Моделирование геометрических форм автомобильных дорог

Москва
ИНФРА-М
2019

МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФОРМ 
АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ

Í.À. ÑÀËÜÊÎÂ

МОНОГРАФИЯ

Сальков Н.А.
С16 
 
Моделирование геометрических форм автомобильных дорог : 
монография / Н.А. Сальков. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 162 с. — 
(Научная мысль). — www.dx.doi.org/10.12737/monography_5b28a16e4
6b451.95464574.

ISBN 978-5-16-014029-2 (print)
ISBN 978-5-16-106575-4 (online)

Приводятся общие сведения о роли геометрии и теории изображений, 
даются элементы аналитической и параметрической геометрий, являющихся основой параметрического метода конструирования поверхностей.
На основе параметрического метода излагается принцип каркасно-параметрического конструирования поверхностей. Показывается, как посредством каркасно-параметрического метода конструирования поверхностей моделируются линии и поверхности автомобильных дорог.
Книга предназначена для специалистов, работающих в области проектирования и строительства автомобильных дорог. Может быть использована студентами соответствующего направления обучения, а также аспирантами и преподавателями кафедр автомобильных и железных дорог 
и аэродромов, начертательной геометрии, инженерной геометрии и компьютерной графики.

УДК 51:625.7(075.4)
ББК 39.311

УДК 51:625.7(075.4)
ББК 39.311
 
С16

©  Сальков Н.А., 2018
ISBN 978-5-16-014029-2 (print)
ISBN 978-5-16-106575-4 (online)

Р е ц е н з е н т ы: 
Иванов Г.С., доктор технических наук, профессор Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана;
Шипков О.И., кандидат технических наук, профессор кафедры «Архитектура» Московского государственного академического художественного института имени  В.И. Сурикова

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Повышение эффективности и качества трудоемкого процесса проектирования автомобильных дорог и последующего их строительства невозможно без развития и повышения эффективности систем автоматизированного проектирования (САПР). Качественное же преобразование 
САПР связано с переходом на новую технологию проектирования, которая определяется развитием новых методов математического моделирования объектов проектирования.  
Моделирование как необходимый инструмент в настоящее время стоит на одном из первых мест в производстве различных изделий. 
До сих пор проектирование автомобильных дорог ведется как бы кусочно-раздельным методом: отдельно рассматривались прямолинейные в 
плане участки дороги, отдельно — виражи и отдельно — клотоидные 
участки, соединяющие прямолинейные в плане участки с участками виражей. 
Данная работа предлагает попытку проектировать и строить автомобильную и железную дороги (в теории — любое земляное сооружение) 
как единый объект от начальной точки до конечной. Предположительно, 
к примеру, от Калининграда до Владивостока. 
В книге перед собственно предлагаемыми геометрической и математической моделями земляных сооружений даются элементы аналитической и параметрической геометрий, являющиеся основой параметрического метода конструирования поверхностей. 
Затем на основе параметрического метода конструирования поверхностей предлагаются геометрические и математические модели линейных и 
пространственных форм автомобильных дорог. 
Дана математическая модель проектных горизонталей, позволяющая 
выполнять на компьютере вертикальную планировку улиц. 
Разработана поверхность откоса насыпного сооружения из ∞1 конусов 
вращения. Предложенная математическая модель откоса может использоваться также и как поверхность откоса выемки для любого земляного 
сооружения. 
Показан способ визуализации полученных геометрических моделей 
автомобильной дороги на экране дисплея для зрительной оценки получающегося результата. 
В конце монографии предлагается оформленный в виде изобретения 
способ профилирования поверхности земляного сооружения при помощи 
землеройных машин, включающий изложенные выше геометрическое и 
математическое моделирования автомобильных дорог. 
Книга предназначена для специалистов, работающих в области проектирования и строительства автомобильных дорог. Может быть использована студентами соответствующего направления обучения, а также аспирантами и преподавателями кафедр автомобильных и железных дорог и 
аэродромов, начертательной геометрии, инженерной и компьютерной 
графики. 
 

Глава 1   
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ 
 
1.1. РОЛЬ ГЕОМЕТРИИ В НАУКЕ И ПРОИЗВОДСТВЕ 
 
Чтобы специалист стал настоящим инженером, необходимы знания по 
геометрии, что ни у кого не вызывает сомнений. 
Актуальность изучения инженером геометрии, геометрического моделирования исходит из того, что все существующие материальные предметы имеют свои формы, свои поверхности. При этом геометрия не рассматривает воплощение этих форм в материале, наоборот — она абстрагируется от материального изготовления. Ее методы поэтому являются 
наиболее общими, а на основе этих методов впоследствии производятся 
все необходимые расчеты, подбирается материал.  
Предметом геометрии вообще и геометрического моделирования в 
частности являются геометрические формы и их отношения. Геометрические формы — это вся совокупность геометрических фигур пространств 
любой мерности; отношения — всевозможные геометрические задачи: 
позиционные (на принадлежность, пересечение, взаимный порядок), метрические. 
Формирование и изучение пространственных форм — вот чем занимается геометрия.  
С геометрией связано понятие эстетики и красоты. Эстетики вообще и 
технической эстетики в частности. А красота и эстетика — составляющие 
понятия «дизайн». Какого теперь дизайна только нет: дизайн интерьера 
квартир и вообще любых помещений, дизайн архитектурных сред, ландшафтный дизайн, дизайн автомобилей, дизайн промышленный, дизайн 
одежды и обуви, дизайн праздничной среды, графический дизайн и т.д., и 
т.п. 
Есть конструкции, форма которых несет функциональное значение: от 
формы самолета зависит его скорость, грузоподъемность, виражность, 
высота потолка; форма корабля или подводной лодки влияет на их скоростные характеристики; для турбин форма лопаток — единственное, что 
может увеличить их мощность; особое место занимает форма космических кораблей.  
Нужно сказать, что у объектов, хоть сколько-нибудь связанных со 
скоростными характеристиками, геометрическая форма имеет ведущее 
значение. К таким объектам принадлежат не только самолеты и автомобили, но и дороги: железные и автомобильные, а также спортивные треки 
и трассы.  
Моделирование, в том числе и геометрическое, — чисто инженерная 
работа. Инженер, не овладевший способностью мыслить геометрически, 
не умеющий оперировать пространственными формами, не сможет овладеть и методами геометрического моделирования. Поэтому к своему геометрическому образованию будущий инженер должен подходить со всей 
ответственностью. Геометрическая модель каждого объекта является ба

зой для его математической модели, которая, в свою очередь, служит основой для разработки программного обеспечения на компьютере. 
Значение геометрии в жизни человека начали понимать еще наши 
пращуры, ютившиеся в пещерах, когда им надо было или расширять ее, 
или искать более просторную ввиду увеличения количества жителей. 
О первостепенном значении геометрии в науке и на производстве писали ее родоначальник Г. Монж [100], один из столпов начертательной 
геометрии Н.А. Рынин [144], а также многие наши современники [28; 29; 
61; 66; 88; 162; 180; 185]. 
Напомним, где же нужна геометрия. 
1. Геометрия является базой для геометрии аналитической [155]. 
Сложно сказать, могла бы развиваться аналитика без соответствующей 
геометрической базы. Скорее всего, нет. 
2. Она также является базой для компьютерной графики [156]. Если 
не изучать геометрию, то, в конце концов, будет некому участвовать в 
дальнейшем развитии графических систем. А это повлечет за собой 
стагнацию в области развития компьютерной графики.  
3. Геометрия служит как изобразительное средство для всех видов 
искусства [100; 150; 160].  
4. Геометрия является основой для технических изобретений [4]. Без 
геометрии невозможно было бы создать ни одно техническое изобретение.  
5. Геометрия входит составной частью в медицину (рентгеновские 
аппараты, магнитно-резонансная томография, компьютерная томография, мини- и микроразрезы в операциях с помощью визуализации на 
экранах мониторов). Все медицинские инструменты (хотя бы скальпели 
и иголки) и аппараты также имеют определенные геометрические характеристики. 
6. Архитектура полностью состоит из геометрии, особенно внешний 
вид зданий и сооружений. Без геометрии архитектура как искусство и 
не существовала бы. 
7. География в очень значительной части представляет собой геометрию (недаром первые три буквы одинаковые), принцип составления 
географических карт — это проекции с числовыми отметками. Способ 
получения развертки поверхности земли; способ определения координат точек земной поверхности, определение уклона земной поверхности: рек, гор и холмов и, наконец, определение объема земляных работ 
при строительстве дорог и других земляных объектов — это тоже геометрия, в том числе и начертательная. 
8. Геометрия занимает немалое место в химии [66]. 
9. Геометрия служит в военном деле. Вспомним новейший российский танк. Да и просто советский танк Т-34: его геометрия была такая, 
что обычные снаряды рикошетили, не причиняя особого вреда. А как 
попасть ракетой, как сейчас говорят, в форточку — разве это не типично 
геометрическая задача? 
10. Геометрия используется в тяжелом машиностроении, в сельском 
хозяйстве, в текстильной и обувной промышленности, в воздушно

космических силах, кораблестроении, самолетостроении и т.д. 
11. Геометрия служит и в искусстве — у художников [76; 150]. 
12. Геометрия используется в исследованиях фазовых пространств. 
То есть при моделировании многофакторных процессов и явлений живой и неживой природы. 
13. Геометрия является основой в специальном строительстве: строительстве плотин и аэродромов, спортивных сооружений (треков, стадионов, трамплинов и т.д.). 
14. Геометрия — это основа для формообразования, геометрического моделирования [154; 167]. 
Гораздо легче сказать, где геометрия не имеет места, хотя это будет 
сложно сделать, поскольку всегда можно найти удачный пример ее 
применения. Ну, может быть, ее нет явно только в музыке? Хотя и существует крылатое выражение, что архитектура — это симфония, заключенная в камне. 
Таким образом, геометрия используется повсеместно, где бы человек 
ни создавал что-либо своим трудом. 
Значение геометрии для науки, техники и искусства понимали как 
великие геометры [100; 144; 207], так и великие инженеры: академик 
В.Г. Шухов, Н.В. Никитин, И.П. Кулибин и другие; авиаконструкторы: 
Н.Н. Поликарпов, А.Н. Туполев, В.М. Петляков, С.В. Ильюшин, 
П.О. Сухой, С.А. Лавочкин и многие другие. 
Это может означать только одно — геометрия находится в основании технического обучения [157; 159]. 
 
 
 
1.2. ТЕОРИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ 
 
Нет такой области приложения человеческого труда, где бы ни было 
применено то или иное изображение. 
Какая же наука является теорией изображений? Рассмотрим этот вопрос. 
Настоящей теорией изображений видится начертательная геометрия и 
вот почему. Обратимся к высказываниям известных авторов учебников 
по начертательной геометрии. 
В послесловии к учебнику Г. Монжа «Начертательная геометрия» 
[100] академик Д.И. Каргин пишет: «Начертательная геометрия… составляет основную часть науки о методах изображений, изучаемую и поныне 
во всех технических и художественных школах всего мира». 
Сам же Гаспар Монж, родоначальник начертательной геометрии, писал в своем учебнике [100]: «Начертательная геометрия преследует две 
цели: во-первых, дать методы для изображения на листе чертежа, имеющего только два измерения… любых тел природы, имеющих три измерения…» То есть, другими словами, разработать теорию изображений. 
Один из корифеев начертательной геометрии профессор Н.А. Рынин 
во введении к учебнику [145] пишет в § 1. Задачи начертательной гео

метрии: «Наука о методах изображения имеет своей целью показать: как 
изображать: а) форму известным образом расположенных предметов, b) 
освещенность и с) окраску их…» То есть Н.А. Рынин полагает начертательную геометрию наукой о методах изображения. А по-другому — теорией изображений. 
Вот что еще пишет Н.А. Рынин о начертательной геометрии [144]: 
«Она стоит на границе между областью точных наук и областью фантазии. Прилагая к ней законы математики и геометрии, можно достичь великих открытий, польза которых для человечества будет велика… Далее 
она является наивысшим средством для развития той таинственной и мало поддающейся изучению точными науками способности человеческого 
духа, которая зовется воображением и которая является ступенью к другой царственной способности — фантазии, без которой почти не совершаются великие открытия и изобретения». 
В книге [159] читаем: «Аксонометрическая проекция является неотъемлемой частью изобразительной грамоты. Главной целью применения 
аксонометрических проекций является построение изображения, более 
близкого к зрительному восприятию, чем чертеж в ортогональных проекциях». И далее: «Перспективой называется изображение, полученное в 
результате центрального проецирования». Тут уже прямо перспективная 
проекция называется изображением. Если добавить, что аксонометрические проекции и перспектива, в частности, являются разделами начертательной геометрии, то становится понятным утверждение, что именно 
начертательная геометрия является теорией изображений. 
Профессор А.В. Бубенников и М.Я. Громов в книге [15] также говорят, что «начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные формы с их геометрическими закономерностями изучают в виде изображений на плоскости». При этом в 
сноске они сообщают, что изображения получают не только на плоскости, но и на кривых поверхностях. Далее в [15] читаем следующее: 
«Начертательная геометрия… является могучим орудием для работников 
изобразительного искусства (живописцев, архитекторов, скульпторов) в 
создании их произведений». Наконец, на с. 6 в [15] читаем: 
«…Начертательная геометрия применяет метод проецирования на плоскость, т.е. метод изображения… Изображение объекта называют проекцией…» Таким образом, методом начертательной геометрии является 
метод проецирования — метод изображений, который она и разрабатывает с момента своего возникновения. 
Профессор А.Г. Климухин в своем учебнике [71, с. 11] так пишет о 
проекциях: «Плоские изображения пространственных объектов, удовлетворяющие поставленным условиям, могут быть получены с помощью 
операций проецирования…» То есть опять-таки делается знак тождества 
между изображением и проекцией. 
Профессор Н.С. Кузнецов в учебнике [83] заявляет: «Законы начертательной геометрии дают возможность изображать не только существующие, но и воображаемые предметы…» «Изображать» — то есть получать 

изображения. Именно поэтому начертательная геометрия и является теорией изображений. 
В [62] профессор Г.С. Иванов пишет: «В первых пяти главах учебника 
изложен материал, отражающий современное состояние преподавания 
начертательной геометрии как учебной дисциплины, изучающей теорию 
методов изображения пространства на плоскость…» 
Профессор А.М. Иерусалимский [65] считает, что «начертательная 
геометрия изучает: а) геометрические основы различных методов изображения на плоскости предметов, имеющих три измерения…» 
Далее А.М. Иерусалимский поясняет, где могут быть использованы 
методы начертательной геометрии: «Методы начертательной геометрии 
могут быть использованы… Всюду, где мы встречаемся с необходимостью решать пространственные задачи, например в механике, в теории 
машин и механизмов, статике сооружений, в горном деле, в кристаллографии, оптике, геодезии, аэросъемке, в построении химических диаграмм и пр.». 
Вот что пишет в пособии для студентов педагогических институтов 
А.А. Панкратов [111]: «Предметом начертательной геометрии является: а) 
разработка методов построения изображений пространственных фигур на 
плоскости (и некоторых других поверхностей)». 
Профессор Елена Сергеевна Тимрот в книге [184] объясняет: «Начертательная геометрия дает возможность по изображениям изучать и воспроизводить пространственные формы. Она занимается разработкой способов построения изображений пространственных форм…» Разработка 
способов построения изображений — это разработка теории изображений. 
Профессор И.Г. Виницкий в учебнике для строительных специальностей вузов [25] пишет: «Особенностью начертательной геометрии является ее метод — метод начертания, точнее метод изображений». 
В учебнике [122, с. 13] профессор Н.Л. Русскевич сообщает: «Начертательная геометрия является теоретической основой методов изображения… 
С 
помощью 
изображений 
проверяются 
архитектурнохудожественные качества запроектированных объектов и их эстетическая 
выразительность». 
В [93] авторы пишут: «Развитие начертательной геометрии позволило 
„перекинуть мост“ между планиметрией и стереометрией… визуализировать многие физические процессы…» Нет сомнения в том, что под термином «визуализация» авторы понимают построение изображения. 
Профессор О.В. Локтев [90]: «В курсе начертательной геометрии излагаются и обосновываются способы построения изображений пространственных форм…» Не только излагаются, но и обосновываются! Таким 
образом, Олег Васильевич также утверждает, что начертательная геометрия есть теория изображений. 
Профессор М.Н. Макарова в книге [94] пишет: «Изучением методов 
построения на плоскости (или какой-либо поверхности) графических 
изображений пространственных фигур занимается начертательная геометрия… Необходимо хорошо владеть теорией построения изображе

ний пространственных фигур на плоскости. Эта теория является содержанием начертательной геометрии, включающей следующие разделы: чертежи в системе ортогональных проекций, проекции с числовыми отметками, аксонометрические проекции, центральные проекции — перспектива». 
Ю.Г. Козловский в книге [72] говорит: «Начертательная геометрия — 
наука о методах построения изображений пространственных форм на 
плоскости». Далее: «Начертательная геометрия и ее методы находят применение в… механике, машиностроении, металлургии, химии, физикохимическом анализе, кристаллографии, технической оптике, горном деле, 
архитектуре и строительстве, геологии, географии, в некоторых областях 
радиотехники и т.д.» 
Профессор С.А. Фролов в учебнике для студентов машиностроительных специальностей вузов [202] сообщает читателям: «Основными задачами начертательной геометрии являются: а) создание метода изображения геометрических фигур на плоскости (поверхности)…» 
Профессор С.М. Колотов свою книгу [73] прямо назвал «Вопросы 
теории изображений», где рассматривал построения перспективных проекций по ортогональным, построение теней, способ вспомогательного 
проецирования, перспективу на перекрытиях. То есть все составляющие 
части начертательной геометрии. 
Профессор В.А. Пеклич прямо указывает в предисловии к учебнику 
[114]: «Начертательную геометрию также называют теорией изображений». 
Профессор С.А. Соловьев в работе [174] пишет: «Выдающуюся роль в 
развитии начертательной геометрии — науки о методах изображений — сыграл… Гаспар Монж (1746—1818)». 
Академик Н.Ф. Четверухин, профессоры В.С. Левицкий и А.М. Тевлин считали [204], что «содержание начертательной геометрии сводится к 
следующим двум вопросам: а) разработка способов построения изображений (чертежей) пространственных фигур на плоскости». И далее: «Все 
более высокие требования, предъявляемые к изображениям, привели к 
необходимости разработать „теорию изображений, которая и составляет основу начертательной геометрии“». 
Не будем спорить с академиком и другими авторами, многие из которых стали классиками. 
Все авторы, жившие в прошлом веке и мало работавшие с многомерным пространством, а также с изображениями на кривых поверхностях, пишут о начертательной геометрии как о теории получения изображения исключительно на плоскости, хотя профессор В.О. Гордон и 
М.А. Семенцов-Огиевский в учебнике [38] писали: «Пространственные 
формы можно изображать не только на плоской, но и на какой-нибудь 
другой поверхности, например цилиндрической или сферической, что 
изучается в специальных разделах начертательной геометрии».  
Учитывая это и то, что начертательная геометрия работает и в многомерном пространстве, в книге [157] понятие начертательной геометрии было уточнено: «Начертательная геометрия — научная дисциплина, 

разрабатывающая и исследующая методы отображения пространства одного измерения на пространство другого измерения…» Что как 
раз и является, если перефразировать, разработкой и исследованием 
теории изображений. 
Все авторы в приведенных высказываниях в учебниках и монографиях 
в один голос утверждают, что начертательная геометрия в основном является наукой об изображениях. Таким образом, из всего вышесказанного 
можно сделать однозначный и единственный вывод: начертательная геометрия является не чем иным как теорией изображений. 
Могут сказать, что начертательная геометрия есть часть проективной 
геометрии. С одной стороны это, может быть, и так, но с другой — не 
совсем. Во-первых, проективная геометрия развилась в научную дисциплину позже начертательной геометрии. Во-вторых, проективная геометрия изучает наиболее общие законы проецирования и создания отображений и геометрических фигур (коники, квадрики) без метрической составляющей, т.е. на уровне получения позиционно полных изображений. 
Начертательная же геометрия работает, в основном, с практическими задачами, в основе которых содержится метрика, то есть не только с позиционно полными, но и с метрически определенными изображениями геометрических фигур. Начертательная геометрия содержит в себе не только 
проективную геометрию, но и аналитическую [155] (задание точки или 
отрезка), дифференциальную (задачи на перпендикулярность и касание), 
а также является основой компьютерной графики [156], которая без применения теории изображений не смогла бы визуализировать аксонометрические или перспективные проекции на экране дисплея. Поэтому нельзя однозначно говорить, что начертательная геометрия — это исключительно раздел проективной геометрии. Начертательная геометрия, конечно же, является в некотором смысле ответвлением проективной геометрии, но наподобие того, как сама геометрия является ответвлением математики. 

По мнению советского математика, член-корреспондент АН УССР, 

профессор Боголюбова Алексея Николаевича: «…Влияние педагогических идей Монжа оказалось весьма значительным, и как бы ни расценивать дальнейшее развитие высших технических школ, каждая из которых 
приобрела свое собственное лицо, существенная роль начертательной 
геометрии в инженерном образовании осталась неизменной и вряд ли 
изменится» [11]. 
Начертательная геометрия как теория изображений дает представление о том, каким образом одно пространство отображается на другое при 
помощи проецирующих линий. Другими словами, начертательная геометрия геометрическую модель превращает в графическую, которую мы 
можем наблюдать на экране дисплея. 
Начертательная геометрия работает с графическими моделями трехмерного пространства. Где же еще, кроме черчения, эти модели встречаются? Перечислим эти науки и учебные дисциплины. 
1. Архитектурное проектирование. 
2. Теоретическая механика.