Физически нелинейные процессы в строительных конструкциях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
 СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 
В СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ 

Под редакцией профессора, 
доктора технических наук, 
В. Н. Савостьянова 

Москва 2017

2-е издание (электронное)

УДК 69.04 
ББК 38.5 
Ф50 

Р е ц е н з е н т ы: 
доктор технических наук, профессор А. Г. Тамразян (ФГБОУ ВПО «МГСУ»); 
доктор технических наук, профессор В. Н. Иванов (ФГБОУ ВПО «РУДН»);
доктор технических наук, профессор Г. С. Варданян  

А в т о р ы: 
В. П. Агапов, И. И. Ковригин, А. Н. Малахова, В. Н. Савостьянов 

Ф50
 Физически нелинейные процессы в строительных конструкциях 
[Электронный ресурс] : учебное пособие / В. П. Агапов, И. И. Ковригин, 
А. Н. Малахова и [др.] ; под ред. В. Н. Савостьянова ; М-во образования 
и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — 
Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 129 c.). — М. : Издательство 
МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо 
Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".

ISBN 978-5-7264-1777-6

Дано описание типов физически нелинейных процессов, протекающих в 
строительных конструкциях при их нагружении и длительной эксплуатации. Приведены основные понятия, законы и уравнения, описывающие пластическое 
состояние и ползучесть материала, а также релаксацию напряжений. Рассмотрены 
теории малых упруго-пластических деформаций и пластического течения. 
Изложены методы решения уравнений теории пластичности и ползучести. Теория 
сопровождается решением простейших задач, позволяющих понять сущность 
явлений. Наряду со строгим изложением теорий пластичности и ползучести приведены упрощенные инженерные методики, рекомендуемые принятыми в теории 
и практике строительства нормативными документами. В частности, рассмотрены 
теория предельного равновесия и даны примеры ее использования при расчете 
балок и плит. В приложении приведены основные положения операционного исчисления. Для студентов, обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство».

УДК 69.04 
ББК 38.5 

ISBN 978-5-7264-1777-6

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Физически 
нелинейные процессы в строительных конструкциях : учебное пособие / В. П. Агапов, 
И. И. Ковригин, А. Н. Малахова и др. ; под ред. В. Н. Савостьянова ; М-во образования 
и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 
2013. — 128 с. — ISBN 978-5-7264-0727-2.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных  
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

©  Национальный исследовательский

Московский государственный 
строительный университет, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Проявление физической нелинейности в работе строительных конструкций или, что то же самое, — отсутствие линейной связи между 
напряжениями и деформациями в этих конструкциях под действием 
нагрузки или во времени является существенным фактором при определении эксплуатационных качеств проектируемого объекта.  

Мост им. Александра Невского в Санкт-Петербурге. 
Сооружен в 1964 г. Преднапряженный железобетон. Снимок 1998 г. 

На фотографии видно не предусмотренное проектом искривление 
контура пролетной части моста, вызванное пластическими деформациями и деформациями ползучести в массиве моста, а также в основании 
его опор за более чем 30 лет эксплуатации. 
Предлагаемое пособие составлено на основе курса «Нелинейные задачи механики твердого деформированного тела», читаемого на 5 курсе 
факультета ПГС студентам специализации «Проектирование и исследование зданий», существенно дополненного рядом полезных сведений из 
теории и примерами решения практических задач. Необходимость излагаемых сведений диктуется, во-первых, важностью учета физически нелинейных процессов при проектировании и эксплуатации сооружений, 
во-вторых, директивным сокращением часов основного курса «Сопротивление материалов», в результате которого такие явления как пластичность и ползучесть оказались за пределами изучаемой дисциплины. 

Основной целью составления настоящего пособия являются ответы 
на вопросы, возникающие при переходе к двухступенчатой системе 
высшего образования (бакалавр — магистр), в которой на второй ступени обучения могут потребоваться сведения из механики твердого деформируемого тела, не вошедшие в дисциплины, изученные ранее. 
Авторы пособия сочли целесообразным параллельное размещение в 
тексте решений некоторых задач аналитическими методами и методами, 
предписанными нормативными документами в области строительства.  
Система нормативной документации в строительстве отражает опыт 
проектирования и возведения зданий, поэтому является основой профессиональной деятельности проектировщиков. Строительные нормы и 
правила включают в себя рекомендации по выполнению практических 
расчетов и конструированию строительных объектов. Теоретической 
основой рекомендаций являются фундаментальные исследования, использующие аналитические методы механики твердого деформируемого 
тела, а также данные экспериментальных исследований. При этом расчет существенно упрощается, а логическая обоснованность принятых 
упрощающих гипотез остается подчас не проясненной. 
В приложении к данному пособию приведены основные положения 
операционного исчисления. 

1. Виды нелинейности в задачах механики
твердого деформируемого тела 

Существуют два вида  нелинейности:  
а) геометрическая, 
б) физическая. 
Геометрическая нелинейность подразумевает формулировку приращения деформации 
x
  и напряжений σx  на участке dx в виде рядов: 

0
2 0
3 0
0
0
2
3
2
3
ε
1
1
1
ε
ε
2!
3!
!

n
n
x
x
x
x
x
n
x
dx
dx
dx
dx
x
n
x
x
x


 
 
 










(1.1) 

0
2
0
3
0
0
0
2
3
2
3
1
1
1
2!
3!
!

n
n
x
x
x
x
x
x
n
dx
dx
dx
dx
x
n
x
x
x

 
 
 
   








(1.2) 

Если приращение деформаций и напряжений на участке dx может 
быть принято линейным, то выражения (1.1) и (1.2) принимают вид: 

0
0
,
x
x
x
dx
x


   

 
(1.3) 

0
0
.
x
x
x
dx
x

   


 
(1.4) 

Т.е. (1.1) и (1.2) могут быть «линеаризованы». В этом случае задача 
становится геометрически линейной и соответствует общей постановке 
задачи сопротивления материалов и теории упругости, а также соответствует гипотезе: деформации в точках тела (относительное удлинение 

u
  и сдвиг  ) считаются малыми, и размеры тела под действием нагрузок существенно не меняются. 
При рассмотрении изгиба балки точное соотношение нейтральной 
линии и прогиба записывается как: 

3
2
2

1
.

(1
)

y

y







(1.5) 

В результате «линеаризации» выражение (1.5) принимает вид: 

1
.
y



(1.6)

(Угол поворота y  мал по сравнению с единицей.)
Теория геометрически нелинейных задач, разработанная академиком 
В.В. Новожиловым [1], в нашем курсе, рассчитанном на строительные 
конструкции, не рассматривается. 
Деформации будем считать геометрически линейными. 
Переходим к рассмотрению физически нелинейных задач, являющихся основными в данном курсе. 

Нелинейно-упругие задачи 
Теория нелинейной упругости описывает тела, в которых зависимость σ
ε

 имеет нелинейный характер, однако эта зависимость одинакова для нагружения и разгрузки, т.е. между напряжениями и деформациями существует однозначная зависимость. Нелинейная упругость, 
как правило, не характерна для строительных материалов и в данном 
курсе не рассматривается. 

Упруго-пластические задачи 
Упрго-пластическое поведение материалов демонстрируется обычно 
диаграммой σ
ε
 , в которой следует отметить следующие участки: 
упругая зависимость  ; зона текучести 
,
var
const
 
 
; зона линейности либо смешанного упрочнения. На рис. 1.1 приведены наиболее 
распространенные схемы упруго-пластического поведения материалов. 

Рис. 1.1 

а) Идеальная пластичность. После достижения точки А (σ тек) деформации растут без 
изменения напряжений. 
b, с) После достижения (σтек), деформирование происходит с «упрочнением» по линейному (b) или степенному закону (с). 
d, е) Между точкой А (σтек) и точкой В (начало упрочнения) имеется участок идеальной пластичности. Упрочнение может соответствовать линейному (d) либо степенному 
закону (е). 
f) Важный в практическом отношении случай так называемой «жесткопластической»
зависимости 
,
    при которой упругие деформации пренебрежимо малы, а процесс 
деформирования совпадает с идеальной пластичностью. 

Функция А.А. Илюшина 
Рассмотренные выше основные зависимости упруго пластического 
деформирования могут быть представлены аналитически в виде так 
называемой функции А.А. Илюшина. 
Пусть зависимость 
ε
   имеет форму, представленную на рис. 1.2. 
Напряжение σ в точке С диаграммы соответствует деформации . Оно 
может быть представлено как разность отрезков АС и АВ. АС — условное напряжение Е, соответствующее идеально упругому материалу. АВ 
— часть этого напряжения, соответствующая понижению его за счет 
пластических свойств материалов. Представим ее в виде Е, где  — 
безразмерная функция. 

σ
ε(1
)
E

  
(1.7.) 
0 ≤ ω  ≤ 1;   при σ < σ meκ     ω = 0. 
Приведем значения функции ω  для схематизированных диаграмм 

σ
ε

, приведенных на рис. 1.1. 
1. Идеально пластическое тело, рис. 1.1, а.

при 0
s
   
,
0;
E
 


 

при 
s
  
тек,
1
.
s
  
   

 (1.8) 

2. Диаграмма с площадкой текучести и 
линейным упрочнением, рис. 1.1, d 
при 
0
s
тек E
     
, 

,
0;
E
 


 

при 
s
  
,
1
;
s
тек

  
   

 

при 
*
*
1(
),
s
тек
s
E
  
  

  

*
(1
)
.
s
s


   

 



  (1.9) 

 

s  — деформации, соответствующие пределу текучести материала. 

*
s  — деформации, соответствующие началу упрочнения; 

1
E  — модуль упругости материала — tg, на рис. 1.1, b) 

1
1
E
E
  
 — параметр упрочнения. 

 
3. Диаграмма с площадкой текучести и степенным упрочнением. 
при 0
s
    , σ
ε,
ω
0
E


. 

 
при 
*
s
s
    

тек,
1
s
  
   

 

 

при 
*
тек
*

m

s
s




  
  






 , 
 

1

*
1

m
s
m

s


 
  


  
(1.10) 

0
1
m

 . 
 
Прочие схемы диаграмм   могут быть отражены по тем же приемам. 
 

Рис. 1.2

На рис. 1.3 приведен 

график зависимости, отражающей 
связь 
между 

напряжениями 1 и относительными деформациями 1
бетона при осевом сжатии и 
растяжении. График демонстрирует 
упругопластиче
ское деформирование материала. Вплоть до достижения в бетоне напряжений, 
равных 20…30 % от Rb, n
(нормативного сопротивления бетона сжатию),
де
формирование происходит 
по линейному закону. Прямая упругих деформаций 
определяет начальный модуль упругости бетона:

1

1

σ
α
ε
b
E
tg


.
Рис. 1.3

Начальный модуль упругости, прочностные характеристики бетона 
определяются проектировщиком по по назначенному классу бетона для 
рассчитываемой конструкции здания (табл. 1.1). 
 
Таблица 1.1 
 

Класс бетона по прочности 

на сжатие

В15
В20
В25
В30

Начальный модуль упругости 

бетона Eb, МПа
24000
27500
30000
32500

Нормативное (расчетное) со
противление бетона 

сжатию Rb, n, (Rb) МПа

11,0
(8,5)

15,0
(11,5)

18,5
(14,5)

22,0
(17,0)

Нормативное (расчетное) со
противление бетона 

растяжению Rbt, n, (Rbt) МПа

1,1

(0,75)

1,35
(0,9)

1,55
(1,05)

1,75
(1,15)

 
Значения модуля упругости для точек криволинейного участка графика могут быть вычислены после описания диаграммы b — b в виде 
функции. При выполнении автоматизированного расчета железобетон

ных конструкций, например с использованием программного комплекса 
ЛИРА, из библиотеки законов деформирования материалов выбирается 
вид зависимости и указываются параметры (Eb, b, b, bt, bt). 
В нормах по проектированию железобетонных конструкций [3] в качестве расчетных зависимостей b – b (bt – bt) рекомендованы трехлинейная и двухлинейная диаграммы (рис. 1.4). 
На рис. 1.4 приведены расчетные диаграммы сжатого бетона: а — 
трехлинейная, б — двухлинейная.  
Для двухлинейной диаграммы (рис. 1.4, а) при b1 = 0,6 × Rb относительные деформации вычисляются по формуле b1 = b1/Eb. При b = Rb 
относительные деформации b0 и b2 принимаются при кратковременном 
нагружении для тяжелого бетона всех классов  соответственно 0,002 и 
0,0035. 
Для двухлинейной диаграммы (рис. 1.4, б) при b = Rb относительные 
деформации b1,red принимаются 0,0015. 
Сопротивление бетона растяжению оценивается с помощью аналогичных диаграмм. Для построения расчетных диаграмм растянутого бетона Rb заменяется на Rbt, а относительные деформации принимаются 
равными: b1 = bt1/Eb,  bt0 = 0,0001, bt2 = 0,00015, bt1,red = 0,0008. 
 

Рис. 1.4

Пластический шарнир в изогнутой балке 
 
Принимаем диаграмму σ
ε

 соответствующей идеальной пластичности (рис. 1.1, а). Рассматриваем балку из однородного материала в 
условиях чистого изгиба.  
Напряжения по мере увеличения изгибающего момента принимают 
ряд состояний, рассмотренных на рис. 1.5. 
 

Рис. 1.5 
 
Нормальные напряжения в сечении балки при 

тек
  
: 

3
4
;
см ;
12
z
z
z

M
M
bh
y
J
J
W
 




2
3
см .
6
z
bh
W 
 
(1.11) 

Распределение напряжений в сечении балки приведено на рис. 1.5, 
оно соответствует: 
а) упругой работе балки: 
max
тек;

 
 

б) упругой работе балки (предельный случай): 

max
тек,

 

тек
тек
тек
2
;
z
z
J
J
M
M
y
h







 
(1.12) 

в) упругопластическому состоянию: 

разр
тек;
M
M
M


 

г) разрушению и возникновению пластического шарнира: 

тек
тек
тек
тек
тек

2

разр

2
2

2
,
4
F
F

bh
M
dF
ydF
W




 

 




 

(1.13)
 

тек
W
 
— пластический момент сопротивления, 

2

тек

2

2
4
F

bh
W
ydF




 

(1.14)
 

Распределение напряжений (г) соответствует возникновению пластического шарнира, т.е. моменту, когда возможность упругого сопротивления исчерпана. 
В статически определимых системах возникновение пластического 
шарнира ведет к разрушению конструкции. 
В статически неопределимых системах пластический шарнир снимает одну степень статической неопределимости.