Основы теории устойчивости упругих систем

Учебное пособие

С. М. Бауэр, Л. А. Венатовская,
Е. Б. Воронкова

ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ
УПРУГИХ СИСТЕМ

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ланко, Немиров (без прилож).indd   103
Ланко, Немиров (без прилож).indd   103
21.03.2017   12:52:41
21.03.2017   12:52:41

УДК 534.1
ББК 22.251
Б29

Р е ц е н з е н т ы:
д-р техн. наук, проф. П. И. Бегун (С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т «ЛЭТИ»); д-р физ.-мат. наук, проф. С. Б. Филиппов
(С.-Петерб. гос. ун-т)

Печатается по решению
Учебно-методической комисией
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

Б29
Бауэр С. М., Венатовская Л. А., Воронкова Е. Б.
Основы теории устойчивости упругих систем: учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2017. — 52 с.

ISBN 978-5-288-05739-7

В учебном пособии кратко изложены основы теории устойчивости
упругих систем. Особое внимание уделено задачам, в которых важно более точно определить нетривиальное докритическое состояние конструкции, даны основы теории Койтера — теории послекритического поведения конструкций.
Пособие предназначено для студентов, специализирующихся по направлению «Механики».

УДК 534.1

ББК 22.251

ISBN 978-5-288-05739-7

c⃝
С. М. Бауэр, Л. А. Венатовская,
Е. Б. Воронкова, 2017
c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2017

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1. Cтатический критерий устойчивости. Cмежные формы равновесия. Метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

2. Энергетический критерий устойчивости. Метод Лагранжа—
Дирихле .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

3. Динамический критерий устойчивости. Метод Лагранжа—
Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

4. Нелинейное явление скачкообразной потери устойчивости . . . . .
28

5. Бифуркационная потеря устойчивости при нетривиальном докритическом состоянии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

6. Бифуркационная потеря устойчивости при нелинейном докритическом состоянии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

7. Теория Койтера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

ВВЕДЕНИЕ

Анализ устойчивости упругих конструкций является очень важным во многих инженерных областях, таких как кораблестроение,
авиа- и ракетостроение, архитектура и гражданское строительство.
В курсах теории упругости и механики деформируемого тела вопросам устойчивости конструкций не уделяется должного внимания. Как правило, рассматривается только устойчивость стержней
с тривиальным докритическим состоянием.
Возможность искривления длинных упругих тел с прямолинейной осью, сжимаемых в направлении их оси, еще в древности обращала на себя внимание зодчих [1, 12, 13]. Однако никаких зависимостей величины нагрузки, при которой происходит «искривление»
упругих тел, от параметров этих тел не было отмечено до начала
XVIII века, когда голландский физик-экспериментатор Питер ван
Мушенбрук, почетный член Парижской и Петербургской Академий
наук, известный прежде всего своими работами по электричеству (к
числу наиболее известных его достижений относится первый конденсатор — лейденская банка), создал экспериментальную установку для исследования напряжений упругих тел при растяжении и
сжатии. Им было установлено, что при сжатии стержня критическая сила, вызывающая «искривление», обратно пропорциональна
квадрату длины стержня. В 1729 году Питер ван Мушенбрук защитил диссертацию на эту тему и опубликовал монографию.
Основы теории устойчивости упругих систем были заложены
Леонардом Эйлером, который по совету Даниила Бернулли начал
заниматься этим вопросом. В 1744 году Эйлер впервые применил
статический критерий устойчивости для исследования устойчивости шарнирно-опертого сжатого стержня [19]. Энциклопедией в вопросах устойчивости конструкций называют монографию Вольмира А. С. [6]. Новые результаты, полученные за последние полвека

4

в области устойчивости, представлены также в трехтомном труде Перельмутера А. В. и Сливкера В. И. [14]. Наиболее сложные
вопросы, касающиеся устойчивости тонких оболочек, освещены в
ряде монографий [20, 23] и специальных статьях.
Цель настоящего учебного пособия — кратко изложить основы
теории устойчивости упругих систем, обратить внимание на задачи, в которых важно более точно определить нетривиальное докритическое состояние конструкции, изложить также основы теории
Койтера [25] — теории послекритического поведения конструкций.
Основу
учебного
пособия
составляет
часть
курса
лекций
«Устойчивость упругих систем», который много лет читается на
математико-механическом факультете для студентов отделения механики. В первых двух разделах рассматриваются задачи устойчивости упругих конструкций, находящихся под действием статических нагрузок. Кратко обсуждаются три основных критерия, обычно использующихся для таких исследований (в литературе иногда
рассматривается также четвертый критерий, называемый «критерий начальных несовершенств» [6, 18]). Пользуясь этими критериями, можно исследовать устойчивость различных систем и определить критические значения консервативных и неконсервативных
сил.

1. CТАТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ.
CМЕЖНЫЕ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ.
МЕТОД ЭЙЛЕРА

В классических задачах линейной теории упругости, когда допускаются только бесконечно малые деформации, предполагается,
что условия равновесия выполняются за счет сил, действующих на
недеформируемую упругую систему. Это допущение, которое существенно для теоремы Кирхгофа [15], ведет к существованию единственного решения линейной системы уравнений, описывающей напряженно-деформированное состояние механической конструкции.
Согласно теореме Кирхгофа задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещения тела как твердого целого. Это решение
непрерывно зависит от внешних возмущений (внешних сил и заданных перемещений на границе тела), т. е. является устойчивым.
Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций,
была положительно определенной функцией деформаций.
В формулировке задачи бифуркации условия равновесия удовлетворяются за счет сил, действующих на деформированную систему. Это приводит к нелинейной постановке задачи в том смысле,
что перемещения не являются линейными функциями приложенных внешних сил1.
Уравнения бифуркации получаются при рассмотрении вариаций нелинейных уравнений. Каждая неизвестная величина x в этих
уравнениях заменяется на x0 + δx. Здесь x0 описывает начальное
равновесное состояние. Устойчивость такого начального состояния,

1 Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения решений дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров.

6

удовлетворяющего нелинейной системе уравнений, должна быть исследована. Дополнительные перемещения или вариации δx описывают смежное равновесное состояние, которое бесконечно близко
к начальному состоянию. Эти вариации удовлетворяют линейным
однородным уравнениям (уравнениям ветвления, выпучивания или
бифуркации) и однородным граничным условиям, которые получаются как результат линеаризации изначально нелинейных уравнений относительно δx (см. параграф 1.1 в [9]). Рассматривая нетривиальные решения уравнений бифуркации, можно получить величину критической силы. При таком подходе удобно полагать, что
нагрузка меняется пропорционально параметру нагружения λ > 0.
Тогда переменные x0 описывают первоначальное положение равновесия, а коэффициенты уравнений бифуркации зависят от параметра λ. Таким образом, задача о потере устойчивости сводится к
задаче на собственные значения. Наименьшее (положительное) собственное значение принимается за величину критического значения
λ = λ∗, соответствующего бифуркации в новое положение равновесия. Такой подход называется статическим критерием или критерием Эйлера.

Задача 1

Пользуясь критерием Эйлера, получить критическую нагрузку
потери устойчивости шарнирно опертого стержня при осевом сжатии (рис. 1).
Длина стержня — l, момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси — I, модуль Юнга — E, осевая сила — P.

Рис. 1. Шарнирно опертый стержень при осевом сжатии

7

Решение

Равновесие стержня описывается уравнением

EI d4w

dx4 + P d2w

dx2 = 0,
(1)

где w — поперечное смещение оси стержня. Граничные условия для
шарнирно опертого стержня имеют вид

w (0) = 0,
d2w
dx2

x=0
= 0,
w (l) = 0,
d2w
dx2

x=l
= 0.

Необходимо определить те значения величины P, при которых
уравнение допускает нетривиальные решения.
Общее решение уравнения (1) имеет вид

w (x) = A sin kx + B cos kx + Cx + D,
(2)

где

k2 = P

EI
или
P = EIk2.

Подставляя соотношение (2) в граничные условия, получаем

B = C = D = 0,
sin kl = 0.
(3)

Наименьшее ненулевое значение kl, удовлетворяющее (3), равно π.
Следовательно,

Pcr = π2EI

l2
.

Этот подход имеет несколько недостатков. Во-первых, он не отвечает прямо на вопрос об устойчивости упругого тела. Он связан с
этим вопросом довольно косвенным образом, поскольку определяет лишь нагрузку (нагрузки), при которых существуют бесконечно
близкие смежные положения равновесия. Во-вторых, подход Эйлера не учитывает распределение массы в системе, и в некоторых
случаях он может давать неверный результат. Например:
• когда начальное положение равновесия становится неустойчивым
без появления бесконечно близких положений равновесия и система начинает испытывать явление флаттера (см. вторую часть
решения задачи 4);

8

• когда исследуемое положение равновесия устойчиво и существуют близкие положения равновесия, но они неустойчивы (см. [18]).
Для многих неконсервативных систем результаты, полученные на
основе статического критерия, оказываются неверными (например, исследование устойчивости стержня под действием осевой
сжимающей следящей силы). Тем не менее, для консервативных
систем этот подход дает верные результаты.

2. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ.
МЕТОД ЛАГРАНЖА—ДИРИХЛЕ

При исследовании устойчивости равновесия упругих систем
удобно пользоваться энергетическим критерием. Он основан на теореме Лагранжа—Дирихле, которая утверждает, что если для механической системы под действием статических консервативных сил
с идеальными голономными стационарными связями2 потенциальная энергия в положении равновесия достигает строгого минимума
(т. е. положительно определена), то это положение устойчиво. Например, чтобы доказать, что система с одной степенью свободы
имеет устойчивое положение равновесия, нужно вычислить потенциальную энергию этой системы Π и показать, что Π′ = 0 и Π′′ > 0
в положении равновесия.

Задача 2

Исследовать устойчивость изогнутого стержня, рассматриваемого в задаче 1. Такая форма описывает закритическое состояние
стержня.

Решение

Если один конец стержня может смещаться только в осевом направлении, то главная деформация после потери устойчивости —
изгиб. Положим, что стержень нерастяжим вдоль своей продольной оси. Тогда осевое перемещение u(s) равно

u (s) = −
s

0
(1 − cos θ) ds,

2 Работа, совершенная идеальными связями на любом виртуальном перемещении, равна нулю. Голономные связи не зависят от скоростей и ускорений.

9

где s — координата вдоль оси стержня (см. рис. 1), θ = dw

ds — тангенс угла наклона изогнутого стержня. Изгибающий момент равен

M = EI dθ

ds,

так что потенциальная энергия принимает вид [1, 6]

Π =
l

0

1
2EI
dθ

ds

2
− P (1 − cos θ)

ds.

Для малых, но конечных деформаций упругая кривая может
быть аппроксимирована первой формой, т. е. w1 = sin πs

l . Тогда
решение для изогнутого стержня в первом приближении имеет вид

θ(s) = c θ1(s),
где θ1(s) = cos πs

l .

Здесь θ1(s) — функция, описывающая форму функции угла поворота для первой формы потери устойчивости, а параметр c характеризует величину угла. Так как θ мало, имеем

cos θ = 1 − 1

2θ2 + 1

24θ4 − · · · ,

1 − cos θ = 1

2θ2 − 1

24θ4 − · · ·

Далее:

Π ≃ EIπ2c2

4l
− Pc2l

4
+ Pc4l

64
= EI

4l

c2 − P

Pcr
c2 +
P

16Pcr
c4
,

Pcr = π2EI

l2
,

и

Π′
c ≃ EI

4l

2c
1 − P

Pcr

+
P

4Pcr
c3
= 0,
(4)

Π′′
c ≃ EI

4l

2
1 − P

Pcr

+ 3P

4Pcr
c2
.

10

Уравнение (4) имеет два корня: c1 = 0, который соответствует

недеформированному стержню, и c2 = ±2
√

2

(P − Pcr)

P
, который

существует только при P > Pcr и соответствует форме выпучивания, описываемой первой собственной функцией.
При c = 0

Π′′
c = EI

2l

1 − P

Pcr

.

Эта величина положительна только тогда, когда P < Pcr, т. е. недеформированный стержень устойчив при всех P меньших, чем критическая нагрузка, и неустойчив при всех P > Pcr.

При c2 = 8 (P − Pcr)

P

Π′′
c = EI

4l

2
1 − P

Pcr

+ 3P

4Pcr

8 (P − Pcr)

P

≃ 4EI

l
(P − Pcr)

Pcr
.

Эта величина положительна при P > Pcr, т. е. изогнутый стержень устойчив при всех P > Pcr. Подробнее эта задача рассмотрена
в [1, 6, 12, 18].

3. ДИНАМИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ.
МЕТОД ЛАГРАНЖА—ЛЯПУНОВА

Самый общий подход к исследованию устойчивости заключается в том, чтобы рассмотреть свободные колебания упругой системы
относительно ее положения равновесия и исследовать возмущение
этого движения. Этот метод, называемый динамическим критерием устойчивости, был первоначально предложен Лагранжем для
консервативных механических систем. Позднее Ляпунов А. М. создал строгую математическую теорию устойчивости движения и
дал определение устойчивости равновесия как частного случая движения. Равновесие механической системы считается устойчивым,
если при любых малых начальных отклонениях от этого состояния
(перемещениях и скоростях) можно сделать сколь угодно малыми
отклонения в любой другой момент времени.
Динамический критерий может применяться в любой задаче об
устойчивости упругих систем, но следует заметить, что исследование устойчивости возмущенного движения — гораздо более сложная задача, чем задача, соответствующая критерию Эйлера — определение нагрузок, при которых система допускает нетривиальные

11