Практикум по математическим основам информатики. Ч. 1. Системы счисления. Двоичная арифметика. Представление чисел в памяти ЭВМ

московский 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ 
УНИВЕРСИТЕТ 

Р Е Д А К Ц И О Н Н Ы Й 

С
О
В
Е
Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 

ЛХ. 
ГИТИС 

Члены 
редсовета 

ИВ. ДЕМЕНТЬЕВ 

АЛ. ДМИТРИЕВ 

Б.А. КАРТОЗИЯ 

M B. КУРЛЕНЯ 

В.И ОСИПОВ 

э.м. 
СОКОЛОВ 

КН. ТРУБЕЦКОЙ 

В.В. ХРОНИН 

В А. ЧАНТУРИЯ 

Е.И. ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
МГГУ, 
чл. -корр. 
РАН 

директор 
Издательства 
МГГУ 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

академик 
МАН 
ВШ 

академик 
РАН 

профессор 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

А.Л. Мейлахс 

ЧАСТЬ 1 

Системы 
счисления. 
Двоичная 
арифметика. 
Представление 
чисел в памяти 
ЭВМ 

А 

П О 
М А Т Е М А Т И Ч Е С К И М 

О
С
Н
О
В
А
М 

ИНФОРМАТИКИ 

Допущено 
Учебно-методической 
комиссией по специальности 
«Управление и информатика 
в технических системах» 
в качестве методических 
указаний для студентов вузов, 
обучающихся по направлению 
подготовки инженеров 651900 
«Автоматизация и управление» 
специальности 210100 
«Управление и информатика 
в технических системах» 
и направлению подготовки 
бакалавров 550200 
«А втоматизация 
и управление» 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО 
У Н И В Е Р С И Т Е Т А 

2004 

УДК 519.6:622 
ББК 22.131 
М41 

Экспертиза проведена 
Учебно-методической комиссией по специальности 210100 
«Управление и информатика в технических системах» 
Московского государственного горного университета 
(выписка из протоколам 1 от 05.09.2003) 

Книга соответствует 
«Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для 
взрослых СанПиН 1.2.1253—3», утвержденным Главным 
санитарным врачом России 30 марта 2003 г. 

Мейлахс А.Л. 

М41 
Практикум по математическим основам информатики: 
Метод, указания. — М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2004. — Ч. 1: Системы 
счисления. Двоичная арифметика. Представление чисел в 
памяти ЭВМ. — 63 с. 

Даны материалы практических занятии по темам «Системы счисления, 
применяемые в ЭВМ», «Арифметические операции над двоичными числами», 
«Представление чисел в памяти ЭВМ». Материал практических занятий изложен 
в форме, позволяющей студенту самостоятельно изучить его, познакомиться с 
примерами, выполнить упражнения, проверить правильность их выполнения. 

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки инженеров 651900 «Автоматизация и управление» специальности 
210100 «Управление и информатика в технических системах» и направлению 
подготовки бакалавров 550200 «Автоматизация и управление». 

УДК 519.6:622 
ББК 22.131 

© А.Л. Мейлахс, 2004 
© Издательство МГГУ, 2004 
© Издательство «Горная книга», 2004 
© Дизайн книги. Издательство МГГУ, 
2004 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1. 
«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ» 
Литература: [1, 2, 3, 6] 

ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

Системой счисления называют совокупность правил для записи чисел с помощью определенных: символов - цифр. Все известные системы счисления подразделяют на два класса: непозиционные и позиционные. 
Для позиционных систем счисления 
характерна однозначная связь между количественным значением 
цифры и ее положением в записи числа. Классическим примером 
позиционной системы счисления является обыденная для нас 
десятичная система. 

Непозиционные системы счисления разнообразны, правила 
связывающие позицию цифры в записи числа с ее количественным значением и значением числа в целом могут быть сложны и 
неоднозначны. В силу этого недостатка непозиционные системы 
счисления практически вышли из повседневного употребления. 

• Примеры 
1. Десятичное число 1987,95 дважды содержит в своей записи цифру «9», однако, мы понимаем, что количественное значение этой цифры различно. В разряде сотен «9» имеет количественное значение 900. в разряде десятых - 0,9. Правило, связывающее количественное значение цифры и позицию в записи 
числа, не допускает разночтения. 

Запись числа в некоторой позиционной системе счисления 
является частным случаем обобщенной записи числа, рассматриваемой ниже. 

2. Сравнение десятичных чисел 103 и 45 выполняется естественно и не требует количественной оценки. Достаточно убе
- 3 

диться в том, что в записи первого числа содержится большее 
число разрядов! Непозиционные системы счисления таким достоинством не обладают. 

3. Двоичные числа содержат в своей записи лишь пару цифр 
«О» и «1», однако, любое число может быть однозначно записано 
и прочитано! Единственным недостатком является, возможно, 
значительная длина записи числа. 

4. Римский способ записи чисел является непозиционной 
системой счисления. На примере римских чисел можно проследить и основные недостатки непозиционных систем счисления. 

При записи римских чисел используется семь цифр: I - 1, V 
- 5, X - 10, L - 50, С - 100, D - 500, М - 1000 (слева в каждой 
паре указано значение цифры в десятичной системе); и огромное 
количество правил чтения. Так пара одних и тех же цифр ГХ - 9 и 

XI - 11 читается совершенно по разному, в одном случае надо 
прибавить к десяти единицу, в другом - отнять. Кроме пар цифр в 
римской записи существуют еще и тройки, четверки, например 
XXX - 30, VIII - 8. При этом не все пары, тройки и четверки цифр 
разрешены, например запрещены группы ГШ, 1ГХ. 

Перед прочтением римского числа необходимо правильно 
разбить его запись на группы цифр, что в случае длинной записи 
затруднительно. К тому же теряется связь между длиной записи и 
количественным значением числа. Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на пару римских чисел отличающихся на единицу: 

МСМХСГХ- 1999, 
ММ - 2000. 

5. Система счисления, вероятно, использовавшаяся нашими 
первобытными предками, содержала одно единственное правило: 
количественное значение числа соответствует числу сделанных 
«заметок». Так число 13 необходимо было записывать так 

- 4 

/ / / / / / / / / / / / / . 

Данная система счисления при всей примитивности правил записи является непозиционной. • 

Определим еще несколько понятий, связанных с позиционными системами счисления. Позицию цифры в записи числа в 
позиционной системе счисления именуют разрядом. Количество 
цифр применяемых при записи числа в позиционной системе 
счисления называют основанием системы счисления. 

• Примеры 

1. Десятичная система счисления построена на записи чисел 
символами десяти арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9. Их 
количественные значения очевидны. Десятичную форму записи 
числа часто называют естественной. 

2. Двоичная запись числа строится на применении двух первых арабских цифр: О, Л. 

3. Восьмеричная система счисления использует первые восемь арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 

4. В шестнадцатеричной системе счисления задействованы 
все десять арабских цифр: 0, 1, ... , 8, 9, кроме того введены дополнительные цифры с количественными значениями от десяти 
до пятнадцати - заглавные буквы латинского алфавита: А - 10, 
В - 1 1 , С - 12, D - 13, Е - 14, F - 15. • 

При работе в нескольких системах счисления используют 
расширенную 
запись числа, позволяющую безошибочно определять принадлежность записи к той или иной системе счисления. В 
расширенной записи числа 

А(Р)> 

- 5