Курс высшей математики для горных вузов : Ч. 2

90-летию
МГА–МГИ–МГГУ
посвящается

РАН
академик

РАН
академик

РАН
академик

РАН
академик

академик МАН ВШ

академик МАН ВШ

РАЕН
академик

академик МАН ВШ

РАЕН
академик

РАЕН
академик

Издательства
директор
МГГУ

чл.-корр.
президент МГГУ,
РАН

В.А. ЧАНТУРИЯ

Е.И. ШЕМЯКИН

В.И. ОСИПОВ

РАН
академик
К.Н. ТРУБЕЦКОЙ

В.Л. ПЕТРОВ

Э.М. СОКОЛОВ

А.П. ДМИТРИЕВ

Б.А. КАРТОЗИЯ

А.В. КОРЧАК

М.В. КУРЛЕНЯ

И.В. ДЕМЕНТЬЕВ

Л.Х. ГИТИС

Л.А. ПУЧКОВ

Председатель

Зам. председателя

Члены редсовета

РЕДАКЦИОННЫЙ

С
О
В
Е
Т

ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО
ГОРНОГО
УНИВЕРСИТЕТА

образование
Горное

Допущено Учебно-методическим
объединением вузов Российской Федерации
по образованию в области горного дела
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальности «Экономика
и управление на предприятии горной
промышленности»

2009

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

МОСКВА

КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
для горно-экономических
специальностей бакалавриата

Издание 2-е,
стереотипное

Часть 2

Волк
В.Я.

УДК 517 
ББК  22.1 
В 61 
 
 
Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для 
взрослых. СанПиН 1.2.1253 ⎯ 03», утвержденным Главным государственным 
санитарным врачом России 30 марта 2003 г.(ОСТ 29.124–94). Санитарноэпидемиологическое заключение Федеральной службы по надзору в сфере 
защиты прав потребителей № 77.99.60.953.Д.008501.07.07 
Экспертиза проведена Учебно-методическим объединением высших учебных 
заведений Российской Федерации по образованию в области горного дела  
 
 
 
Рецензенты: 
• д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.П. Пытьев (Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова);  
• д-р физ.-мат. наук, проф. Э.М. Карташов (Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М.В. Ломоносова) 
 
 
      Волк В.Я. 
В 61  
Курс высшей математики для горных вузов: Учебное пособие.⎯ 
2-е изд., стер. – М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2009. ⎯ Часть 2. ⎯ 148 с.: ил. 
ISBN 978-5-7418-0546-6 
 
Вторая часть пособия включает в себя специальные курсы высшей математики программы горно-экономических специальностей бакалавриата втузов. 
Сжато изложена теория вероятностей и более подробно ⎯ методы математической статистики. В теории игр основное внимание уделено задачам, решение 
которых нетрудно довести до численного результата. В последней части пособия 
рассмотрены методы оптимизации на графах. 
Изложенное иллюстрируется примерами. 
Для студентов вузов, обучающихся по специальности «Экономика и управление на предприятии горной промышленности». 
УДК 517 
ББК  22.1 
 
ISBN 978-5-7418-0546-6                          © В.Я. Волк, 2005, 2009 
                                                                   © Издательство МГГУ, 2005, 2009 
                                                                   © Дизайн книги.  Издательство 
                                                                       МГГУ, 2005, 2009 

ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА

ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА

Ч А С Т Ь
Ч А С Т Ь

III

I

É ã
Ä
Ç Ä
 
 
 
 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

В основе элементарной теории вероятностей лежат понятия 
испытания и события. Попытки определить эти понятия обычно приводят к тавтологии, поэтому поясним их на примерах. 
Подбрасываем монету ⎯ это испытание. Монета падает гербом кверху ⎯ это событие. Достаем из колоды четыре карты ⎯ 
это испытание. Все карты оказываются разной масти ⎯ это событие. 
Измеряем температуру ⎯ это испытание. 
Температура нормальная ⎯ это событие. 
Кладем деньги в банк ⎯ это испытание. Банк лопнул ⎯ это 
событие. 
Другими словами, событие ⎯ это исход испытания. 
Может оказаться, что событие является необходимым следствием испытания. Например, если из колоды взяты четыре карты, то в колоде станет на четыре карты меньше. 
Такое событие называется достоверным. Наоборот, событие, 
которое не может произойти в результате испытания, называется невозможным. 
События обозначают прописными буквами латинского алфавита: А, В, С. 
Над событиями можно производить операции сложения и умножения. Эти операции скорее логические, чем арифметические. 
Сумма событий А
В
+
 ⎯ это событие, которое состоит в 
том, что произошло хотя бы одно из событий А или В в результате данного испытания. 
Произведение событий АВ — это событие, которое состоит 
в том, что в результате испытания произошли оба события А и В. 

Например, пусть испытание — это экзамен. Событие А состоит в том. Что студент сдал экзамен на «3» или «4», событие В 
— на «4» или «5». 
Тогда событие А
В
+
 состоит в том, что студент вообще 
сдал экзамен. А событие АВ — в том, что студент сдал экзамен 
на «4». 
Для сложения и умножения событий выполняются обычные 
свойства этих операций: 
а) коммутативность  

А
В
В
А
+
=
+
, АВ
ВА
=
; 

б) ассоциативность 

(
)
(
)
А
В
С
А
В
С
+
+
=
+
+
, (
)
(
)
АВ С
А ВС
=
; 

в) дистрибутивность 

(
)
А В
С
АВ
АС
+
=
+
. 

Эти равенства легко проверяются. 
Роль нуля и единицы выполняют невозможное событие ∅ и 
достоверное событие I: 

А +∅ = А, А I
А
=
. 

Событие А, которое состоит в том, что событие А не произошло, называется противоположным к А. Справедливы следующие равенства 

А
А
I
+
=
, А А = ∅ . 

События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно: 

А B = ∅ . 

Важную роль в теории вероятностей играет полная группа 
несовместных событий. 
События 
1
2
,
,...,
n
Н Н
Н  образуют полную группу несовместных событий, если выполняются условия: 

1) 
1
2
...
n
Н
Н
Н
I
+
+
+
=
; 

2) 
i
j
H H = ∅ , ,
1,2,...,
i j
n
=
, i
j
≠
. 

Это значит, что в результате испытания происходит одно и 
только одно событие из полной группы попарно несовместных 
событий. 
Основной численной характеристикой события является его 
вероятность. 
Пусть испытание повторяется многократно при неизменных 
условиях. Число таких повторений обозначим N. Если при N испытаниях событие А произошло М раз, то частотой события А 

называется отношение M

N . 

Опыт показывает, что, при увеличении числа испытаний, 
частота события приближается к некоторой величине, которая и 
называется вероятностью события. 
Вероятность не является пределом последовательности частот в обычном смысле. Все члены последовательности, имеющей предел, начиная с некоторого номера, попадают в заранее 
выбранную окрестность этого предела. Члены последовательности частот со сколь угодно большими номерами могут оказаться 
вне заданной окрестности точки, отвечающей вероятности события. Случается это, правда, очень редко. Другими словами, 
вероятность того, что члены последовательности частот с большими номерами не попадут в эту окрестность, очень мала. 
Мы видим, что дали определение вероятности через вероятность, что логически несостоятельно. Корректное определение 
вероятности было дано А.Н. Колмогоровым. К сожалению, оно 
использует математические понятия, которые не излагаются в 
нашем курсе. 
Тем не менее, данное выше интуитивное представление, называемое статистическим определением вероятности, позволяет 
сформулировать ее свойства. 
Обозначим вероятность события А через 
( )
P A . 
Очевидны следующие основные свойства вероятности: 

1) 
( )
0
P A ≥
. 

2) Если А и В ⎯ несовместные события, то  

(
)
( )
( )
P A
B
P A
P B
+
=
+
. 

3) 
( )
1
P I =  

Кроме того, А и A — несовместные события, A
A
I
+
=
. 
Следовательно, (
)
1
P A
A
+
= , 
( )
( )
1
P A
P A
+
= , ( )
( )
1
P A
P A
= −
. 

Отсюда, в частности, следует, что 

( )
1
P A ≤ , 
(
)
0
P ∅ =
. 

Если 
1
2
,
,...,
n
Н Н
Н  — полная группа попарно несовместных 
событий, то  

(
)
1
2
...
1
n
P Н
Н
Н
+
+
+
= , 
(
)
(
)
(
)
1
2
...
1
n
P Н
P Н
P Н
+
+
+
= . 

В случае, когда вероятности всех событий 
1
2
,
,...,
n
Н Н
Н  равны 
между собой  

(
)
i
P H
P
=
, 
1,2,...,
i
n
=
, 

имеем 

1
nР = , 
1
P
n
=
. 

Пусть исходы испытания образуют полную группу n попарно несовместных событий, имеющих одинаковую вероятность и 
событие А равно сумме k из них. Тогда вероятность события А 
равна kР, 

( )
P A
kР
=
, 
( )
k
P A
n
=
. 

Это классическое определение вероятности. 
Обычно оно формулируется так. 
Пусть испытание имеет n равновозможных (т.е. имеющих 
одинаковую вероятность) исходов, и k из них благоприятствуют 
событию А, тогда вероятность события А определим по формуле