельной работы. Прилагаются семь контрольных работ по 30 вариантов. 

Е.В. Куликова — канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры Высшей 
математики Московского государственного горного университета. 

Э.В. Сарингулян — канд. техн. наук, доц. кафедры Высшей математики Московского государственного горного университета. 

Для студентов горных специальностей направления подготовки 
дипломированных специалистов «Горное дело». 

УДК 517 
ББК 22.1я73 

ISBN 5-7418-0269-9 
© Е.В. Куликова, Э.В. Сарингулян, 2003 
© Издательство МГГУ, 2003 
© Дизайн книги. Издательство 
МГГУ, 2003 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящее учебное пособие написано для студентов горных специальностей. Авторы в течение многих лет читали лекции и проводили практические занятия по высшей математике 
в Московском государственном горном университете. 

Изучаемый материал разбит на главы. В начале каждой 
главы подробно обсуждаются основные понятия и теоремы математического анализа. Некоторые фундаментальные теоремы 
приведены с доказательством. 

В учебном пособии дается решение большого числа типовых задач, подробно разбираются возможные методы решений. 

После каждой темы предлагаются вопросы для самопроверки, позволяющие студентам проверить уровень усвоения 
данного материала. 

В конце представлены задачи, последовательное решение 
которых позволит лучше понять изучаемый материал и выполнить контрольные работы. Эти задачи можно использовать на практических занятиях и для самостоятельной работы 
студентов. 

Предлагаются семь контрольных работ по 30 вариантов в 
каждой работе по основным разделам математического анализа: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление. Этот материал 
можно 
применить в качестве аудиторных контрольных работ или домашних заданий. 

Как показывает опыт, при изучении математики студенты 
сталкиваются с определенными трудностями. Обратим внимание на некоторые важные моменты. 

Первоначальным, исходным материалом являются определения математических понятий, их совокупность можно назвать «языком математики». Определения нужно понять и запомнить, без этого невозможно изучение математики. 

Математические теоремы — это основные законы математики, формулирующие и доказывающие свойства математических понятий и связь между ними. Необходимо четко формули
5 

ровать теоремы и обращать внимание на все условия, при которых данные теоремы справедливы. 

При решении практических задач следует научиться применять основные определения и теоремы, а также знать методы 
решения задач. 

Очень важно не только прослушать курс лекций по математике, но и научиться с помощью полученных знаний решать 
конкретные задачи. Этого можно достичь лишь в результате 
большой самостоятельной практической работы. 

Назначение пособия — помочь студентам в их индивидуальных занятиях. 

Очевидна важная роль математики в инженерном образовании, математический аппарат широко используется в ряде 
других общеобразовательных и специальных дисциплин. Кроме того, изучение математики способствует развитию логического мышления. Инженер, владеющий математическими знаниями, получает возможность успешно работать на более высоком, современном уровне. 

Настоящее учебное пособие будет полезно студентам не 
только горных, но и других специальностей. 

ГЛАВА 
1 

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ 

ЧИСЛА 

1.1. 
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ 
ЧИСЛА 
И ЧИСЛОВАЯ ОСЬ 

Определение. Множеством действительных чисел называется совокупность всевозможных десятичных дробей (конечных 
и бесконечных). 

Множество действительных чисел состоит из двух подмножеств — рациональных и иррациональных чисел. Всякое 
рациональное число является конечной или бесконечной периодической дробью. Рациональное число можно представить 
в виде дроби plq, где р и q— целые числа, причем q * 0. Для иррациональных чисел такое представление невозможно. Всякое 
иррациональное число является бесконечной непериодической 
дробью. 

Примеры рациональных чисел: 

3/2 = 1,5; -3; 2/3 = 0,666... = 0, (6). 

Примеры иррациональных чисел: 

72 = 1,4142135...; я = 3,1415926...; е = 2,7182818... 

Характерной особенностью множества действительных чисел является взаимно однозначное соответствие между точками 
числовой оси и действительными числами. Числовой осью называется прямая линия, на которой указаны начало отсчета 
длин, масштаб и направление отсчета. 

Каждой точке числовой оси соответствует определенное 
действительное число и, наоборот, каждое действительное 
число изображается точкой на числовой оси. Таким образом, 
действительные числа сплошь заполняют числовую ось, чего 
нельзя сказать о других числовых множествах (натуральных, 
целых, рациональных и иррациональных чисел). Так, например, целые числа 0; ± 1; ± 2; ... можно изобразить точками на 
числовой оси, однако не все точки числовой оси соответствуют целым числам. 

9 

На множестве действительных чисел R вводятся действия 
сложения и умножения, обладающие хорошо известными свойствами, а также обратные им действия вычитания и деления. 

В дальнейшем для краткости действительные числа иногда 
будем называть просто числами. 

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа называется само это число, если оно неотрицательно, или это число с противоположным знаком, если оно 
отрицательно. 

Абсолютная величина числа х обозначается символом UI. 

Таким образом, 

Обсудим подробнее понятие модуля. Для этого воспользуемся геометрической интерпретацией действительного числа. 

Обозначим числа х\ и х2 точками 

1.2. АБСОЛЮТНАЯ 
ВЕЛИЧИНА 
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО 
ЧИСЛА 

х, если л: > О 

-х, если х < 

Тогда модули этих чисел равны расстояниям от точек х\ и х2 до 
начала отсчета (точки 0). 

на числовой оси (рис. 1). 

Рис. 1 

10 

Рис.2 

Разность Х2 - JCI равна расстоянию между точками х\ и хг 

(рис. 2), взятому со знаком + или - в зависимости от взаимного 
расположения точек. Отсюда ясно, что модуль разности \х2 
-xt\ 

равен расстоянию между точками хх и х2. 

Рассмотрим равенство |х-д: 0| = а. Оно означает, что расстояние между точками хч хо равно а. Таких точек две: xi=xo + a, 
*г
 = хо-а, 
одна из них расположена правее, другая левее точки хо 
(рис. 3). Алгебраическое решение равенства |;с-лс 0| = а , естественно, дает тот же ответ. Действительно, х-хо = ±а, х = хо±а. 

Решим теперь неравенство |JC — дс0| < <а и обсудим его геометрический смысл. 

- а < х - хо < а, хо - а < х < хо + а. 

Согласно неравенству |JC — JC0| < а расстояние между точками 
х и хо меньше а, то есть точки х расположены между точками 
хо - а и хо + а (рис. 4). 

Пример 1. 

Найти множество значений х, удовлетворяющих неравенству |*+5| < 2. Объяснить геометрически. 

Решение. 
\х+5| < 2, -2 < х + 5 < 2, -1 < х < -3. 

Геометрическая иллюстрация решения: неравенству удовлетворяют все точки х, которые расположены от точки -5 на 
расстоянии, меньшем, чем 2, то есть точки, находящиеся между 
точками -7 и -3 (рис. 5). 

11