Компьютерная математика

Допущено УМО вузов Российской Федерации по университетскому 
политехническому образованию в качестве учебного пособия для 
студентов высших учебных заведений, обучающихся по 
направлению «Информационные системы и технологии»
Москва
Горячая линия – Телеком
2016

УДК 510(022)(075.8) 
ББК  32.97 
     С20 
Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор  А. Н. Сесекин;  
канд. пед. наук, доцент  И. Н. Слинкина 
Сардак Л. В. 
С20    Компьютерная математика. Учебное пособие для вузов / Под 
редакцией  профессора  Б. Е. Стариченко. – М.: Горячая линия – 
Телеком, 2016. – 264 с.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0527-6. 
Рассмотрены основы использования систем компьютерной математики MathCad, Mathematica, Maple, а также системы верстки технических текстов на базе языка макрокоманд LaTeX. Пособие содержит 
необходимый теоретический материал, лабораторный практикум, контрольные работы и доступное для скачивания с сайта издательства 
электронное приложение с демонстрационными учебными и рабочими 
файлами, необходимые при изучении дисциплин «Компьютерная математика», «Информационные технологии в математике», «Математические пакеты», «Программное обеспечение для решения задач высшей математики», входящих в систему подготовки инженеров. 
Для студентов, обучающихся по направлению подготовки «Информационные системы и технологии», будет полезно для преподавателей 
технических и педагогических вузов, а также широкого круга читателей, 
желающих освоить работу с математическими пакетами. 
ББК 32.97 
Адрес издательства в Интернет www.techbook.ru 
Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы 
то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного 
разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
©  Л. В. Сардак  

П
Пр
ре
ед
ди
ис
сл
ло
ов
ви
ие
е
В настоящее время для научно-технических расчетов на компьютерах все чаще используются не традиционные языки программирования и не электронные таблицы, а специальные математические программы Mathematica, MatLab, Maple, MathCad, Gauss, 
Reduce, Eureka и др.
Пособие состоит из теоретической части и содержит тексты
лекций, лабораторный практикум, включающий освоение пакетов
MathCad, Mathematica и Maple. Цель практикума – познакомить 
пользователя с основами работы в системах компьютерной математики на таком уровне, который, с одной стороны, позволил бы 
ему начать активно применять пакеты в своей деятельности, а с 
другой стороны, при необходимости самостоятельно освоить иные 
возможности систем. Уровень изложения и примеры ориентированы на студентов 2-го и 3-го курсов. На заключительном этапе 
предлагается решать задачи во всех трех пакетах, что позволяет 
произвести их сопоставление и сделать выводы о целесообразности применения той или иной системы для решения конкретного
типа задач. Для решения специфических задач в издании рассматриваются вопросы программирования собственных функций в 
различных системах. Для корректного оформления результатов 
вычисления предлагается ознакомиться с основами верстки специализированных технических текстов в редакторе WinEdt на основе языка макрокоманд LaTeX.
Для комплексной оценки уровня освоения учебного материала 
предусмотрен блок контроля, включающий контрольные работы 
по каждой из содержательных частей лабораторного практикума.
Таким образом, пройдя обучение с использованием данного 
учебного пособия, студенты, по нашему мнению, получат вполне 
исчерпывающее представление о возможностях и приемах работы 
с различными системами компьютерной математики, а также о 
круге решаемых с их помощью задач. Уровень освоения достаточен для дальнейшего самостоятельного применения систем при 
изучении математических и технических дисциплин, выполнении 
курсовых и выпускных квалификационных работ.
Рабочие материалы к проведению лабораторных работ можно 
скачать с сайта издательства «Горячая линия — Телеком».
Замечания и пожелания можно направлять по электронному 
адресу  l.v.sardak@gmail.com.

Т
Те
ео
ор
ре
ет
ти
ич
че
ес
ск
ки
ий
й м
ма
ат
те
ер
ри
иа
ал
л
Лекция № 1
Введение в компьютерную математику
ЦЕЛЬ
Ознакомиться с основными классами систем компьютерной 
математики и рассмотреть их базовые вычислительные возможности.
ПЛАН
#Основные определения.
#Классификация систем компьютерной математики.
#Структура систем компьютерной математики.
#Задачи, решаемые системами компьютерной математики.
#Сетевые решения – on-line системы и калькуляторы.
Основные определения
Среди всего многообразия программного обеспечения информационных технологий выделяется весьма актуальное научное направление – компьютерная математика.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Компьютерная математика – это совокупность теоретических, методических, аппаратных средств, обеспечивающих эффективное автоматическое и диалоговое выполнение всех видов математических преобразований с высокой степенью их визуализации посредством компьютера.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Информационные технологии (Материал из 
Википедии — свободной энциклопедии). Информациоғнные технолоғгии (ИТ, от англ. information technology, IT) — широкий класс 
дисциплин и областей деятельности, относящихся к технологиям 
управления и обработки данных вычислительной техникой. Обычно под информационными технологиями понимают компьютерные 
технологии. В частности, ИТ имеют дело с использованием компьютеров и программного обеспечения для хранения, преобразования, защиты, обработки, передачи и получения информации. 
Специалистов по компьютерной технике и программированию 
часто называют ИТ-специалистами1. Компьютерные технологии –
один из инструментов информационных технологий.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Визуализация (лат. visualis – зрительный) –
процесс построения визуальных образов в мозге2. Visualization –
процесс представления данных в виде изображения с целью мак1 http://ru.wikipedia.org
2 nlp.ekb.ru/aboutnlp/remem/glossary.html

Введение в компьютерную математику                        5
симального удобства их понимания пользователем. Это могут 
быть данные о реальном мире или абстрактные данные1.
Классификация систем компьютерной математики
В.П. Дьяконов в своей монографии отмечает, что можно условно выделить семь классов математических компьютерных систем [1].
1. Системы для численных расчетов. К ним относят: встроенные 
калькуляторы Windows, системы типа Eureka, ее модификация система Mercury, MathCad под MS-DOS.
2. Табличные процессоры (предназначены для обработки числовой информации в табличном виде и визуализации ее в виде 
деловой графики). К ним относят: SuperCalc, OmniCalc, Excel.
3. Матричные системы. К ним относится первая версия системы MatLab, название произошло от Matrix Laboratory.
4. Системы для статистических расчетов (SAS, StatGraphics Plus, 
Statistica, SPSS, S-PLUS (последняя версия из серии пакетов 
для 
статистических 
расчетов), 
российский 
вариант 
–
STADIO).
5. Системы для специальных расчетов. Ориентированны на проведение специальных видов математических расчетов. TK 
Solve – программа для решения систем нелинейных уравнений, Dynamic Solve – программа, ориентированная на решение систем дифференциальных уравнений. Программы, ориентированные на построение графиков: Axum7 (до 70 видов 
различных графиков), MathPlot, SigmaPlot. 
6. Системы аналитических расчетов или системы компьютерной 
алгебры (muMATH, Macsyma, Reduce, MuPAD, Derive, а также ранние версии систем Maple V и Mathematica и др. 
7. Универсальные системы компьютерной математики. Универсальными системами считаются те, которые пригодны как для 
выполнения численных, так и аналитических расчетов, включая статистические, а также визуализацию всех видов расчетов средствами графики. К ним относят: 
#системы класса MathCad начиная с версии 3.0 под ОС 
Windows;
#Mathematica начиная с v. 2;
#Maple начиная с v. 5;
#MATLAB начиная с v. 5.
1 www.whatis.ru/glos/r03.shtml

Лекция 1
В дальнейшем мы будем рассматривать системы, выпущенные 
после 2012 года, поскольку в них реализованы возможности аналитического (не численного) решения математических задач, в том 
числе таких сложных, как вычисление производных и интегралов, 
осуществление подстановок одних выражений в другие, выполнение математических преобразований и многое другое. В разделе 
«Задачи, решаемые системами компьютерной математики» этой 
лекции будет приведено сопоставление вычислительных возможностей подобных систем.
Структура систем компьютерной математики
Каждая система компьютерной математики имеет нюансы в 
своей архитектуре или структуре. Тем не менее, можно прийти к 
выводу, что современные универсальные системы имеют следующую типовую структуру, описанную В.П. Дьяконовым:
Библиотеки
Ядро
Интерфейс
Справочная 
система
Пакеты расширений
Центральное место занимает ядро системы.
Ядро – это набор заранее откомпилированных функций и процедур, представленных в машинных кодах и обеспечивающих набор встроенных функций и операторов системы. В ядре хранятся 
как минимум все элементарные функции, а также правила преобразования математических выражений. Нельзя изменить. Неизменяемый компонент.
Интерфейс позволяет для систем аналитических (символьных)
расчетов пользователю обращаться к ядру со своими запросами и 
получать результат решения на экране монитора. Интерфейс современных систем символьной математики базируется на возможностях операционной системы Windows (объектная основа, представление WYSIWYG, OLE-технология).
Системно-объектная основа интерфейса систем 
компьютерной математики
Подавляющая часть современного программного обеспечения, 
включая прикладные программы, системы программирования и 
операционные системы, построена на основе объектного подхода, 
базирующегося на следующих идеях:

Введение в компьютерную математику                        7
x
при создании какого-либо информационного продукта мы работаем с двумя системами: инструментальной средой (приложением) и документом, причем документ является результатом 
работы приложения; приложение может породить множество 
документов одного типа;
x
приложение и документ являются системами, то есть представляют собой совокупность взаимосвязанных объектов и подсистем;
x
объектами приложения являются окна, инструменты, панели 
инструментов, меню, линейки прокрутки, панели настроек среды и пр., то есть те средства, с помощью которых документ 
создается, сохраняется и при необходимости передается на 
внешние устройства; совокупность объектов приложения образуют его пользовательский интерфейс.
x
объектами документа являются тексты, рисунки, формулы, 
графики, таблицы, диаграммы и пр., то есть те «кирпичики», из 
которых строится документ; порождается объект документа соответствующим инструментом;
x
каждый объект документа обладает некоторым набором 
свойств, выражаемых значениями параметров; изменяются 
свойства в результате внешнего воздействия;
x
воздействовать на объект документа можно либо с устройств 
ввода, либо с помощью инструментов приложения;
x
любой объект является представителем некоторого класса, в 
связи с чем из свойств объекта какая-то часть оказывается общей для всего класса (например, форма), а другая часть оказывается свойствами индивидуальными (например, цвет); изменение общего свойства всех объектов класса производится одним 
и тем же инструментом;
x
объекты могут объединяться – эта операция называется «группировка»; в результате группировки создается новый объект.
Основываясь на этих положениях, оказалось возможным выработать универсальный подход для изучения и освоения современных программных средств. В соответствии с ним при знакомстве с 
программной системой (приложением) необходимо:
x
выяснить, из каких объектов строится документ, каковы свойства объектов;
x
выяснить, какие имеются инструменты для создания объектов и 
изменения их свойств, как осуществляется доступ к инструментам;

Лекция 1
x
выявить особенности взаимодействия объектов одного документа.
Именно по такой схеме и будет построено освоение интерфейсной части пакетов компьютерной математики.
Реакция объекта на воздействие возникает только при выделении рассматриваемого объекта. Выделение объекта называется активацией. Оно достигается щелчком левой клавиши мыши по объекту или проводкой по объектам при нажатой левой клавише.
Вызов инструмента возможен одним из трех способов:
x
посредством представляющей его кнопки или пиктограммы;
x
выбором пункта из списка меню;
x
нажатием на «горячие» клавиши (или их сочетание) на клавиатуре.
Доступ ко многим командам для удобства пользователя дублируется несколькими способами. Вызов экранного инструмента 
производится при наведении на него указателя мыши с последующим щелчком левой клавиши. Часть операций выполняется непосредственно мышью.
Доступ к некоторым инструментам осуществляется посредством окон диалога, в частности, это операции с внешними носителями (сохранение документа, чтение, вставка внешнего объекта),
вывод на печать или передача по сети. В окне диалога указывается 
путь к папке, где документ будет храниться или откуда он будет 
считываться, затем имя файла вводится или выбирается из списка.
Над объектами документа возможны следующие манипуляции
мышью:
x
активизация (выделение);
x
перетаскивание – «захват» объекта левой клавишей мыши, перемещение на новое место экрана;
x
изменение размеров – активация, затем захват мышью «горячих 
точек» маркеров и перемещение в нужном направлении;
x
вызов контекстного меню (инструмент работы с объектом) –
правая клавиша мыши;
x
вызов контекстной помощи – навести курсор на кнопку и задержать его на ней, через некоторое время появится всплывающая подсказка.
Операции копирования, вырезания и перемещения объектов 
документа могут осуществляться с использованием буфера обмена – специального места на жестком диске или оперативной панями компьютера для временного хранения данных. Запись и хране

Введение в компьютерную математику                        9
ние в буфере осуществляется в виде файла данных, имя которого и 
расположение является одинаковым для всех приложений. Это позволяет осуществлять перенос данных из одного места документа 
в другое или между документами (даже разных приложений).
Представление WYSIWYG
WYSIWYG – сокращение для What You See Is What You Get 
(англ. что видишь, то и получишь). Применяется для описания 
способа работы, при котором обрабатываемый материал в процессе редактирования выглядит в точности так же, как и конечный результат. Обычно этот термин используется в отношении текстовых 
процессоров, но может применяться и к другим классам прикладных программ. Термин был придуман в исследовательском центре 
Xerox PARC.
OLE–технология
OLE (Object Linking and Embedding) — технология связывания 
и внедрения объектов и протокол, разработанные компанией Microsoft. OLE позволяет передавать часть работы от одной программы редактирования к другой и возвращать результаты назад, 
может быть использована при передаче данных между различными несвязанными между собой системами посредством интерфейса переноса (drag-and-drop), а также при выполнении операций с 
буфером обмена. Идея внедрения широко используется при работе 
с мультимедийным содержанием на веб-страницах (пример: ВебТВ). Однако технология OLE использует архитектуру «толстого 
клиента», то есть сетевого ПК с избыточными вычислительными 
ресурсами. Это означает, что тип файла либо программа, которую 
пытаются внедрить, должны присутствовать на машине клиента. 
Например, если OLE оперирует таблицами Excel, то программа 
Excel должна быть инсталлирована на машине пользователя.
Библиотека предназначена для хранения наиболее редко используемых процедур и функций, к которым обращается пользователь, если в ядре не обнаружена нужная процедура или функция. 
Некоторые пакеты предоставляют возможности модернизации 
библиотеки самим пользователем. Есть возможность модернизации, расширяемые возможности.
Пакеты расширения системы позволяют кардинально расширять возможности системы и их адаптации к решаемым конкретным задачам пользователя. Эти пакеты, как правило, пишутся на 
собственном языке программирования той или иной системы.

Лекция 1
Справочная система обеспечивает получение оперативных 
справок по вопросам работы с системой, содержит примеры такой
работы.
Задачи, решаемые системами компьютерной математики
Возможность
пакета
MathCad
Mathematica
Maple
Символьные и 
численные 
вычисления
Выполнение операций точной арифметики; 
вычисление фундаментальных математических констант с 
произвольной точностью; 
упрощение математических выражений; 
выполнение подстановок одних выражений в другие; 
выделение общих множителей и делителей; 
преобразование выражений в ряд по степеням заданной переменной;
операции с многочленами; 
вычисление сумм и произведений; дифференцирование и 
интегрирование выражений; 
вычисление пределов функций; 
разложение функций в ряды Тейлора и Лорана; 
поиск экстремумов функций и асимптот;
нахождение асимптотических представлений функций;
анализ функций на непрерывность (не у всех систем);
интегральные преобразования Лапласа. Фурье и др.; 
дискретные Z -преобразования; 
работа с кусочно-линейными функциями; решение специальных задач в теории графов, нейронных сетей и т.д.
Вычисление всех элементарных функций и осуществление 
их символьных преобразований; вычисление большинства 
специальных математических функций и др.
Вычисление 
элементарных 
и специальных функций
Численное и 
символьное 
решение 
уравнений и 
их систем
Решение систем дифференциальных уравнений в аналитическом 
виде
Решение линейных и нелинейных уравнений, систем алгебраических уравнений; 
символьное вычисление рядов, работа с рекуррентными 
формулами; 
решение трансцендентных уравнений;
решение неравенств и их систем; 
решение задач нелинейного программирования
Решение дифференциальных уравнений и 
их систем численными, приближенными 
методами
Линейная 
алгебра
Операции с матрицами и векторами; 
решение систем линейных уравнений с действительными и 
комплексными коэффициентами;