Методы теории планирования эксперимента в решении технических задач

В.Т. Чемодуров, В.В. Жигна,

Э.В. Литвинова, О.А. Кузьменко

Методы теории планирования эксперимента в 

решении технических задач

Москва

Инфра-М

2018

В.Т. Чемодуров, В.В. Жигна,

Э.В. Литвинова, О.А. Кузьменко

Методы теории планирования эксперимента в 

решении технических задач

Монография

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

ГРНТИ 67.01.77

УДК 004.942

Чемодуров, В.Т.

Методы теории планирования эксперимента в решении технических 

задач: монография / В.Т. Чемодуров, В.В. Жигна, Э.В. Литвинова и др. – М.: 
Инфра-М; Znanium.com, 2018. – 110 с.

ISBN 978-5-16-106957-8 (online)

ISBN 978-5-16-106957-8 (online)
© В.Т. Чемодуров, В.В. Жигна, 

Э.В. Литвинова, О.А. Кузьменко, 2014, 2018

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

L, b, h – ортогональные линейные размеры (м);
R, r – сферические, цилиндрические размеры (м);
Р – сосредоточенная сила (Н);
Q – поперечная сила (Н);
Мр, Ми, Мк – расчетный, изгибающий и крутящий моменты 

(Нм);

m – масса (кг);
J – момент инерции (м4);
Вω – бимомент (Нм2);
Т – температура (Ко);
W – влажность (%);
t – время;
руд – давление прессования (Па);



n
2
1
x
,...,
x
,
x
x 
–
вектор 
входных 
параметров 

математической модели;



n
2
1
z
,...,
z
,
z
z
– вектор кодированных значений входных 

параметров;



m
2
1
y
,...,
y
,
y
y
–
вектор 
выходных 
параметров 

математической модели;

 
x
f 0
– целевая функция задачи оптимизации;

 
m
,1
m
,
x
f i

–
функции 
ограничений 
задачи 

оптимизации;

ij
,
i 

– коэффициенты полинома;

ij
i b
,
b
– оценки коэффициентов полинома;

N – общее число экспериментов в плане;

if~ – среднее значение параметра;

i
~ – оценка дисперсии параметра;

ik – число степеней свободы статистического параметра;

i
Z – переменные канонического уравнения;

ii
B
– коэффициенты канонического уравнения;

ij
i s,
s
– вспомогательные суммы;

ij
m – вспомогательные коэффициенты; 

ii
M
– коэффициенты перевода квадратической формы в 

канонический вид. 

ВВЕДЕНИЕ

Каждый шаг человеческой деятельности связан с принятием 

тех или иных решений. Архитектор, например, принимает 
решение о создании материально организованной среды, 
необходимой 
людям 
для 
их 
жизни 
и 
деятельности, 

проектировщик 
–
о параметрах будущей строительной 

конструкции, инженер – об этапах технологического процесса, 
студент  о роде и характере дальнейшей деятельности после 
окончания ВУЗа. Нередко, спустя некоторое время (к 
сожалению), мы убеждаемся в том, что принятые нами 
решения оказались неудовлетворительными с некоторых точек 
зрения, или неоптимальными. Поэтому естественно ставить 
вопрос о развитии 
стандартных, научно обоснованных 

принципов выбора оптимальных решений. Одним из основных 
таких принципов является моделирование.

Изучение вопросов теории и разработки строительных 

конструкций, 
их 
эксплуатации, 
восстановления 
и 

реконструкции и так далее основывается на широком 
применении 
методов 
моделирования 
и 
вычислительной 

техники.

Модель 
как 
средство 
научно-экспериментального 

исследования. Со времен Галилея (то есть с 17-го века) 
необходимым базисом научной теории и применения ее на 
практике становится эксперимент. Он стал существенным 
фактором науки в ее современном виде и занимает центральное 
место. Важность данного метода исследования заключена в его 
преимуществах:

 при эксперименте мы намерено заставляем происходить 

то или другое, и заставляем происходить так, чтобы 
наблюдение делалось удобным; мы устраняем то или другое из 
окружающих обстоятельств, наблюдаем изменения, которые 
являются при этом устранении, и делаем свои заключения 
(словом, активно воздействуем на предмет);

 эксперимент позволяет исследовать свойства объектов, 

функционирующих в экстремальных условиях, что может 
привести к обнаружению самых неожиданных и удивительных 
свойств у обыкновенных вещей и тем самым позволяет 
достаточно глубоко проникнуть в их сущность;

 эксперимент может быть проведен, как правило, столько 

раз, сколько нужно для получения достоверных данных.

Таким образом, под экспериментом можно понимать 

совокупность действий, к которым приходится обращаться, 
чтобы задавать природе интересующие нас вопросы. Не 
каждый эксперимент можно поставить на натурном объекте. 
Но любой эксперимент – исследовательский, проверочный или 
иллюстративный – может быть осуществлен на «заменителе» 
данной 
натуры 
–
модели. 
Важнейшим 
достоинством 

экспериментирования 
с 
моделью 
является 
возможность 

изучения ее в более широком диапазоне условий, чем это 
допускает непосредственное оперирование с оригиналом.

Модели бывают разные. Моделей бывает много. Чтобы 

выбрать одну из них, надо понять, что мы хотим от модели, 
какие 
требования 
мы 
к 
ней 
предъявляем. 
Согласно 

определению В.А.Штоффа «под моделью понимается такая 
мысленно представляемая или материально реализованная 
система, 
которая, 
отображая 
или 
воспроизводя 
объект 

исследования, способна заменить его так, что ее изучение дает 
нам новую информацию об этом объекте». Таким образом, 
если 
модель 
достаточно 
точно 
описывает 
объект, 
то 

эксперимент на объекте может быть заменен экспериментом на 
модели.

Из всего существующего многообразия моделей можно 

выделить два крупных класса:

 физические модели, которые сходны с оригиналом по 

физической природе и геометрической форме;

 математические модели, которые конструируются из 

элементов иной физической природы, по сравнению с 

оригиналом, но описываются той же системой математических 
зависимостей, что и оригинал.

Физическое и математическое моделирование широко 

применяется в научных исследованиях. Это объясняется тем, 
что натурные эксперименты на
реальных строительных 

объектах зачастую невозможно организовать по различным 
соображениям (экономическим, временным, безопасности  и 
так далее). 

Истинность как свойство модели. Истиной называется 

знание, 
соответствующее 
объективной 
действительности. 

Видимо,
определение 
истинности 
модели 
не 
должно 

отличаться 
от 
общего 
и 
традиционного 
определения 

истинности в материалистической гносеологии. То есть 
истинность модели означает соответствие модели объекту, а 
ложность модели состоит не просто в несоответствии с 
оригиналом, 
а 
в 
наличии 
конкретной 
формы 
этого 

несоответствия, которая предусматривается природой, типом 
моделей и целям применения модели в каждом отдельном 
случае.

Для моделей, обладающих с натурой одной и той же 

физической природой, условия их соответствия с оригиналом 
разработаны в теории подобия. К числу таких условий 
относится 
необходимость 
сохранения 
геометрического, 

кинематического, 
динамического 
теплового 
и 
других 

элементов подобия, учитываемых  в каждом конкретном 
случае.

Условия сходства модели и объекта в математическом 

моделировании, 
основанном 
на 
физических 
аналогиях, 

предполагающих при различии физической природы процессов 
в модели и объекте тождество математической формы, в 
которой выражаются их общие закономерности, являются 
более общими.

Необходимо при этом иметь в виду, что при построении тех 

или иных моделей всегда сознательно отвлекаются от 

некоторых сторон, свойств и даже отношений, в силу чего 
заведомо допускается несохранение сходства между моделью и 
оригиналом по ряду параметров, которые вообще не входят в 
формулирование условий сходства. Исходя из этого можно 
сказать, что истинная модель – это такая модель, структура 
которой в рамках выбранных нами условий соответствия 
тождественна, совпадает со структурой оригинала, взятой в 
отвлечении от других свойств отношений и элементов. 
Следовательно, модель, в которой отсутствует тождество, 
совпадение ее структуры со структурой оригинала, будет 
ложной моделью.

Приведем пример. В задачах исследования несущей 

способности мостовых конструкций сходство между моделью 
и оригиналом должно заключаться в тождестве нагрузок, полей 
внутренних усилий и деформаций в сходственные моменты 
времени. Для данных условий соответствия достаточна модель 
мостовой конструкции в виде ее расчетной схемы, сохраняя 
при этом пропорциональность внешних сил, действующих на 
оригинал и модель. В такой постановке наша модель отражает 
истину. Если мы хотим рассмотреть вопросы крепления 
элементов моста, то выше приведенная модель окажется 
ложью, так как сама расчетная схема является лишь условным 
представлением элементов крепления. Таким образом, любая 
модель является истиной лишь в рамках выбираемых условий 
соответствия, то есть истиной относительной. Создание 
абсолютно истинной модели означало бы осуществление в 
модели полного соответствия с оригиналом, то есть построение 
второго экземпляра этого объекта.

Модель является выражением относительной истины 

потому, что:


каждая 
модель 
является 
временной, 
преходящей, 

отражающей 
лишь 
исторически 
определенной 
ступени 

проникновения 
познания 
в 
объективную 
структуру 
и 

закономерности функционирования объекта;


каждая модель неизбежно является односторонней, 

частичной в силу тех отвлечений и упрощений, которые при ее 
помощи реализуются;

 многие модели соответствуют объекту в той или иной 

степени на основе аналогии, предполагающей различие в 
«физической» природе элементов модели и объекта;

 в некоторых моделях допускается элемент отхода от 

действительности, 
элементы 
научной 
фантазии, 
а, 

следовательно, некоторые элементы фиктивности.

Невозможность построения абсолютно истинной модели и 

необходимость ограничиваться всегда лишь относительно 
истинными моделями не означает, что в моделях не могут 
содержаться 
зерна 
абсолютной 
истины. 
Динамическое 

единство 
абсолютного 
и 
относительного 
в 
модели 

обнаруживается достаточно ясно, если взглянуть на процесс 
развития 
моделей, 
их 
выдвижения, 
изучения, 

экспериментальной проверки, последующего уточнения или 
изменения и, наконец, смены одной модели другой.

Модельный эксперимент как критерий истинности 

модели. Стремясь к достижению объективной истины, человек  
испытывает необходимость в критерии, с помощью которого 
он мог бы ыявить ее заблуждения. В этой связи модель может 
рассматриваться как оружие проверки того, действительно ли 
существуют 
такие 
связи, 
отношения, 
структуры, 

закономерности, которые формируются в данной теории и 
выполняются в модели. Поэтому, если модель построена так, 
что в ней выполняются все требования, условия, теоремы 
проверяемой теории, или гипотезы, то ее успешная работа есть 
практическое 
доказательство 
истинности 
теории. 
Успех 

эксперимента с моделью есть косвенное вероятностное 
доказательство теории применительно к объекту. Это, конечно, 
заставляет предпочесть в качестве критерия истинности теории 
прямой 
эксперимент 
модельному. 
Однако, 
такие 

эксперименты, как уже указывалось выше, не везде и не всегда