Теория вероятностей для горных инженеров в примерах и задачах. Учебное пособие для студентов всех специальностей

УДК 519.2.21
ББК 22.17
 
К43

Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253—03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 29.124—94). 
Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной службы по надзору 
в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека № 77.99.60.953.
Д.014367.12.12

Р е ц е н з е н т ы: 
доктор физ.-мат. наук, заслуженный деятель науки, профессор МАИ 
В.Ф. Формалев;
доктор физ.-мат. наук, зав. отделом ОИВТ РАН РФ, профессор 
В.С. Воробьев

•

•

© В.И. Киреев, 2013
© Издательство «Горная книга», 2013
© Дизайн книги. 
 
Издательство «Горная книга», 2013

ISSN 978-5-98672-350-1 
УДК 519.2.21
ББК 22.17

Киреев В.И.
К43  
Теория вероятностей для горных инженеров в примерах и задачах. Учебное пособие для студентов всех 
специальностей. — М.: Издательство «Горная книга», 
2013. — 252 с. 
ISSN 978-5-98672-350-1

В пособии кратко изложены основные разделы теории вероятностей в основных понятиях, определениях, теоремах и примерах. Даны 
определения различных типов событий, их вероятностей, приведены 
формулы комбинаторики для определения вероятностей событий, 
сформулированы и доказаны основные теоремы, рассмотрены случайные события в технике, формулы полной вероятности и Байеса. 
Применительно к повторным независимым испытаниям описаны 
схема и формула Бернулли, формулы Пуассона, Муавра–Лапласа. 
Описаны случайные величины, интегральная функция и плотность 
распределения, законы распределения с привязкой к практике. Пособие снабжено большим количеством примеров и задач, доходчиво 
поясняющих все основные понятия и формулы теории вероятностей. 
Приведены вопросы для самоконтроля, задачи для контрольных 
и домашних заданий. 
Для студентов технических университетов.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Разделы математики, в которых изучаются методы решения систем линейных уравнений, векторная алгебра и аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное 
исчисления, теория обыкновенных дифференциальных 
уравнений, операционное исчисление, теория функций комплексного переменного, методы математической физики, 
численные методы и другие разделы математики, являются 
основой решения целого ряда научно–технических проблем. 
Эти проблемы решаются на основе моделирования реальных 
физических, экономических задач, задач теории управления и прочности, а также различных задач проектирования 
сложных (в том числе по горному делу) технических систем 
и исследованию разноплановых технологических процессов. 
На основе классических разделов математики разрабатываются и решаются математические модели, которые учитывают 
только основные закономерности, условия осуществления 
изучаемого процесса, ограничения, принятые в этих моделях. 
При этом случайные воздействия на процесс, как правило, не 
учитываются. Влияние случайных воздействий учитывается на 
основе опыта и закладывается в выходные характеристики или 
проектные параметры проектируемого изделия в виде «запасов 
прочности», «запасов устойчивости», запасов по надежности 
функционирования изделия и др.
В этом смысле математическое моделирование физических 
явлений, технологических процессов или расчеты, связанные 
с отработкой элементов конструкций на основе математических моделей, характеризуется свойством определённости 
(детерминированности).
Альтернативой этому классическому направлению применения математики в научно-технических работах является 

теория вероятностей, которая изучает 
закономерности случайных явлений, не 
являющиеся вполне определёнными, так 
как они реализуются с некоторой «вероятностью», т.е. с некоторой возможностью 
наступления того или иного события. 
Однако случайные явления в реальном 
мире представляют собой не исключение, а правило, и это было замечено ещё 
в древности. Так, факты устойчивости 
относительных частот случайных событий, 
связанных с демографическими явлениями 
и вопросами снабжения продовольствием 
больших масс людей, были известны ещё 
в Древнем Китае и Древнем Риме.
Что касается горного дела, то влияние 
основных факторов, определяющих исследуемые горные явления, можно учесть 
методами горно-технологических наук, 
а влияние второстепенных, переплетающихся между собой факторов, — методами 
теории вероятностей.
Изучать случайные явления с помощью 
точных математических методов пытались 
Д. Кардано (1501–1576) и Г. Галилей 
(1564–1642). Однако началу теории вероятностей как особой науки положила 
начало переписка Б. Паскаля (1623–1662) 
и П. Ферма (1601–1665). Большой вклад 
в теорию вероятностей внес также Х. Гюйгенс. Его трактат «О расчетах при игре 
в кости» (1657 г.) является одним из 
первых исследований в области теории 
вероятностей. Глубокое изучение случайных процессов на основе вероятностного 

Пьер Ферма 
(1601–1665)

Блез Паскаль 
(1623–1662)

Гюйгенс Х. 
(1629–1695)

подхода показало, что наряду с механическим детерминизмом 
существует общий детерминизм, позволяющий с помощью 
количественного анализа охватывать явления природы шире 
и глубже. Таким образом, закономерности теории вероятностей 
приводят к детерминизму более широкого типа.
Начиная с Б. Паскаля, П. Ферма и Х. Гюйгенса в науку 
вошли первые понятия теории вероятностей — математической науки о случайных событиях и их вероятностях. Эти 
понятия формировались на примерах изучения азартных игр. 
Однако изучение этих игровых моделей приводит к новым 
законам случайных процессов.
Следует отметить, что в последующие годы большой вклад 
в развитие теории вероятностей внесли Я. Бернулли (1654–
1705), А. Эйлер (1707–1783), П. Лаплас (1749–1827), П.П. Чебышев (1821–1894), А.Н. Колмогоров (1903–1987), А.Я. Хинчин (1894–1959), Н.В. Смирнов (1900–966), Ю.В. Линник 
(1915–1972), Б.В. Гнеденко (1912–1995), Стьюдент (Уильям 
Сили Госсета) (1876–1937), Э. Фишер (1875–1954), Э. Пирсон 
(1895–1980) и другие математики.
По мере интенсивного развития науки и техники теория 
вероятностей приобретает все большее значение в подготовке 
современных специалистов: инженеров, бакалавров, магистров. В частности, это обусловлено следующим:
1) теория вероятностей, как и вся математика, играет важную роль в развитии мышления обучающихся, и она имеет 
большое значение для получения глубокого математического 
образования;
2) выводы и методы теории вероятностей широко применяются в повседневной жизни, а также в науке и технике;
3) теория вероятностей позволяет определять теоретическим путем вероятностные характеристики одних явлений по 
известным характеристикам других, определенных опытным 
путем (следовательно, теория вероятностей опирается на 
эксперимент);
4) теория вероятностей является основой математической 
статистики как науки, в которой разрабатываются методы 

регистрации и анализа статистических экспериментальных 
данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.
Как отмечает А. Реньи (1921–1970) в своём трактате «Трилогия о математике», «изучение теории вероятностей благоприятно сказывается и на характере учащихся, например, развивает 
смелость, так как позволяет понять, что при определённых 
обстоятельствах неудачи можно отнести к случайностям и, следовательно, потерпев неудачу, человеку не следует отказываться от последующей борьбы за достижение намеченной цели. 
Изучая теорию вероятностей, обучающиеся становятся более 
снисходительны и терпимы к окружающим и, следовательно, 
с большей лёгкостью вписываются в жизнь общества».
Изучение любого раздела математики, как и её очень важного раздела — теории вероятностей, благотворно сказывается 
на умственном развитии обучающихся, поскольку прививает 
им навыки ясного логического мышления, оперирующего 
чётко определёнными понятиями. В повседневной жизни 
нам постоянно приходится сталкиваться со случайностью, 
и теория вероятностей учит нас, как действовать рационально 
с учётом риска, связанного с принятием отдельных решений. 
Она может найти применение при планировании семейного 
бюджета или поездки, когда необходимо оценивать расходы, 
носящие в известной мере случайный характер. Применение 
теории вероятностей в науке, технике, экономике приобретает 
в настоящее время всё более возрастающее значение. Однако 
вероятностно-статистические методы не заменяют обычные 
методы, а являются их дополнением. Они позволяют, минуя 
слишком сложное исследование влияния множества факторов, 
исследовать то или иное явление на основе законов, справедливых для массы случайных явлений.
Настоящее краткое изложение основ теории вероятностей 
содержит три главы: главу 1 — события и их вероятности; 
главу 2 — повторные независимые испытания, главу 3 — случайные величины и их законы распределения. В эту главу 

включено также краткое изложение предельных теорем теории 
вероятностей.
Все разделы данного пособия снабжены большим количеством примеров и задач, задачами для самостоятельного 
решения, контрольными вопросами, которые относятся ко 
всем основным темам и формулам теории вероятностей. Теоретический материал пособия с учетом практических задач 
соответствует объёму часов, выделяемому на изучение теории 
вероятностей студентам нематематических специальностей.
Данное пособие следует рассматривать как вводный курс, 
который может быть положен в основу дальнейшего изучения 
разделов математической статистики.
Автор выражает благодарность проф. В.Ф. Формалеву и 
проф. В.С. Воробьеву за рецензирование рукописи и сделанные 
ими замечания, а также В.Я. Макаренко и П.В. Макарову за 
техническую помощь при подготовке рукописи к изданию.

Гл а в а  1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. СОБЫТИЯ, ВИДЫ СОБЫТИЙ

Опыт, эксперимент, наблюдение явления или некоторого 
процесса, осуществляемые при определенном комплексе условий, называется испытанием. Примеры испытаний: бросание 
монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости 
(кубика с нанесённой на каждую из шести граней цифры от 
одного до шести), реализация некоторого физического, механического или технологического процесса и т.д. При бросании 
монеты исходами (событиями) являются выпадение герба или 
выпадение цифры, а при бросании игральной кости — выпадение какой либо цифры на верхней грани кости. Испытания 
сопровождаются их исходами (событиями).
Событие — это качественный и (или) количественный результат испытания (исход), осуществляемого при определённой 
совокупности условий. Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.
Различают следующие типы событий: случайные события, 
совместные или несовместные события, достоверные или 
невозможные события, зависимые или независимые события, 
равновозможные события, элементарные (простые, неразложимые) события, событие или совокупность событий (исходов), 
благоприятствующих какому-либо другому событию.
Случайное событие — это результат испытания (или величина), который нельзя заранее спрогнозировать, т.е. нельзя 
сказать, произойдёт это событие или не произойдёт, или, если 
событие произойдёт, то неизвестно, какое значение примет 
результат этого события.

Случайные события — первичные, неопределяемые (в строгом смысле) понятия в теории вероятностей, аналогичные 
понятиям точки и прямой — в геометрии.
Например, пусть игральная кость с пронумерованными 
гранями от 1 до 6 подбрасывается два раза. В этом опыте 
можно рассматривать следующие события: событие А — оба 
раза выпадет число 1; событие В — хотя бы один раз выпадет 
число 3; событие С — сумма выпавших чисел равна 8 и т.д.
Событие, которое обязательно наступит (никогда не произойдёт) в данном опыте, называется достоверным (невозможным). Достоверное событие обозначают символом Ω, а невозможное — ∅. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании 
кости один раз — событие А — выпадение одного из чисел 
1, 2, 3, 4, 5, 6 — есть достоверное, а событие В — выпадение 
числа 7 — невозможное.
Два случайных события называются несовместными, если 
наступление одного из них исключает наступление другого 
в одном и том же испытании. (Таким образом, несовместные 
события не могут наступать одновременно.) В противном 
случае, т.е. если наступление одного события не исключает 
наступление другого события в одном и том же испытании, 
то эти события называются совместными. Например, если 
событие А — появление числа 2 при одном бросании кости, 
а событие В — появление чётного числа в этом же бросании, то 
события А и В совместные, а событие С — появление числа 2 
при одном бросании кости и событие D — появление числа 3 
в этом бросании — события несовместные.
События А1, А2, …, Аn называются попарно несовместными, 
если любые два из них являются несовместными.
События называются равновозможными, если ни одно из 
них не является более возможным по сравнению с другими 
событиями.
События называются независимыми (зависимыми), если 
числовая характеристика возможности наступления одного 
события не зависит (зависит) от числовых характеристик наступления других событий (указанные числовые характеристи

ки некоторых событий А, В, С, … называются вероятностями 
наступления этих событий).
Определение. Совокупность попарно несовместных событий 
образуют полную группу событий для данного испытания, если 
в результате каждого испытания происходит одно и только 
одно из них.
Примеры полных групп событий: а) выпадение герба {Г} 
и выпадение цифры {Ц} при одном бросании монеты; б) попадание в цель и промах при одном выстреле по мишени; 
в) выпадение цифр «1», «2», «3», «4», «5», «6» при одном 
бросании кости.
Определение. События ω1, ω2, …, ωn, образующие полную 
группу попарно несовместных и равновозможных событий, 
называются элементарными событиями.
Элементарными событиями являются выпадение цифр 
«1», …,«6» при бросании кости. Эти события несовместны, 
равновозможны и образуют полную группу (предполагается, 
что кость является однородной и центрированной).
Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается Ω. Например, в результате бросания кости выпадение цифры i = 1, 2, 
3, 4, 5, 6 образует пространство Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Элементарные события, составляющие пространство Ω, 
обозначаются ω1, ω2, …, ω6.
Замечание. Кроме случайных событий в теории вероятностей вводятся в рассмотрение случайные величины. Случайная 
величина — это переменная, которая в результате испытания 
в зависимости от случая принимает одно из возможных значений. Случайные величины в данном пособии рассматриваются 
более подробно в главе 3.

1.2. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

Определение 1. Говорят, что в некотором опыте событие А влечёт за собой появление события В, если при наступ

лении события А наступает и событие В. Обозначение этого 
определения А ⊂ В. В терминах элементарных событий это 
означает, что каждое элементарное событие, входящее в А, 
входит также и в В.
Определение 2. События А и В называются равными или 
эквивалентными (обозначается А = В), если А ⊂ В и В ⊂ А, т.е. 
А и В состоят из одних и тех же элементарных событий.
Достоверное событие представляется объемлющим множеством Ω, а невозможное событие — пустым подмножеством ∅ 
в нём. Несовместность событий А и В означает, что соответствующие подмножества А и В не пересекаются: А ∩ В = ∅.
Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается 
С = А + В) называется событие С, состоящее в наступлении 
по крайней мере одного из событий А или В (союз «или» для 
суммы является ключевым словом), т.е. наступает или А, 
или В, или А и В вместе.
Пример. Пусть два стрелка стреляют в мишень одновременно, и событие А состоит в том, что в мишень попадает 
1-й стрелок, а событие B — в том, что в мишень попадает 
2-й стрелок. Событие A + B означает, что мишень поражена, 
или, иначе, что в мишень попал хотя бы один из стрелков 
(1-й стрелок или 2-й стрелок, или оба стрелка).
Аналогично, суммой конечного числа событий А1, А2, …, Аn 
(обозначается А = А1 + А2 + … + Аn) называется событие А, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий Аi (i = 1, …, n), 
или произвольной совокупности Аi (i = 1, 2, …, n).
Пример. Суммой событий А, В, С является событие, состоящее в появлении одного из следующих событий: А, В, С, 
А и В, А и С, В и С, А и В и С, А или В, А или С, В или С, 
А или В или С.
Определение 4. Произведением двух событий А и В называется событие С (обозначается С = А ⋅ В), состоящее в том, 
что в результате испытания произошли и событие А, и событие В одновременно. (Союз «и» для произведения событий 
является ключевым словом.)