Вычисление интегралов с особенностями и решение сингулярных интегральных уравнений

Учебное пособие

А. А. Марданов

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 
С ОСОБЕННОСТЯМИ 
И РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ 
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Марданов титул.indd   1
23.05.2017   15:47:39

УДК 517.51
ББК 22.19
М25

Р е ц е н з е н т ы: д-р физ.-мат. наук, проф. Ю. К. Демьянович (СПбГУ),
д-р физ.-мат. наук, проф. C. П. Помыткин (С.-Петерб.
гос. ун-т аэрокосм. приборостроения (СПбГУАП))

Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

М25
Марданов А. А.
Вычисление интегралов с особенностями и решение сингулярных интегральных уравнений: учеб. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2017. — 106 с.

ISBN 978-5-288-05734-2

В учебном пособии рассматриваются приближенные методы вычисления интегралов от функций с особенностями различного характера на
промежутке интегрирования, а также особых интегралов с разрывной
плотностью, понимаемых в смысле главного значения по Коши. Также
рассмотрены численные методы для решения сингулярных интегральных уравнений 2 рода с ядром Коши и Гильберта на отрезке. По всем
темам приведены тестовые упражнения, рекомендуемые для проведения
численных экспериментов.
Пособие предназначено для студентов, специализирующихся по направлению «Вычислительная математика», а также может быть полезно
научным работникам, использующим численные методы в своих исследованиях.
Библиогр. 43 назв.

УДК 517.51

ББК 22.19

ISBN 978-5-288-05734-2

c⃝
А. А. Марданов, 2017

c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2017

ВВЕДЕНИЕ

Данное
учебное
пособие
предназначено
для
студентов
математико-механического
факультета,
специализирующихся
по кафедре вычислительной математики.
Оно может рассматриваться как дополнение к специальному курсу «Вычисление
интегралов с особенностями»([10]), читаемого автором студентам,
специализирующимся по кафедре вычислительной математики
Санкт-Петербургского государственного университета.
Учебное
пособие может быть использовано для подготовки зачетных заданий по специальному вычислительному практикуму и состоит из
трех частей.
В первой части приведены приближенные методы
для вычисления интегралов с особенностями различного характера на промежутке интегрирования.
Рассмотрены приближенные
методы вычисления интегралов с ядром Коши на отрезке, интегралы с ядром Гильберта с периодической плотностью, интегралы
с
особенностями
логарифмического
характера,
несобственные
особые интегралы, гиперсингулярные интегралы, понимаемые в
смысле Коши-Адамара. В большинстве случаев дается подробное
описание вычислительного алгоритма с оценками погрешностей
полученных приближенных формул. Во второй части изложены
численные алгоритмы для приближенного решения сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами с ядрами Коши и Гильберта на
отрезке. В третьей части приведены примеры точно берущихся
интегралов и сингулярных интегральных уравнений с ядром
Коши с постоянными коэффициентами на отрезке, для которых
можно выписать аналитическое решение.
Эти примеры предлагается использовать для отладки программ на компьютере и
проведения численных экспериментов для усвоения изложенного
теоретического материала.

3

Часть 1

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
С ОСОБЕННОСТЯМИ

1. Формула Стенджера для обычных интегралов

В статье [18] рассмотрен интеграл:

I =
1

−1
f(x)dx.

Предполагая, что подынтегральная функция имеет особенности
вблизи концов промежутка, сделаем замену вида

u = ln 1 + x

1 − x,

которую можно трактовать как «удаление особенности на бесконечность». Вычисляя получившийся интеграл по составной квадратурной формуле трапеций в бесконечных пределах, будем иметь

I =
∞

−∞
F(u)du ≈ Ih = h

∞
k=−∞
F(α + kh),
(1.1.1)

где

F(u) =
2 exp(u)

(1 + exp(u))2 f
exp(u) − 1

exp(u) + 1

.

Обрывая в (1.1.1) бесконечный ряд и полагая ради симметрии α = 0
при n = 2p − 1 и α = h/2 при n = 2p, получим квадратурную
формулу Стенджера:

I ≈ Ih ≈ In,h = 2h

n
m=1

qk

(1 + qk)2 f
qk − 1

qk + 1

,

4

где k = m−(n+1)/2, q = exp(h). В [18] показано, что для функций,
регулярных внутри «луночки» Lσ — множества точек комплексной
плоскости, из которых отрезок [−1, 1] виден под углом, большим
чем π − σ, и удовлетворяющих оценкам
Γσ
|f(x)dx| ≤ M1,
|f(x)| ≤ L|x ± 1|α−1

(Γσ — граница области Lσ), формула (1.1.1) допускает оценку
остатка

|I−In,h| ≤

2M1

1− exp(−√πσαn)+ 21+απσ/(αn)L

1− exp(−2√πσα/n)

exp(−√πσαn).

В частности, если граница Γσ представляет собой единичный круг
Lσ = Lπ/2, то имеем оценку порядка O(exp(−π
nα/2)).

2. Квадратурные формулы
для сингулярного интеграла с ядром Коши

2.1. Формула из предыдущего параграфа может быть использована для сингулярных интегралов, в частности, для сингулярных
интегралов с ядром Коши. Рассмотрим сингулярный интеграл

J(t) =
1

−1

f(x)
t − xdx

и произведем в нем замену

x = th u

2 ,
t = th v

2 .

Применяя затем формально к получившемуся интегралу формулу
Стенджера в узлах

vl = (l + 0.5)h,
l = m − n + 1

2
,

на сетке значений параметра

tl = th vl

2 ,

5

получим аналогичную формулу:

J(tl)=
∞

−∞

F(u)

th vl

2 − th u

2
du ≈

≈ 2h

n
m=1

qk

(1 + qk)2(th vl

2 − th kh

2 )f
qk − 1

qk + 1

.

Для численных экспериментов и отладки программы можно использовать точно берущийся сингулярный интеграл с весом Якоби:
1

−1

(1 − x)α(1 + x)β

t − x
dx = −π
2α − t − 1

sin(πα)
+ ctg(πα)(1 − t)α(1 + t)β.

Здесь 0 < |α| < 1, 0 < |β| < 1, а числа α и β выбираются из условия
α + β = 1. При этом f(x) = (1 − x)α(1 + x)β. Требуется вычислить
значения

f(xk) = (1 − xk)α(1 + xk)β, xk = qk − 1

qk + 1.

Поскольку узлы xk сгущаются к концам промежутка интегрирования по закону геометрической прогрессии, для уменьшения погрешности вычислений следует использовать формулы

1 − xk =
2

1 + qk ,
1 + xk =
2

1 + q−k .

2.2. В статье А. А. Корнейчука [7] рассмотрен сингулярный интеграл

I(t) = 1

π

1

−1

f(x)w(x)

x − t
dx,
(1.2.1)

где w(x) ≥ 0 — весовая функция, t ∈ (−1, 1), и построена интерполяционная квадратурная формула вида

I(t) ≈ 1

π

n
m=1

f(xm)
qn(xm) − qn(t)
p′n(xm)(xm − t)
,
(1.2.2)

точная для алгебраического многочлена n-й степени. Узлы формулы (1.2.2) есть узлы формулы гауссова типа c весом w(x) по промежутку [−1, 1] и являются корнями ортогонального многочлена

6

pn(x), функция qn(t) определяется равенством

qn(t) =
1

−1

pn(x)w(x)

x − t
dx

и носит название функции второго рода. В случае, если интеграл
(1.2.1) вычисляется в нулях функции qn(t): qn(tj) = 0, j = 1, l, то
формула (1.2.2) в этих точках примет вид

I(tj) ≈ 1

π

n
m=1

f(xm)qn(xm)

p′n(xm)(xm − tj).
(1.2.3)

Формула (1.2.3) есть результат применения формулы гауссова
типа с весом w(x) по промежутку [−1, 1]
1

−1
w(x)F(x)dx ≈

n
m=1
AmF(xm)

к функции

F(x) = f(x)

x − tj
.

При этом

|R(tj)| ≤ 2

π En−1α(1),

где

α(x) =
x

−1
w(τ)dτ,
En−1 =
max
x∈[−1,1] |f ′(x) − Ln−1(x)|,

Ln−1(x) — многочлен наилучшего приближения для f ′(x).
Отдельно остановимся на случаях, когда

w(x) = (1 − x)α(1 + x)β, α, β = ±1/2 ,

так как они часто встречаются в приложениях. Для удобства обозначений формулу (1.2.3) перепишем в виде

I(tj) ≈ 1

π

n
m=1
AmF(xm),
(1.2.4)

где

Am = qn(xm)

p′n(xm),
F(x) = f(x)

x − tj
.

7

Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть α = β = −1/2, т. e. w(x) = (1 − x2)−1/2. В данном случае
имеем

Pn(x) = Tn(x), Tn(x) = cos(n arccosx), n = 0, 1, . . .,

Qn(x) = πUn−1(x), Un−1(x) = sin(n arccosx)
√

1 − x2
, n = 1, 2, . . .

При этом в формуле (1.2.4) надо положить

xm = cos 2m − 1

2n
π, Am = π

n, m = 1, n, tj = cos πj

n , j = 1, n − 1.

2) α = β = 1/2, w(x) =
√

1 − x2. Имеем

Pn(x) = Un(x), Qn(x) = πTn+1(x),

xm = cos πm

n + 1, Am =
π

n + 1 sin2 mπ

n + 1, m = 1, n,

tj = cos 2j − 1

2(n + 1)π, j = 1, n + 1.

3) α = 1/2, β = −1/2, w(x) =
1−x
1+x. В этом случае

Pn(x) = Tn+1(x) − Tn(x)

1 − x
, Qn(x) = π
Un(x) − Un−1(x)
,

xm = cos
2m

2n + 1π, Am =
4π

2n + 1 sin2
mπ

2n + 1, m = 1, n,

tj = cos 2j − 1

2(n + 1)π, j = 1, n .

2.3. В статье [40] получена квадратурная формула, аналогичная формуле А. А. Корнейчука, для вычисления коэффициентов
которой предложен устойчивый численный алгоритм. Именно для
вычисления интеграла

I(f|t) =
b

a

w(x)f(x)

t − x
dx
(1.2.5)

cтроится квадратурная формула, точная для многочлена n-й степени, для чего f(x) разлагается в ряд по системе многочленов pk(x),

8

ортогональных на [a, b]:

f(x) =

∞
k=0
akpk(x).
(1.2.6)

Подставляя (1.2.6) в (1.2.5), приходим к квадратурной формуле:

I(f|t) ≈

n
k=0
akqk(t),
(1.2.7)

qk(t) =
b

a

w(x)pk(x)

t − x
dx, k = 0, 1, . . .

Система многочленов pk(x) удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению:

pk+1(x) = (Akx + Bk)pk(x) − Ckpk−1(x), k = 1, 2, . . .,

p0(x) = 1, p1(x) = A0x + B0.

Рассмотрим полином:

Pn(x) = pn,nxn + pn,n−1xn−1 + . . . pn,1x + pn,0.

В этих обозначениях

An = pn+1,n+1

pn,n
, Bn = An
pn+1,n

pn+1,n+1
− pn,n−1

pn,n

,

Cn = pn+1,n+1pn−1,n−1

p2n,n

N 2
n

N 2
n−1
, N 2
n =
b

a
w(x)p2
n(x)dx.

Аналогичному соотношению удовлетворяет и система функций
qk(x), причем

q0(x) =
b

a

w(x)
t − xdx, q1(x) = p1(x)q0(x) − A0N0.

Для вычисления квадратурной суммы (1.2.7) предложен алгоритм Кленшоу.
Строится последовательность чисел bk, k =
n, n − 1, . . . , 0, следующего вида:

bk = ak + (Akt + Bk)bk+1 − Ck+1bk+2,

9

где
bn+1 = bn+2 = 0.

После этого значения суммы (1.2.7) даются формулой:

I(f|t) ≈

n
k=0
akqk(t) = b0q0(t) − b1N0A0.

Числа ak могут быть найдены из соотношения:

ak = N −1
k

n
i=0
ηipk(xi)f(xi), k = 0, n,

где xi — корни pn+1(x),

η−1
i
=

n
j=0
p2
j(xi), i = 0, n.

при этом значения xi и pj(xi), i, j = 0, n, предлагается находить
с помощью трехдиагональной матрицы вида:

M = (mkl), mk,l =

⎧
⎪
⎪
⎪
⎨

⎪
⎪
⎪
⎩

−Bk−1/Ak−1,
k = l,
Ck−1/Ak−1,
k = l + 1,
1/Ak−1,
k = l − 1,
0,
|k − l| > 1,

k, l = 1, n + 1,

и соотношения
Mpi = xipi, i = 1, n,

pi =
p0(xi), p1(xi), . . . , pn(xi)
′
,

т. е. pi и xi — i-й собственный вектор матрицы M и соответствующее
ему собственное число.

2.4.
В работе [15] рассмотрены сингулярные интегралы:

I(t) =

√

1 − t2

π

1

−1

f(x)
√

1 − x2(x − t)
dx,

10