Сопротивление материалов : в 3 ч. Ч. 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ  

Учебное пособие 

Часть 2 

Под редакцией профессора Н.М. Атарова 

М о с к в а  2017 

3-е издание (электронное)

ISBN 978-5-7264-1761-5 (Ч. 2) 
ISBN 978-5-7264-1759-2

В части 2 учебного пособия по курсу «Сопротивление материалов с основами строительной 
механики и теории упругости, пластичности и ползучести» рассмотрены следующие темы: определение 
перемещений в балках и рамах при прямом изгибе; расчет статически неопределимых балок и рам с помощью метода сил; расчет балок на упругом основании; кручение стержней; сложное сопротивление 
стержней; устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней. Подробно рассмотрены примеры 
решения задач. 

Пособие окажет помощь студентам при выполнении расчетно-графических работ и при подготовке к различным видам контроля знаний (защита расчетно-графических работ, компьютерное тестирование, зачеты и экзамены). 

Для студентов, обучающихся по направлениям 08.03.01, 08.04.01 «Строительство», и студентов, 
обучающихся по программе специалитета по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных 
зданий и сооружений».

УДК 539.3

 ББК 30.121 

ISBN 978-5-7264-1761-5 (Ч. 2) 
ISBN 978-5-7264-1759-2         
 ©  ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2013

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими 
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков 
или выплаты компенсации.

УДК 539.3
ББК  30.121 
С 64

Р е ц е н з е н т ы:

профессор, доктор технических наук С. Н. Кривошапко, 
заведующий кафедрой «Прочность материалов и конструкций» 
Российского университета дружбы народов;  
член-корреспондент РААСН, профессор, доктор технических наук 
Н. Н. Шапошников (Московский государственный университет 
путей сообщения) 

А в т о р ы:
Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков, 
А. Н. Леонтьев

С 64
Сопротивление материалов. В 3 ч. [Электронный ресурс] : учебное пособие : Ч. 2  /

Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков [и др.] ;  М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Моск. гос.  строит. ун-т.  — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл 
pdf : 99 c.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". 

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Сопротивление материалов. 
В 3 ч. : учебное пособие : Ч. 1 / Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков [и др.] ; под ред. 
Н. М. Атарова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство 
МИСИ—МГСУ, 2013. —  98 с. — ISBN 978-5-7264-0626-8.

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Пособие предназначено для оказания помощи студентам строительных специальностей вузов при выполнении расчетно-графических работ 
по сопротивлению материалов, основам строительной механики, теории 
упругости и пластичности. 
Пособие содержит 14 глав по темам расчетно-графических работ. В 
каждой главе дано краткое изложение теории, приведены основные формулы и уравнения, рассмотрены примеры решения задач, аналогичных задачам в расчетно-графических работах. В конце каждой части пособия 
приведен сортамент стальных прокатных стержней — уголков, двутавров 
и швеллеров. 
В части 2 пособия содержатся главы, соответствующие учебному материалу 2-го семестра изучения сопротивления материалов — определение перемещений в балках и рамах при прямом изгибе, расчет статически 
неопределимых балок и рам с помощью метода сил, расчет балок на упругом основании, кручение стержней, сложное сопротивление стержней, устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней. 
В пособии использована система единиц СИ, а также традиционные 
для курса сопротивления материалов обозначения: сила P, площадь поперечного сечения стержня F. Соотношения между основными механическими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в 
следующей таблице: 

Наименование 
величины 
Е д и н и ц а 
Соотношение 
единиц 
Наименование 
Обозначение 

Сила, нагрузка, вес 
Ньютон 
Н 
1 Н ≈ 0,1 кгс 
1 кН ≈ 0,1 тс 

Линейная нагрузка 
Ньютон на метр 
Н/м 
1 Н/м ≈ 0,1 кгс/м 
1 кН/м ≈ 0,1 тс/м 

Момент силы,  
момент пары сил 
Ньютон-метр 
Н⋅м 
1 Н⋅м ≈ 0,1 кгс⋅м 
1 кН⋅м ≈ 0,1 тс⋅м 

Напряжение, давление 
Паскаль 
Па 
1 Па ≈ 0,1 кгс/м2

1 МПа ≈ 10 кгс/см2

При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы 
измерения используется также кН/см2  (1 кН/см2 = 10 МПа).  

Г л а в а  1 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ  
И РАМАХ ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ 
 
1.1. Основные определения и формулы 
 
При изгибе ось балки искривляется (рис. 1.1), что сопровождается появлением прогибов ( )
x
v
 и углов поворота поперечных сечений ϕ(х) = ( )
x
v′
, 
которые принимаются равными углам наклона касательной к изогнутой 
оси. Эти величины называются линейными и угловыми перемещениями. 
Прогибы считаются положительными, если они происходят в 
положительном направлении оси 
0у. Углы поворота считаются положительными при повороте касательной к изогнутой оси по ходу 
часовой стрелки. 
Для определения законов изменения прогибов балок ( )
x
v
 при прямом 
изгибе используются дифференциальные уравнения второго порядка 
                               
( )
( )
x
M
x
EJ
−
=
′′
v
                                                   (1.1) 
или четвёртого порядка 
                
( )
( )
x
q
x
EJ
=
IV
v
 ,                                                     (1.2) 
где EJ — жёсткость балки при изгибе;  М(х) — изгибающий момент в поперечном сечении;  q(x) — распределённая поперечная нагрузка. 
При определении перемещений с помощью метода начальных параметров используется выражение 

( )
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
.

6

4
5

5

4
4

4

3
3

3

2
2

2

1

1

3
0
2
0
0
0

EJ
a
x
EJ
a
x
EJ

EJ
EJ
EJ

4!
4!
3!

2!
3!
2!

−
−
−
+
−
−

−
−
−
−
ϕ
Δ
+
−
−
ϕ
+
=

q
q
a
x
P

a
x
M
a
x
x
Q
x
M
x
x
v
v

(1.3) 

Здесь 
0
v , 
0
ϕ , 
0
M , 
0
Q  — начальные параметры, представляющие собой прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начальном сечении  х = 0,  и  Δϕ — взаимный угол поворота сечений в промежуточном шарнире. Формула (1.3) соответствует воздействиям и участкам, показанным на рис. 1.2. 
Неизвестные в начале расчёта начальные параметры и величины Δϕ  
подлежат определению из соответствующих граничных условий. 

x

v
ϕ

ϕ
q

 
Рис. 1.1 

 
 0 

Общим методом определения перемещений в стержневых системах 
является метод Мора. Метод Мора сводится к вычислению интегралов, 
которые представляют собой работу единичных сил  
1
=
Р
  или единичных 
моментов 
1
=
М
  на искомых перемещениях. 

Для балок и рам используется формула Мора, содержащая изгибающие моменты: 


=
Δ

k
s

P
i
iP

k
ds
EJ
M
М
.                                             (1.4) 

Здесь 
i
M  — изгибающий момент от действия единичной силы или 
единичного момента, прикладываемых по направлению искомого перемещения; 
P
M  — изгибающий момент от действия заданных нагрузок. При 
определении линейных перемещений прикладывается единичная сила, а 
при определении угловых перемещений — единичный момент. 
Для балок и стержневых систем, 
состоящих из прямых стержней с постоянной жесткостью EJ, вычисление 
интегралов Мора можно произвести с 
помощью правила Верещагина (правило «перемножения» эпюр) по формуле 


=
Δ

k
s

P
i
iP

k
ds
EJ
M
М
 = 
P
y
EJ
Ω
C
1
,    (1.5) 

где  уС — ордината в линейной эпюре  

i
M  под центром тяжести площади  
P
Ω  
криволинейной эпюры 
P
M  (рис. 1.3). 
При использовании формулы (1.5) сложную эпюру надо разбить на простые фигуры, у которых известны площадь и положение центра тяжести. 
Наиболее часто элементами разбиения являются трапеции и квадратные 
параболы. Площадь квадратной параболы на участке длиной l  с нулевыми 
начальным и конечным значениями определяется по формуле 

12

3
ql
q =
Ω
,                                                            (1.6) 

где  q — интенсивность равномерно распределенной нагрузки. 

 

x

y

С

a
b
l

xС

yС

MР

Mi
О

 
 
Рис. 1.3

1
2
3
4
5

x

q

0
M

P

6

M0

Q0

y

a1
a2
a3
a4
a5

 
Рис. 1.2

Если эпюры 
P
M  и  
i
М  на участке длиной  l  представляют собой трапеции (рис. 1.4), то формулу (1.5) можно привести к следующему виду 
(формула «перемножения» трапеций): 

iP
Δ  = EJ
l
6
(2ac + 2bd + ad + bc).            (1.7) 

Если интеграл Мора имеет положительное 
значение, то направление перемещения совпадает 
с направлением действия соответствующих единичной силы или единичного момента. В противном случае перемещение противоположно этому 
направлению. 
 
1.2. Примеры решения задач 
 
Задача 1.1 
Для шарнирно опертой балки 
(рис. 1.5, а) построить эпюры Q и 
М и выполнить подбор сечения из 
условия прочности в виде стального прокатного двутавра. Определить с помощью метода начальных параметров и метода Мора 
значения прогибов и углов поворота в характерных сечениях балки и 
построить эпюры v  и ϕ. Определить числовые значения v  и ϕ. В 
расчетах  принять  R = 21 кН/см2,   
Е = 2,1⋅104 кН/см2, γf  = 1,2 и γс = 0,9. 
Определяем опорные реакции: 
ΣМА = 0, 10 – 15⋅1–10⋅3⋅2,5 +4RB = 0,  
                RB = 20 кН; 
ΣМВ = 0; 10+15⋅3+10⋅3⋅1,5 – 4RА = 0, 
                RА = 25 кН; 
ΣY = 0 (проверка), 15 +10⋅3–25– 20 =   
                           = 45 – 45 = 0. 
Определяем значения изгибающих моментов и поперечных сил в 
характерных сечениях балки и 
строим эпюры Q и М (рис. 1.5, б, в).  
 

d

a
b

c

l

МР

Мi

 
Рис. 1.4 

Рис. 1.5 

3 м
1 м

а  )

б)

y

M

(кН·м)

в)

1 м

1
2
3

Q

(кН)

М = 10 кН м
· Р = 15 кН
 =10 кН м
/

О
А
С
В

х

RА=25кН
RB=20 кН

г)

д)

10

11,4

16,4

Перегиб

22,2

vmax

v
EJ

EJϕ

26,1

Перегиб

0,6

19,8
ϕmax

15
Мmax=20
Излом

20

х0 = 2 м

3  − х0

10
25

−

+

+

−

−

+

−

+

21,4

32,4

Определяем экстремальное значение  Мmax  в пролете. Из пропорции находим положение сечения, где действует максимальный момент: 

0
0
3
10
20
x
x
−
=
,   х0 = 2 м; 

м.
кН
 
20
1
2
10
2
20
max
⋅
=
⋅
⋅
−
⋅
=
=
C
M
М
 
Определяем расчетное значение наибольшего изгибающего момента: 
.
м
кН
24
2
1
20
н
⋅
=
⋅
=
γ
=
,
М
M
f
P
 
Требуемый момент сопротивления сечения равен 

.
см
127
21
9,0
10
24
3
2
=
⋅
⋅
=
γ
≥
R
М
W

c
z
P
 

По сортаменту принимаем:  I 18,  Wz = 143 см3,  Jz = 1290 см4. 
Составим с помощью формулы (1.3) выражение для прогиба балки в 
пределах трех характерных участков: 

( )
(
)
(
)
(
)
.
EJ
x
q
EJ
x
Ρ
EJ
x
R
EJ
x
Q
EJ
x
M
x
x
A

3

4
3

2

3

1

3
0
2
0
0
0
!4
2
!3
2
!3
1
!3
!2
−
+
−
+
−
−
−
−
ϕ
+
=v
v
 

Начальные параметры равны: 
х = 0,   
0
M  = –10 кН⋅м,   
0
Q  = 0. 
Для определения неизвестных начальных параметров 
0
v  и 
0
ϕ  используем граничные условия 

0
2
1
10
1
  
          
,
м
1

2

0
0
=
⋅
+
ϕ
⋅
+
=
=
EJ
x
v
v
; 

0
24
3
10
6
3
15
6
4
25
2
5
10
5
  
          
,
м
5

4
3
3
2

0
0
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
ϕ
+
=
=
EJ
EJ
EJ
EJ
x
v
v
. 

Решаем систему алгебраических уравнений: 

,
4,
16

.
42
,
40
5

,
5

0

0
0

0
0

EJ
EJ

EJ
−
=









=
ϕ
+

−
=
ϕ
+
v
v

v
   
.
EJ
,4
11
0 =
ϕ
 

 
В качестве проверки вычислим 
значения 
0
v  и 
0
ϕ  с помощью метода 
Мора. Построим единичные эпюры 
изгибающих моментов (рис. 1.6, а, б) и 
вычислим интегралы Мора с помощью 
правила Верещагина, т.е. «перемножим» единичные эпюры с эпюрой моментов от действия заданных нагрузок  
М = 
P
M : 

а)
0,75
Р =1
1

М1

М2

М =1
0,75

1

3 м
1 м
1 м

б) 

Рис. 1.6 

(

)
;
35
16
 
75
0
2
1
12
3
10
75
0
3
2
3
15
2
1
1
15
75
0
10
      

15
75
0
2
10
1
2
6
1
10
1
1
2
1
1

3

0

1
0

EJ
,
,
,
,

,
EJ
dx
EJ
M
M
l
P

−
=



⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
+



+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
= 
v

 

(

)
.
35
,
11
75
,0
2
1
12
3
10
75
,0
3
2
3
15
2
1
1
15
75
,0
10
      

75
,0
15
2
1
10
2
6
1
1
1
10
1

3

0

2
0

EJ

EJ
dx
EJ
M
M
l
P

=



⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−



−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
−
=
=
ϕ

 

Результаты определения  
0
v   и  
0
ϕ   с помощью метода начальных параметров и метода Мора практически совпали. Запишем окончательные 
выражения для  ( )
x
v
  и  ϕ(х): 

( )
(
)
(
)
(
)
;
!4
2
10
!3
2
15
!3
1
25
!2
10
4
11
4
16
1

3

4
3

2

3

1

2












−
+
−
+
−
−
+
+
−
=
x
x
x
x
x
,
,
EJ
x
v
 

( )
( )
(
)
(
)
(
)
.
!3
2
10
!2
2
15
!2
1
25
10
4
11
1

3

3
2

2

2

1











−
+
−
+
−
−
+
=
′
=
ϕ
x
x
x
x
,
EJ
x
x
v
 

Вычислим значения  v   и  ϕ  в характерных сечениях балки: 

,
EJ
,
x
4
16
         
,0
0
−
=
=
=
v
v
                       
;
4,
11
0
EJ
=
ϕ
=
ϕ
 

0
      
,
м
1
=
=
v
x
 (граничное условие), 
(
)
;
4,
21
1
10
4,
11
1
  
EJ
ЕJ
=
⋅
+
=
ϕ
 

,
EJ
,
,
,
EJ
x
2
22
6
1
25
2
2
10
2
4
11
4
16
1
     
,
м
2

3
2
=








⋅
−
⋅
+
⋅
+
−
=
=
v
 

 
;
9
18
2
1
25
2
10
4
11
1
2

EJ
,
,
EJ
=








⋅
−
⋅
+
=
ϕ
 

,
EJ
,
,
,
EJ
x
4
32
24
1
10
6
1
15
6
2
25
2
3
10
3
4
11
4
16
1
 ,
м
3

4
3
3
2
=








⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
⋅
+
−
=
=
v
  

;
0,6
6
1
10
2
1
15
2
2
25
3
10
11,4
1
 

3
2
2

EJ
EJ
=








⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
=
ϕ
 

0
     
,
м
5
=
=
v
x
 (граничное условие), 

.
26,1
6
3
10
2
3
15
2
4
25
5
10
11,4
1
 

3
2
2

EJ
EJ
−
=








⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
+
=
ϕ
 

В качестве проверки вычислим некоторые значения v  и ϕ с помощью 
метода Мора:  

( )
(
)

;
19
22
75
0
2
1
12
3
10
75
0
3
2
3
15
2
1
        

75
0
10
75
0
15
2
6
1
1
2

3

0

3

EJ
,
,
,

,
,
EJ
dx
EJ
M
M
l
P

=



⋅
⋅
+
⋅
⋅
+



+
⋅
−
⋅
⋅
=
= 
v

 

                    
( )
(
)

(
)
.
EJ
,
,
,

,
,
EJ
dx
EJ
M
M
l
P

15
26
2
25
0
1
12
3
10
1
15
25
0
15
2
6
3
        

25
0
10
25
0
15
2
6
1
1
5

3

0

4

−
=



+
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−



−
⋅
+
⋅
⋅
−
=
=
ϕ

 

Соответствующие единичные эпюры приведены на рис. 1.7, а, б. 
Результаты вычислений практически 
совпали. Строим эпюры v  и ϕ, отметив 
их особенности (рис. 1.5, г, д). Ординаты эпюр умножены на жесткость ЕJ. 
В сечении, где  Q  обращается в 
нуль, на эпюре  ϕ  имеется точка перегиба. В сечении, где М = 0 (участок 2), 
на эпюре  ϕ  имеется экстремум  ϕmax, 
а на эпюре v  — точка перегиба. В сечении, где  ϕ = 0  (участок 3), прогиб 
имеет экстремальное значение v max. 
В пределах первого участка ϕ изменяется по линейному закону. В сечении В касательная к эпюре ϕ параллельна оси. 
Определим числовые значения v  и ϕ. Размерность длины в числителе 
переведем в сантиметры: 

                     ( )
(
)
;
см
2
1
1290
10
1
2
10
4
32
4
32
3
4

3
2
,
,
,
EJ
,
=
⋅
⋅
⋅
=
=
v
 

                     ( )
(
)
.
,
,
,
,
EJ
,
о
4

2
2
55
0
рад
00963
0
1290
10
1
2
10
1
26
1
26
5
−
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
ϕ
 

Задача 1.2 
Для балки с промежуточным шарниром (рис. 1.8, а) определить значения поперечных сил, изгибающих моментов, прогибов и углов поворота 
в характерных сечениях и построить эпюры этих величин. 
Разбиваем балку на несомую  ВС  и  несущую  АВ  части (балки). 
Производим статический расчет несомой балки  ВС  (рис. 1.8, б): 
ΣМВ = 0,     –14⋅3⋅1,5 – 12 + 5RС = 0,      RС = 15 кН; 
ΣМС = 0,       14⋅3⋅3,5 – 12 – 5RВ = 0,      RВ = 27 кН; 
ΣY = 0 (проверка),   14⋅3 – 27 – 15 = 42 – 42 = 0. 

0,75

Р =1

М3

а) 
А

RA= 0,75
RB= 0 2, 5

В

б) 

М4

М =1
0,25
1

3 м
1 м
1 м

 
Рис. 1.7 

Эпюры Q  и М  приведены на рис. 1.8, в, г. Определяем экстремальное значение изгибающего момента 
в пролете  ВС: 

,
3
15
27

0
0
x
x
−
=
   х0 = 1,93 м; 

.
м
кН
04
26,
          
2
1,93
14
1,93
27

2

max

⋅
=

=
⋅
−
⋅
=
М
 

Запишем выражение для 
прогиба балки с помощью метода начальных параметров: 

( )

(
)

(
)
(
)

(
)
.
!4
5

!4
2
!3
2
 

2
!3

!2

3

4

2

4
3

1

3
0

2
0
0
0

EJ
x
q

EJ
x
q
EJ
x

x
EJ
x
Q
EJ
x
M
x
x

В

−
−

−
−
+
−
−

−
−
ϕ
Δ
+
−

−
−
ϕ
+
=

Ρ

v
v

 
Начальные 
параметры 
равны:  х = 0,  
0
v  = 0,  
0
ϕ  = 0,  

0
M  = – 24 кН⋅м,  
0
Q  = 12 кН. 
Для определения неизвестного взаимного угла поворота сечений 
B
ϕ
Δ
 в промежуточном шарнире используем граничное условие: 
 

.
EJ
,
EJ
EJ
EJ
EJ
EJ
x
B
В
1
11
  
,0
24
2
14
24
5
14
6
5
15
5
6
7
12
2
7
24
  
м,
  
7

4
4
3
3
2
=
ϕ
Δ
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
ϕ
Δ
+
⋅
−
⋅
=
=
v
 

 
В качестве проверки определим значение  
B
ϕ
Δ
  с помощью метода 
Мора. Поскольку 
B
ϕ
Δ
 представляет собой взаимное угловое перемещение 
(угол поворота правого сечения в шарнире  В  относительно левого сечения), приложим в сечении  В  парный единичный момент. Соответствующая единичная эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 1.9. 

 
 
 

B

в)

г)

е)

M

Q

x0= 1,93 м
3
 
−x0

(кН)

(кН м)
·

Mmax=26,04

ϕmin

EJv

д)

Перегиб

24

Излом

24

12

35,1

15

М =12 кН м
·

х

q = 14 кН м
/

С
В
А
О

1

2 м
3 м
2 м

3
2
у

А

RB=27 кН

27 15=12 кН
−

М =12 кН м
·

RC=15 кН

14кН м
/

27

б)

а)

12
Излом

18

23,5

EJ ϕ

Перегиб

62,9

32

Р =15 кН

В
С

29,5

Рис. 1.8