Обобщенная математическая модель пространственного перемещения бурового судна

В.А. Крамарь
В.Р. Душко
В.В. Душко 
ОБОБЩЕННАЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ 
ПРОСТРАНСТВЕННОГО 
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ БУРОВОГО СУДНА
Монография
Москва
ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
201

УДК 629.1(075.4)
ББК 39.4
 
К77
А в т о р ы: 
Крамарь Вадим Александрович – доктор технических наук, профессор;
Душко Вероника Ростиславовна – кандидат технических наук, доцент;
Душко Виталий Валерьевич – старший преподаватель Севастопольского государственного университета
Р е ц е н з е н т ы: 
 Скатков А.В. – доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Информационные технологии и компьютерные системы» Севастопольского государственного университета;
Харланов А.И. – кандидат технических наук, доцент, доцент Черноморского высшего военно-морского ордена Красной звезды училища им. 
П.С. Нахимова
Крамарь В.А.
К77 
 
Обобщенная 
математическая 
модель 
пространственного 
перемещения бурового судна : монография / В.А. Крамарь, 
В.Р
. Душко, В.В. Душко. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 118 с. — (Научная книга).
ISBN 978-5-9558-0591-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-013053-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106105-3 (ИНФРА-М, online)
Рассматривается методика построения обобщенной математической 
модели пространственного перемещения бурового судна, учитывающей 
взаимное влияние различных видов движения, а также изменение параметров судна в зависимости от вида выполняемой работы.
Предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов машиностроительных и приборостроительных специальностей вузов, а также 
слушателей отделений переподготовки и повышения квалификации в области систем управления, а также океанотехники и кораблестроения.
УДК 629.1(075.4)
ББК 39.4
© Крамарь В.А., 
    Душко В.Р
., 
ISBN 978-5-9558-0591-7 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-013053-8 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-106105-3 (ИНФРА-М, online)
    Душко В.В., 2017
© Вузовский учебник, 
    2017

Ведение
В мировой практике для бурения на море с целью разведки или добычи полезных ископаемых используются суда различных конструкций
и водоизмещения. Некоторые из них имеют системы автоматического
удержания над точкой бурения (системы динамического позиционирования). Сведения о математическом описании бурового судна как объекта управления системы автоматического удержания, содержащиеся
в работах [1–4], не содержат аналитических зависимостей гидроаэродинамических характеристик и не позволяют выявить принципы построения таких систем. 
При разработке системы автоматического удержания бурового судна
существенными являются следующие вопросы: разработка математических моделей буровых судов, которые учитывали бы специфические
особенности конструкций судов, бурового оборудования и технологических процессов при выполнении буровых работ; получение расчетных соотношений для вычисления внешних сил и моментов, действующих
на
буровое
судно, при
его
пространственном
перемещении
с учетом ветра, течения, волнения моря; исследование динамики пространственного перемещения бурового судна в режиме удержания; выбор средств активного управления и получение расчетных соотношений
для определения сил упоров активных средств управления, необходимых для удержания судна над заданной точкой в каждый момент времени; разработка принципов построения измерительной системы по
определению горизонтальных смещений бурового судна в неподвижной
или связанной с судном системе координат; выбор контролируемых
параметров и определение требуемой точности их измерения; определение структуры системы автоматического удержания бурового судна. 
Движение бурового судна при удержании его над точкой бурения
определяется не только видом и характером внешних воздействий (ветра, течения, волнения моря, сил упоров активных средств управления), 
но и видом производимых работ, так как последние могут изменять динамические характеристики судна в целом. В связи с этим все время, 
в течение которого судно должно удерживаться в заданной точке, удобно разделить на четыре периода: начальный, подготовительный, бурение, конечный. 
В начальный период судно ориентируется над точкой бурения, производится настройка системы удержания и удержание судна над выбранной точкой бурения. В этот период процесс удержания не сопровождается работами, связанными со значительными перемещениями
масс грузов на судне. С точки зрения динамики движения в этот период
должно рассматриваться собственно буровое судно с его характерными
конструктивными особенностями. 
В подготовительный период процесс удержания бурового судна над
точкой бурения сопровождается технологическим процессом опускания
буровой колонны труб. Последнее приводит к перемещению значительных масс грузов на судне и может привести к изменению гидродинами3 

ческих характеристик судна во времени, моментов инерции относительно координатных осей. Динамика бурового судна должна описываться
в этом случае уравнениями с переменными во времени коэффициентами. 
В период бурения процесс удержания судна сопровождается перераспределением масс грузов вследствие погружения части буровых труб
в грунт и изменения массы судна, так как часть веса труб будет ложиться на грунт. Динамика бурового судна должна описываться уравнениями с переменными коэффициентами, отличными от подготовительного
периода. 
Конечный период характеризуется подъемом бурового оборудования. При этом может происходить перераспределение и изменение массы, изменение гидродинамических характеристик судна, противоположные изменениям в период бурения и период опускания бурового
оборудования. 
Таким образом, буровое судно в процессе удержания над точкой бурения может иметь пять отличных друг от друга динамических моделей. 
Все характерные особенности бурового судна при удержании его над
точкой бурения выявляются в подготовительный период и период бурения. Поэтому эти две модели представляют наибольший интерес. Они
позволяют выяснить влияние проводимых буровых работ на динамику
движения судна в режиме удержания. 
 
 
4

Глава 1 
Система координат
Введем в рассмотрение следующие системы координат, характеризующие положение судна в пространстве: неподвижную в пространстве
систему координат
1
1 1
Oξ ηζ и связанные с судном системы координат
ξηζ,
O
1 1 1 1
Ox y z , и Gxyz. 
Плоскость
ξ η
1 1
O
неподвижной
системы
координат
совпадает
с невозмущенной свободной поверхностью жидкости, ось
1
Oζ направлена
вниз
вдоль
направления
скважины. Когда
судно
находится
в исходном положении равновесия, ось
1
Oζ проходит через точку, совпадающую с центром тяжести груженого судна, а ось
1
Oξ параллельна
центральной продольной оси судна. 
Система Gξηζ связана с центром тяжести судна G в исходном состоянии таким образом, что оси координат остаются во время движения
судна параллельными осям системы
1
1 1
Oξ ηζ. 
Плоскость
1 1 1
Ox y связанной с судном системы координат
1 1 1 1
Ox y z совпадает с плоскостью ватерлинии равновесия судна, а ось
1 1
Oz проходит
через его центр тяжести. При этом предполагается, что крен судна и его
дифферент не изменяются. 
Система координат Gxyz также связана с судном. Оси ее параллельны осям системы
1 1 1 1
Ox y z . Описанные выше координатные системы
изображены на рис. 1.1. 
Рис. 1.1. Координатные системы
Формулы
перехода от
неподвижных систем
координат
1
1 1
Oξ ηζ
к подвижным Gxyz и наоборот имеют вид
5 

,
a x
b y
c z
ξ = ξ +
+
+
1
1
1
1
g
,
  
(1.1) 
a x
b y
c z
η = η +
+
+
1
2
2
2
g
;
a x
b y
c z
ζ = ζ +
+
+
1
3
3
3
g
(
)
(
)
(
),
x
a
a
a
=
ξ −ξ
+
η −η
+
ζ −ζ
1
1
2
1
3
1
g
g
g
(
)
(
)
(
),
  
(1.2) 
y
b
b
b
=
ξ −ξ
+
η −η
+
ζ −ζ
1
1
2
1
3
1
g
g
g
(
)
(
)
(
).
z
c
c
c
=
ξ −ξ
+
η −η
+
ζ −ζ
1
1
2
1
3
1
g
g
g
Здесь ξ
η
ζ
,
,
g
g
g  – координаты центра тяжести судна в неподвижной
системе координат (см. рис. 1.1), 
= 1 2 3
,
,
(
, , )
i
i
i
a
b
c i
 – косинусы углов
между осями систем Gxyz и
ξηζ
G
. 
Введем в рассмотрение эйлеровы углы следующим образом. Пересечение координатных плоскостей ξ η
G
и yGz дает линию «узлов» GN . 
Плоскость ζGx перпендикулярна этой линии. Тогда тремя эйлеровыми
углами будут углы θ ψ
,
и φ. 
Угол θ лежит в плоскости yGz
между осью Gy и линией GN
и определяет угол крена судна. Положительное значение θ соответствует крену на правый борт. Вектор угловой скорости
θ
d
dt
направлен по оси
Gx. 
Угол ψ лежит в плоскости ζGx , а угол π + ψ
2
равен углу, образованному осями
ζ
G
и Gx, и получается вращением подвижной системы
осей вокруг линии GN . Угол ψ приблизительно равен углу дифферента
судна. Положительный дифферент судна – на корму. Вектор угловой
скорости
ψ
d
dt
направлен по оси GN . 
Угол φ лежит в плоскости ζGN
между осью
η
G
и линией GN
и определяет угол рыскания судна. Положительному значению его соответствует поворот судна вправо. Вектор угловой скорости
φ
d
dt
направлен по оси
ζ
G . 
Коэффициенты
= 1 2 3
,
,
(
, , )
i
i
i
a
b
c i
выражаются через введенные
выше углы θ ψ
,
и φ с помощью следующих формул: 
6

cos( , )
cos cos ,
a
x
=
ξ =
φ
ψ
1
cos( , )
sin cos ,
a
x
=
η =
φ
ψ
2
cos( , )
sin ,
a
x
=
ζ =
ψ
3
cos( , )
sin cos sin
cos sin ,
b
y
=
ξ =
θ
φ
ψ −
θ
φ
1
cos( , )
cos cos
sin sin sin ,
  
(1.3) 
b
y
=
η =
θ
φ +
θ
φ
ψ
2
cos( , )
sin cos ,
b
y
=
ζ =
θ
φ
3
cos( , )
cos cos sin
sin sin ,
c
z
=
ξ =
θ
φ
ψ +
θ
φ
1
n sin
sin cos ,
cos( , )
cos si
=
η =
θ
c
z
φ
ψ −
θ
φ
2
cos( , )
cos cos .
c
z
=
ζ =
θ
ψ
3
Корабельная система координат приведена на рис. 1.2. 
Рис. 1.2. Корабельная система координат
Выражения для проекций мгновенной угловой скорости на подвижные оси координат имеют вид: 
θ
ψ
φ
ω =
ω =
ω =
,
,
x
y
z
d
d
d
dt
dt
dt
.  
(1.4) 
7 

Глава 2 
Общие соотношения
2.1. Общие соотношения
Движение судна можно представить состоящим из поступательного
перемещения вместе с началом G системы координат, жестко связанной
с судном, и вращения вокруг точки G. Уравнения движения судна состоят из уравнения движения точки G, совпадающей в начальный момент с центром тяжести судна, уравнений вращательного движения относительно точки G и уравнения смещения центра тяжести судна
в процессе производства буровых работ. 
Рассматриваем движение судна на свободной бесконечной поверхности жидкости. Пренебрегаем вязкостью жидкости (идеальная жидкость). Для получения уравнения движения твердого тела в идеальной
безграничной жидкости будем рассматривать движение системы тело + 
жидкость в пустоте [6]. Уравнения движения рассматриваемой системы
можно записать в виде
G
G
G
G
G
*
(
)
,
+
=
=
+
  
(2.1) 
G
G
G
G
G
*
(
)
,
+
=
=
+
dR
d Q
B
F
F
dt
dt
dN
d K
I
M
M
dt
dt
где Q
G
и B
G
 – главные векторы количества движения соответственно судна и жидкости; K
G
и I
G
 – главные моменты количества движения соответственно судна и жидкости относительно начала координат; F
G
G
 – главный
вектор внешних сил; M
G
 – главный момент внешних сил; 
*
F
G
 – вектор
количества
движения
частиц, отбрасываемых
с поверхности
тела
в единицу времени; 
*
M
 – вектор момента количества движения частиц, 
отбрасываемых в единицу времени. 
Векторы
*
F
G
и
*
M
G
запишем в следующем виде
n
G
G
G
*
ν
,
=
×
¦
dm
M
r
u
dt
1
ν
ν
ν=
  
(2.2) 
n
G
G
*
,
=
¦
dm
F
u
dt
1
ν
ν
ν=
G  – абсолютная скорость частиц, отбрасываемых точкой с массой
где u
ν
ν;
m
r
ν
G можно записать
G – радиус вектор точки m
ν относительно неподвижной системы
координат
1
1 1
Oξ ηζ (плоскость которой совпадает с невозмущенной свободной поверхностью жидкости, а одна из осей направлена вниз вдоль
направления скважины). 
Для скорости u
ν
u
r
ν
ν
= υ + ω +
G
G
G
G
8

или в проекциях на оси подвижной системы координат: 

,
u
z
z
= υ
+ ω
= υ
+ ψ
x
gx
y
gx
ν
ν
ν

,
  
(2.3) 
u
z
z
= υ
−ω
= υ
−θ
y
gy
x
gy
ν
ν
ν
.
u
= υ
z
gz
ν
y
F , 
*
z
F , 
*
x
M , 
*
y
M , 
*
z
M
Получая из выражения (2.2) формулы для проекций количества движения
и момента
количества
движения
частиц, 
отбрасываемых
с поверхности тела в единицу времени
*
x
F , 
*
n
n
*
G

(
)
(
)
,
ψ
=
=
υ
+ ψ
=
υ
+
x
x
gx
gx
c
¦
¦
1
1
ν
ν
ν
ν
ν=
ν=
n
n
*
G

(
)
(
)
,
θ
=
=
υ
+ θ
=
υ
−
y
y
gy
gy
c
¦
¦
dm
dm
dm
dm d
F
u
z
z
dt
dt
dt
dt dt
dm
dm
dm
dm d
F
u
z
z
dt
dt
dt
dt dt
1
1
ν
ν
ν
ν
ν=
ν=
n
n
G
*
(
)
,
=
=
υ
=
υ
z
z
gz
gz
¦
¦
dm
dm
dm
F
u
dt
dt
dt
1
1
ν
ν
ν
ν=
ν=
n
n
G
G
*

(
)
(
)
=
×
=
−υ
+ θ
= −
υ
+
x
x
gy
gy c
ν
ν
¦
¦
dm
dm
M
r
u
z
dt
dt
1
1
ν
ν
ν
ν=
ν=
     
  
(2.4) 
2
,
θ
+
c
n
n
*
G
G

(
)
(
)
=
×
=
υ
+ ψ
= −
υ
+
y
y
gy
gx c
¦
¦
1
1
ν
ν
ν
ν
ν
ν=
ν=
2
,
ψ
+
c
n
n
G
G
*
(
)
(
)
=
×
=
−
=
z
z
y
x
¦
¦
dm
z
z
dt
dm d z
dt dt
dm
dm
dm
M
r
u
z
z
z
dt
dt
dt
dm d
z
dt dt
dm
dm
M
r
u
x u
y u
dt
dt
1
1
0
ν
ν
ν
ν ν
ν ν
ν=
ν=
и переходя к системе координат, неразрывно связанной с телом, вместо
соотношения (2.1) получим
G
G
G
G
G
*
,
+ ω ×
=
+
 
(2.5) 
G
G
G
G
G
G
G
*
,
+ ω ×
+
×
=
+
dR
R
F
F
dt
dN
N
v
R
M
M
dt
где v
G – вектор скорости начала координат подвижной системы; ω
G  – вектор угловой скорости вращения тела. 
9 

Записывая выражение (2.5) в проекциях на координатные оси системы координат Gxyz, связанной с судном, в которой плоскость Oxy совпадает с плоскостью ватерлинии равновесия судна, а ось Oz проходит
через его центр тяжести, получаем общие уравнения движения твердого
тела
*
,
dR
dt
R
R
F
F
+ ω
−ω
=
+
x
y
z
z
y
x
x
*
,
dR
dt
R
R
F
F
+ ω
−ω
=
+
y
z
x
x
z
y
y
*
,
dR
dt
R
R
F
F
+ ω
−ω
=
+
z
x
y
y
x
z
z
  
(2.6) 
*
,
dN
dt
N
N
R
R
M
M
+ ω
−ω
+ υ
−υ
=
+
x
y
z
z
y
y
z
z
y
x
x
*
,
dN
dt
N
N
R
R
M
M
+ ω
−ω
+ υ
−υ
=
+
y
z
x
x
z
z
x
x
z
y
y
*
.
dN
dt
N
N
R
R
M
M
+ ω
−ω
+ υ
−υ
=
+
z
x
y
y
x
x
y
y
x
z
z
Уравнения (2.6) являются общими уравнениями движения твердого
тела. 
2.2. Обобщенные уравнения динамики бурового судна
Для определения составляющих векторов R
G
и N
G
в (2.6) можно воспользоваться известными из теоретической механики соотношениями: 
,
,
T
R
T
N
∂
∂υ =
∂
∂ω =
c
x
x
c
x
x
,
,
  
(2.7) 
T
R
T
N
∂
∂υ =
∂
∂ω =
c
y
y
c
y
y
,
,
T
R
T
N
∂
∂υ =
∂
∂ω =
c
z
z
c
z
z
где
1
c
T
T
T
=
+
 – кинетическая энергия системы твердое тело + жидкость; 
,
,
x
y
z
υ υ υ  – составляющие скорости поступательного движения
в связанной с судном системе координат; 
,
,
x
y
z
ω ω ω  – составляющие скорости вращательного движения в той же системе координат. 
Величина кинетической энергии жидкости определяется выражением
2
1
2
V
T
dV
ρ
=
υ
³³³
, в котором интеграл берется по всему объему жидкости V . Проведем в пространстве произвольную неподвижную поверхность Σ, охватывающую поверхность Ω движущегося судна. Рассмотрим интеграл по объемуV , заключенному между поверхностями Σ и Ω. 
По теореме Грина – Остроградского
2
∂Φ
∂φ
υ
= −
Φ
Ω +
φ
Σ
∂
∂
³³³
³³
³³
, 
V
dV
d
d
n
n
Ω
Σ
где φ – потенциал скоростей жидкости неустановившегося движения; 
Φ – потенциал скоростей возмущенного движения жидкости, образующегося вследствие качки судна. 
10