Основы теории устойчивости упругих систем

Учебное пособие

С. М. Бауэр, Л. А. Венатовская,
Е. Б. Воронкова

ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ
УПРУГИХ СИСТЕМ

ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ланко, Немиров (без прилож).indd   103
Ланко, Немиров (без прилож).indd   103
21.03.2017   12:52:41
21.03.2017   12:52:41

УДК 534.1
ББК 22.251
Б29

Р е ц е н з е н т ы:
д-р техн. наук, проф. П. И. Бегун (С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т «ЛЭТИ»); д-р физ.-мат. наук, проф. С. Б. Филиппов
(С.-Петерб. гос. ун-т)

Печатается по решению
Учебно-методической комисией
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

Б29
Бауэр С. М., Венатовская Л. А., Воронкова Е. Б.
Основы теории устойчивости упругих систем: учебное пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2017. — 52 с.

ISBN 978-5-288-05739-7

В учебном пособии кратко изложены основы теории устойчивости
упругих систем. Особое внимание уделено задачам, в которых важно более точно определить нетривиальное докритическое состояние конструкции, даны основы теории Койтера — теории послекритического поведения конструкций.
Пособие предназначено для студентов, специализирующихся по направлению «Механики».

УДК 534.1

ББК 22.251

ISBN 978-5-288-05739-7

c⃝
С. М. Бауэр, Л. А. Венатовская,
Е. Б. Воронкова, 2017
c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2017

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1. Cтатический критерий устойчивости. Cмежные формы равновесия. Метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

2. Энергетический критерий устойчивости. Метод Лагранжа—
Дирихле .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

3. Динамический критерий устойчивости. Метод Лагранжа—
Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

4. Нелинейное явление скачкообразной потери устойчивости . . . . .
28

5. Бифуркационная потеря устойчивости при нетривиальном докритическом состоянии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

6. Бифуркационная потеря устойчивости при нелинейном докритическом состоянии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

7. Теория Койтера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

ВВЕДЕНИЕ

Анализ устойчивости упругих конструкций является очень важным во многих инженерных областях, таких как кораблестроение,
авиа- и ракетостроение, архитектура и гражданское строительство.
В курсах теории упругости и механики деформируемого тела вопросам устойчивости конструкций не уделяется должного внимания. Как правило, рассматривается только устойчивость стержней
с тривиальным докритическим состоянием.
Возможность искривления длинных упругих тел с прямолинейной осью, сжимаемых в направлении их оси, еще в древности обращала на себя внимание зодчих [1, 12, 13]. Однако никаких зависимостей величины нагрузки, при которой происходит «искривление»
упругих тел, от параметров этих тел не было отмечено до начала
XVIII века, когда голландский физик-экспериментатор Питер ван
Мушенбрук, почетный член Парижской и Петербургской Академий
наук, известный прежде всего своими работами по электричеству (к
числу наиболее известных его достижений относится первый конденсатор — лейденская банка), создал экспериментальную установку для исследования напряжений упругих тел при растяжении и
сжатии. Им было установлено, что при сжатии стержня критическая сила, вызывающая «искривление», обратно пропорциональна
квадрату длины стержня. В 1729 году Питер ван Мушенбрук защитил диссертацию на эту тему и опубликовал монографию.
Основы теории устойчивости упругих систем были заложены
Леонардом Эйлером, который по совету Даниила Бернулли начал
заниматься этим вопросом. В 1744 году Эйлер впервые применил
статический критерий устойчивости для исследования устойчивости шарнирно-опертого сжатого стержня [19]. Энциклопедией в вопросах устойчивости конструкций называют монографию Вольмира А. С. [6]. Новые результаты, полученные за последние полвека

4

в области устойчивости, представлены также в трехтомном труде Перельмутера А. В. и Сливкера В. И. [14]. Наиболее сложные
вопросы, касающиеся устойчивости тонких оболочек, освещены в
ряде монографий [20, 23] и специальных статьях.
Цель настоящего учебного пособия — кратко изложить основы
теории устойчивости упругих систем, обратить внимание на задачи, в которых важно более точно определить нетривиальное докритическое состояние конструкции, изложить также основы теории
Койтера [25] — теории послекритического поведения конструкций.
Основу
учебного
пособия
составляет
часть
курса
лекций
«Устойчивость упругих систем», который много лет читается на
математико-механическом факультете для студентов отделения механики. В первых двух разделах рассматриваются задачи устойчивости упругих конструкций, находящихся под действием статических нагрузок. Кратко обсуждаются три основных критерия, обычно использующихся для таких исследований (в литературе иногда
рассматривается также четвертый критерий, называемый «критерий начальных несовершенств» [6, 18]). Пользуясь этими критериями, можно исследовать устойчивость различных систем и определить критические значения консервативных и неконсервативных
сил.

1. CТАТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ.
CМЕЖНЫЕ ФОРМЫ РАВНОВЕСИЯ.
МЕТОД ЭЙЛЕРА

В классических задачах линейной теории упругости, когда допускаются только бесконечно малые деформации, предполагается,
что условия равновесия выполняются за счет сил, действующих на
недеформируемую упругую систему. Это допущение, которое существенно для теоремы Кирхгофа [15], ведет к существованию единственного решения линейной системы уравнений, описывающей напряженно-деформированное состояние механической конструкции.
Согласно теореме Кирхгофа задача о равновесии любого упругого тела в линейной постановке имеет единственное решение с точностью до перемещения тела как твердого целого. Это решение
непрерывно зависит от внешних возмущений (внешних сил и заданных перемещений на границе тела), т. е. является устойчивым.
Для справедливости теоремы Кирхгофа достаточно, чтобы потенциальная энергия, накопленная в теле в результате деформаций,
была положительно определенной функцией деформаций.
В формулировке задачи бифуркации условия равновесия удовлетворяются за счет сил, действующих на деформированную систему. Это приводит к нелинейной постановке задачи в том смысле,
что перемещения не являются линейными функциями приложенных внешних сил1.
Уравнения бифуркации получаются при рассмотрении вариаций нелинейных уравнений. Каждая неизвестная величина x в этих
уравнениях заменяется на x0 + δx. Здесь x0 описывает начальное
равновесное состояние. Устойчивость такого начального состояния,

1 Теория бифуркаций динамических систем описывает качественные, скачкообразные изменения решений дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении параметров.

6