Расчет статически определимых систем : практикум для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство»

УДК 624.04(076) 
ББК 38.11я73

Р24

Рецензент
кандидат технических наук В. Г. Богопольский,
доцент кафедры сопротивление материалов и теории упругости 
ФГБОУ ВПО «МГСУ»

Составители:
кандидат технических наук, профессор М. И. Ганджунцев, 
кандидат технических наук, профессор А. А. Петраков

Р24
     Расчет статически определимых систем [Электронный ресурс] : 
практикум для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 
08.03.01 «Строительство» / М. И. Ганджунцев, А. А. Петраков ; М-во 
образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 2-е 
изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 65 с.). — М. : 
Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".

Изложены теоретические основы курса строительной механики в 
соответствии с рабочей программой дисциплины «Техническая механика» применительно ко второму семестру ее изучения.

Даны практические приемы построения эпюр внутренних усилий 
в простейших статически определимых системах с подробными 
коммен-тариями, сопровожденные примерами расчета.

Предназначено для студентов строительных вузов, обучающихся 
по направлению 08.03.01 «Строительство».

УДК 624.04(076) 
ББК 38.11я73

ISBN 978-5-7264-1772-1

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Расчет 
статически определимых систем : практикум для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению 08.03.01 «Строительство» / 
М. И. Ганджунцев, А. А. Петраков ; М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство МИСИ—
МГСУ, 2015. — 64 с.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе 
требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-7264-1772-1
©  Национальный исследовательский

Московский государственный 
строительный университет, 2015

ВВЕДЕНИЕ

Все создаваемые человеком инженерные сооружения требуют 
предварительного расчета для обеспечения надежности и долговечности их эксплуатации. Науку о методах расчета сооружений на 
прочность, устойчивость и жесткость называют строительной механикой. В широком смысле строительная механика может быть 
названа и теорией сооружений. В этом случае в качестве отдельных 
ее частей могут рассматриваться такие дисциплины, как знакомое 
вам уже сопротивление материалов, изучающее поведение под нагрузкой отдельных брусьев, строительная механика стержневых 
систем, основы которой нам предстоит изучить, а также теория 
упругости, пластичности и ползучести. Широта вопросов, охватываемых строительной механикой, определяется и тем, что в каждом 
из ее разделов разрабатываются методы расчета сооружений на различные воздействия: статические, динамические, связанные с 
устойчивостью положения, тепловые, радиационные и пр. 

Что следует понимать под расчетной схемой сооружения

Необходимо иметь в виду, что любое сооружение представляет 
собой совокупность множества элементов, работающих как одно 
целое в условиях тех или иных внешних воздействий, как то: собственный вес, воздействие ветра, динамическое воздействие от работы оборудования, перепады температуры, осадки фундамента 
и т.д. С позиций строительной механики рассчитать данное конкретное сооружение — это суметь определить его напряженно-деформированное состояние (НДС) в любом интересующем нас сечении любого элемента этого сооружения для его последующей 
оценки с точки зрения удовлетворения условиям прочности, жесткости или же устойчивости. Расчет реального сооружения с учетом 
всех особенностей формирования в нем НДС является обычно 
крайне сложной задачей. В строительной механике моделью сооружения служит его расчетная схема — некоторая условная идеализированная система, отражающая наиболее важные свойства действительного поведения сооружения при тех или иных воздействиях, не учитывая при этом второстепенные факторы, предполагаемые 
несущественными. Следует учесть, что формирование расчетной 
схемы является непростой задачей, успех решения которой определяется часто опытом и интуицией инженера-расчетчика. 

Как классифицировать системы в соответствии с их расчетными 
схемами

1. Стержневые, или одномерные. Их расчетная схема представляется в виде осевой линии, проходящей через центры тяжести сечений стержня. При этом стержни могут быть прямо- и криволинейными, от реального описания свойств их поперечных сечений 
абстрагируются, оперируя лишь геометрическими и жесткостными 
характеристиками, такими как площадь поперечного сечения F, 
жесткость на растяжение-сжатие EF и 
жесткость на изгиб EJ. При этом выделяют основное свойство элемента — 
длина стержня существенно превалирует над его поперечными размерами. 
На рис. 1 представлен некий призматический элемент системы — брус и его 
расчетная схема. 
2. Плоские, или двумерные. К данному классу систем, рассматриваемых в строительной механике, относятся пластины и оболочки. В этих конструкциях два линейных размера (назовем их 
длиной и шириной) существенно больше их толщины. В качестве 
примера можно привести плиты перекрытий, различного рода панели. Их расчетная схема — срединная плоскость (у пластин) или 
же срединная поверхность (у оболочек) с соответствующими 
 характеристиками жесткости: Eh — при растяжении — сжатии и 
D = Eh3/ 12(1 – 2) — при изгибе, или так называемая цилиндрическая жесткость (рис. 2). 

Рис. 2

3. Массивы, или трехмерные. Все три их размера сопоставимы
между собой. К этому классу систем можно отнести дамбы, плотины и пр. 

Следует заметить, что стержневые системы можно подразделить 
на плоские, которые станут объектом наших исследований в дальнейшем, и пространственные. 

Рис. 1

Каким образом отдельные элементы системы объединяют в одно 
целое и как система «крепится» к основанию

Напомним понятие связи, известное из теоретической механики. Это устройство, снижающее степень свободы системы на единицу и способное «блокировать» свободу линейного перемещения 
системы либо поворота какого-либо ее сечения. 
Начнем со связи, называемой шарнирно-подвижная опора. Кинематическая характеристика этой одиночной связи — исключение 
возможности взаимного перемещения связываемых элементов по 
ее направлению (рис. 3, а). При креплении конструкции к основанию с помощью шарнирно-подвижной опоры возникает одна опорная реакция, направленная вдоль абсолютно жесткого стержня 
данной опоры (рис. 3, б). Если обозначить число опорных стержней 
через С0, то для данного вида опоры С0 = 1. 

Рис. 3

Другой тип связи, объединяющий элементы системы воедино, — 
это так называемый простой шарнир. Это идеализация подвижного 
сочленения двух элементов плоской стержневой системы (рис. 4, а). 
При использовании данной связи для крепления сооружения к основанию она получила название шарнирно-неподвижной опоры, различные виды графического отображения которой показаны на 
рис. 4, б, в, г. Эта связь «блокирует» две степени свободы, а в статическом смысле — приводит к возникновению двух составляющих 
сил взаимодействия (при сочленении двух элементов) и двух опорных 
реакций (в случае шарнирно-неподвижной опоры). Обычно опорные 
реакции направляют в горизонтальном и вертикальном направлениях и обозначают их соответственно H и V. При этом С0 = 2. 
Простой соединительный шарнир может выглядеть также следующим образом (рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

Введем понятие жесткого диска. Жестким диском называют элемент конструкции, не меняющий своей геометрической формы без 
приложения нагрузки. Если в узле объединены более двух стержней 
(или дисков), подобный шарнир называют сложным или кратным. 
Степень кратности сложного шарнира Ш зависит от количества 
стержней или дисков N, которые он объединяет:

Ш = N – 1.

На рис. 6 рассмотрен ряд примеров, позволяющих на практике 
уяснить процесс приведения сложных шарниров к эквивалентному количеству простых. 
Следующий вид соединения стержней (или дисков) системы — 
жесткий узел, делающий невозможным взаимную подвижность 
входящих в него элементов (рис. 7, а). При присоединении к основанию с помощью аналога жесткого узла — так называемой жесткой заделки — конструкция в этом месте не имеет возможности 
перемещаться по вертикали и по горизонтали. Кроме того, заделка 

блокирует поворот опорного сечения. В жесткой заделке к опорным 
реакциям, свойственным шарнирно-неподвижной опоре (H и V), 
добавляется реактивный момент М (рис. 7, б), а число опорных 
стержней С0 = 3. 

Рис. 6

Рис. 7

Кроме того, при расчете сооружений широкое применение имеет 
 тепловая, или температурная, заделка, позволяющая (в отличие от жесткой заделки) опорному сечению перемещаться по горизонтали (рис. 8). 
Число опорных стержней С0 = 2. 

Какие нагрузки и воздействия будут использованы в дальнейшем 
при расчете плоских стержневых систем

Разработка расчетной схемы приводит также и к определенной 
идеализации внешних нагрузок и воздействий. Далее при расчете 

Рис. 8

плоских стержневых систем будем использовать только статические 
нагрузки. Отметим, что статической принято считать нагрузку, прикладываемую к сооружению постепенно, при малых скоростях, без 
возникновения инерционных сил. Такие нагрузки постоянны по 
величине, не меняют своего направления и места приложения. Основными типами статических нагрузок являются:
— сосредоточенная сила P (рис. 9, а);
— равномерно-распределенная нагрузка Q (рис. 9, б);
— сосредоточенный момент m (рис. 9, в). 

Рис. 9

Среди других внешних воздействий при расчете строительных 
конструкций выделим тепловое и так называемое кинематическое 
смещение опор, или же попросту осадку опор. При тепловом воздействии закон распределения температур считаем заданным, так 
же как и величины и характер осадок опор. 

Как классифицировать расчетные схемы стержневых систем

Среди огромного разнообразия стержневых систем, применяемых в качестве строительных конструкций, выделим основные 
типы, приведенные на рис. 10: балочные системы (балки) (рис. 10, а); 
арочные системы (арки) (рис. 10, б); рамные системы (рамы) 
(рис. 10, в); рамно-связевые системы (рис. 10, г); фермы (рис. 10, д); 
висячие системы (рис. 10, е); комбинированные системы (рис. 10, ж). 

Как классифицировать стержневые системы по кинематическому признаку

Их можно подразделить на три категории: геометрически изменяемые (или механизмы), у которых перемещения узлов не связаны 
с деформированием элементов; геометрически неизменяемые (или 
же кинематически неподвижные), у которых перемещения узлов 
возможны только при условии деформирования элементов; мгновенно изменяемые.