Методы статистического оценивания в строительстве

В.Т. Чемодуров, Э.В. Литвинова, Ю.С. Леоненко

Методы статистического 

оценивания в строительстве

Москва

Инфра-М

2018

В.Т. Чемодуров, Э.В. Литвинова, Ю.С. Леоненко

Методы статистического 

оценивания в строительстве

Учебное пособие

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

ГРНТИ 67.01.73

УДК 51–74

Чемодуров, В.Т.

Методы статистического оценивания в строительстве: учебное пособие

/ В.Т.
Чемодуров, Э.В.
Литвинова, Ю.С.
Леоненко. –
М.: Инфра-М; 

Znanium.com, 2018. – 156 с.

ISBN 978-5-16-106876-2 (online)

Учебное пособие включает один из разделов дисциплины «Математические основы 
системного анализа» и предназначено для усвоения теоретических знаний и выработки 
практических навыков студентами строительного профиля в области решения 
практических задач, возникающих в процессе создания и эксплуатации строительных 
сооружений.

В учебном пособии изложены важнейшие методы и приемы математической статистики, 
используемые 
при 
обработке 
результатов 
наблюдений, 
анализе 
и 
изучении 

закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления.

Книга содержит прикладные примеры, разъясняющие общетеоретический материал и 
наглядно иллюстрирующие возможные области применения методов статистического 
оценивания. 
В 
приложении 
приведены 
таблицы 
специальных 
распределений, 

необходимые при решении статистических задач.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей строительного направления 
очной и заочной форм обучения. Оно может так же быть использовано аспирантами и 
преподавателями вузов.

ISBN 978-5-16-106876-2 (online)
© Чемодуров В.Т., Литвинова Э.В., 

Леоненко Ю.С., 2016, 2018

ГРНТИ 67.01.73
УДК 51–74

Одобрено и рекомендовано к печати Ученым советом 

Академии строительства и архитектуры «26» февраля 2015 г. 
Протокол № 2.

Одобрено и рекомендовано к печати Учебно-методическим 

советом Академии строительства и архитектуры
«27» января 2015 г. Протокол № 5.

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры Механики и 

сейсмостойкости сооружений «11» декабря 2014 г. 

Протокол № 6.

Рецензенты:
Любомирский Н.В. ДТН, доцент кафедры технологии 

строительных конструкций и строительных материалов.

Литовченко П.А. КТН, доцент кафедры железобетонных 

конструкций НАПКС.

Чемодуров В.Т.
Методы статистического оценивания в строительстве (для 

студентов всех специальностей дневной и заочной форм 
обучения): учебное пособие / В.Т. Чемодуров, Э.В. Литвинова, 
Ю.С. Леоненко. – Симферополь: КФУ им. Вернадского, 2016. –
156 с.

Учебное пособие включает один из разделов дисциплины 

«Математические 
основы 
системного 
анализа»
и 

предназначено 
для 
усвоения 
теоретических 
знаний 
и

выработки практических навыков студентами строительного 
профиля в области решения практических задач, возникающих 
в процессе создания и эксплуатации строительных сооружений.

В учебном пособии изложены важнейшие методы и приемы 

математической статистики, используемые при обработке 
результатов наблюдений, анализе и изучении закономерностей, 
которым подчиняются массовые случайные явления.

Книга содержит прикладные примеры, разъясняющие 

общетеоретический материал и наглядно иллюстрирующие 
возможные области применения методов статистического 
оценивания. В приложении приведены таблицы специальных 
распределений, необходимые при решении статистических 
задач.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей 

строительного направления очной и заочной форм обучения. 
Оно может так же быть использовано
аспирантами и 

преподавателями вузов.

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

X, 
Y, 
Z
–
случайная 

величина.
x, 
y, 
z
–
конкретное 

значение 
случайной 

величины.

z
,y
,x
– математическое 

ожидание 
случайной 

величины.

2
z

2
y

2
x
,
,



– дисперсия 

случайной величины.

z
y
x
,
,



–
среднее 

квадратическое отклонение 
случайной величины.

z~
,y~
,x~
–
оценка 

математического ожидания 
случайной величины.

2
z

2
y

2
x
~
,
~
,
~



–
оценка 

дисперсии 
случайной 

величины.
Р – вероятность.
р – вероятность случайного 
события.
p~
–
оценка вероятности 

случайного события.

 


x
X
P
x
F


– функция 

распределения 
случайной 

величины.

 
 
x
F
x
f


–
плотность 

распределения 
случайной 

величины.

 
x
F~
–
оценка функции 

распределения 
случайной 

величины.


R
– размах выборки.

v – коэффициент вариации.

s
m
–
начальный момент 

порядка s.

s

– центральный момент 

порядка s.
S – асимметрия выборки.
Е – эксцесс выборки.

–
величина 

доверительного интервала.

kp
p
w
,
w
– расчетный и 

критический 
критерии 

проверки 
статистических 

гипотез.
n – объем выборки.
k
–
число 
степеней 

свободы параметра.

–
коэффициент 

корреляции.
y – функция регрессии.

Глава 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ 

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Статистические методы требуются всегда, когда результаты 

не могут быть точно повторены сколь угодно много раз. 
Причины 
такой 
невоспроизводимости 
лежат 
в 

неконтролируемых влияниях, в неоднородности объектов, в 
изменчивости материалов и условий опыта. Эти причины 
приводят к «рассеянию» количественных признаков в ряду 
наблюдений. Так как вследствие этого рассеяния, найденные 
значения почти никогда не воспроизводимы точно (в 
естественнонаучных исследованиях), то необходимо оставить 
надежду на возможность получения надежных однозначных 
выводов, заключений. Рассеяние ведет к неопределенности, 
при которой возможны только неформальные решения.

Это является основой одного из современных определений 

статистики: статистика – совокупность методов, которые дают 
нам возможность принимать оптимальные решения в условиях 
неопределенности. 
Основная 
задача 
математической 

статистики 
–
разработка 
методов 
получения 
научно 

обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из 
данных 
наблюдений 
или 
экспериментов. 
При 
этом 

используется выборочный метод. Рассмотрим основные его 
понятия.

Генеральная 
совокупность
–
множество 
объектов, 

случайные свойства которых исследуются. Свойства этих 
объектов – признаки генеральной совокупности.

Сущность выборочного метода: из множества объектов, 

составляющих генеральную совокупность, отбирается для 
исследования несколько объектов, образующих выборку. 
Количество отобранных объектов –
объем выборки, а 

отобранные объекты – элементы выборки. По результатам 
исследования выборки делается заключение о свойствах всей 
генеральной совокупности.

Например, 
из 
партии 
изготовленных 
опорных 
свай 

(генеральная совокупность) отбирается несколько (выборка) 
для всесторонних испытаний. На основании испытаний 
отобранного количества свай делается заключение о качестве и 
надежности всей изготовленной партии.

Для того чтобы по выборке можно было достаточно 

уверенно судить о признаках генеральной совокупности, 
необходимо, 
чтобы 
элементы 
выборки 
правильно 
ее 

представляли. 
То 
есть 
выборка 
должна 
быть 

репрезентативной 
(представительной). 
Условие 

репрезентативности: каждый элемент выборки отбирается из 
генеральной совокупности случайно. Все ее элементы имеют 
одинаковую вероятность попасть в выборку.

Наиболее типичными задачами математической статистики 

являются:

– определение закона распределения признака генеральной 

совокупности по данным выборки;

–
нахождение 
параметров 
распределения 
(числовых 

характеристик) признака;

– проверка статистических гипотез, то есть предположений 

об интересующем нас событии.

1.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ 

И ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Обозначим через X
изучаемый признак генеральной 

совокупности. Последовательность x1, …, xn – n наблюдаемых 
значений X. Если X имеет закон распределения  


x
X
P
x
F


, 

то 
будем 
говорить, 
что 
распределение 
генеральной 

совокупности следует закону  
x
F
.

Пусть x – некоторая точка на оси X. Обозначим 
x
m
–

число выборочных значений 
n
,1
i
,
xi

, расположенных левее 

x . Тогда отношение 
n
mx
есть частость (частота) наблюдений 

в выборке значений нашей величины X, меньше x . Эта 
частость является функцией от x. Обозначим ее 
 
x
Fn


и 

назовем выборочной функцией распределения. Таким образом,

 
n
m
x
F
x

n


.                                   (1.1)

Здесь 
 
x
Fn


является оценкой вероятности неравенства X<x, 

то есть теоретической функции распределения 
 


x
X
P
x
F



(функции распределения признака генеральной совокупности).

Если расположить члены выборки  
n
,1
i
,
xi

в порядке 

возрастания, то можно построить выборочную функцию 
распределения. 
При 
этом 


0
x
F
min
n


, 

 1
x
F
max
n


, 
в 

промежутке между двумя соседними значениями xi-1 и xi
 
x
Fn



сохраняет постоянное значение, равное целому кратному 
n
1

(то есть дроби вида
n
i
). При переходе через точки, 

отвечающие членам выборки, 
 
x
Fn


претерпевает разрыв.

@ Пример 1.1.
Проведено шестнадцать независимых испытаний образцов 

бетона по определению его предела прочности. Получены 
следующие результаты (в кг/см2): 91, 100, 41, 91, 107, 70, 82, 
135, 108, 68, 122, 87, 105, 93, 106, 102. Построить выборочную 
функцию распределения предела прочности данной бетонной 
смеси.

Переставим элементы выборки в порядке возрастания. При 

этом получим ряд, который называется вариационным (таблица 
1.1).

Таблица 1.1.

i
1
2
3
4
5
6
7
8

xi

(кг/см2)

41
68
70
82
87
91
91
93

i
9
10
11
12
13
14
15
16

xi

(кг/см2)

100
102
105
106
107
108
122
135

График выборочной функции распределения (рисунок 1.1) 

строится по правилу

 


n
m
x
X
P
x
F
xi

i
i
n





.        
(1.2)

Для выборочного 

распределения 

можно вычислить все 
его характеристики: 
положение 
центра 

группирования, 

параметры 

рассеивания, 

асимметрию, эксцесс 
и другие. Например, 
«средняя» 
выборки 

определяется 
по 

формуле

.
x
n
1
x

n

1
i

i



 
(1.3)

Часто нас интересует доля тех или иных значений 

изучаемого признака в выборке. Пусть нам надо выяснить 
долю образцов с пределом прочности 80-120 кг/см2. Из 
вариационного ряда получаем